專題03 正方形的性質(zhì)與判定（八大類型）（解析版）

專題03正方形的性質(zhì)與判定（八大類型）【題型1正方形的性質(zhì)】【題型2正方形的判定】【題型3矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】【題型4正方形中最小值問題】【題型5正方形-對(duì)角互模型】【題型6正方形-半角互模型】【題型7正方形-手拉手模型】【題型8正方形-十字架模型】【題型1正方形的性質(zhì)】1．（2023春?增城區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形ADE，則∠AEB度數(shù)為（）?A．10° B．15° C．22.5° D．30°【答案】B【解答】解：根據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)可知AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．故選：B．2．（2023春?鼓樓區(qū)期中）矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．鄰邊相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．對(duì)角線平分對(duì)角【答案】A【解答】解：A、矩形、正方形的對(duì)角線均相等且互相平分，故A選項(xiàng)符合題意；B、正方形的鄰邊相等，矩形的鄰邊不一定相等，故B選項(xiàng)不符合題意；C、正方形的對(duì)角線互相垂直，矩形的對(duì)角線不一定互相垂直，故C選項(xiàng)不符合題意；D、正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，矩形的對(duì)角線不一定平分對(duì)角，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．（2023春?張北縣校級(jí)期中）四邊形ABCD是正方形，E為CD．上一點(diǎn)，連接AE，過B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，則正方形ABCD的周長(zhǎng)為（）A． B． C．24 D．6【答案】C【解答】解：∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∵∠ABF＝30°，∴，∵AF2+BF2＝AB2，∴，∴AB＝6（負(fù)值舍去），∴正方形ABCD的周長(zhǎng)為4×6＝24．故選：C．4．（2023?官渡區(qū)校級(jí)模擬）用四根長(zhǎng)度相等的木條制作學(xué)具，先制作圖（1）所示的正方形ABCD，測(cè)得BD＝10cm，活動(dòng)學(xué)具成圖（2）所示的四邊形ABCD，測(cè)得∠A＝120°，則圖（2）中BD的長(zhǎng)是（）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【解答】解：∵圖（1）中正方形ABCD的對(duì)角線BD的長(zhǎng)為10cm，∴AB＝cm，如圖（2），連接AC，交BD于O，∵∠BAD＝120°，四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝cm，∴BO＝＝cm，∴BD＝2BO＝cm，故選：C．5．（2023?龍川縣一模）如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP，PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，連接AF，BC，設(shè)∠CBE＝x°，∠AFP＝y(tǒng)°，則y與x的關(guān)系為（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x【答案】D【解答】解：∵四邊形APCD和四邊形PBEF都是正方形，∴∠APE＝∠CPB＝∠EBP＝90°，AP＝PC，PF＝PB，∴∠CBE+CBP＝90°，在△APF和△CPB中，，∴△APF≌△CPB（SAS），∴∠AFP＝∠CBP，∵∠CBE＝x°，∠AFP＝y(tǒng)°，∴x+y＝90，∴y＝90﹣x．故選：D．6．（2023?巧家縣一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．2【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AE＝CE，∵F為線段BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB＝＝2（cm），故選：D．7．（2023?新華區(qū)模擬）一個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝（）A．α﹣45° B．α﹣90° C．270°﹣α D．180°﹣α【答案】D【解答】解：如圖，由題意可知，∠1＝∠3+90°，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α．故選：D．8．（2023春?蘇州期中）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE交對(duì)角線于點(diǎn)F，連接DF，若∠ABE＝35°，則∠CFD的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．75° D．45°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCF＝∠BAF＝45°，∵∠ABE＝35°，∴∠CFB＝∠ABE+∠BAF＝80°，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CFD＝∠CFB＝80°，故選：A．9．（2023?碑林區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，連接AP，EF，若AP＝5，則EF＝（）A．5 B．5 C．2.5 D．【答案】A【解答】證明：連接PC，在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠BCD＝∠PEC＝∠PFC＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴PC＝EF，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，BP＝BP，在△ABP與△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝CP，∴EF＝AP＝5．故選：A．10．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，有六根長(zhǎng)度相同的木條，小明先用四根木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖1所示菱形，測(cè)得∠B＝60°，對(duì)角線AC＝10cm，接著將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖2所示正方形，最后用剩下的兩根木條搭成了如圖3所示的圖形，連接BE，則圖3中△BCE的面積為（）A．cm2 B．50cm2 C．cm2 D．25cm2【答案】D【解答】解：圖1連接AC，∵菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵對(duì)角線AC＝10cm，∴BC＝10cm，∴CE＝BC＝10cm，圖3過點(diǎn)E作EH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵△DCE是等邊三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ECH＝30°，∴EH＝CE＝5cm，∴△BCE的面積＝＝＝25（cm2），故選：D．11．（2023春?天津期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是BC，AB上的點(diǎn)，連接DE，DF，EF，滿足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，則EF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，在EF上截取EG＝EC，連接DG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4＝．∴EF的長(zhǎng)為．故選：B．12．（2022春?漢陰縣期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正確；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；假設(shè)AO＝OE，∵AE⊥BF（已證），∴AB＝BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，這與正方形的邊長(zhǎng)AB＝BC相矛盾，所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯(cuò)誤；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF，故④正確；綜上所述，錯(cuò)誤的有③．故選：B．13．（2022春?新泰市期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OM、ON分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于點(diǎn)G．給出下列結(jié)論：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的；④DF2+CE2＝EF2.其中正確的為.（將正確的序號(hào)都填入）【答案】①②③．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正確；③由①全等可得四邊形CEOF的面積與△OCD面積相等，∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的，故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①②③，故選：①②③．14．（2022春?長(zhǎng)春期末）小明用四根長(zhǎng)度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為圖1所示菱形，并測(cè)得∠B＝60°，接著活動(dòng)學(xué)具成為圖2所示正方形，并測(cè)得正方形的對(duì)角線AC＝40cm，則圖1中對(duì)角線AC的長(zhǎng)為20cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖1，2中，連接AC．在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40，∴AB＝BC＝20，在圖1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝20，故答案為：20，【題型2正方形的判定】15．（2023春?黃埔區(qū)期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線相等的菱形是正方形 B．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 D．對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形【答案】D【解答】解：A、對(duì)角線相等的菱形是正方形，不符合題意；B、對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；D、對(duì)角線垂直平分且相等的四邊形是正方形，符合題意；故選：D．16．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，要使該矩形成為正方形，則應(yīng)添加的條件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°【答案】A【解答】解：要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理解答：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形．∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成為正方形．故選：A．17．（2022春?鐵嶺縣期中）小明在學(xué)習(xí)了正方形以后，給同桌小文出了道題：從下列四個(gè)條件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使平行四邊形ABCD為正方形．現(xiàn)有下列四種選法你認(rèn)為錯(cuò)誤的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：A．∵四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①AB＝BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)②∠ABC＝90°時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B．∵四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①AB＝BC時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)③AC＝BD時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)②∠ABC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)③AC＝BD時(shí)，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)②∠ABC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)④AC⊥BD時(shí)，矩形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．18．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，AE＝BF＝CM＝DN，則四邊形EFMN的形狀是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】D【解答】解：四邊形EFMN是正方形．證明：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四邊形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四邊形EFMN是正方形．故選：D．19．（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，則EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)不一定正確，符合題意．故選：D．20．（2023?萊西市一模）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AC＝EC．（1）求證：△BCD≌△CBE；（2）△ACE添加一個(gè)條件∠ACE＝90°，矩形ABCD為正方形．請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）∠ACE＝90°，理由見解析．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠CBE＝90°，∵AC＝EC，∴BD＝EC，∵BC＝CB，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）；（2）解：當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，矩形ABCD為正方形．∵∠ACE＝90°，AC＝EC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴∠ACB＝90°﹣∠CAE＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∴矩形ABCD為正方形．故答案為：∠ACE＝90°．21．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)（E與A，D不重合），G、F、H分別是BE、BC、CE的中點(diǎn)．連接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，說明：四邊形EGFH是正方形．【答案】見解析過程．【解答】證明：連接GH，∵G、F分別是BE、BC的中點(diǎn)，∴GF∥EC，同理FH∥BE，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵G、H分別是BE，CE的中點(diǎn)，∴GH∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥GH，又∵四邊形EGFH是平行四邊形，∴四邊形EGFH是菱形，∵BE⊥EC，∴菱形EGFH是正方形．22．（2022秋?皇姑區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的一條角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AEDF是菱形；（2）若∠B＝35°，當(dāng)∠C＝55度時(shí)，四邊形AEDF為正方形（直接填空）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（2）解：當(dāng)△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形，理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，由（1）知四邊形AEDF是菱形，∴四邊形AEDF是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）．∵∠B＝35°，∠BAC＝90°，∴∠C＝55°，故答案為：55．23．（2022秋?東港市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作CE∥AB，過點(diǎn)B作BE∥CD，CE，BE交于點(diǎn)E．（1）判斷四邊形CDBE是什么特殊的四邊形，并證明；（2）直接寫出當(dāng)△ABC再滿足什么條件時(shí)，四邊形CDBE是正方形．【答案】（1）四邊形CDBE是菱形，證明過程見解答；（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，四邊形CDBE是正方形；理由見解答．【解答】解：（1）四邊形CDBE是菱形，證明：∵BE∥CD，CE∥AB，∴四邊形BDCE是平行四邊形．∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，∴CD＝BD，∴平行四邊形BDCE是菱形；（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，四邊形CDBE是正方形；理由如下：∵∠ACB＝90°，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，∵D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴四邊形BECD是正方形．24．（2022春?隆陽區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC⊥BF于點(diǎn)C，且AC＝BC，連接AB，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，過點(diǎn)A作CE的垂線，垂足為E，已知點(diǎn)E到直線AC和CF的距離相等．求證：四邊形ADCE是正方形．【答案】見解析．【解答】證明：∵AC⊥BF，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，∴△ADC是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∵點(diǎn)E到直線AC和CF的距離相等，∴CE平分∠ACF，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝45°+45°＝90°，∵AE⊥CE，即∠AEC＝90°，∵∠ADC＝90°，∠DCE＝90°，∠AEC＝90°，AD＝DC，∴四邊形ADCE是正方形．25．（2021秋?平遠(yuǎn)縣期末）如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)AD，AB滿足什么條件時(shí)，四邊形MENF是正方形．【答案】（1）四邊形MENF是菱形．理由見解答．（2）當(dāng)AD＝2AB時(shí)，四邊形MENF是正方形．【解答】解：（1）四邊形MENF是菱形．理由如下：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點(diǎn)，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四邊形MENF是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M(jìn)為AD中點(diǎn)，∴AM＝DM，∴△ABM≌△DCM（SAS），∴BM＝CM，∵E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)，∴ME＝MF，∴平行四邊形MENF是菱形．（2）當(dāng)AD＝2AB時(shí)，四邊形MENF是正方形．∵四邊形MENF是正方形，則∠EMF＝90°，又∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM為等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，∴當(dāng)AD＝2AB時(shí)，四邊形MENF是正方形．【題型3正方形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】26．（2023春?任城區(qū)校級(jí)月考）如圖所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形CEDF為正方形；（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）4．【解答】（1）證明：過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，∵∠C＝90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴四邊形FCED是矩形，又∵∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，∴DF＝DE＝DN，∴矩形FCED是正方形；（2）解：∵AC＝12，BC＝16，∠C＝90°，∴AB＝＝20，∵四邊形CEDF為正方形，∴DF＝DE＝DN，∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，則EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，故．27．（2022春?南譙區(qū)校級(jí)月考）如圖1，四邊形ABCD為正方形，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，BE．（1）求證：BE＝DE；（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交邊BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，CG＝3，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）①證明過程見解答；②3．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）①證明：如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得矩形EMCN，∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，∴CE⊥CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9．∵CG＝3，∴CE＝6，連接EG，∴EG＝＝＝3，∴DE＝EG＝3．∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為3．28．（2022春?海陽市期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：矩形ABCD為正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面積為4，求四邊形BEGF的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）9．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，∵AE：EB＝2：1，設(shè)AE＝2x，EB＝x，∴BF＝AE＝2x，AB＝3x，∴AF＝＝x，∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠B＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴△AEG的面積：△AFB的面積＝AE2：AF2＝4x2：13x2＝4：13，∵△AEG的面積為4，∴△AFB的面積為13，∴四邊形BEGF的面積＝13﹣4＝9．29．（2022春?關(guān)嶺縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，DF∥AC，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AFDE是正方形；（2）若AD＝3，求四邊形AFDE的面積．【答案】（1）見解析；（2）9．【解答】（1）證明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD．∴∠EDA＝∠EAD．∴AE＝DE．∴四邊形AFDE是菱形．∵∠BAC＝90°，∴四邊形AFDE是正方形．（2）解：∵四邊形AFDE是正方形，AD＝3，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝3．∴四邊形AFDE的面積為3×3＝9．30．（2022春?覃塘區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明過程見解析；（2）17．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF，∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又BE＝1，∠B＝90°，∴由勾股定理得，，∵四邊形ABCD是正方形，∴．31．（2022春?交口縣期末）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點(diǎn)K在BC上，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．（1）求證：AK＝AH；（2）求證：四邊形AKFH是正方形；（3）若四邊形AKFH的面積為10，CE＝1，求點(diǎn)A，E之間的距離．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）5．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG都是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF，∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB，在△ADH和△ABK中，，∴△ADH≌△ABK（SAS），∴AK＝AH；（2）證明：∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD＝∠BAK．∴∠HAK＝90°，同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，∴AH＝AK＝HF＝FK，∴四邊形AKFH是正方形；（3）解：∵四邊形AKFH的面積為10，∴KF＝，∵EF＝CE＝1，∴KE＝，∴AB＝KE＝3，∵BK＝EF＝1，∴BE＝BK+KE＝4，∴AE＝，故點(diǎn)A，E之間的距離為5．【題型4正方形中最小值問題】32.（2021春?龍口市期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，則EF的最小值為（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解答】解：連接BP，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四邊形PEBF為矩形，∴EF＝BP，當(dāng)BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根據(jù)勾股定理可解得BP＝3，∴EF得最小值為3．故選：B．33.（河西區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，則E′F即為所求，過F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，所以E′F＝＝．故選：C．34．（銅仁地區(qū)）以邊長(zhǎng)為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的最小值．【答案】【解答】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB，∵在△COA和△DOB中，∴△COA≌△DOB（ASA），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根據(jù)垂線段最短，OA⊥CD時(shí)，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD＝OF，∴CA＝DA，∴OA＝CF＝1，即AB＝，故答案為：．35．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為．【答案】﹣1【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接BT，GT，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．36．（2021秋?江漢區(qū)月考）已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．（1）如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）如圖3，連接BG，N為BG中點(diǎn)，若AB＝13，CE＝5，則MN的最大值為9．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME（2）結(jié)論仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM（3）9【解答】解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如圖1中，延長(zhǎng)EM交AD于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴∠ADE＝∠CEF＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如圖2中，延長(zhǎng)EM交DA的延長(zhǎng)線于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（3）如圖3，連接BF，取BF的中點(diǎn)H，連接HM，HN，則MN≤HM+HN，∴當(dāng)M、N、H三點(diǎn)共線時(shí)，MN有最大值，∵M(jìn)、N、H分別是AF、BG、BF的中點(diǎn)，AB＝13，CE＝5，∴MH＝AB＝，NH＝FG＝CE＝，∴HM+HN＝9，∴MN≤9，∴當(dāng)M、N、H三點(diǎn)共線時(shí)，MN有最大值9，故答案為：9．【題型5正方形-對(duì)角互模型】37.（2021秋?錦江區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的正方形OEGF的兩邊OE，OF分別交正方形ABCD的兩邊AB，BC于點(diǎn)M，N，記△AOM的面積為S1，△CON的面積為S2，若正方形的邊長(zhǎng)AB＝10，S1＝16，則S2的大小為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM與△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，故選：D．38.（2021?重慶）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四邊形MOND的面積是1，四邊形MOND的面積＝△DOM的面積+△DON的面積，∴四邊形MOND的面積＝△CON的面積+△DON的面積＝△DOC的面積，∴△DOC的面積是1，∴正方形ABCD的面積是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故選：C．39．（2022春?龍勝縣期中）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150°，則兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（）A．不變 B．先增大再減小 C．先減小再增大 D．不斷增大【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是兩個(gè)邊長(zhǎng)相等正方形，∴∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，即∠BOM＝∠CON，∵在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON，∴兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積是S△COM+S△CNO＝S△COM+S△BOM＝S△BOC＝S正方形ABCD，即不管怎樣移動(dòng)，陰影部分的面積都等于S正方形ABCD，故選：A．40．（2021春?正陽縣期中）將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1、A2、…An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則2021個(gè)正方形形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．505cm2 C．cm2 D．（）2021cm2【答案】B【解答】解：如圖，過正方形ABCD的中心O作OM⊥CD于M，作ON⊥BC于N，則∠EOM＝∠FON，OM＝ON，且∠EMO＝∠FNO＝90°，∴△OEM≌△OFN（ASA），則四邊形OECF的面積就等于正方形OMCN的面積，則OMCN的面積是1，∴陰影部分面積等于正方形面積的，即是，∴則2021個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和＝2020×＝505（cm2）．故選：B．41.（2020?呼倫貝爾）已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°．求證：CE＝DF．【答案】略【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF+∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），∴CE＝DF．42.（2021?深圳模擬）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，OF、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，連接MN．（1）求證：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，OE＝EM，求MN的長(zhǎng)．【答案】（1）略（2）MN＝OM＝3【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AD于點(diǎn)H，∵正方形的邊長(zhǎng)為6，∴OH＝HA＝3，∵E為OM的中點(diǎn)，∴HM＝6，則OM＝＝3，∴MN＝OM＝3．【題型6正方形-半角互模型】43．（1）如圖①，正方形ABCD①中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)C，使DG＝BE，連接EF、AG，求證：EF＝FG；（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M、N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△△FAG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝2，CN＝3，∴MN2＝22+32，∴MN＝．44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到（如圖1）時(shí)，求證：BM+DN＝MN；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，猜想線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)直接寫出你的猜想．（不需要證明）【解答】解：（1）猜想：BM+DN＝MN，證明如下：如圖1，在MB的延長(zhǎng)線上，截取BE＝DN，連接AE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．證明如下：如圖2，在DC上截取DF＝BM，連接AF，△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN45．把一個(gè)含45°的三角板的銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，然后把三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線CB、DC于點(diǎn)M、N．（1）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：MN＝BM+DN．（2）當(dāng)三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，試判斷線段MN、BM、DN之間具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)MB到H，使BH＝DN，連接AH，如圖（1），∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，在△ABH和△ADN中，，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴AH＝AN，∠HAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠HAB+∠BAM＝45°，∴∠HAM＝∠NAM，在△AMH和△AMN中，，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MH＝MN，即HB+MB＝MN，∴MN＝BM+DN；（2）解：MN＝DN﹣BM．理由如下：在DN上截取DH＝BM，如圖（2），與（1）一樣可證明△ADH≌△ABM，∴AH＝AM，∠DAH＝∠BAM，∵∠MAN＝45°，∴∠DAH+∠BAN＝45°，∴∠HAN＝45°，∴∠HAN＝∠NAM，在△ANH和△AMN中，，∴△ANH≌△AMN（SAS），∴NH＝MN，而DN＝DH+HN，∴BM+MN＝DN，即MN＝DN﹣BM．【題型7正方形-手拉手模型】46．如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．（1）求證：EB＝GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠EAG＝∠DAB＝90°，∵∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB＝GD；（2）解：BE⊥GD，理由如下：如圖，設(shè)DG與AE的交點(diǎn)為P，∵△GAD≌△EAB，∴∠AEB＝∠AGD，∵∠EPH＝∠APG，∴∠EHG＝∠EAG＝90°，∴EB⊥GD；（2）解：如圖2，連接BD，BD與AC交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝3，∴DB＝AB＝3，DO＝BO＝，∵AG＝，∴GO＝AO+AG＝，∴DG＝＝＝，∴BE＝DG＝．47.點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG，連接AF、BD．（1）如圖①，AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為，；（2）將正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°），①如圖②，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②若AC＝4，BC＝，當(dāng)正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，求DB的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為AF＝BD，AF⊥BD，理由如下：延長(zhǎng)AF交BD于H，如圖①所示：∵四邊形ACDE和四邊形BCFG是正方形，∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACF＝∠DCB＝90°，∴∠CAF+∠AFC＝90°，在△ACF和△DCB中，，∴△ACF≌△DCB（SAS），∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，∵∠DFH＝∠AFC，∴∠CDB+∠DFH＝∠CAF+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝90°，∴AF⊥BD；故答案為：AF＝BD，AF⊥BD；（2）①第（1）問的結(jié)論仍然成立，理由如下：設(shè)AF交CD于點(diǎn)M，如圖②所示：∵四邊形ACDE和四邊形BCFG是正方形，∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACD＝∠FCB＝90°，∴∠CAF+∠AMC＝90°，∴∠ACD+∠DCF＝∠FCB+∠DCF，即∠ACF＝∠BCD，在△ACF和△DCB中，，∴△ACF≌△DCB（SAS），∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，∵∠DMH＝∠AMC，∴∠CDB+∠DMH＝∠CAF+∠AMC＝90°，∴∠DHM＝90°，∴AF⊥BD；②分兩種情況：a、如圖③所示：連接CG交BF于O，∵四邊形BCFG是正方形，∴CB＝BG，BF⊥CG，∠BGF＝90°，OB＝OF＝OC＝OG，∴BF＝CG＝BC＝2，OB＝OF＝OC＝BF＝1，∴AO＝＝＝，∴AF＝AO+OF＝+1，由（2）得：AF＝DB，∴DB＝+1；b、如圖④所示：連接CG交BF于O，同上得：OB＝OF＝OC＝BF＝1，∴AO＝＝＝，AF＝AO﹣OF＝﹣1，由（2）得：AF＝DB，∴DB＝﹣1；綜上所述，當(dāng)正方形BCFG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，DB的長(zhǎng)度為+1或﹣1．【題型8正方形-十字架模型】48.（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，F(xiàn)是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AF，CF，并延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)E．若∠AFC＝140°，則∠DEC的度數(shù)為（）A．80° B．75° C．70° D．65°【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝ABC＝45°，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS）；∴∠AFB＝∠CFB，又∵∠AFC＝140°，∴∠CFB＝70°，∵∠DFC+∠CFB＝180°，∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°，∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC，∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°，故選：D49.（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在AD、CD上，且AE＝DF，若四邊形OEDF的面積是1，OA的長(zhǎng)為1，則正方形的邊長(zhǎng)AB為（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB