廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三上學(xué)期普通高中畢業(yè)班綜合測試一數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市天河區(qū)2024屆高三上學(xué)期普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知集合，，則（）A. B.（1，3）C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，解得或，所以或，因為，所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.5〖答案〗B〖解析〗由得，故，故選：B.3.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=（）A.-3 B.-2C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由，，得，則，．故選C．4.已知橢圓的方程為，則橢圓（）A.長軸長為16 B.短軸長為C.焦距為2 D.焦點為〖答案〗B〖解析〗因為，所以橢圓是以為焦點的橢圓，設(shè)橢圓：，由題意，即；由可知其方程為；由方程可得長軸長為8，焦距為4，短軸長為.故選：B.5.已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C.-2 D.〖答案〗B〖解析〗由題意知在曲線上，所以.又，所以曲線在點處的切線的斜率為.又因為曲線在點處切線的傾斜角為，所以切線的斜率為1.故而.由解得，所以.故選：B6.已知動點在直線上，過點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗由題可知圓的圓心為，半徑為，設(shè)，則，有，得，當(dāng)時，.故選：C.7.已知數(shù)列滿足，記，則（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗因為數(shù)列滿足，，所以，所以，故AB錯誤；又，所以，即，所以，故C正確；因為，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，故D錯誤.故選：C.8.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，所以，即，.故選：D.二?多選題9.已知實數(shù)，則“”的充要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，所以是“”的充要條件，故A正確；對于B，由，得，當(dāng)時，無意義，所以是“”的充分不必要條件，故B錯誤；對于C，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，所以是“”的充要條件，故C正確；對于D，當(dāng)時，，所以不是“”的充要條件，故D錯誤.故選：AC.10.下列命題正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則值分別是和4C.若某校高三（1）班8位同學(xué)身高（單位）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為174D.根據(jù)變量與的樣本數(shù)據(jù)計算得到，根據(jù)的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)，且犯錯誤的概率不超過0.05〖答案〗AB〖解析〗對于A，根據(jù)可得數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；對于B，對兩邊同時取對數(shù)可得，因為，所以，所以的值分別是和4，故B正確；對于C，從小到大可得這組數(shù)據(jù)為，，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為，故C錯誤；對于D，因為，在犯錯誤的概率不超過0.05的情況下，可判斷與無關(guān)，故D錯誤.故選：AB.11.已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)都有，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，在中令，可得，又，所以，故A選項正確；對于B，在中令，可得，又由A選項分析可知，所以，所以，由實數(shù)具有任意性，所以，故B選項正確；對于C，在中令，結(jié)合，故可得，所以，由于實數(shù)具有任意性，所以，故C選項正確；對于D，由C選項分析可知，而由B選項分析可知，所以，故D選項錯誤.故選：ABC.12.如圖，在棱長為1的正方體中，下列命題正確的是（）A.平面平面，且兩平面的距離為B.當(dāng)點在線段上運動時，四面體的體積恒等于四面體的體積C.與正方體所有棱都相切的球的體積為D.若是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點，是外接圓的圓周上任意一點，則的最小值是〖答案〗BCD〖解析〗對于A，正方體中，，即四邊形為平行四邊形，故，平面，平面，故平面，同理可證平面，而平面，故平面平面；設(shè)B到平面的距離為d，，則,即，則；同理求得到到平面的距離為；連接，則，由于平面平面，故，平面，故平面，平面，故，同理可證，而平面，故平面，而平面平面，則平面，又，故平面和平面之間的距離為，A錯誤；對于B，當(dāng)點在線段上運動時，四面體的體積為；而四面體的體積，即當(dāng)點在線段上運動時，四面體的體積恒等于四面體的體積，B正確；對于C，與正方體所有棱都相切的球的直徑為正方體面對角線長,故該球體積為，C正確；對于D，正方體的內(nèi)切球球心和正方體外接球球心是同一個點，即為正方體的中心，外接球直徑為，內(nèi)切球直徑為1；而外接圓為正方體外接球的一個小圓，故由是正方體的內(nèi)切球的球面上任意一點，是外接圓的圓周上任意一點，得最小值為正方體的外接球半徑減去正方體球內(nèi)切球半徑，即，D正確，故選：BCD.三?填空題13.某校擬從2名教師和4名學(xué)生共6名黨史知識學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機選取3名，組成代表隊，參加市黨史知識競賽，則要求代表隊中既有教師又有學(xué)生的選法共有__________種．〖答案〗16〖解析〗由題意得從6名黨史知識學(xué)習(xí)優(yōu)秀者中隨機選取3名，其中有1名教師和2名學(xué)生的選法有種，有2名教師和1名學(xué)生的選法有種，故代表隊中既有教師又有學(xué)生的選法共有（種），故〖答案〗為：16.14.已知圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個半圓．則圓錐的高為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，由于圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，故有，即圓錐母線長為，又圓錐的表面積為，解得，所以，所以圓錐的高為.故〖答案〗為：.15.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗由，得，因為函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點，所以，解得，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.雙曲線的左，右焦點分別為，，右支上有一點M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為________．〖答案〗〖解析〗內(nèi)切圓Q分別與，，，軸切于點S，T，N，P則四邊形、都為正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由圓的切線性質(zhì)，則，則，①又因為，②且雙曲線定義得，，③由①、②、③得，所以，從而，由勾股定理，，所以，解得．故〖答案〗為：.四?解答題17.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：．（1）解：由題意得，解得，所以；（2）證明：，所以，因為，所以，所以.18.如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，E是的中點．（1）若的中點是M，求證：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值．（1）證明：如圖所示：取PC的中點F，連接EM，DF，F(xiàn)M，因為四邊形為矩形，E是的中點，所以，，所以，所以四邊形DEMF是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）解：由平面，，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面PCE的一個法向量為，則，即，令，得，易知平面PAB的一個法向量為，則，設(shè)平面與平面所成二面角為，所以.19.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A為銳角，.（1）求A；（2）若，且邊上的高為，求的面積.解：（1）由得，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，是三角形內(nèi)角，，所以，又A為銳角，所以．（2）由（1），，所以，即，，，．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有最小值，證明：．（1）解：當(dāng)時，，其定義域為，則，由于，故令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：由于，故，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，無最小值；當(dāng)時，令，解得，即在上單調(diào)遞減，令，解得，即在上單調(diào)遞增，故在是取極小值也是最小值，即，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故，即，所以，即.21.某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束．已知該游戲第一次獲勝的概率是，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是，若上一次失敗則下一次成功的概率是．記消費者甲第次獲勝的概率為，數(shù)列的前項和，且的實際意義為前次游戲中平均獲勝的次數(shù)．（1）求消費者甲第2次獲勝的概率；（2）證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎．（1）證明：（2）解：,,,為等比數(shù)列,且公比為；.,因為單調(diào)遞增，當(dāng)n為奇數(shù)時，，所以得獲獎至少要玩9輪.當(dāng)n為偶數(shù)時，，得獎至少要玩10輪，所以平均至少要玩9輪才可能獲獎.22.已知x軸被動圓C截得的弦長為6，動圓C過定點．（1）求動圓圓心C的軌跡E的方程；（2）點M是曲線E上的動點，其縱坐標大于2，過點M作圓的兩條切線分別與x軸交于點P，Q，求面積最小時點M的縱坐標．解：（1）設(shè)動圓的圓心C的坐標為，半徑為r，由動圓C過定點