2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：10 導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類(lèi)：不等式證明歸類(lèi)（2）（原卷版）

10導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類(lèi)：不等式證明歸類(lèi)（2）【題型一】不等式證明6:凹凸翻轉(zhuǎn)型【典例分析】已知，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對(duì)一切，都有成立.【提分秘籍】基本規(guī)律類(lèi)型特征：特殊技巧；分開(kāi)為兩個(gè)函數(shù)，各自研究，甚至用上放縮法?！咀兪窖菥殹?.已知．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：對(duì)一切，都有成立．2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：.【題型二】不等式證明7：三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式【典例分析】已知函數(shù)，，．（1）若在上單調(diào)遞增，求a的最大值；（2）當(dāng)a?。?）中所求的最大值時(shí)，討論在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明．【提分秘籍】基本規(guī)律1.證明思路和普通不等式一樣。2.充分利用正余弦的有界性【變式演練】1.設(shè)函數(shù).（1）求的極值點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù).證明：.2.已知函數(shù)（1）若，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且．【題型三】不等式證明8：極值點(diǎn)偏移之不含參型【典例分析】.已知函數(shù)．（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.求出函數(shù)的極值點(diǎn)；2.構(gòu)造一元差函數(shù)；3.確定函數(shù)的單調(diào)性；4.結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系【變式演練】1.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若，且的極值在處取得，證明：.2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，試證明：.【題型四】不等式證明9：極值點(diǎn)偏移之含參型【典例分析】已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；2.以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).【變式演練】1..已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.2.已知函數(shù).（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，證明：①；②.【題型五】不等式證明10：三個(gè)“極值點(diǎn)（零點(diǎn)）”不等式【典例分析】已知函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的3個(gè)極值點(diǎn)分別為，，，求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以通過(guò)代換消去一個(gè)極值點(diǎn)。2.一些函數(shù)也可以求出具體的極值點(diǎn)3.通過(guò)分類(lèi)討論可以“鎖定”一個(gè)的取值范圍，適當(dāng)放縮?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.2.已知函數(shù)f(x)=e（1）若a=0，討論f(x)的單調(diào)性．（2）若f(x)有三個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，①求a的取值范圍；②求證：x1【題型六】不等式證明11：比值代換（整體代換等）【典例分析】已知函數(shù)（為常數(shù)，且）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.兩個(gè)極值點(diǎn)（或者零點(diǎn)），可代入得到兩個(gè)“對(duì)稱(chēng)”方程2.適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，可?gòu)造出“比值”型整體變量?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）當(dāng)時(shí)，證明：.2.和是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：.【題型七】不等式證明11：非對(duì)稱(chēng)型（零點(diǎn)x1與x2系數(shù)不一致）【典例分析】已知，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，是的極值點(diǎn)，求證：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以借助“比值”等代換方式引入?yún)?shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量。2.可以利用“極值點(diǎn)”偏移構(gòu)造新函數(shù)證明?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，證明．2.已知函數(shù)既有極大值，又有極小值.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）記為函數(shù)的極小值點(diǎn)，實(shí)數(shù)且，證明：.【題型八】不等式證明12：韋達(dá)定理型【典例分析】已知函數(shù)．（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.題干條件大多數(shù)是與函數(shù)額極值x1，x2有關(guān)。2.利用韋達(dá)定理代換：可以消去x1，x2留下參數(shù)【變式演練】1.已知函數(shù)，在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求證:2.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：當(dāng)，，，．【題型九】不等式證明13：利用第一問(wèn)【典例分析】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若正數(shù)m，n滿(mǎn)足，求證．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以利用第一問(wèn)單調(diào)性提煉出不等式2.可以利用第一問(wèn)極值或者最值提煉出常數(shù)不等式3.可以利用題干和第一問(wèn)結(jié)論構(gòu)造新函數(shù)（新不等式）【變式演練】1.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.2..已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）證明：.【題型十】不等式證明14：含ex和lnx型【典例分析】已知函數(shù)．（1）若是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.因?yàn)楹衑x和lnx這類(lèi)超越函數(shù)，，可以借助“不確定根”（隱零點(diǎn)）代換放縮證明2.利用lnx求導(dǎo)為1/x，ex求導(dǎo)無(wú)限循環(huán)特性，把lnx獨(dú)立分離出，降低導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)尋找的計(jì)算難度。3.可以利用“同構(gòu)”技巧【變式演練】1.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，.2.已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.【題型十一】不等式證明15：先放縮再證明【典例分析】設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律放縮構(gòu)造法：1.根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；2.利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；【變式演練】1.已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求a的值；（2）若，證明：.2.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：．【題型十二】不等式證明16.：切線(xiàn)放縮證明兩根差型（剪刀模型）【典例分析】已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)為，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（3）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律本專(zhuān)題又稱(chēng)之為“剪刀模型”，可以如下圖理解（其中一種思維）【變式演練】1.已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證：.2.已知函數(shù).（1）設(shè)曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為，求證：；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.【題型十三】不等式證明17：條件不等式證明【典例分析】已知函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），且，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以利用“對(duì)稱(chēng)性”構(gòu)造方程同解變形2.一些題型的證法，實(shí)質(zhì)是類(lèi)似于“極值點(diǎn)偏移”【變式演練】1.已知.（1）證明：是上的增函數(shù)，（2）若，且，證明：.2.已知函數(shù).（1）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）設(shè)m，n為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【題型十四】綜合證明：x1與x2型【典例分析】已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若