角平分線的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

角平分線的性質(zhì)【學(xué)時(shí)安排】3學(xué)時(shí)【第一學(xué)時(shí)】【教學(xué)目的】一、知識(shí)與技能能夠運(yùn)用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)，能對(duì)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行簡樸推理，解決某些實(shí)際問題。二、過程與辦法經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1．重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)。2．難點(diǎn)：對(duì)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行簡樸推理，解決某些實(shí)際問題?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（一）引導(dǎo)學(xué)生回想上節(jié)課的重要內(nèi)容。（二）三角形中有哪些重要線段？你能作出這些線段嗎？（三）多媒體展示以下問題，請(qǐng)學(xué)生思考。如圖是一種平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線。你能闡明它的道理嗎？（四）學(xué)生互相討論，教師巡視班級(jí)，觀察監(jiān)督學(xué)生的活動(dòng)狀況，也可參加到學(xué)生的討論中去。（五）師生共同分析討論，探究問題的解答。分析：要闡明AC是∠DAC的平分線，其實(shí)就是證明∠CAD=∠CAB，∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中，那么證明這兩個(gè)三角形全等就能夠了?？纯礂l件夠不夠。因此△ABC≌△ADC（SSS）。因此∠CAD=∠CAB．即射線AC就是∠DAB的平分線。二、探究角平分線的作法和性質(zhì)（一）教師總結(jié)指出：由上面的探究能夠得出作已知角的平分線的辦法。作已知角的平分線的辦法：已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線（二）作法1．以O(shè)為圓心，適宜長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N。2．分別以M、N為圓心，不不大于MN的長為半徑作弧。兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C。3．作射線OC，射線OC即為所求。（三）議一議1．在上面作法的第二步中，去掉“不不大于MN的長”這個(gè)條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點(diǎn)一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？3．去掉“不不大于MN的長”這個(gè)條件，所作的兩弧可能沒有交點(diǎn)，因此就找不到角的平分線。4．若分別以M、N為圓心，不不大于MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點(diǎn)可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點(diǎn)，否則兩弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了。5．角的平分線是一條射線，它不是線段，也不是直線，因此第二步中的兩個(gè)限制缺一不可。6．這種作法的可行性能夠通過全等三角形來證明。（四）練一練任意畫一平角∠AOB，作它的平分線。結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的辦法。（五）探索活動(dòng)1．在準(zhǔn)備好的三角形的每個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)好字母；A、B、C。把角A對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重疊。2．在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)C，過點(diǎn)C折OA邊的垂線，得到新的折痕CD，其中，點(diǎn)D是折痕與OA的交點(diǎn)，即垂足。3．將紙打開，新的折痕與OB邊交點(diǎn)為E?？偨Y(jié)：角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。下面用我們學(xué)過的知識(shí)證明：如圖，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求證：OE=OD。三、隨堂練習(xí)課本練習(xí)。四、課堂小結(jié)本節(jié)課中我們運(yùn)用已學(xué)過的三角形全等的知識(shí)，探究得到了角平分線儀器的操作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法，并進(jìn)一步探究到角平分線的性質(zhì)。【第二學(xué)時(shí)】【教學(xué)目的】一、知識(shí)與技能能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，解決某些實(shí)際問題。二、過程與辦法經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀滲入建立幾何模型的數(shù)學(xué)思想和培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。【教學(xué)重難點(diǎn)】1．重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)。2．難點(diǎn)：對(duì)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行簡樸推理，解決某些實(shí)際問題。【教學(xué)過程】一、引入我們懂得，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，反過來，到一種角的兩邊的距離相等的點(diǎn)與否一定在這個(gè)角的平分線上呢？二、探究如圖：點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD=QE求證：OQ是∠AOB的角平線。歸納：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在上。用符號(hào)語言表達(dá)為：∵；∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上。三、結(jié)論到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。四、應(yīng)用（一）A組練習(xí)1．如圖1所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，則PC與PD的大小關(guān)系是（）。A．PC>PD；B．PC=PD；C．PC<PD；D．不能擬定2．如圖2所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AE=AC，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）。A．DC=DE；B．∠AED=90°；C．∠ADE=∠ADC；D．DB=DC3．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（）。A．三條高的交點(diǎn)；B．三條中線的交點(diǎn)；C．三條角平分線的交點(diǎn)；D．不能擬定4．如圖3所示，三條公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，現(xiàn)計(jì)劃修一種油庫，規(guī)定到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有（）。A．一處；B．二處；C．三處；D．到處圖1圖2圖35．已知△ABC的外角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上。（二）B組練習(xí)1．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．求證：AM平分∠DAB．【作業(yè)布置】練習(xí)1、2題。【第三學(xué)時(shí)】【教學(xué)目的】一、知識(shí)與技能能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，解決某些實(shí)際問題。二、過程與辦法經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀滲入建立幾何模型的數(shù)學(xué)思想和培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1．重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)。2．難點(diǎn)：對(duì)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行簡樸推理，解決某些實(shí)際問題?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課拿出教學(xué)準(zhǔn)備好的折紙與剪刀，剪一種角，把剪好的角對(duì)折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，看到了什么？把對(duì)折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開，又看到了什么？分析：第一次對(duì)折后的折痕是這個(gè)角的平分線；再折一次，又會(huì)出現(xiàn)兩條折痕，并且這兩條折痕是等長的。這種辦法能夠做無多次，因此這種等長的折痕能夠折出無數(shù)對(duì)。二、導(dǎo)入新課角平分線的性質(zhì)即已知角的平分線，能推出什么樣的結(jié)論。折出如圖所示的折痕PD、PE。畫一畫：按照折紙的次序畫出一種角的三條折痕，并度量所畫PD、PE與否等長？投影出下面兩個(gè)圖形，讓學(xué)生評(píng)一評(píng)，以達(dá)明確概念的目的。結(jié)論：同窗乙的畫法是對(duì)的的。同窗甲畫的是過角平分線上一點(diǎn)畫角平分線的垂線，而不是過角平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線段，因此他的畫法不符合規(guī)定。（一）問題1：如何用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)？生：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。（二）問題2：能否用符號(hào)語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話。請(qǐng)?zhí)钕卤恚阂阎篛C平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足。由已知推出：PD=PE。于是我們得角的平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。師：那么到角的兩邊距離相等的點(diǎn)與否在角的平分線上呢？（出示投影）（三）問題3：根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語言填寫下表：生討論，已知事項(xiàng)符合直角三角形全等的條件，因此Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）。于是可得∠PDE=∠POD。由已知推出的事項(xiàng)：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。由此我們又能夠得到一種性質(zhì)：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？分析：這兩個(gè)性質(zhì)已知條件和所推出的結(jié)論能夠交換。（四）思考：如圖所示，要在S區(qū)建一種集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：0）？1．集貿(mào)市場(chǎng)建于何處，和本節(jié)學(xué)的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一種性質(zhì)能夠解決這個(gè)問題？2．比例尺為1：0是什么意思？（五）結(jié)論1．應(yīng)當(dāng)是用第二個(gè)性質(zhì)。這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)當(dāng)建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且規(guī)定離角的頂點(diǎn)500米處。2．在紙上畫圖時(shí)，我們經(jīng)慣用厘米為單位，而題中距離又是以米為單位，這就涉及一種單位換算問題了。1m=100cm，因此比例尺為1：0，其實(shí)就是圖中1cm表達(dá)實(shí)際距離200m的意思。作圖以下：第一步：尺規(guī)作圖法作出∠AOB的平分線OP。第二步：在射線OP上截取OC=2.5cm，擬定C點(diǎn)，C點(diǎn)就是集貿(mào)市場(chǎng)合建地了?？偨Y(jié)：應(yīng)用角平分線的性質(zhì)，就能夠省去證明三角形全等的環(huán)節(jié)，使問題簡樸化。因此若碰到有關(guān)角平分線，又要證線段相等的問題，我們能夠直接運(yùn)用性質(zhì)解決問題。三、例題例：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等。分析：點(diǎn)P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點(diǎn)到三邊的距離，也就是說要證：PD=PE=PF。而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性能夠解決這個(gè)問題。證明：過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足為D、E、F。由于BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上。因此PD=P