江蘇省徐州市邳州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市邳州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁．滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、考試號等用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上規(guī)定的位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗．作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，必須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線在軸上的截距為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗，取得到，即直線在軸上的截距為.故選：C.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故選：D.3.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與直線平行，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為直線與直線平行，則，解得.故選：A.4.2023年7月20日中國太空探索又邁出重要一步，神州十六號航天員景海鵬、朱楊柱、桂海潮成功完成出艙任務(wù)，為國家實(shí)驗室的全面建成貢獻(xiàn)了力量．假設(shè)神州十六號的飛行軌道可以看作以地球球心為左焦點(diǎn)的橢圓（如圖中虛線所示），我們把飛行軌道的長軸端點(diǎn)中與地面上的點(diǎn)的最近距離叫近地距離，最遠(yuǎn)距離叫遠(yuǎn)地距離．設(shè)地球半徑為，若神州十六號飛行軌道的近地距離為，遠(yuǎn)地距離為，則神州十六號的飛行軌道的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意：，，解得，，故離心率.故選：D.5.已知三點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，則，解得.故選：D.6.設(shè)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓，即，圓心，，圓，圓心，，，當(dāng)最大時，最大，，此時.故選：C.7.設(shè)點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)）．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：連接、，設(shè)，由對稱性可知，為的中點(diǎn)，，因為，則線段是以為直徑的圓的一條直徑，則為圓心，故為的中點(diǎn)，又因為，且、互相垂直且平分，所以，四邊形為正方形，則，所以，，所以，該雙曲線的離心率為.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B.6 C. D.12〖答案〗C〖解析〗設(shè)，，，故，在圓上，且，表示到直線的距離之和，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，于，，，故在圓上，.故的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知集合，集合，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由整理可得.因為集合，.（1）直線過點(diǎn)，則，解得，此時，直線與直線不平行；（2）若直線與平行，則，解得.綜上所述，或.故選：BD.10.已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的方程是 B.C.當(dāng)時， D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，可得，所以，拋物線的方程為，A錯；對于B選項，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，，B對；對于C選項，因為，即，則，因為，可得，則，則，此時，，C對；對于D選項，，同理可得，所以，，所以，，D對.故選：BCD.11.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知圓，點(diǎn)在圓外，以線段為直徑作圓，與圓相交于兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A.直線與圓相切 B.當(dāng)時，點(diǎn)在圓上C.直線與圓相離 D.當(dāng)時，直線方程為〖答案〗ABD〖解析〗圓，圓心，半徑，點(diǎn)在圓外，則，對選項A：在圓上，故，故直線與圓相切，正確；對選項B：，，，故，故點(diǎn)在圓上，正確；對選項C：到圓心的距離為，故相交，錯誤；對選項D：，半徑，故圓的方程為：，兩圓方程相減得到，即直線方程為，正確.故選：ABD.12.平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）．在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，其軌跡為曲線，則（）A.曲線的方程為 B.曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱C.面積的最大值為2 D.的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對選項A：設(shè)，則，即，整理得到，即，正確；對選項B：當(dāng)點(diǎn)在曲線，即，則也在曲線，正確；對選項C：設(shè)，，則，故，面積的最大值為，錯誤；對選項D：，解得，，故，正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.若直線經(jīng)過點(diǎn)，則的傾斜角為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)的傾斜角為，，，則，，.故〖答案〗為：.14.寫出一個同時滿足下列條件①②的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______.①焦點(diǎn)在軸上；②離心率為.〖答案〗(〖答案〗不唯一).〖解析〗由于雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因為雙曲線的離心率為，所以，解得.所以寫出一個同時滿足下列條件①②雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.故〖答案〗為：(〖答案〗不唯一).15.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則該橢圓的長軸長為______．〖答案〗〖解析〗由題意知，因為，將代入可得，故，由于，故∽，即得，即，，則，由得，即有，故該橢圓的長軸長為，故〖答案〗為：16.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．已知圓上的動點(diǎn)和定點(diǎn)，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示：圓心為，取，則，，故，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時等號成立，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)．（1）求的值；（2）若點(diǎn)在上，且，求的面積．解：（1）根據(jù)題意，顯然，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故，即，，解得或，又，故.（2）由（1）可得雙曲線方程為：，設(shè)其左右焦點(diǎn)分別為，故可得，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的左支上，設(shè)，由雙曲線定義可得：，即，又三角形為直角三角形，則，即，即，，故△的面積.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求線段的長；（2）若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線平行于拋物線的對稱軸．解：（1）設(shè)，由題意，拋物線中，焦點(diǎn)弦長.（2）由已知準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為,直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，由得，∴，直線方程為，令得，又，，所以，，，顯然異號，所以，所以與軸平行，即與拋物線的對稱軸平行．19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過兩條直線和的交點(diǎn)．（1）若原點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程；（2）若直線與軸正半軸，軸正半軸分別交于兩點(diǎn)，求使的面積最小時直線的方程．解：（1）聯(lián)立方程組，解得，所以直線過點(diǎn).原點(diǎn)到直線的距離為2，斜率不存在時直線的方程是，此時原點(diǎn)到直線的距離為2符合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程為,則，可得，故直線的方程為或．（2）設(shè)直線的方程為，由（1）知，直線l過的點(diǎn)，則，因，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則面積，所以面積的最小值為4，此時直線l的方程為，即.20.已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程．解：（1），則的垂直平分線的斜率為，中點(diǎn)為，故的垂直平分線為，，解得，即圓心為，圓的半徑，故圓方程.（2）反射光線恰好平分圓的圓周，故反射光線過圓心，設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，且，解得，即，，故反射光線為，即.21.設(shè)為實(shí)數(shù)，直線與直線相交于點(diǎn)．記的軌跡為曲線．（1）求證：；（2）求曲線的方程；（3）是否存在斜率為的直線，使以被曲線截得的弦為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．（1）證明：因為直線的方程為，直線的方程，且，故（2）解：對于直線，其方程可變形為，由，解得，故直線過定點(diǎn)，對于直線，其方程可變形為，由，解得，故直線過定點(diǎn)，因為，設(shè)點(diǎn)，則，即，整理可得，所以，曲線的方程為.（3）解：設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，即，解，由韋達(dá)定理可得，，，，由題意可知，，則，解得或（舍），故，所以，直線的方程為.22.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．（1