2024年高考數(shù)學復習：10 導數(shù)壓軸大題歸類：不等式證明歸類（2）（原卷版）

10導數(shù)壓軸大題歸類：不等式證明歸類（2）【題型一】不等式證明6:凹凸翻轉型【典例分析】已知，.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）對一切，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對一切，都有成立.【提分秘籍】基本規(guī)律類型特征：特殊技巧；分開為兩個函數(shù)，各自研究，甚至用上放縮法?！咀兪窖菥殹?.已知．（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：對一切，都有成立．2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：.【題型二】不等式證明7：三角函數(shù)與導數(shù)不等式【典例分析】已知函數(shù)，，．（1）若在上單調遞增，求a的最大值；（2）當a?。?）中所求的最大值時，討論在R上的零點個數(shù)，并證明．【提分秘籍】基本規(guī)律1.證明思路和普通不等式一樣。2.充分利用正余弦的有界性【變式演練】1.設函數(shù).（1）求的極值點；（2）設函數(shù).證明：.2.已知函數(shù)（1）若，成立，求實數(shù)的取值范圍;（2）證明：有且只有一個零點，且．【題型三】不等式證明8：極值點偏移之不含參型【典例分析】.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.求出函數(shù)的極值點；2.構造一元差函數(shù)；3.確定函數(shù)的單調性；4.結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系【變式演練】1.已知函數(shù).（1）當時，判斷在區(qū)間上的單調性；（2）當時，若，且的極值在處取得，證明：.2.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，設函數(shù)的兩個零點為，，試證明：.【題型四】不等式證明9：極值點偏移之含參型【典例分析】已知函數(shù)的兩個零點為．（1）求實數(shù)m的取值范圍；求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.消去參數(shù)，從而轉化成不含參數(shù)的問題去解決；2.以參數(shù)為媒介，構造出一個變元的新的函數(shù).【變式演練】1..已知函數(shù).（1）設函數(shù)，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：；（3）設函數(shù)的兩個零點、，求證：.2.已知函數(shù).（1）若f（1）=2，求a的值；（2）若存在兩個不相等的正實數(shù)，滿足，證明：①；②.【題型五】不等式證明10：三個“極值點（零點）”不等式【典例分析】已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當時，若函數(shù)的3個極值點分別為，，，求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以通過代換消去一個極值點。2.一些函數(shù)也可以求出具體的極值點3.通過分類討論可以“鎖定”一個的取值范圍，適當放縮。【變式演練】1.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線斜率為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有3個不同的零點，，，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.2.已知函數(shù)f(x)=e（1）若a=0，討論f(x)的單調性．（2）若f(x)有三個極值點x1，x2，①求a的取值范圍；②求證：x1【題型六】不等式證明11：比值代換（整體代換等）【典例分析】已知函數(shù)（為常數(shù)，且）.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，若有兩個極值點，，證明：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.兩個極值點（或者零點），可代入得到兩個“對稱”方程2.適當?shù)暮愕茸冃?，可構造出“比值”型整體變量?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)在定義域內有兩個不同的極值點，.（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）當時，證明：.2.和是關于的方程的兩個不同的實數(shù)根.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：.【題型七】不等式證明11：非對稱型（零點x1與x2系數(shù)不一致）【典例分析】已知，.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，是的極值點，求證：.【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以借助“比值”等代換方式引入?yún)?shù)，轉化為一個變量。2.可以利用“極值點”偏移構造新函數(shù)證明?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)零點的個數(shù)；（2）若函數(shù)恰有兩個零點，證明．2.已知函數(shù)既有極大值，又有極小值.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）記為函數(shù)的極小值點，實數(shù)且，證明：.【題型八】不等式證明12：韋達定理型【典例分析】已知函數(shù)．（1）若是定義域上的單調函數(shù)，求的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個極值點，，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.題干條件大多數(shù)是與函數(shù)額極值x1，x2有關。2.利用韋達定理代換：可以消去x1，x2留下參數(shù)【變式演練】1.已知函數(shù)，在定義域上有兩個極值點．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）求證:2.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：當，，，．【題型九】不等式證明13：利用第一問【典例分析】已知函數(shù)．（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）若正數(shù)m，n滿足，求證．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以利用第一問單調性提煉出不等式2.可以利用第一問極值或者最值提煉出常數(shù)不等式3.可以利用題干和第一問結論構造新函數(shù)（新不等式）【變式演練】1.設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，證明：.2..已知函數(shù).（1）若，討論的單調性；（2）證明：.【題型十】不等式證明14：含ex和lnx型【典例分析】已知函數(shù)．（1）若是的極值點，求，并討論的單調性；（2）當時，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.因為含有ex和lnx這類超越函數(shù)，，可以借助“不確定根”（隱零點）代換放縮證明2.利用lnx求導為1/x，ex求導無限循環(huán)特性，把lnx獨立分離出，降低導函數(shù)零點尋找的計算難度。3.可以利用“同構”技巧【變式演練】1.已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）當時，證明：，.2.已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調性；（2）若，證明：.【題型十一】不等式證明15：先放縮再證明【典例分析】設函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律放縮構造法：1.根據(jù)已知條件適當放縮；2.利用常見放縮結論；【變式演練】1.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求a的值；（2）若，證明：.2.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：．【題型十二】不等式證明16.：切線放縮證明兩根差型（剪刀模型）【典例分析】已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）設曲線與軸正半軸的交點為，求曲線在點處的切線方程；（3）若方程為實數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律本專題又稱之為“剪刀模型”，可以如下圖理解（其中一種思維）【變式演練】1.已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調性；(II)設曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；(III)若關于的方程有兩個正實根，求證：.2.已知函數(shù).（1）設曲線在處的切線為，求證：；（2）若關于的方程有兩個實數(shù)根，，求證：.【題型十三】不等式證明17：條件不等式證明【典例分析】已知函數(shù)．（1）設函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調性；（2）若存在兩個極值點，（極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值），且，證明：．【提分秘籍】基本規(guī)律1.可以利用“對稱性”構造方程同解變形2.一些題型的證法，實質是類似于“極值點偏移”【變式演練】1.已知.（1）證明：是上的增函數(shù)，（2）若，且，證明：.2.已知函數(shù).（1）討論零點的個數(shù)；（2）設m，n為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【題型十四】綜合證明：x1與x2型【典例分析】已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調性；（2）若