滬教版八年級上冊數(shù)學(xué)(全冊知識點(diǎn)考點(diǎn)梳理、重點(diǎn)題型分類鞏固練習(xí))(提高版)(家教、補(bǔ)習(xí)、復(fù)習(xí)用)

精品文檔用心整理PAGE資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)二次根式的概念和性質(zhì)（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：，，，并利用它們進(jìn)行計算和化簡．3、理解并掌握同類二次根式和最簡二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式及代數(shù)式的概念

1.二次根式：一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．

要點(diǎn)詮釋：

二次根式的兩個要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，，x3，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.要點(diǎn)二、二次根式的性質(zhì)

1、；

2.；

3..

要點(diǎn)詮釋：

1.二次根式(a≥0)的值是非負(fù)數(shù)。一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1).的取值范圍不同，中≥0，中為任意值.2).≥0時，==；<0時，無意義，=.要點(diǎn)三、最簡二次根式

（1）被開方數(shù)不含有分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開放數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.要點(diǎn)四、同類二次根式定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：

(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項類似).

要點(diǎn)詮釋：

(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.【典型例題】類型一、二次根式的概念1．（2016春?天津期末）已知y=+﹣4，計算x﹣y2的值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件可得：，解不等式組可得x的值，進(jìn)而可求出y的值，然后代入x﹣y2求值即可．【答案與解析】解：由題意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，當(dāng)x=，y=﹣4時x﹣y2=﹣16=﹣14．【總結(jié)升華】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．舉一反三

【變式】方程，當(dāng)時，的取值范圍是（）A．B.≥2C.D.≤2【答案】C.類型二、二次根式的性質(zhì)2.根據(jù)下列條件，求字母x的取值范圍：

(1)；(2).

【答案與解析】(1)

(2)【總結(jié)升華】二次根式性質(zhì)的運(yùn)用.舉一反三【變式】（2014春?鐵東區(qū)校級月考）問題探究：因為，所以，因為，所以請你根據(jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的以驗化簡下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.（2015?羅平縣校級模擬）已知，1≤x≤3，化簡：=_______.【思路點(diǎn)撥】由題意1≤x≤3，可以判斷1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接開平方進(jìn)行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【總結(jié)升華】此題主要考查二次根式的性質(zhì)和化簡，計算時要仔細(xì)，是一道基礎(chǔ)題．【：高清：381279：經(jīng)典例題4】4.已知為三角形的三邊，則=．【答案】.【解析】為三角形的三邊,,即原式==.【總結(jié)升華】重點(diǎn)考查二次根式的性質(zhì)：的同時，復(fù)習(xí)了三角形三邊的性質(zhì).類型三、最簡二次根式5.已知0<<,化簡.【答案與解析】原式===.【總結(jié)升華】成立的條件是>0;若<0,則.類型四、同類二次根式6.如果兩個最簡二次根式和是同類二次根式，那么、的值是()A.=2，=1B.=1，=2C.=1，=-1D.=1，=1【答案】D.【解析】根據(jù)題意，得,

解之，得，故選D.【總結(jié)升華】同類二次根式必須滿足兩個條件：(1)根指數(shù)是2；(2)被開方數(shù)相同；由此可以得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.舉一反三【變式】若最簡根式與根式是同類二次根式，求、的值．【答案】同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；

事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡==|b|×由題意得，∴，∴=1，b=1.滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)二次根式的概念和性質(zhì)（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2016?貴港）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥12.使式子有意義的未知數(shù)x有()個

A．0B．1C．2D．無數(shù)3.把根號外的因式移到根號內(nèi)，得（）．A．B．C．D．4.（2015?蓬溪縣校級模擬）下列四個等式：①；②（﹣）=16；③（）=4；④．正確的是（）A.①② B.③④ C.②④ D.①③5.若，則等于（

）A．

B．C．D．6.將中的移到根號內(nèi)，結(jié)果是（）A．B.C.D.二.填空題7.若最簡二次根式與是同類二次根式，則.8.（2015?江干區(qū)一模）在，，，﹣，中，是最簡二次根式的是_________.9.已知，求的值為____________.10.若，則化簡的結(jié)果是__________.

11.觀察下列各式：，，,……請你探究其中規(guī)律,并將第n(n≥1)個等式寫出來________________.

12.（2016?樂山）在數(shù)軸上表示實數(shù)a的點(diǎn)如圖所示，化簡+|a﹣2|的結(jié)果為．三.綜合題13.已知，求的值.14.若時，試化簡.

15.（2015春?武昌區(qū)期中）已知a、b、c滿足+|a﹣c+1|=+，求a+b+c的平方根．【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】C.【解析】依題意得：x﹣1＞0，解得x＞1．2．【答案】B.3．【答案】C.4．【答案】D.【解析】解：①==4，正確；②=（﹣1）2=1×4=4≠16，不正確；③=4符合二次根式的意義，正確；④==4≠﹣4，不正確．①③正確．故選：D．5．【答案】D.【解析】因為=，即.6．【答案】A.【解析】因為≤0，所以=.二、填空題

7.【答案】1；1.【解析】，所以.8.【答案】.9.【答案】.【解析】,即,，即原式=.10.【答案】3.【解析】因為原式==.11．【答案】.12．【答案】3.【解析】由數(shù)軸可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，則+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．三、解答題

13.【解析】因為，所以2x-1≥0,1-2x≥0，即x=，y=則.14.【解析】因為，所以原式==.15.【解析】解：由題意得，b﹣c≥0且c﹣b≥0，所以，b≥c且c≥b，所以，b=c，所以，等式可變?yōu)?|a﹣b+1|=0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，，解得，所以，c=2，a+b+c=1+2+2=5，所以，a+b+c的平方根是±．滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)二次根式的運(yùn)算（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式的加減法法則，會合并同類二次根式，進(jìn)行簡單的二次根式加減運(yùn)算；2、掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算；3、會利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式的加減二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.要點(diǎn)詮釋：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

要點(diǎn)二、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：

(1).在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).

(2).該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算：

≥0，≥0，…..≥0）.

(3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.2.積的算術(shù)平方根:

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進(jìn)行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.

要點(diǎn)三、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.。

要點(diǎn)詮釋：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因為b在分母上，故b不能為0.

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì):

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

要點(diǎn)詮釋：

運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡，運(yùn)用時仍要注意符號問題.要點(diǎn)四、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)詮釋：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；

(2)在實數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡形式.【典型例題】類型一、二次根式的加減法【：高清：388064：經(jīng)典例題2.（1）-（2）】1.計算：（1）【答案與解析】===0【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.舉一反三【變式】計算.

【答案】

類型二、二次根式的乘除【：高清：381280：經(jīng)典例題9】2.（1）.（2）.【答案與解析】（1）原式==(2)原式=【總結(jié)升華】根據(jù)二次根式的乘除法則靈活運(yùn)算，注意最終結(jié)果要化簡.舉一反三：【：高清：381280：經(jīng)典例題9】【變式】【答案】原式==3.計算(1).·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2).-3÷()×(a＞0).【答案與解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=-a.【總結(jié)升華】熟練乘除運(yùn)算，更要加強(qiáng)運(yùn)算準(zhǔn)確的訓(xùn)練.舉一反三【變式】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值．【答案】由題意得，即

∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=

∴當(dāng)x=8時，原式的值==6．類型三、二次根式的混合運(yùn)算

4.（2016春?撫順縣期末）計算：+×﹣．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡后合并即可．【答案與解析】+×﹣=+﹣2=4+﹣2=4﹣．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．舉一反三【：高清：388064：二次根式的混合運(yùn)算】【變式】【答案】原式===5.計算：（2014秋?麥積區(qū)校級期末）已知a+b=﹣7，ab=4，則+=（） A. B.﹣ C. D.﹣【答案】A.【解析】解：∵a+b=＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0原式=（﹣）+（﹣）=﹣，∵a+b=﹣7，ab=4，∴原式=﹣=，故選：A．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的化簡求值，分母有理化是解題的關(guān)鍵．6.化簡：【答案與解析】原式====2【總結(jié)升華】運(yùn)用分母有理化運(yùn)算，找出規(guī)律，是這一類型題的特點(diǎn).舉一反三【變式】（2015?蓬溪縣校級模擬）化簡求值：已知：a是4的小數(shù)部分，求代數(shù)式+的值．【答案】解：∵4=，∴6＜4＜7，∴a=4﹣6，∴a﹣1＜0，∴+=+=a﹣1+=a﹣1﹣=4﹣6﹣1﹣=4﹣7﹣=4﹣7﹣﹣=﹣7．滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識點(diǎn)）鞏固練習(xí)二次根式的運(yùn)算（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】選擇題1.若（）.A．-1B.1C.2x-1D.1-2x2.（2016?歷下區(qū)一模）下列運(yùn)算錯誤的是（）A．=3 B．3×2=6 C．（+1）2=6 D．（+2）（﹣2）=33.計算等于（）.A．B.C.D.4.（2015?淄博）已知x=，y=，則x2+xy+y2的值為（） A.2 B.4 C.5 D.75.若,那么的值是（）.A．1B.-1C.D.6.的運(yùn)算結(jié)果是（）.A．0B.C.D.二、填空題7.（2016?天津）計算（+）（﹣）的結(jié)果等于．8.若互為相反數(shù)，則x=_____________.9.已知=___________.10.計算=___________________________.11.設(shè)則的值是_________.12.（2014?吳江市模擬）設(shè)a=，b=2+，c=，則a、b、c從小到大的順序是．三、綜合題13.(1).若，求的值.(2).化簡并求值：其中.14.（2015春?東平縣校級期末）（1）計算：2﹣++（2）先化簡，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣6），其中a=+．15．已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為求的值.【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】A.【解析】所以選A.2．【答案】C.【解析】A、原式=3，所以A選項的計算正確；B、原式=6=6，所以B選項的計算正確；C、原式=5+2+1=6+2，所以C選項的計算不正確；D、原式=7﹣4=3，所以D選項的計算正確．3．【答案】A.【解析】原式==.4．【答案】B.【解析】解：原式=（x+y）2﹣xy=（+）2﹣×=（）2﹣=5﹣1=4．故選B．5．【答案】D.【解析】,.則，,則=.6.【答案】B.【解析】注意運(yùn)算技巧.原式===.二、填空題7．【答案】2.【解析】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2.8．【答案】0.【解析】因為互為相反數(shù)，所以,則.9.【答案】1.【解析】=.10．【答案】.【解析】因為x>0,所以，所以=.11.【答案】.12.【答案】a＜c＜b．【解析】解：c===+；∴a＜c＜b．故答案為a＜c＜b．三、解答題

13.【解析】（1）.因為，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=，y=則=.(2).=.=.因為，所以,代入原式=4.14.【解析】解：（1）原式=2﹣2++=3﹣；（2）原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3=3（2a﹣1），當(dāng)a=+時，原式=3×2=6．15.【解析】因為的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為所以，,原式==,代入后原式=.滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的四則運(yùn)算.3、了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.要點(diǎn)詮釋：（1）一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.（4）與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時，=.3.最簡二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點(diǎn)詮釋：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì) 1．x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)；(2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1)要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有

∴當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；

(2)要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有

∴當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時才是二次根式.

舉一反三：【變式】已知，求的值.

【答案】根據(jù)二次根式的意義有

將代入已知等式得2.（2016?柘城縣校級一模）把中根號外的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是().

A．B．C．D．

【答案】A.【解析】由二次根式的意義知，則

.【總結(jié)升華】在利用二次根式性質(zhì)化簡時，要注意其符號，要明確是非負(fù)數(shù)，反過來將根號外的因式移到根號內(nèi)時，也必須向里移非負(fù)數(shù)。舉一反三：

【變式】（2014春?團(tuán)風(fēng)縣校級期中）已知x為奇數(shù)，且=，求?．【答案】解：∵=，∴6≤x＜9，∵x為奇數(shù)，∴x=7，則?=8×=12．3.實數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖：化簡.【答案與解析】由數(shù)軸可知并且===【總結(jié)升華】本題不僅考查了二次根式和絕對值的化簡問題，同時考查了學(xué)生的觀察能力.通過觀察確定的大小關(guān)系是本題的關(guān)鍵.【：二次根式高清：388065：填空題5】舉一反三：

【變式】ABC的三邊長為a、b、c，則=.【答案】.類型二、二次根式的運(yùn)算4．（2015?昆山市一模）計算（1）（2）．【答案與解析】解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3﹣﹣2=﹣﹣3．

【總結(jié)升華】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握二次根式的性質(zhì)化簡以及乘法計算公式是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三：

【變式】計算【答案】5.已知a、b、c為△ABC的三邊長，化簡

【答案與解析】∵a、b、c為△ABC的三邊長，

∴原式

【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進(jìn)行化簡.

6.若，化簡.【答案與解析】

【總結(jié)升華】把分子分母分別分解因式，然后約分，可以簡化化簡步驟.舉一反三：

【變式】當(dāng).【答案】，將代入，原式=3.滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)《二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固--鞏固練習(xí)（提高）一、選擇題

1．是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（）A.B.C.D.2．（2016?楊浦區(qū)三模）如果，那么().

A．B．C．D．

3．已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（）.A．4B.5C.6D.74．若x＜0，則的結(jié)果是().

A．0B．-2C．0或-2D．2

5．的值是().

A．-7B．-5C．3D．7

6．（2015?寧夏）下列計算正確的是（） A. B.=2 C.（）﹣1= D.（﹣1）2=27．小明的作業(yè)本上有以下四題：

①；②；③；④.

做錯的題是().A．①B．②C．③D．④

8．相比較，下面四個選項中正確的是（）.A.B.C.D.

二.填空題9.計算=___________.10.若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則___________.11．比較大?、賍_____；②___.（用>或<填空）

12.已知最簡根式是同類根式，則的值為___________.

13．若m＜0，則=___________.

14.已知實數(shù)滿足，則=____________.15．已知數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則=__________.16．（2015?黔西南州）已知x=，則x2+x+1=．三綜合題17．計算：(1)(2)

18.已知：，求的值.

19．（2016春?張家港市期末）若都是實數(shù)，且，試求的值.

20.（2014秋?德惠市期末）某號臺風(fēng)的中心位于O地，臺風(fēng)中心以25千米/小時的速度向西北方向移動，在半徑為240千米的范圍內(nèi)將受影響、城市A在O地正西方向與O地相距320千米處，試問A市是否會遭受此臺風(fēng)的影響？若受影響，將有多少小時？【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】B.2．【答案】D.【解析】，所以,即.3．【答案】C.【解析】由原式得：所以，因為，,所以.4．【答案】D.5．【答案】D.【解析】則，即.6．【答案】B.【解析】解：與不能合并，所以A選項錯誤；B、原式==2，所以B選項正確；C、原式==，所以C選項錯誤；D、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D選項錯誤．故選B．7．【答案】D.【解析】不是同類根式，不能加減.8.【答案】A.【解析】因為，所以，即.二、填空題

9.【答案】.10.【答案】1.【解析】.11．【答案】①②【解析】①.

②

又，且12．【答案】.【解析】因為最簡根式是同類根式（注意沒說是同類二次根式），所以根指數(shù)與被開方數(shù)相同，即即.13．【答案】-m.14．【答案】2011.【解析】因為，所以-2011≥0，即≥2011，則原式可化簡為：即=2011.15．【答案】0.【解析】由圖像知：所以原式===0.

16．【答案】2．【解析】解：∵x=，∴x2+x+1=（x+）2﹣+1=（+）2+=+=2．故答案為：2．三.解答題

17.【解析】(1)原式====.(2)原式

18.【解析】

∴原式.19.【解析】∵，∴，∴把代入，∴

∴把，代入=.20.【解析】解：如圖，OA=320，∠AON=45°，過A點(diǎn)作ON的垂線，垂足為H，以A為圓心，240為半徑畫弧交直線OH于M、N，在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160＜240，故A市會受影響，在Rt△AHM中，MH===80∴MN=160，受影響的時間為：160÷25=6.4小時．答：A市受影響，受影響時間為6.4小時．滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知識講解（提高）1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；

2．掌握直接開平方法和因式分解法解方程，會應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；

3．理解解法中的降次思想，直接開平方法和因式分解法中的分類討論與換元思想.

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要點(diǎn)詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

要點(diǎn)詮釋：

(1)只有當(dāng)時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.

要點(diǎn)二、特殊的一元二次方程的解法

1．直接開方法解一元二次方程：

(1)直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

(2)直接開平方法的理論依據(jù)：

平方根的定義.

(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.

若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根；

若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根；

若，則方程無實數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是

.

要點(diǎn)詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.

2.因式分解法解一元二次方程

（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個一次式的積；

③令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定

1．判定下列方程是否關(guān)于x的一元二次方程：

(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案與解析】(1)經(jīng)整理，得它的一般形式

(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，

其中，由于對任何實數(shù)a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：

對任何實數(shù)a，它都是一個一元二次方程．

(2)經(jīng)整理，得它的一般形式

(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，

其中，當(dāng)m≠1且m≠-1時，有m2-1≠0，它是一個一元二次方程；當(dāng)m=1時方程不存在，

當(dāng)m=-1時，方程化為4x=0，它們都不是一元二次方程．

【總結(jié)升華】對于含有參數(shù)的一元二次方程，要十分注意二次項系數(shù)的取值范圍，在作為一元二次方程進(jìn)行研究討論時，必須確定對參數(shù)的限制條件．如在第(2)題，對參數(shù)的限定條件是m≠±1．

例如，一個關(guān)于x的方程，若整理為(m-4)x2+mx-3=0的形式，僅當(dāng)m-4≠0，即m≠4時，才是一元二次方程(顯然，當(dāng)m=4時，它只是一個一元一次方程4x-3=0)．又如，當(dāng)我們說：“關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”時，實際上就給出了條件“a-1≠0”，也就是存在一個條件“a≠1”．由于這個條件沒有直接注明，而是隱含在其他的條件之中，所以稱它為“隱含條件”．

類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定2.已知關(guān)于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案與解析】將原方程整理為一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，

由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件

m2-8≠0，即m≠±．

可知它的各項系數(shù)分別是

a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．

參數(shù)m的取值范圍是不等于±的一切實數(shù)．

【總結(jié)升華】在含參數(shù)的方程中，要認(rèn)定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題．舉一反三：【高清：388447：一元二次方程的系數(shù)與解—練習(xí)1(3)】【變式】關(guān)于x的方程的一次項系數(shù)是-1，則a.【答案】原方程化簡為x2-ax+1=0,則-a=-1,a=1.類型三、一元二次方程的解（根）3.（2015春?亳州校級期中）已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項為0，（1）求m的值；（2）求方程的解．【答案與解析】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常數(shù)項為0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值為1或2；（2）當(dāng)m=2時，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．當(dāng)m=1時，5x=0，解得x=0．【總結(jié)升華】此題是一元一次方程與一元二次方程的解法的小綜合，注意本題中說的是“方程”，而不是“一元二次方程”．舉一反三：【高清：388447：一元二次方程的系數(shù)與解——練習(xí)2】【變式】（1）x=1是的根，則a=.（2）已知關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，求m的值.【答案】（1）當(dāng)x=1時，1-a+7=0,解得a=8.（2）由題意得類型四、用直接開平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．

【答案與解析】把x-3看作一個整體，直接開平方，得

x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．

由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根為x=10或x=-4．

【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo)．舉一反三：【變式】解方程：(1)(3x+1)2=7；(2)9x2-24x+16=11.【答案】(1)解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=，x2=.

(2)解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=，x2=.

類型五、因式分解法解一元二次方程5．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0【答案與解析】設(shè)x+1＝m，2-x＝n，則原方程可變形為：．∴(m-n)2＝0，∴m＝n，即x+1＝2-x．∴．【總結(jié)升華】若把各項展開，整理為一元二次方程的一般形式，過程太煩瑣．觀察題目結(jié)構(gòu)，可將x+1看作m，將(2-x)看作n，則原方程左端恰好為完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．舉一反三：【變式】（2016?安徽模擬）解方程：．【答案】解：∴∴∴∴6．如果，請你求出的值．【答案與解析】設(shè)，∴z(z-2)＝3．整理得：，∴(z-3)(z+1)＝0．∴z1＝3，z2＝-1．∵，∴z＝-1(不合題意，舍去)∴z＝3．即的值為3．【總結(jié)升華】如果把視為一個整體，則已知條件可以轉(zhuǎn)化成一個一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個一元二次方程．此題看似求x、y的值，然后計算，但實際上如果把看成一個整體，那么原方程便可化簡求解。這里巧設(shè)再求z值，從而求出的值實際就是換元思想的運(yùn)用．易錯提示:忽視，而得或．滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.已知是一元二次方程的一個解，則m的值是()．A．-3B．3C．0D．0或32．若是一元二次方程，則不等式的解集應(yīng)是().A．B．a(chǎn)＜-2C．a(chǎn)＞-2D．a(chǎn)＞-2且a≠03．若是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（）.A．2010B．2011C．2012D．20134．（2015?大慶模擬）對于方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，下面給出的說法不正確的是（） A．與方程x2+4=4x的解相同 B．兩邊都除以x﹣2，得x﹣1=1，可以解得x=2 C．方程有兩個相等的實數(shù)根 D．移項分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x=x=2．5．若代數(shù)式的值為零，則x的取值是()．A．x＝2或x＝1B．x＝2且x＝1C．x＝2D．x＝-16．（2016?荊門）已知3是關(guān)于x的方程的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為（）．A．7 B．10 C．11 D．10或11二、填空題7．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是.8．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m.9．（2015?齊齊哈爾）△ABC的兩邊長分別為2和3，第三邊的長是方程x2﹣8x+15=0的根，則△ABC的周長是．10．若方程(2012x)2-2011×2013x-1＝0的較大根為a，方程x2-2012x-2013＝0的較小根為b，則＝________．11．已知a是方程的根，則的值為．12．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為．三、解答題13.已知m、n都是方程的根，試求代數(shù)式(m2+2010m-2010)(n2+2010n+1)的值．14．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?3)；(4)．15．（2016春?白銀校級期中）已知，求的值．【答案與解析】一、選擇題1．【答案】A；【解析】根據(jù)題意有：，∴，．2．【答案】D；【解析】解不等式得a＞-2，又由于a為一元二次方程的二次項系數(shù)，所以a≠0．即a＞-2且a≠0．3．【答案】C；【解析】∵是方程的根，代入方程得，∴．4.【答案】B；【解析】解：方程（x﹣1）（x﹣2）=x﹣2，移項得：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2）=0，解得：x=x=2；A、與方程x2+4=4x的解相同，正確；B、當(dāng)x﹣2≠0時，兩邊除以x﹣2，得x﹣1=1，即x=2；當(dāng)x﹣2=0時，方程成立，錯誤；C、方程有兩個相等的實數(shù)根，正確；D、移項分解因式（x﹣2）2=0，可以解得x=x=2，正確；故選B.5．【答案】C；【解析】且，∴．6．【答案】D；【解析】把代入方程得，，原方程，解得，①當(dāng)△ABC的腰為4，底邊為3時，則△ABC的周長為4+4+3=11；②當(dāng)△ABC的腰為3，底邊為4時，則△ABC的周長為3+3+4=10．綜上所述，該△ABC的周長為10或11．故選：D．二、填空題7．【答案】p=-3,q=2；【解析】∵x＝2是方程x2+px+q＝0的根，∴22+2p+q＝0，即2p+q＝-4①同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1②聯(lián)立①，②得解之得：8．【答案】m=3；【解析】由題意得9．【答案】8；【解析】解：解方程x2﹣8x+15=0可得x=3或x=5，∴△ABC的第三邊為3或5，但當(dāng)?shù)谌厼?時，2+3=5，不滿足三角形三邊關(guān)系，∴△ABC的第三邊長為3，∴△ABC的周長為2+3+3=8，故答案為：8．10．【答案】0；【解析】(2012x)2-2011×2013x-1＝0的兩根為，，∴，的兩根為，∴，∴．11．【答案】20；【解析】由題意可知，從而得，．于是．12.【答案】2011.【解析】因為是方程的根，所以，所以，，所以．三、解答題13.【答案與解析】將m、n分別代入中得：，．∴，∴．14.【答案與解析】（1）（2）(3)移項，得，兩邊同除以3，得，根據(jù)平方根的定義，得，即，．(4)根據(jù)平方根的定義，得，即，．15.【答案與解析】解：∵成立，∴又∵，∴∴即：的值為5.滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法—知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，會用配方法和公式法解一元二次方程；2．掌握運(yùn)用配方法和公式法解一元二次方程的基本步驟；3．通過用配方法將一元二次方程變形的過程，通過求根公式的推導(dǎo)，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想．【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、一元二次方程的解法配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．

要點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．要點(diǎn)詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．

要點(diǎn)三、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，當(dāng)時，.

2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．

①當(dāng)時，原方程有兩個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；

③當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根.

3.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值（要注意符號）；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無實根.

要點(diǎn)詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：①當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實根：②當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實根：③當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實根.【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1.（2016?天門模擬）用配方法解方程：．【答案與解析】解：∵，∴∴，∴∴．【總結(jié)升華】原方程的二次項系數(shù)不為1，必須先化成1，才能配方．配方時，方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成的形式，然后用直接開平方法求解即可．舉一反三：【高清：388499：用配方法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系數(shù)的一元二次方程例3】【變式】用配方法解方程（1）（2）【答案】（1）.（2）①當(dāng)時，此方程有實數(shù)解，；②當(dāng)時，此方程無實數(shù)解.類型二、配方法在代數(shù)中的應(yīng)用2.用配方法證明的值小于0．【答案與解析】證明：．∵，∴，即．故的值恒小于0．【總結(jié)升華】證明一個代數(shù)式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個常數(shù)的式子來證明．本題不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學(xué)的配方法大同小異，即思路一致．舉一反三：【變式】（2015春?海安縣校級期中）求證：代數(shù)式3x2﹣2x+4的值不小于．【答案】解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x﹣）2+∵3（x﹣）2≥0，∴3（x﹣）2+≥，即代數(shù)式3x2﹣2x+4的值不小于．3.若實數(shù)滿足，則的值是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】C；【解析】對已知等式配方，得，∴．∴．故選Ｃ．【總結(jié)升華】本例是配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．舉一反三：【高清：388499：配方法與代數(shù)式的最值提高練習(xí)】【變式】（1）的最小值是；（2）的最大值是.【答案】（1）；所以的最小值是（2）所以的最大值是9.4.分解因式：．【答案與解析】．【總結(jié)升華】這是配方法在因式分解中的應(yīng)用，通過添項、配成完全平方式，進(jìn)而運(yùn)用平方差公式分解因式．類型三、公式法解一元二次方程5．解關(guān)于x的方程．【答案與解析】(1)當(dāng)m+n＝0且m≠0，n≠0時，原方程可化為．∵m≠0，解得x＝1．(2)當(dāng)m+n≠0時，∵，，，∴，∴，∴，．【總結(jié)升華】解關(guān)于字母系數(shù)的方程時，應(yīng)該對各種可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行討論．舉一反三：【高清：388515：用公式法解含有字母系數(shù)的一元二次方程例2練習(xí)】【變式】解關(guān)于的方程；【答案】原方程可化為∵∴∴∴6．用公式法解下列方程：(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；【答案與解析】方程整理為，∴，∴a＝1，b＝-2，c＝-13，∴，∴，∴，．【總結(jié)升華】先將原方程化為一般式，再按照公式法的步驟去解.舉一反三：【高清：388515：用因式分解法解含字母系數(shù)的一元二次方程例5（3）】【變式】用公式法解下列方程：【答案】∵∴∴∴滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識點(diǎn)）鞏固練習(xí)一元二次方程的解法（二）一般的一元二次方程的解法—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.已知關(guān)于x的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（）A．B．C．D．2．用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（）A．化為B．化為C．化為D．化為3．（2016春?揚(yáng)州期末）若，，則與的大小關(guān)系為（） A． B． C．D．無法確定4．不論x、y為何實數(shù)，代數(shù)式的值()A．總小于2B．總不小于7C．為任何實數(shù)D．不能為負(fù)數(shù)5．已知，則的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或26．若t是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()

A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小關(guān)系不能確定二、填空題7．（1）x2-x+=（）2；（2）x2+px+=（）2.8．已知，則的值為．9．已知4x2-ax+1可變?yōu)椋?x-b）2的形式，則ab=_______．10．（2016秋·啟東市校級月考）已知實數(shù)，滿足，則代數(shù)式的最小值等于．11．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是___________；若多項式x2-ax+2a-3是一個完全平方式，則a=_________.12．（2015春?重慶校級期中）a2+b2﹣4a+2b+5=0，則ba的值為．三、解答題13.用配方法解方程.

(1)3x2-4x-2=0；(2)x2-4x+6=0．14.用公式法解下列方程：（2）．15．（2014?甘肅模擬）用配方法證明：二次三項式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC中,三邊長a、b、c,滿足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求證:a+c=2b【答案與解析】一、選擇題1．【答案】A；【解析】配方的步驟是：(1)移項，把常數(shù)項移到等號右邊；(2)把二次項系數(shù)化為1，即在方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；(3)配方，在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方．2．【答案】C；【解析】選項C：配方后應(yīng)為．3．【答案】C；【解析】解：∵∴∴故選：C．4．【答案】D；【解析】．5．【答案】A；【解析】原方程化簡為：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符題意舍去.故選A.6．【答案】A.【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2=b2-4ac=△.故選A.二、填空題7．【答案】（1）；；（2）；.【解析】配方:加上一次項系數(shù)一半的平方.8．【答案】；【解析】將原式進(jìn)行配方，得，即，∴且，∴，．∴．9．【答案】4；【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化為4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,所以解得或所以.10．【答案】15．【解析】將變式為，∴，∵，∴，故代數(shù)式的最小值為15.11．【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成；即，a=2或6.12.【答案】；【解析】解：∵a2+b2﹣4a+2b+5=0，∴a2﹣4a+4+b2+2b+1=0，即（a﹣2）2+（b+1）2=0，則a﹣2=0且b+1=0，解得：a=2，b=﹣1，則ba=2﹣1=．故答案為：.三、解答題13.【答案與解析】(1)將常數(shù)項移到方程右邊3x2-4x=2

將二次項系數(shù)化為1：x2-x=

方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方：x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=，x2=.

(2)將常數(shù)項移到方程右邊x2-4x=-6．

兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”=(-2)2，得

x2-4x+(2)2=-6+(2)2．

(x-2)2=2，

用直接開平方法，得

x-2=±，

∴x=3或x=．14.【答案與解析】（1）∵∴∴∴（2），即，令A(yù)＝ab，B＝(，C＝ab．∵∴，∴，，∴，．15.【答案與解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．16.【答案與解析】a2-16b2-c2+6ab+10bc=(a2+6ab+9b2)-(25b2-10bc+c2)=(a+3b)2-(5b-c)2=(a+8b-c)(a-2b+c)∵a,b,c為三角形的三邊長,∴a+b-c＞0,a+8b-c=(a+b-c)+7b＞0.故由條件只有a-2b+c=0,即a+c=2b.滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識點(diǎn)）鞏固練習(xí)一元二次方程的應(yīng)用—知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點(diǎn)詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

要點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.

如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

4.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤=售價-進(jìn)價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.【典型例題】類型一、數(shù)字問題1.（2015春?興化市校級期末）兩個連續(xù)負(fù)奇數(shù)的積是143，求這兩個數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)為x，x+2，根據(jù)題意x（x+2）=143，解得x1=11（不合題意舍去），x2=﹣13，則當(dāng)x=﹣13時，x+2=﹣11．答：這兩個數(shù)是﹣13，﹣11．故答案為：﹣13，﹣11．【總結(jié)升華】得到兩個奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)兩個數(shù)的積得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．類型二、平均變化率問題2.（2016?衡陽）隨著居民經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車已越來越多地進(jìn)入普通家庭，抽樣調(diào)查顯示，截止2015年底某市汽車擁有量為16.9萬輛．己知2013年底該市汽車擁有量為10萬輛，設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長率為x，根據(jù)題意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：2013年底該市汽車擁有量×（1+增長率）2=2015年底某市汽車擁有量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【答案】A．【解析】解：設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故選：A．【總結(jié)升華】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．舉一反三：【變式】有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，按照這樣的速度，第三輪傳染后，患流感的人數(shù)是()A．1331B．1210C．1100D．1000【答案】設(shè)每人每輪傳染x人，則(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，第三輪傳染后患流感人數(shù)為121(1+10)＝1331人．類型三、利潤（銷售）問題3.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能存活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也會有一定數(shù)量的螃蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期間內(nèi)螃蟹的個體重量基本保持不變．現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活螃蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為30元/kg．據(jù)測算此后每千克的活蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10kg的蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價都是20元/kg，如果經(jīng)銷商將這批蟹出售后能獲利6250元，那么他應(yīng)放養(yǎng)多少天后再一次性售出?【答案與解析】解：設(shè)經(jīng)銷商放養(yǎng)的活蟹時間定為x天較為合適．根據(jù)題意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，整理，得x2-50x+625＝0，∴x1＝x2＝25．答：經(jīng)銷商放養(yǎng)25天后，再一次性售出可獲利6250元．【總結(jié)升華】此題牽涉到的量比較多，找等量關(guān)系列方程有一定難度．我們可以把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成若干個簡單問題分別解決，最后用一根主線連在一起．這里放養(yǎng)的天數(shù)x與死蟹銷售資金、x天后活蟹的價格、x天后活蟹的剩余量及x天的開支情況等問題都有關(guān)系，通過這個“x”把上述幾個量聯(lián)系在一起，列出了方程，使問題得以突破．舉一反三：【高清：388525：銷售問題例6】【變式】（2015?東西湖區(qū)校級模擬）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．據(jù)此規(guī)律計算：每件商品降價多少元時，商場日盈利可達(dá)到2100元．【答案】解：∵降價1元，可多售出2件，降價x元，可多售出2x件，盈利的錢數(shù)=50﹣x，由題意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化簡得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵該商場為了盡快減少庫存，∴降的越多，越吸引顧客，∴選x=20，答:每件商品降價20元時，商場日盈利可達(dá)到2100元.類型四、行程問題【高清：388525：行程問題例8】4.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？【答案與解析】解：（1）已知剎車后滑行路程為25m，如果知道滑行的平均速度，則根據(jù)路程、速度、時間三者的關(guān)系，可求出滑行時間．為使問題簡化，不妨設(shè)車速從20m/s到0m/s是隨時間均勻變化的．這段時間內(nèi)的平均車速等于最大速度與最小速度的平均值，即，于是剎車到停車的時間為“行駛路程平均車速”，即．（2）從剎車到停車平均每秒車速減少值為“（初速度末速度）車速變化時間”，即．（3）設(shè)剎車后汽車行駛到15m用了s，由（2）可知，這時車速為．這段路程內(nèi)的平均車速為，即．由速度×?xí)r間=路程，得．解方程，得．根據(jù)問題可知，，即x＜5，又x＜2.5；所以．剎車后汽車行駛到15m時約用了0.9s．【總結(jié)升華】弄清路程、速度、時間三者的關(guān)系，即可解答此題.滬教版初二數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識點(diǎn)）鞏固練習(xí)一元二次方程的應(yīng)用—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2016?臺州）有x支球隊參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=452．上海世博會的某紀(jì)念品原價168元，連續(xù)兩次降價a%后售價為128元，下列所列方程中正確的是()A．168(1+a%)2＝128B．168(1-a%)2＝128C．168(1-2a%)2＝128D．168(1-a2%)＝1283．從一塊長30cm，寬12cm的長方形薄鐵片的四個角上，截去四個相同的小正方形，余下部分的面積為296cm2，則截去小正方形的邊長為()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm4．甲、乙兩人分別騎車從A、B兩地相向而行，甲先行1小時后，乙才出發(fā)，又經(jīng)過4小時兩人在途中的C地相遇，相遇后兩人按原來的方向繼續(xù)前進(jìn).乙在由C地到達(dá)A地的途中因故停了20分鐘，結(jié)果乙由C地到達(dá)A地時比甲由C地到達(dá)B地還提前了40分鐘，已知乙比甲每小時多行駛4千米，則甲、乙兩人騎車的速度分別為（）千米/時.A．2,6B．12,16C．16,20D．20,245．某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的．則新品種花生畝產(chǎn)量的增長率為()

A．20％B．30%C．50%D．120%6．從盛滿20升純酒精的容器里倒出若干升，然后用水注滿，再倒出同樣升數(shù)的混合液后，這時容器里剩下純酒精5升．則每次倒出溶液的升數(shù)為（）A．5B．6C．8D．10二、填空題7．某公司在2009年的盈利額為200萬元，預(yù)計2011年盈利額將達(dá)到242萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，那么該公司在2010年的盈利額為________萬元．8．有一間長20m，寬15m的會議室，在它的中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會議室面積的一半，四周未鋪地毯的留空寬度相同，則留空的寬度為________．9．一塊矩形耕地大小尺寸如圖1所示，要在這塊地上沿東西、南北方向分別挖3條和4條水渠．如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為8700m2，那么水渠應(yīng)挖的寬度是米.10．有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來的兩位數(shù)就得1855，則原來的兩位數(shù)是．11．某省十分重視治理水土流失問題，2011年治理水土流失的面積為400km2，為了逐年加大治理力度，計劃今、明兩年治理水土流失的面積都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)，到2013年年底，使這三年治理水土流失的面積達(dá)1324km2，則該省今、明兩年治理水土流失的面積平均每年增長的百分?jǐn)?shù)是．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜8），則t=秒時，S1=2S2．三、解答題13．（2016?百色）在直角墻角AOB（OA⊥OB，且OA、OB長度不限）中，要砌20m長的墻，與直角墻角AOB圍成地面為