專(zhuān)題7.1 解直角三角形的應(yīng)用（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練）（蘇科版）（解析版）

專(zhuān)題7.1解直角三角形的應(yīng)用【典例1】如圖是一種手機(jī)三腳架，它通過(guò)改變鎖扣C在主軸AB上的位置調(diào)節(jié)三腳架的高度，其它支架長(zhǎng)度固定不變，已知支腳DE＝AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD＝BG，F(xiàn)是DE上的固定點(diǎn)，且EF：DF＝2：3．（1）當(dāng)點(diǎn)B，G，E三點(diǎn)在同一直線上（如圖1所示）時(shí)，測(cè)得tan∠BED＝2．設(shè)BC＝5a，則FG＝__（用含a的代數(shù)式表示）；（2）在（1）的條件下，若將點(diǎn)C向下移動(dòng)24cm，則點(diǎn)B，G，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上（如圖2），此時(shí)點(diǎn)A離地面的高度是__cm．【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1中，連接DG，EG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．可得BC＝DG＝5a，根據(jù)勾股定理和已知條件可得EG和DE，再證明△EFH∽△EDG，可得DF，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖1中，連接DG，EG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．如圖2中，連接DG．作EJ⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于J．利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可．【解題過(guò)程】解：（1）如圖，連接DG，EG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．∴BC＝DG＝5a，在Rt△DEG中，tan∠DEB＝DGEG＝2∴EG=5a2，∵FH∥DG，∴EFDF∴△EFH∽△EDG，∴EFDE∴EF=2∴DF＝352a，EH＝25EG＝25×52a＝a，HG＝EG∴FH=E∴FG=F（2）如圖1中，連接DG，EG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于H，則四邊形CDGB是矩形．設(shè)BC＝DG＝2xcm，在Rt△DEG中，tan∠DEB＝DGEG＝2∴EG＝x（cm），DE=EG2∵FH∥DG，∴EFDF∴DF＝355x（cm），EH＝25x（cm），HG∴FH=EF2∴FG=FH2如圖2中，連接DG．∵DF2＝DG2+FG2，∴35解得x=15+35或x=15-3∴AB=DE=5x=作EJ⊥BF交BF的延長(zhǎng)線于J．則EJ＝EF?sin∠EFJ＝（4+45）cm，∴點(diǎn)A離地面的高度＝AB+EJ＝（19+195）cm．1．（2022春·四川瀘州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某水庫(kù)大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD，大壩頂上有一瞭望臺(tái)PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長(zhǎng)為（1）求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；（2）已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，為提高大壩防洪能力，請(qǐng)施工隊(duì)將大壩的背水坡通過(guò)填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成這項(xiàng)工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin【思路點(diǎn)撥】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性質(zhì)解得PH的長(zhǎng)，在Rt△PEM中，由正切定義解得ME的長(zhǎng)，最后利用線段的和差解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，利用坡度的定義解得AG，GH的長(zhǎng)，繼而解得AH的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形面積公式解答．【解題過(guò)程】（1）解：由題意得∠E＝90°，∠PME=α=31°，∠PNE=β=45°，PE＝30米．在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，在Rt△PEM中，tan∴ME≈30∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）答：兩漁船M，N之間的距離約為20米（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，壩高DG＝24米，∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，∴DG：AG＝1：0.25，∴AG＝24×0.25＝6（米），∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42（米）∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）∴SΔ∴需要填筑的土石方為432×100＝43200（立方米）答：需要填筑的土石方為43200立方米．2．（2022·山東聊城·統(tǒng)考二模）從2019年底以來(lái)，新冠疫情一直困擾著我們的日常生活，今年為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，某公司決定安裝紅外線體溫檢測(cè)儀，這種設(shè)備的原理是采用非接觸式測(cè)溫法，只要用紅外體溫測(cè)試儀的鏡頭對(duì)準(zhǔn)被測(cè)對(duì)象進(jìn)行掃描，其體溫就可立刻在顯示屏上顯示出來(lái)，從而有效地避免了其他常規(guī)測(cè)溫法所可能造成的交叉感染，測(cè)溫區(qū)域示意圖如圖所示，已知最大探測(cè)角∠PAO＝75°，最小探測(cè)角∠PBO＝30°．（參考數(shù)據(jù)：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236）（1）若該設(shè)備安裝在離水平地面距離為2.2m的P處，即OP＝2.2m，請(qǐng)求出圖中OB的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到0.1m）（2）若該公司要求測(cè)溫區(qū)域AB的長(zhǎng)度為4m，請(qǐng)求出該設(shè)備的安裝高度OP的高度．（結(jié)果精確到0.1m）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)tan∠PBO=OPOB（2）在OP上取一點(diǎn)M，使∠OAM=60°，則可得AM=PM=2x，OM=3【解題過(guò)程】（1）解：在Rt△OBP中，tan∠PBO=∴OB=OP∴OB=2.2÷3答：OB的長(zhǎng)度為3.8米；（2）解：在OP上取一點(diǎn)M，使∠OAM=60°，∴∠OMA=30°，∵∠PAO＝75°，∴∠APO＝15°，∠PAM＝15°，∴AM=PM，在Rt△OBP中，設(shè)OA=x，則AM=PM=2x，OM=3又∵tan∠PBO=OPOB=3∴3(2x+解得：x=4∴OP=OM+PM=(2+3答：設(shè)備的安裝高度OP的高度為2.7米3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD=6m．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）求OD長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)AB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，求出BE、CE的長(zhǎng)，再在Rt△ACE中求出AC（2）過(guò)點(diǎn)A，作AF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形AFDO為矩形，求出CF，在Rt△ACF中，求出AF．【解題過(guò)程】解：（1）如圖，延長(zhǎng)AB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，∵∠ABC=143°，∴∠EBC=37°，在Rt△BCE中，BE=BC?cosCE=BC?sin∴AE=AB+BE=5+1.6=6.6m在Rt△ACEAC=∴A、C兩點(diǎn)之間的距離為6.7m（2）過(guò)點(diǎn)A，作AF⊥CD于點(diǎn)F，則四邊形AFDO為矩形，∴AF=DO，DF=OA=1m∴CF=6-1=5在Rt△ACF中，AF=A∴OD=4.54．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）如圖①是某公園的一個(gè)上肢牽引器，圖②是其靜止?fàn)顟B(tài)下的簡(jiǎn)化示意圖（CE、DF分別在同一水平線上），立柱AB與水平地面MN垂直，挑桿AC＝AE，手拉鏈CD＝EF，且始終與地面垂直．經(jīng)查詢(xún)，挑桿AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．當(dāng)運(yùn)動(dòng)者做上肢牽引運(yùn)動(dòng)時(shí)，將牽引器由靜止?fàn)顟B(tài)拉至如圖③所示的狀態(tài)，此時(shí)∠CAB＝52°，求點(diǎn)E上升的高度．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）【思路點(diǎn)撥】先在圖2中，設(shè)AB與CE相交于點(diǎn)Q利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出∠CAQ＝65°，然后在Rt△ACQ中，求出AQ，再在圖3中，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AB，垂足為P，先求出∠EAP＝78°，然后在Rt△APE中，求出AP，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解題過(guò)程】解：設(shè)AB與CE相交于點(diǎn)Q，如圖：∵CE∥MN，AB⊥MN，∴AQ⊥CE，∵AC＝AE，∴∠CAQ=12∠CAE=12在Rt△ACQ中，AQ＝ACcos65°＝0.33×0.42＝0.1386m，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AB，垂足為P，∵∠CAB＝52°，∠CAE＝130°，∴∠EAP＝∠CAE﹣∠CAB＝130°﹣52°＝78°，在Rt△APE中，AP＝AEcos78°＝0.33×0.21＝0.0693m，∴AQ﹣AP＝0.1386﹣0.0693≈0.07（m），∴點(diǎn)E上升的高度為0.07m．5．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）某校初中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐開(kāi)展了多彩的活動(dòng)．在一次活動(dòng)中，某興趣小組學(xué)習(xí)了以下史料：魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高：如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC和EH都稱(chēng)為“表目距”，GC與EH的差稱(chēng)為“表目距的差”，則海島的高AB=表高（1）該興趣小組學(xué)過(guò)解直角三角形后，對(duì)該問(wèn)題的測(cè)量方法進(jìn)行了改良：測(cè)得兩次測(cè)量點(diǎn)之間的距離CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，請(qǐng)求出海島的高AB（其中AB⊥AC）．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，（2）證明：海島的高AB=表高【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)AB=x，Rt△ABH和Rt△ABC中，根據(jù)∠AHB和∠ACB的正切分別得到tan∠AHB=tan30°=ABAH=33和（2）證明△HDE∽△HBA，△CFG∽△CBA，推出DEAB=EHAH，F(xiàn)GAB=CGAC，根據(jù)【解題過(guò)程】（1）解：（1）設(shè)AB=x，在Rt△ABH中，tan∴AH=3在Rt△ABC中，tan∴AC=xCH=AC-AH=x2.778x-1.732x=140，解得x≈133.84．答：海島的高AB為133.84m．（2）（2）證明：∵AB⊥AC，DE∥AC，F(xiàn)G∥AC，∴DE∥AB，F(xiàn)G∥AB，∴△HDE∽△HBA，△CFG∽△CBA，∴DEAB=EH∵DE=FG，∴DEAB∵CH=CE-EH=CG-EH+EG，∴AB=CG-EH+EG6．（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖是小明洗漱時(shí)的側(cè)面示意圖，洗漱臺(tái)（矩形ABCD）靠墻擺放，高AD=80cm，寬AB=48cm，小明身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱時(shí)下半身與地面的夾角為∠FGK=80°，上半身前傾與水平面的夾角為∠EFM=45°，腳與洗漱臺(tái)距離GC=15cm（點(diǎn)D，C，G，K在同一直線上）．小明希望他的頭部E恰好在洗漱盆AB的中點(diǎn)O的正上方，他應(yīng)向前或后退多少cm？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.18，2≈1.41【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)F作FN⊥DK于N，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥FN于Q，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)OB交QN于點(diǎn)H，先說(shuō)明△EQF是直角三角形，然后利用銳角三角函數(shù)求出EQ=66×sin45°，進(jìn)一步說(shuō)明四邊形EQHP為矩形，得出PH=EQ；同理可證四邊形BHNC為矩形，然后在Rt△FGH中，利用銳角三角函數(shù)求出NG=100×cos80°，得出HB=NC，利用OH=OB+HB求出OH，最后利用【解題過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)F作FN⊥DK于N，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥FN于Q，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AB于點(diǎn)P，延長(zhǎng)OB交QN于點(diǎn)H，∵AB=48，O為AB的中點(diǎn)，∴OA=OB=24，∵小明上半身前傾與水平面的夾角為∠EFM=45°且EQ⊥FN，∴EQ//FM，∴∠QEF=45°，

∵小明身高166cm，下半身FG=100cm，∴EF=166-100=66，∵sin45°=∴EQ=66×sin∵EQ⊥FN，EP⊥AB，PH⊥QF，∴∠EQH=∠QHP=∠EPH=90°，∴四邊形EQHP為矩形，∴HP=EQ≈46.53，同理可證四邊形BHNC為矩形，在Rt△FGN中，∵cos80°=∴NG=100×cos∴HB=NC=NG+CG≈18+15=33，∴OH=OB+HB≈24+33=57，∴OP=OH-HP≈57-46.53=10.47≈10.5cm答：他應(yīng)該向前10.5cm．7．（2022·四川自貢·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖1為某大型商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯，圖2中的AB為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面示意圖．小明站在扶梯起點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得天花板上日光燈C的仰角為37°，此時(shí)他的眼睛D與地面MN的距離AD=1.8m，之后他沿一樓扶梯到達(dá)頂端B后又沿BLBL∥MN向正前方走了2m，發(fā)現(xiàn)日光燈C剛好在他的正上方．已知自動(dòng)扶梯AB的坡度為（1）求一樓扶梯頂端B到一樓地面的高度；（2）求日光燈C到一樓地面的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥MN于點(diǎn)E，設(shè)AE=xm（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于點(diǎn)F，交BL于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DJ⊥CF于點(diǎn)J，交BE于點(diǎn)H，根據(jù)矩形性質(zhì)得四邊形BEFG，ADJF是矩形，結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得CJ，從而完成求解．【解題過(guò)程】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥MN于點(diǎn)E．設(shè)AE=x∵AB的坡度為1∶2.4，∴BEAE∴BE=5在Rt△ABE中，由勾股定理，得x解得：x=-12（舍去）或12，∴AE=12m，BE=5∴一樓扶梯頂端B到一樓地面的高度為5m．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于點(diǎn)F，交BL于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DJ⊥CF于點(diǎn)J，交BE于點(diǎn)H，∴四邊形BEFG，ADJF是矩形，根據(jù)題意，得：BG=2m，∠CDJ=37°∴EF=BG=2m，AD=FJ=1.8m由（1）可知，AF=AE+EF=12+2=14（m），∴DJ=14m在Rt△CDJ中，tan∴CJ=DJ?tan37°≈14×0.75=10.5（∴CF=CJ+FJ≈10.5+1.8=12.3（m）∴日光燈C到一樓地面的高度約為12.3m．8．（2022·浙江舟山·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）海綿拖把一般由長(zhǎng)桿、U型擠壓器、海綿及連桿（含拉桿）裝置組成（如圖），拉動(dòng)拉桿可帶動(dòng)海綿進(jìn)入擠壓器的兩壓桿間，起到擠水的作用．圖1，圖2，圖3是其擠水原理示意圖，A、B是拖把上的兩個(gè)固定點(diǎn)，拉桿AP一端固定在點(diǎn)A，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合（如圖1），拉動(dòng)點(diǎn)P可使拉桿繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)C沿著AB所在直線上下移動(dòng)（如圖2）．已知AB＝10cm，連桿PC為40cm，F(xiàn)G＝4cm，MN＝8cm．當(dāng)P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到射線BA上時(shí)（如圖3），F(xiàn)G落在MN上，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，點(diǎn)I與點(diǎn)H重合．（1）求ME的長(zhǎng)；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)AP，當(dāng)∠PAC＝53°時(shí)，①求點(diǎn)C的上升高度；②求點(diǎn)D與點(diǎn)I之間的距離（結(jié)果精確到0.1）．（sin53°≈45，cos53°≈35，6≈2.45，101【思路點(diǎn)撥】（1）由圖1可知，PA＝AB＝10（cm），圖3中，PG＝PC＝40（cm），由此求解即可；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q．然后解直角三角形得到PQ＝PQ?sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP?cos53°≈10×0.6＝6cm．求得CO≈39.2cm得到AC＝35.2cm，則C上升了4.8cm．②當(dāng)P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到射線BA上時(shí)（如圖3），F(xiàn)G落在MN上，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，點(diǎn)I與點(diǎn)H重合，根據(jù)勾股定理得：DF＝202+22≈20.1（cm），求出FS＝4.8cm，得到EF＝4.82+22【解題過(guò)程】（1）解：由圖1可知，PA＝AB＝10（cm），圖3中，PG＝PC＝40（cm），∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），∴ME的長(zhǎng)為20cm；（2）解：①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q．∵∠A＝53°，AP＝10cm，∴PQ＝PA?sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP?cos53°≈10×0.6＝6cm．∴CQ=P∴AC＝45.2cm，∴C上升了4.8cm．②根據(jù)題意如圖：當(dāng)P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到射線BA上時(shí)（如圖3），F(xiàn)G落在MN上，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，點(diǎn)I與點(diǎn)H重合，根據(jù)勾股定理得：DF＝202+2∵C上升了4.8cm，∴FS＝4.8cm，∴EF＝4.82+2∵EH∥DI，∴△FES∽△FDT，∴EFDF∴5.220.1∴DT≈7.7cm，由對(duì)稱(chēng)性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），∴點(diǎn)D與點(diǎn)I之間的距離為19.4cm．9．（2022秋·四川資陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在操場(chǎng)上的A處，測(cè)得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是30°，前進(jìn)20米后到達(dá)旗臺(tái)的底端B處，測(cè)得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是45°，繼續(xù)沿著坡比為1:3的斜坡BC上升到C處，此時(shí)又測(cè)得旗桿頂端N點(diǎn)的仰角是60°，旗桿MN垂直于水平線AD，點(diǎn)A、B、D在同一直線上，CM//【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，先證CN＝CB，令CM＝x米，則CN＝CB＝2x米，MN=3【解題過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，∵CM∥AD，∠D＝90°，∴∠CMN＝∠D＝90°，∵∠NCM＝60°，∴∠CNM＝90°﹣∠NCM＝30°，∴CN＝2CM，又∵∠NBD＝45°，∠D＝90°，∴∠BND＝90°﹣∠NBD＝45°，∴∠BNC＝15°，∵BC的坡比為1：3=CE∴tan∠CBE=1∴∠CBE＝30°，∴∠CBN＝15°＝∠BNC，∴CN＝CB，令CM＝x米，則CN＝CB＝2x米，MN=3又∵sin∠CBE=∴CE=12CB＝x（米），BE∴ND＝MN+MD＝MN+CE＝（3+1）x∵AB＝20米，∴AD＝AB+BE+ED＝AB+BE+CM＝[20+（1+3）x]又∵∠A＝30°，∴tan∠NAD=即(3解得：x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴MN=103答：旗桿MN的高度為10310．（2022·江蘇連云港·東海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）如圖，AB是一條筆直的長(zhǎng)為500m的滑雪坡道，某運(yùn)動(dòng)員從坡頂A滑出，沿直線滑向坡底B，她的滑行距離y（單位：m）與滑行時(shí)間x（單位：s）的部分對(duì)應(yīng)值如下表．x01234…y04.51428.548…（1）用所學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)猜想y是x的什么函數(shù)，并求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）一架無(wú)人機(jī)在AB上空距地面292m的P處懸停，此時(shí)在A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的仰角為53°．無(wú)人機(jī)和該運(yùn)動(dòng)員同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，無(wú)人機(jī)以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝，離A處越來(lái)越遠(yuǎn)．已知無(wú)人機(jī)（看成一個(gè)點(diǎn)）與AB（看成一條線段）所確定的平面始終垂直于地面，AB與地面MN的夾角為26°．求該運(yùn)動(dòng)員滑行多久時(shí)，她恰在無(wú)人機(jī)的正下方．（參考數(shù)據(jù)：tan53°≈43，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49【思路點(diǎn)撥】（1）觀察表格中的數(shù)據(jù)，y應(yīng)該是x的二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）作出如圖的輔助線，設(shè)運(yùn)動(dòng)員滑行了ts，恰好在無(wú)人機(jī)的正下方，則AC=2.5t2+2t，利用三角函數(shù)分別用t表示出PE、AE的長(zhǎng)，在Rt△APE中，利用正切函數(shù)列出方程，解方程即可求解．【解題過(guò)程】（1）解：觀察表格中的數(shù)據(jù)，y應(yīng)該是x的二次函數(shù)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0，0)，設(shè)此函數(shù)的解析式為y=ax2把(1，4.5)，(2，14)，代入得a+b=4.54a+2b=14，解得a=2.5∴函數(shù)的解析式為y=2.5x2+2x，當(dāng)x=3時(shí)，y=2.5x2+2x=28.5，當(dāng)x=4時(shí)，y=2.5x2+2x=48，∴函數(shù)的解析式y(tǒng)=2.5x2+2x符合題意；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)員滑行了ts，恰好在無(wú)人機(jī)的正下方，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員滑行了(2.5t2+2t)m，無(wú)人機(jī)飛行了6.3tm到達(dá)點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1D⊥MN交AB于點(diǎn)C，此時(shí)運(yùn)動(dòng)員滑行到達(dá)點(diǎn)C，BC=AB-AC=500-(2.5t2+2t)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥P1D于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AG于點(diǎn)E，∴四邊形AFDG和四邊形PEGP1都是矩形，∵AB=500，∠ABF=26°，∴AF=GD=AB?sin26°≈220(m)，∠GAC=∠ABF=26°，∵無(wú)人機(jī)在AB上空距地面292m的P處懸停，∴PE=P1G=292-AF=72(m)，∴AG=AC?cos26°≈2.25t2+1.8t，∴AE=AG-EG=2.25t2+1.8t-6.3t=2.25t2-4.5t，在Rt△APE中，∵tan53°=PEAE∴3×72=4(2.25t2-4.5t)，整理得：t2-2t-24=0，解得：t1=6，t2=-4(舍去)，∴該運(yùn)動(dòng)員滑行6s時(shí)，她恰在無(wú)人機(jī)的正下方．11．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）【閱讀材料】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ【學(xué)以致用】根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：（1）求cos75°（2）如圖，一架直升機(jī)在一建筑物CD上方的點(diǎn)A處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)D的俯角α為60°，底端點(diǎn)C的俯角β為75°，此時(shí)直升機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m，求建筑物CD（3）疫情封控期間，直升機(jī)給該建筑物的居民投放物資，試求飛機(jī)從點(diǎn)A處往正東方向飛多遠(yuǎn)，居民在點(diǎn)D處看飛機(jī)的仰角恰好是30°．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)cos(α+β)=（2）根據(jù)AB=BC?tanβ求得AB，再根據(jù)ED=BC?tanα=423求得A、E（3）延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)E，作∠GDF交AE于點(diǎn)F，并使∠GDF=30°，根據(jù)tan∠EDF=EFDE【解題過(guò)程】（1）解：cos75==6（2）解：如圖，延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)E，∵β=75°，BC=42米，∴AB=BC?=42=42×=42×=42(3∵α=60°，BC=AE=42米∴A、D垂直距離為ED=BC?tan∴CD=AB-423答：建筑物CD的高為84米．（3）解：延長(zhǎng)CD交AE于點(diǎn)E，作∠GDF交AE于點(diǎn)F，并使∠GDF=30°，∴AE=BC=42米，由（2）得A、D垂直距離DE=423∵∠EDF=90°-∠GDF=60°，tan∠EDF=EF∴tan∠EDF=60°=∴EF=126米，∴AF=AE+EF=42+126=168米．答：飛機(jī)再飛168米可使點(diǎn)D看飛機(jī)的仰角為30°．12．（2022春·浙江紹興·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我市的白沙島是眾多海釣人的夢(mèng)想之地．小明的爸爸周末去白沙島釣魚(yú)，將魚(yú)竿AB擺成如圖1所示．已知AB＝4.8m，魚(yú)竿尾端A離岸邊0.4m，即AD＝0.4m．海面與地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如圖1，在無(wú)魚(yú)上鉤時(shí)，魚(yú)竿AB與地面AD的夾角∠BAD＝22°，海面上方的魚(yú)線BC與海面HC成一定角度，求點(diǎn)B到海面HC的距離；（2）如圖2，在有魚(yú)上鉤時(shí)，魚(yú)竿與地面的夾角∠BAD＝53°，此時(shí)魚(yú)線被拉直，魚(yú)線BO＝5.46m，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊DH的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝cos53°≈35，cos37°＝sin53°≈45，tan37°≈34，sin22°＝38，cos22°≈15【思路點(diǎn)撥】(1)過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH，垂足為F，延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)E，構(gòu)建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值求出BE、AE，再用BE+EF求出BH．(2)過(guò)點(diǎn)B作BN⊥OH，垂足為N，延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)M，構(gòu)建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根據(jù)53°和AB的長(zhǎng)求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【解題過(guò)程】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CH，垂足為F，延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)E，則AE⊥BF，垂足于E，由cos∠BAE=AEAB∴cos22°=AE4.8∴1516=AE4.8∴DE=AE-AD=4.5-0.4=4.1，由sin∠BAE=BEAB∴sin22°=BE4.8∴38=BE4.8，即BE∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．答：點(diǎn)B到海面HC的距離為3米．（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BN⊥OH，垂足為N，延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)M，則AM⊥BN，垂足為M．由cos∠BAM=AMAB∴cos53°=AM4.8∴35即AM=2.88，∴DM=AM-AD=2.88-0.4=2.48,由sin∠BAM=BMAB∴sin53°=BM4.8∴45即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04,∴ON=OB2∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58,答：點(diǎn)O到岸邊DH的距離為4.58米．13．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖1是一個(gè)手機(jī)支架的截面圖，由底座MN、連桿A-B-C-D和托架組成，AB⊥MN，BC可以繞點(diǎn)B自由轉(zhuǎn)動(dòng)，CD的長(zhǎng)度可以進(jìn)行伸縮調(diào)節(jié)，已知∠BCD=143°，AB=12cm，BC=6（1）如圖2，若AB，BC在同條直線上，CD=9.5cm，求點(diǎn)D（2）如圖3，調(diào)節(jié)CD長(zhǎng)度為12cm，并轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC使AD∥BC時(shí)，達(dá)到最佳視覺(jué)狀態(tài)，求∠ABC的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥MN于E，點(diǎn)C作CF⊥DE于F，證明出四邊形AEFC是矩形，在Rt△CDF中，得出DF=CD?sin∠DCF≈9.5×0.8=7.6，根據(jù)（2）作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，CD=12，∠DCF=53°，算出CF=7.2，證明四邊形BCFE是矩形，得出BE=CF=7.2，在Rt△ABE中求解即可．【解題過(guò)程】（1）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥MN于E，點(diǎn)C作CF⊥DE于F，則∠AEF=∠CFE=∠CAN=90°，∴四邊形AEFC是矩形，∴EF=AC=AB+BC=12+6=18．在Rt△CDF中，CD=9.5，∠DCF=143°-90°=53°，∴DF=CD?sin∴DE=DF+EF=7.6+18=25.6≈26，∴點(diǎn)D到底座MN的距離為26cm．（2）解：如圖3，作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，CD=12，∠DCF=53°，∴CF=CD?cos∵BC∥AD，∴∠BCF=∠EFC=90°,∠CBE=∠FEB=90°，∴四邊形BCFE是矩形，∴BE=CF=7.2，在Rt△ABE中，cos∠ABE=∴∠ABE≈53°，∴∠ABC=90°+∠ABE=143°．14．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛．如圖8所示，小明利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中P處，測(cè)得樓CD樓頂D處的俯角為45°，測(cè)得樓AB樓頂A處的俯角為60°．已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100米，樓AB的高度為10米，從樓AB的A處測(cè)得樓CD的D處的仰角為30°（點(diǎn)A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）．（1）填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；（2）求樓CD的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；（3）求此時(shí)無(wú)人機(jī)距離地面BC的高度．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平角的定義求∠APD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，再利用三角形內(nèi)角和求∠ADC；（2）在Rt△AED中，∠DAE=30°求出DE的長(zhǎng)度再根據(jù)CD=DE+EC計(jì)算即可；（3）作PG⊥BC于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)F，證明△APF≌△DAE即可．【解題過(guò)程】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，由題意得：∠MPA=60°,∠NPD=45°,∠DAE=30°,∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75°∠ADC=90°-∠DAE=60°（2）由題意得：AE=BC=100米，EC=AB=10．在Rt△AED中，∠DAE=30°，∴DE=AE?tan∴CD=DE+EC=∴樓CD的高度為1003（3）作PG⊥BC于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)F，則∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10∵M(jìn)N∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°．∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE．∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°．∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°．∴∠ADP=∠APD．∴AP=AD．∴△APF≌△DAE（AAS）．∴PF=AE=100．∴PG=PF+FG=100+10=110∴無(wú)人機(jī)距離地面BC的高度為110米．15．（2022·浙江·統(tǒng)考一模）三折傘是我們生活中常用的一種傘，它的骨架是一個(gè)“移動(dòng)副”和多個(gè)“轉(zhuǎn)動(dòng)副”組成的連桿機(jī)構(gòu)，如圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動(dòng)副”（標(biāo)號(hào)1）沿著傘柄移動(dòng)時(shí)，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動(dòng)副”（標(biāo)號(hào)2—9）轉(zhuǎn)動(dòng)；圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中四邊形CDEF和四邊形DGMN都是平行四邊形，AC=BC=13cm，DE=2cm，DN=1cm．（1）若關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，則BN=_________cm；（2）在（1）的條件下，折傘完全撐開(kāi)時(shí)，∠BAC=75°，則點(diǎn)H到傘柄AB距離是_________cm．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，得到AF=EF=11，利用平行四邊形的性質(zhì)，即可求解；（2）作出如圖的輔助線，解直角三角形求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴CF=DE=2cm，∵AC=BC=13cm，∴AF=AC-CD=11(cm)，又∵關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，∴AF=EF=11(cm)，CD=EF=11(cm)，又∵DN=1cm，∴CN=CD-DN=10(cm)，∴BN=BC+CN=23(cm)；故答案為：23；（2）如圖：連接AH，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥EH于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作CL⊥AB于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)M作MK∥AH與過(guò)點(diǎn)H作MK的垂線于點(diǎn)K，由（1）知：AF=EF=11(cm)，則AP=EP，∵∠BAC=75°，∴∠PFA=75°，∴AP=AFsin75°≈11×0.97=10.67(cm)，∴AE=2AP=21.34(cm)，在Rt△ACL中，cos∠BAC=ALAC∵∠BAC=75°，AC=13cm，∴AL≈13×0.26=3.38(cm)，AB=2AL=6.76(cm)，∵AB∥PF，∴∠AFP=∠BAC=75°，由題意知：GH=GE，∴∠GHE=∠GEH=15°，∵AH∥MK，∴∠HMK=∠GHE=15°，∴∠MHK=75°，又∵HK=AB=6.76(cm)，在Rt△MHK中，cos∠MHK=HKMH∴MH≈26(cm)，又∵DN=1cm，四邊形DGMN是平行四邊形，∴DN=GM=1cm，∴GH=MH-MG=25(cm)，又∵∠QGH=∠MHK=75°，在Rt△QGH中，sin∠QGH=HQGH，∴QH≈24.25(cm)，EH=2QH=48.5(cm)，∴AH=AE+EH=21.34+48.5≈69.8(cm)，

∴點(diǎn)H到傘柄AB距離是69.8cm．故答案為：69.8．16．（2022·江西宜春·統(tǒng)考一模）長(zhǎng)嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛(ài)的民俗文化，是我國(guó)茶文化的一部分，所用到的長(zhǎng)嘴壺更是歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．圖①是現(xiàn)今使用的某款長(zhǎng)嘴壺放置在水平桌面上的照片，圖②是其抽象示意圖，l是水平桌面，測(cè)得壺身AD=BC=3AE=24cm，AB=30cm，CD=22cm，且CD∥AB．壺嘴EF=80cm，∠FED=70°（1）求FE與水平桌面l的夾角（2）如圖③，若長(zhǎng)嘴壺中裝有若干茶水，繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時(shí)，EF∥l，求此時(shí)點(diǎn)F下落的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75．【思路點(diǎn)撥】（1）延長(zhǎng)FE交l于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)D、C作DM⊥AB,CN⊥AB，垂足為M、N，先證明四邊形CDMN是平行四邊形得到DM=CN，MN=CD=22cm，再證明Rt△ADM≌Rt△BCN，求得AM=BN=AB-MN2=30-222=4cm，最后在Rt△ADM中，由cos∠DAM（2）如圖2中，分別過(guò)點(diǎn)E、F作直線l的垂線段EG、FH，先求得四邊形PEGH是平行四邊形，F(xiàn)H⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，求出FH=FP+PH≈40+7.84=47.84cm，再在如圖3中，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥l于點(diǎn)Q，由Rt△AEQ，AE=8cm，求得EQ=AE·sin∠EAQ≈8×0.94=7.52cm，進(jìn)而求出點(diǎn)F下落的高度．【解題過(guò)程】（1）解：延長(zhǎng)FE交l于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)D、C作DM⊥AB,CN⊥AB，垂足為M、N，如圖1所示，則∠AEO=∠FED=70°，∠AMD=∠BNC=90°，DM∥CN，∵CD//AB，∴四邊形CDMN是平行四邊形，∴DM=CN，MN=CD=22cm，∵在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD=BC=24cm∴Rt△ADM≌Rt△BCN，∴AM=BN=AB-MN2=∵在Rt△ADM中，cos∠DAM=AMAD∴∠DAM≈80°，∴∠AOE=180°-∠AEO-∠DAM=30°，即FE與水平桌面l的夾角約為30°；（2）如圖2中，分別過(guò)點(diǎn)E、F作直線l的垂線段EG、FH，F(xiàn)H交過(guò)點(diǎn)E的水平線于點(diǎn)P，則∠EGH=∠FHG=90°，EG//FH∵PE//l，∴四邊形PEGH是平行四邊形，F(xiàn)H⊥PE，∠FEP=∠AOE=30°，∴PH=EG，∵3AE=24cm，∴AE=8cm，∵在Rt△AEG中，∠EAG=80°，∴EG=AE·sin∠EAG≈8×0.98=7.84(cm)，∴PH=EG=7.84cm，∵在Rt△EFP中，EF=80cm，∠FEP=30°，∴FP=12EF=40cm∴FH=FP+PH≈40+7.84=47.84(cm)如圖3中，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥l于點(diǎn)Q，∵EF//l，∴∠EAQ=∠FED=70°，∵在Rt△AEQ中，AE=8cm，∴EQ=AE·sin∠EAQ≈8×0.94=7.52(cm)∴FH-EQ≈47.84-7.52=40.32≈40.3(cm)即此時(shí)點(diǎn)F下落的高度約為40.3cm．17．（2022·浙江嘉興·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）為了監(jiān)控危險(xiǎn)路段的車(chē)輛行駛情況，通常會(huì)設(shè)置電子眼進(jìn)行區(qū)間測(cè)速．如圖電子眼位于點(diǎn)P處，離地面的鉛垂高度PQ為11米；離坡AB的最短距離是11.2米，坡AB的坡比為3：4；電子眼照射在A處時(shí)，電子眼的俯角為30°，電子眼照射在坡角點(diǎn)B處時(shí)，電子眼的俯角為70°．（A、B、P、Q在同一平面內(nèi)）（1）求路段BQ的長(zhǎng)；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（2）求路段AB的長(zhǎng)；（3≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）（3）如圖的這輛車(chē)看成矩形KLNM，車(chē)高2米，當(dāng)PA過(guò)M點(diǎn)時(shí)開(kāi)始測(cè)速，PB過(guò)M點(diǎn)時(shí)結(jié)束測(cè)速，若在這個(gè)測(cè)速路段車(chē)輛所用的時(shí)間是1.5秒．該路段限速5米/秒，計(jì)算說(shuō)明該車(chē)是否超速？【思路點(diǎn)撥】（1）先求出∠PBQ的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求BQ的長(zhǎng)；（2）通過(guò)做輔助線構(gòu)造直角三角形PAE，結(jié)合所給坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的長(zhǎng)；（3）通過(guò)做輔助線，構(gòu)造出Rt△PBQ和Rt△PDB，利用勾股定理求出PB、BD和AD的長(zhǎng)，結(jié)合題意，再利用三角函數(shù)求出測(cè)速距離，進(jìn)而求出車(chē)的平均速度，即可判斷出是否超速．【解題過(guò)程】（1）解：∵電子眼照射在坡角點(diǎn)B處時(shí)的俯角為70°，∴∠QPB=90∵∠PQB=90∴∠PBQ=70∵PQ∴BQ=即路段BQ的長(zhǎng)為4米．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PQ，垂足為E，過(guò)點(diǎn)A作QB的垂線段，交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵坡AB的坡比為3：4設(shè)BG=4x，AG=3x,在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理，AB=A∵AE=QG=4x+4，EQ=AG=3x，∴PE=PQ-EQ=11-3x，∵電子眼照射在A處時(shí)俯