廣東省茂名市信宜市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡指定的位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答親標(biāo)號涂黑；如需改動，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共60分）一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，或，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用集合的交、補運算求集合即可.【詳解】由題設(shè)，又，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】命題“”的否定是“”.故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時，或，當(dāng)時，，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，；【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，所以故選：A5.下列各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別判斷四個答案中與的定義域是否相同，并比較化簡后的解析式是否一致，即可得到答案.【詳解】對于選項A：的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于選項B：的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于選項C：的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)；對于選項D：，的定義域均為，對應(yīng)法則相同，故兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；故選：D.【點睛】本題主要考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).屬于容易題.6.我國古代某數(shù)學(xué)著作中記載：“今有宛田，下周四步，徑四步，問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形田，弧長4步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（）A.8平方步 B.6平方步 C.4平方步 D.16平方步【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式計算作答.【詳解】依題意，扇形的田的弧長4步，其所在圓的半徑是2步，所以這塊田的面積是（平方步）.故選：C7.設(shè)，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，而，所以.故選：B8.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可排除A，C，根據(jù)當(dāng)時，即可排除B．得出答案.【詳解】因為，所以，所以為奇函數(shù)，故排除A，C．當(dāng)時，，，則，故排除B，故選:D．【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多個項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)，的單調(diào)性及特殊值法，即可判斷選項的正誤.詳解】A：由不等式性質(zhì)：不等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，不等式符號不變，即，正確；B：因為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，由題意知，故有，正確；C：當(dāng)時，，故錯誤；D：當(dāng)時，，故錯誤；故選：AB.10.下列說法正確的是（）A.若冪函數(shù)過點，則B.函數(shù)表示冪函數(shù)C.若表示遞增的冪函數(shù)，則D.冪函數(shù)的圖像都過點，【答案】AC【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義、性質(zhì)，逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，設(shè)，則，即，解得，，A正確；對于B，函數(shù)不是冪函數(shù)，B錯誤；對于C，是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，是R上的增函數(shù)，符合題意，因此，C正確；對于D，冪函數(shù)不過點，D錯誤.故選：AC11.關(guān)于函數(shù)，下列選項錯誤的有（）A.函數(shù)最小正周期為 B.表達式可寫成C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.的圖像關(guān)于直線對稱【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可判斷A；根據(jù)誘導(dǎo)公式即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)最小正周期為，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，得，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：BC.12.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】計算得出判斷選項A不正確；用函數(shù)的奇偶性定義，可證是奇函數(shù)，選項B正確；通過分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，判斷選項C正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，選項D不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；，，，，，D錯誤.故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是一道以數(shù)學(xué)文化為背景，判斷函數(shù)性質(zhì)的習(xí)題，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)，然后才會對函數(shù)變形，并作出判斷.第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則________．【答案】##【解析】【分析】判斷并計算，再判斷計算作答.【詳解】函數(shù)，則，所以.故答案為：14.若角的終邊經(jīng)過點，且，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，解得（舍去），所以.故答案為：.15.已知，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計算作答.【詳解】由于，所以.故答案為：16.寫出一個最小正周期為2的偶函數(shù)______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由余弦型函數(shù)的性質(zhì)以及周期公式即可求解.【詳解】由余弦型函數(shù)的周期公式可知，故符合條件的函數(shù)可以為：.故答案為：四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.計算以下式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18.已知關(guān)于的不等式，．（1）若，則求上述不等式的解集；（2）若上述不等式對一切恒成立，則求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）代入?yún)?shù)，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在上恒成立，討論、，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求的范圍．【詳解】（1）將代入不等式，得：，即，得，∴不等式的解集為；（2）恒成立，1）當(dāng)時，有，顯然不恒成立，舍去；2）當(dāng)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：，解得；∴綜上，有.19.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想求解即可.【小問1詳解】令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；【小問2詳解】當(dāng)時，，則，所以的值域為．20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．【答案】（1）；（2）具體見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求出時的函數(shù)解析式即可.（2）對參數(shù)分類討論，借助數(shù)形結(jié)合的方法求得結(jié)果.【詳解】解：（1）由圖可知，解得．設(shè)，則，∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，∴，∴．∴．（2）作出函數(shù)的圖象如圖所示：．由圖可知，當(dāng)時，關(guān)于x的方程的根的個數(shù)為0；當(dāng)或時，關(guān)于x的方程的根的個數(shù)為2；當(dāng)時，關(guān)于x的方程的根的個數(shù)為4；當(dāng)時，關(guān)于x的方程的根的個數(shù)為3．【點睛】方法點睛：借助數(shù)形結(jié)合來解決函數(shù)交點問題.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到角的終邊，記角的終邊與單位圓的交點為．（1）若，求點的坐標(biāo)；（2）若，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角函數(shù)定義，根據(jù)題中條件，用表示出，，，，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求出點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，，得到，，即可求出正切.【小問1詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，所以，．因為角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到角的終邊，所以，因為角的終邊與單位圓的交點為O，，，且，所以，所以點的坐標(biāo)為【小問2詳解】因為，，，所以，，即，