2024屆高考數(shù)學一輪總復習專題七概率與統(tǒng)計的熱點問題課件

專題七概率與統(tǒng)計的熱點問題題型一概率與統(tǒng)計的綜合應用

[例1](2022年湖北九師聯(lián)盟模擬)某校高三年級舉行了高校強基計劃模擬考試(滿分100分)，將不低于50分的考生的成績分為5組，即[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并繪制頻率分布直方圖如圖7-1所示，其中在[90，100]內的人數(shù)為3. (1)求a的值，并估計不低于50分考生的平均成績(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代替)；圖7-1

(2)現(xiàn)把[50，60)和[90，100]內的所有學生的考號貼在質地、形狀和大小均相同的小球上，并放在盒子內，現(xiàn)從盒中隨機抽取2個小球，若取出的兩人成績差不小于30，則稱這兩人為“黃金搭檔組”.現(xiàn)隨機抽取4次，每次取出2個小球，記下考號后再放回盒內，記取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為X，求X的分布列和均值E(X).

解：(1)由題意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，

不低于50分考生的平均成績估計為55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分).

【反思感悟】概率與統(tǒng)計作為考查學生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考一大亮點和熱點.它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性.【互動探究】

1.(2022年湛江市模擬)某高三學生小明準備利用暑假的7月和8月勤工儉學，現(xiàn)有“送外賣員”和“銷售員”兩份工作可供其選擇.已知“銷售員”工作每日底薪為50元，每日銷售的前5件每件獎勵20元，超過5件的部分每件獎勵30元.小明通過調查，統(tǒng)計了100名銷售員1天的銷售記錄，其柱狀圖如圖7-2.“送外賣員”沒有底薪，收入與送的單數(shù)相關，在一日內：1至20單(含20單)每送一單3元，超過20單且不超過40單的部分每送一單4元，超過40單的部分，每送一單4.5元.小明通過隨機調查，統(tǒng)計了100名送外賣員的日送單數(shù)，并繪制成如下頻率分布直方圖(如圖7-3).圖7-2圖7-3

(1)分別求出“銷售員”的日薪y(tǒng)1(單位：元)與銷售件數(shù)x1

的函數(shù)關系式、“送外賣員”的日薪y(tǒng)2(單位：元)與所送單數(shù)x2的函數(shù)關系式；

(2)若將頻率視為概率，根據統(tǒng)計圖，試分別估計“銷售員”的日薪X1

和“送外賣員”的日薪X2(同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表)的均值，分析小明選擇哪種工作比較合適，并說明你的理由.銷售量/件34567頻率0.050.20.250.40.1X1110130150180210P0.050.20.250.40.1(2)由柱狀圖知，日平均銷售量滿足如下表格：所以X1

的分布列為所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元).單數(shù)/單1030507090頻率0.050.250.450.20.05X230100185275365P0.050.250.450.20.05由頻率分布直方圖可知，日送單數(shù)滿足如下表格：所以X2

的分布列為所以E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元).由以上計算得E(X2)＞E(X1)，做“送外賣員”掙的更多，故小明選擇做“送外賣員”的工作比較合適.題型二概率與統(tǒng)計案例的綜合應用

[例2](2022年蘇州市模擬)為落實“十三五”規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設備的使用壽命進行調查統(tǒng)計，隨機抽取A型和B型設備各100臺，分別得到如圖7-4和圖7-5所示的頻率分布直方圖：圖7-4圖7-5型號超過2500小時不超過2500小時合計A型B型合計(1)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表：根據上面的列聯(lián)表，依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關？

(2)用分層隨機抽樣的方法從不超過2500小時的A型和B型設備中抽取8臺，再從這8臺設備中隨機抽取3臺，其中A型設備為X臺，求X的分布列和均值；

(3)已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設備同時工作2500小時才能完成，工作期間設備損壞立即更換同型號設備(更換設備時間忽略不計)，A型和B型設備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度.只考慮設備的成本和電費，你認為應選擇哪種型號的設備，請說明理由.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828參考數(shù)據：型號超過2500小時不超過2500小時合計A型7030100B型5050100合計12080200

解：(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70(臺)，則A型不超過2500小時的有30臺，同理，B型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50(臺)，則B型不超過2500小時的有50臺.列聯(lián)表如下：零假設為H0：使用壽命是否超過2500小時與型號無關，根據列聯(lián)表中的數(shù)據，經計算得到χ2＝200×(70×50－30×50)2

≈8.333＞6.635＝x0.010， 100×100×120×80

所以依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0

不成立，即認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關.

(2)由(1)和分層隨機抽樣的定義可知A型設備有3臺，B型設備有5臺，

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，(3)由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知：A型設備每臺更換的概率為0.3，所以10臺A型設備估計要更換3臺；B型設備每臺更換的概率為0.5，所以10臺B型設備估計要更換5臺，選擇A型設備的總費用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10-4＝16.75(萬元)，選擇B型設備的總費用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10-4＝20.25(萬元)，y1<y2，所以選擇A型設備.

【反思感悟】高考常將獨立性檢驗與分布列等交匯在一起進行考查，由頻率分布直方圖解決相關問題，解題的關鍵是正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計算出各組數(shù)據.第x度ycm0479111213【互動探究】2.(2022年瓊山區(qū)校級月考)設某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得的一些數(shù)據如下表所示：作出這組數(shù)據的散點圖發(fā)現(xiàn)：y(cm)與x(天)之間近似滿足關系(2)試借助一元線性回歸模型，根據所給數(shù)據，求出y關于x的經驗回歸方程.題型三均值與方差在決策中的應用

[例3]某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件做檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有新產品做檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產品為不合格品相互獨立.(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；

(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.①若不對該箱余下的產品做出檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求E(X)；②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品做檢驗？解：(1)20件產品中恰有2件不合格品的概率為令f′(p)＝0，得p＝0.1.當p∈(0，0.1)時，f′(p)>0；當p∈(0.1，1)時，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1，①令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，則E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×18＝490.②如果對余下的產品做檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于490>400，故應該對余下的產品做檢驗.消費次數(shù)第1次第2次第3次不少于4次收費比例10.950.900.85【互動探究】

3.某嬰幼兒游泳館為了吸引顧客，推出優(yōu)惠活動，即對首次消費的顧客按80元收費，并注冊成為會員，對會員消費的不同次數(shù)給予相應的優(yōu)惠，標準如下：消費次數(shù)1次2次3次不少于4次頻數(shù)6025105該游泳館從注冊的會員中，隨機抽取了100位會員統(tǒng)計他們的消費次數(shù)，得到數(shù)據如下：假設每位顧客游泳1次，游泳館的成本為30元.根據所給數(shù)據，回答下列問題：(1)估計該游泳館1位會員至少消費2次的概率；(2)某會員消費4次，求這4次消費中，游泳館獲得的平均利潤；

(3)假設每個會員最多消費4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，從該游泳館的會員中隨機抽取2位，記游泳館從這2位會員的消費中獲得的平均利潤之差的絕對值為X，求X的分布列和均值E(X).

解：(1)25＋10＋5＝40，即隨機抽取的100位會員中，至少消費2次的會員有40位，所以估計該游泳館1位會員