專題6.5 平面圖形的認識（一）（章節(jié)復習+能力強化卷）教師版

2023-2024學年蘇科版數(shù)學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題6.5平面圖形的認識（一）（章節(jié)復習+能力強化卷）知識點01：直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間線段最短．知識要點：①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點的距離.3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝ａ，如下圖：4．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：.知識要點：①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點，則有.（4）線段的延長線：如下圖，圖①稱為延長線段AB，或稱為反向延長線段BA；圖②稱為延長線段BA，或稱為反向延長線段AB.圖中延長的部分叫做原線段的延長線.知識點02：角1．角的概念及其表示（1）角的定義：從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，這個點叫做角的頂點，這兩條射線是角的邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：知識要點：①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義.②當一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.2.角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β＝90°90°<∠β<180°∠β＝180°∠β＝360°3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.知識要點：①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.4.角的平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.類似地，還有角的三等分線等.5．余角、補角、對頂角（1）余角、補角：若∠1+∠2＝90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.知識要點：①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”．（2）對頂角：對頂角相等．知識點03：平行與垂直1.同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系:平行與相交.平行用符號“∥”表示.知識要點：只有一個公共點的兩條直線叫做相交直線，這個公共點叫做交點.2.垂線（1）垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足．垂直用符號“⊥”表示，如下圖．（2）垂線的性質(zhì)：①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．②垂線段最短．（3）點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．一、選擇題（每題2分，共20分）1．（本題2分）（2023春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線相交于點平分．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】由角平分線定義得到，由垂直的定義得到，由平角定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：平分，，，，，故選：C．【點睛】本題考查垂線，角平分線定義，平角的定義，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．2．（本題2分）（2023秋·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線、相交于點O，，圖中與互補的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等，得到，根據(jù)平角的定義，得到，，進而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴圖中與互補的角有，共3個；故選C．【點睛】本題考查補角的判斷．正確的識圖，理清角的和差關(guān)系，熟練掌握同角的余角相等，互補的兩角之和為，是解題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期末）如圖，C、D在線段BE上，下列說法：①直線上以B、C、D、E為端點的線段共有6條；②若，，則以A為頂點的所有小于平角的角的度數(shù)和為；③若，，點F是線段上任意一點，則點F到點B、C、D、E的距離之和最小值為14，其中說法正確的個數(shù)有（）；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】按照兩個端點確定一條線段即可判斷①；根據(jù)角的和差計算機可判斷②；分兩種情況討論：當點F在線段上時點F到點B、C、D、E的距離之和最小，當點F和E重合時，點F到點B、C、D、E的距離之和最大計算即可判斷③．【詳解】解：①以B、C、D、E為端點的線段、、、、、共6條，故此說法正確；②由，，根據(jù)圖形可以求出，故此說法正確；③如圖1，當F不在上時，，如圖2當F在上時，，如圖3當F與E重合時，，同理當F與B重合時，，∵，，∴當F在的線段上最小，則點F到點B、C、D、E的距離之和最小為，故此說法正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了線段的數(shù)量問題，角的和差，線段的和差，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．4．（本題2分）（2022春·江蘇南通·七年級?？茧A段練習）如果兩個角的兩邊分別垂直，而其中一個角的比另一個角少，那么這兩個角的度數(shù)是（

）A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、【答案】B【分析】首先由兩個角的兩邊分別垂直，可得這兩個角相等或互補．然后設(shè)其中一角為x°，由其中一個角的比另一個角少20°得另一個角為，然后分別從兩個角相等與互補去分析，即可求得答案，注意別漏解．【詳解】解：設(shè)其中一角為x°，∵其中一個角的比另一個角少20°∴另一個角為（x+20）°，∵兩個角的兩邊分別垂直，∴這兩個角相等或互補．①若這兩個角相等，如下圖，則x=x+20，解得：x=30，∴這兩個角的度數(shù)是30°和30°；②若這兩個角互補，如下圖，則180-x=x+20，解得：x=120，∴這兩個角的度數(shù)是60°和120°．∴這兩個角的度數(shù)是30°和30°或60°和120°．故選：B．【點睛】此題考查了角度計算與一元一次方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握如果兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角相等或互補，注意方程思想的應(yīng)用．5．（本題2分）（2022秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，將兩個三角尺的直角與頂點O重合在一起，若，OE為的平分線，則的度數(shù)為（

）A．36 B．45 C．60 D．72【答案】D【分析】根據(jù)∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求出∠COE的度數(shù)，利用∠DOE＝∠COD﹣∠COE即可解答．【詳解】解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE為∠BOC的平分線，∴∠COE∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故選：D．【點睛】本題考查了角的計算，解決本題的關(guān)鍵是明確∠AOD+∠BOC＝180°．6．（本題2分）（2022秋·七年級單元測試）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），將三角板DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且0°＜∠CBE＜90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90°的次數(shù)為2次；④在圖1的情況下，作∠DBF＝∠EBF，則AB平分∠DBF．A．① B．② C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、角的和差逐個判斷即可得．【詳解】解：如圖1，當時如圖2，當時因此，的角度不恒為，則①錯誤如圖1，當時由角平分線的定義得如圖2，當時由角平分線的定義得因此，的角度恒為定值，則②正確邊與三角板的三邊所在直線夾角不可能成如圖1，當時，設(shè)DE與AB的交點為F，即DE只與三角板的AB邊所在直線夾角成，次數(shù)為1次；DB只與三角板的BC邊所在直線夾角成，次數(shù)為1次如圖2，當時，延長DE交AB于點F，即只有DB與三角板的AB邊所在直線夾角成，次數(shù)為1次因此，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次，則③錯誤如圖3，作，即平分如圖4，作顯然不平分，則④錯誤綜上，正確的個數(shù)只有②這1個故選：B．【點睛】本題是一道較難的綜合題，考查了直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、角的和差等知識點，依據(jù)正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．需注意的是，不能受兩個示意圖的影響，而少討論一種情況．7．（本題2分）（2022秋·七年級單元測試）圖，C是直線AB上一點，CD⊥AB，EC⊥CF，則圖中互余的角的對數(shù)與互補的角的對數(shù)分別是（

）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義、角互余與互補的定義即可得．【詳解】，，，，，，，，，，則圖中互余的角的對數(shù)為4對；，，點C是直線AB上一點，，，，又，，，，則圖中互補的角的對數(shù)為7對，故選：B．【點睛】本題考查了垂直的定義、角互余與互補的定義，熟練掌握各定義是解題關(guān)鍵．8．（本題2分）（2020秋·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點；第二次操作：分別取線段和的中點；第三次操作：分別取線段和的中點；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規(guī)律即可求出的值.【詳解】解：∵，分別為的中點，∴，∵分別為的中點，∴，根據(jù)規(guī)律得到，∴，故選A.【點睛】本題是對線段規(guī)律性問題的考查，準確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，相對較難.9．（本題2分）（2021秋·江蘇·七年級專題練習）觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，如圖所示∶兩條直線相交，三條直線相交，四條直線相交，最多有一個交點，最多有三個交點；最多有6個交點，像這樣，10條直線相交，最多交點的個數(shù)是(

)A．40個 B．45個 C．50個 D．55個【答案】B【詳解】解∶第四條直線最多和前三條直線都相交而增加3個交點，第五條直線最多和前四條直線都相交而增加4個交點……第十條直線最多和前9條直線都相交而增加9個交點，所以10條直線相交、最多交點的個數(shù)為∶1+2+3+……+9=45．故選∶B【點睛】本題考查了直線、射線、線段．結(jié)合圖形，找規(guī)律解答．10．（本題2分）（2021秋·江蘇無錫·七年級校考期中）如圖，在公路MN兩側(cè)分別有，七個工廠，各工廠與公路MN（圖中粗線）之間有小公路連接．現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個車站，選擇站址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好”．則下面結(jié)論中正確的是（）①車站的位置設(shè)在C點好于B點；②車站的位置設(shè)在B點與C點之間公路上任何一點效果一樣；③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長度無關(guān)；④車站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處要好于設(shè)在點B及點C處．A．①③ B．③④ C．②③ D．②【答案】A【分析】可結(jié)合題意及圖形，逐一對四個選項本身進行分析，確定對錯即可．【詳解】解：①車站朝M方向始終有4個工廠，車站朝N方向始終有3個工廠，通過測量發(fā)現(xiàn)車站的位置設(shè)在C點好于B點，故原來的結(jié)論正確，符合題意；②車站設(shè)在B點與C點之間公路上，車站朝M方向始終有4個工廠，車站朝N方向始終有3個工廠，所以在這一段任何一點，效果不一樣，故原來的結(jié)論錯誤，不符合題意；③工廠到車站的距離是線段的長，指的是兩點之間的距離，和各段的彎曲的小公路無關(guān)，故原來的結(jié)論正確，符合題意；④車站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處要好于設(shè)在點B處，車站的位置設(shè)在BC段公路的最中間處不好于設(shè)在點C處，故原來的結(jié)論錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了兩點之間線段最短的問題，解題關(guān)鍵是具有較強的理解能力及分析能力，實際這道題根本不需要計算．二、填空題（每題2分，共20分）11．（本題2分）（2023秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線、相交于點，，．則的度數(shù)為．

【答案】度/【分析】根據(jù)對頂角相等可得，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：，，，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了對頂角，解題的關(guān)鍵是掌握對頂角相等．12．（本題2分）（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因為線段，是的中點，所以；因為是的中點，所以；因為是的中點，所以；，所以，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了線段中點的有關(guān)計算、求兩點之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2023秋·江蘇南京·七年級南京玄武外國語學校校考期末）一副三角板如圖擺放，若，則°．【答案】【分析】設(shè)，則，利用和，構(gòu)造一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∴故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握三角板的意義，構(gòu)造一元一次方程是解題的關(guān)鍵．14．（本題2分）（2023秋·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，點O是線段中點，若點C在線段上，，點P是線段的中點，則線段的長為．【答案】5【分析】列出方程，求得，，根據(jù)中點的意義求得和的長，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，即，∴，，∵點O是線段中點，∴，∵點P是線段的中點，∴，∴，故答案為：5．【點睛】本題考查了線段中點的定義，解一元一次方程，熟悉線段的加減運算是解題的關(guān)鍵．15．（本題2分）（2023春·江蘇揚州·七年級期中）如圖，已知，在內(nèi)部且，下列說法：①如果，則圖中有兩對互余的角；②如果作平分，則；③如果作平分，在內(nèi)部，且，則平分；④如果在外部分別作的余角，則；其中正確的有．【答案】②④/④②【分析】先求出，再根據(jù)互余的角的定義即可判斷①錯誤；設(shè)，根據(jù)角平分線定義以及角的和差定義求出，即可判斷②正確；設(shè)，則，根據(jù)角平分線的定義得到．求得，得到不一定等于，故③錯誤；設(shè)，根據(jù)角的和差定義可得，，即可判斷④正確．【詳解】解：，，．①，，，，，，，，圖中有4對互余的角，故①錯誤；②設(shè)，則，．平分，，，，故②正確；③設(shè)，則，平分，．，，不一定等于，即不是的平分線，故③錯誤；④設(shè)，則，，，，，，故④正確．故答案為：②④．【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線定義以及角的計算，設(shè)，用含的代數(shù)式表示相關(guān)角度是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2022秋·江蘇南通·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，點C是線段延長線上一點，在線段上取一點N，使，點M為線段的中點，則．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，則，由點M為線段的中點，表示出的長度，進而表示出的長度，然后代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，，∴，∵點M為線段的中點，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了線段的和差運算，線段的中點有關(guān)的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的和差關(guān)系．17．（本題2分）（2022秋·江蘇·七年級期末）如圖，有公共端點的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點叫做這條折線的“折中點”．已知點是折線的“折中點”，點為線段的中點，，，則線段的長為．【答案】4或16【分析】根據(jù)題意分兩種情況畫圖解答即可．【詳解】解：①如圖，，，點是折線的“折中點”，點為線段的中點，；②如圖，，，點是折線的“折中點”，點為線段的中點，．綜上所述，的長為4或16．故答案為：4或16．【點睛】本題考查了兩點間的距離，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出兩個圖形進行解答．18．（本題2分）（2022秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，于點O，為內(nèi)的一條射線，點D在的延長線上，平分，在圖中的所有角中，當與互補的角有且只有兩個時，則的度數(shù)為．【答案】【分析】由圖形可知，與互補，要求互補的角有且只有兩個，是的補角，得到，進而得到，再利用平分，得到，求得，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：，，，與互補，與互補的角有且只有兩個，是的補角，，，，平分，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查補角的定義，角平分線的定義，培養(yǎng)幾何直觀的能力，得出與互補是解題前提．19．（本題2分）（2023秋·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于點，，射線從出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉(zhuǎn)，同時，射線從出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉(zhuǎn)，當、中有一條射線到達終邊時，另一條射線也隨之停止．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】或【分析】分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：由題意，得：的運動時間為：秒，的運動時間為：秒；∴運動的時間相同；設(shè)運動時間為秒，則：，∵，∴，當時：，∴，，∴，∴，∴，即：；當，在上方時：如圖，，∴，，∴，∴，∴，即：；當，在下方時：如圖2，，∴，，∴，∴，∴，即：；綜上：與之間的數(shù)量關(guān)系為或；故答案為：或．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．20．（本題2分）（2022秋·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習）如圖，在數(shù)軸上剪下6個單位長度（從到5）的一條線段，并把這條線段沿某點向左折疊，然后在重疊部分的某處剪一刀得到三條線段，發(fā)現(xiàn)這三條線段的長度之比為，則折痕處對應(yīng)的點表示的數(shù)可能是．【答案】或2或【分析】設(shè)三條線段的長分別是，由題意可得，求出，再分三種情況討論：①當時；②當時；③當時；分別求解即可．【詳解】∵三條線段的長度之比為，∴設(shè)三條線段的長分別是，∵到5的距離是6，∴，解得，∴三條線段的長分別為，，3，如圖所示：①當時，折痕點表示的數(shù)是；②當時，折痕點表示的數(shù)是；③當時，折痕點表示的數(shù)是；綜上所述：折痕處對應(yīng)的點表示的數(shù)可能是或2或．故答案為：或2或【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間距離的求法，折疊的性質(zhì)，利用中點公式解決折疊問題是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共60分）21．（本題6分）（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）請結(jié)合題意，在橫線上填上合適的推理依據(jù)．如圖，，，求證：．

證明：∵(已知)∴(垂直的定義)∵(已知)∴____________(____________________)∴______(____________________)又∵(已知)∴(____________________)∴(____________________)∴(兩直線平行，同位角相等)∴．【答案】

同位角相等，兩直線平行

兩直線平行，內(nèi)錯角相等

等量代換

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行【分析】根據(jù)垂直的定義、平行線的判定與性質(zhì)、等量代換等進行填空即可．【詳解】∵(已知)∴(垂直的定義)∵(已知)∴(同位角相等，兩直線平行)∴(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)又∵(已知)∴(等量代換)∴(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)∴(兩直線平行，同位角相等)∴．【點睛】本題考查了垂直的定義、平行線的判定和性質(zhì)、等量代換等知識點，解題的關(guān)鍵是熟知并能靈活運用這些知識點．22．（本題6分）（2022秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，直線相交于點O，，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平分，可得，即可求解；（2）根據(jù)，可設(shè)，則，再由，可求出x的值，然后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵平分，，∴，∴．（2）解：∵，∴可設(shè)，則，∵，∴，∴．即，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，對頂角相等，明確題意，準確得到角與角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2022秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，P是線段上一點，，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．(1)若點C，D的速度分別是，．①當動點C，D運動了2s，且點D仍在線段上時，_________cm；②若點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，則_________；(2)若動點C，D的速度分別是，，點C，D在運動時，總有，求的長【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設(shè)運動時間為，則，再根據(jù)線段中點的定義可得，由此即可得；（2）設(shè)運動時間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點仍在線段上，∴，故答案為：；②設(shè)運動時間為，則，∵當點到達中點時，點也剛好到達的中點，∴，∴，故答案為：．（2）解：設(shè)運動時間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了與線段有關(guān)的動點問題、線段的和與差、線段的中點，熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（本題8分）（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為，平分．

(1)已知，，求的度數(shù)；(2)已知，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線以及垂直的定義進行計算即可；（2）利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵平分．∴，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：由可得，，，．【點睛】本題考查角平分線，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義，掌握角平分線的定義，垂直的定義以及三角形內(nèi)角和是是正確解答的前提．25．（本題8分）（2022秋·江蘇淮安·七年級淮陰中學新城校區(qū)校考期末）【閱讀材料】：如圖1，將線段放在直線上，然后將線段繞點O按如下方式旋轉(zhuǎn)：第1步，從（在上）開始先順時針旋轉(zhuǎn)銳角至；第2步，從開始繼續(xù)同向旋轉(zhuǎn)至；第3步，從開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至，…．當轉(zhuǎn)到位置時彈回，逆時針向位置旋轉(zhuǎn)；當轉(zhuǎn)到位置時再彈回，繼續(xù)向位置旋轉(zhuǎn)，…如此反復．

例如：當時，的位置如圖2所示，其中第4步旋轉(zhuǎn)到后彈回，即．【解決問題】：(1)當時，的位置如圖3所示．①，；②求出的度數(shù)．(2)當時,且，則的值為；(3)若在整個旋轉(zhuǎn)過程中，是第一次經(jīng)過彈回后而得到的位置，則的范圍是；（請用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”進行表示）【答案】(1)①；；②(2)；；(3)【分析】（1）①當時，利用，即可得到答案，②先求出，即可得到，（2）分三種情況討論即可得到答案；（3）根據(jù)在整個旋轉(zhuǎn)過程中，是第一次經(jīng)過彈回后而得到的位置，分情況討論即可得到的范圍．【詳解】（1）解：①當時，，，故答案為：；；②∵，∴，故答案為：（2）①當都不從彈回時，則，∴，

②當在右邊時，則，解得③當在左邊時，則，解得綜上可知，的值為或或，故答案為：；；（3）當在或的右邊時，則，解得，當在與之間時，則，解得，當在或者與之間時，則，解得，當在或或與之間時，則，解得，若在整個旋轉(zhuǎn)過程中，是第一次經(jīng)過彈回后而得到的位置，則的范圍是，故答案為：【點睛】此題考查了角度的計算，理解題意正確列式是解題的關(guān)鍵．26．（本題8分）（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點A、O、B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點O沿順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點O沿逆時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，直線保持不動，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為（的值在0到之間，單位：秒）．(1)當時，求的度數(shù)；(2)在運動過程中，當首次達到時，求的值；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線垂直射線？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的值為15秒或45秒．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)角等于速度乘以時間得出時間與角度關(guān)系，再進行共頂點角度計