2021年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學一模試卷

2021年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：（本大題共6小題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）如果兩個相似三角形對應邊之比是1：4,那么它們的對應中線之比是

（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

2.（4分）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,則sinA的值為（）

3.（4分）如圖，點D、E分別在AB、AC上，以下能推得DE〃BC的條件是（）

A

A.AD：AB=DE：BCB.AD：DB=DE：BCC.AD：DB=AE：ECD.AE：AC=AD：DB

4.（4分）已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象如圖所示，則a、b、c滿足（）

—

A.aVO,b<0,c>0B.a<0,b<0,c<0C.a<0,b>0,c>0D.a>

0,bVO,c>0

5.（4分）如圖，RtAABC中，ZACB=90°,CD_LAB于點D,下列結論中錯誤的

是（）

C

Ztx

ADB

A.AC2=AD?ABB.CD2=CA*CBC.CD2=AD?DBD.BC2=BD?BA

6.（4分）下列命題是真命題的是（）

A.有一個角相等的兩個等腰三角形相似

B.兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似

C.四個內(nèi)角都對應相等的兩個四邊形相似

D.斜邊和一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似

二、填空題（本大題共12小題，每題4分，滿分48分）7.已知，那么.

7.（4分）已知三，■,那么/_=.

y3x+y

8.（4分）計算:2a-3（la+b）=.

3

9.（4分）上海與杭州的實際距離約200千米，在比例尺為1：5000000的地圖

上，上海與杭州的圖上距離約一厘米.

10.（4分）某滑雪運動員沿著坡比為1：遮的斜坡向下滑行了100米，則運動

員下降的垂直高度為一米.

11.（4分）將拋物線丫=（x+1）2向下平移2個單位，得到新拋物線的函數(shù)解析

式是—.

12.（4分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=2,若此拋物

線與x軸的一個交點為（6,0）,則拋物線與x軸的另一個交點坐標是.

13.（4分）已知AD是AABC的中線，點G是^ABC的重心，AD=a，那么用向

量a表示向GA為.

14.（4分）如圖，在aABC中，AC=6,BC=9,D是aABC的邊BC上的點，且N

CAD=ZB,那么CD的長是.

15.（4分）如圖，直線AAi〃BBi〃CJ,如果延=L，AAi=2,CCi=6,那么線段

BC~3

16.（4分）如圖是小明在建筑物AB上用激光儀測量另一建筑物CD高度的示意

圖，在地面點P處水平放置一平面鏡，一束激光從點A射出經(jīng)平面鏡上的點P

反射后剛好射到建筑物CD的頂端C處，已知AB±BD,CD1BD,且測得AB=15

米，BP=20米，PD=32米，&P、D在一條直線上，那么建筑物CD的高度是米.

17.（4分）若拋物線y=ax2+c與x軸交于點A（m,0）,B（n,0）,與y軸交于

點C（0,c）,則稱^ABC為"拋物三角形特別地，當mncVO時，稱^ABC為

"倒拋物三角形"時，a、c應分別滿足條件—.

18.（4分）在aABC中，AB=5,AC=4,BC=3,D是邊AB上的一點，E是邊AC

上的一點（D,E均與端點不重合），如果4CDE與△ABC相似，那么CE=

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分）

19.（10分）計算：V2sin45°+6tan30--2cos30°.

20.（10分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的變量x與變量y的部分對應值如下表:

X-3-2-1015

y70-5-8-97

（1）求此二次函數(shù)的解析式;

（2）寫出拋物線頂點坐標和對稱軸.

21.（10分）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,點E是邊AD的中點，連結BE并延

長交CD的延長線于點F,交AC于點G.

（1）若典?」，求線段DC的長;

BC3

（2）求證：EF?GB=BF?GE.

22.（10分）如圖，I為一條東西方向的筆直公路，一輛小汽車XRS在這段限速

為80千米/小時的公路上由西向東勻速行駛，依次經(jīng)過點A、B、C,P是一個觀

測點，PC±I,PC=60米9，NBPC=45°,測得該車從點A行駛到點B

3

所用時間為1秒.

（1）求A、B兩點間的距離；

（2）試說明該車是否超過限速.

23.（12分）如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE_LBC交AB于點E,AD=AC,

EC交AD于點F.

(1)求證：△ABCS/XFCD；

(2)求證:FC=3EF.

BDC

24.（12分）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a>0）與x軸交于A（-3,0）、B兩點

（A在B的左側），與y軸交于點C（0,-3）,拋物線的頂點為M.

（1）求a、c的值；

（2）求tanZMAC的值；

（3）若點P是線段AC上一個動點，聯(lián)結OP.問：是否存在點P,使得以點0、

C、P為頂點的三角形與AABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請

說明理由.

25.（14分）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點

（與點A、D不重合），ZEBM=45°,BE交對角線AC于點F,BM交對角線AC于

點G,交CD于點M.

（1）如圖1,聯(lián)結BD,求證：△DEBs4CGB,并寫出DE：CG的值；

（2）聯(lián)結EG,如圖2,若設AE=x,EG=y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函

數(shù)的定義域；

（3）當M為邊DC的二等分點時，求S"GF的面積.

2016年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6小題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如果兩個相似三角形對應邊之比是1：4,那么

它們的對應中線之比是（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

【分析】利用相似三角形的相似比，對應高、中線、角平分線的比，都等于相似

比來解答.

【解答】解：???兩個相似三角形對應邊之比是1：4,

又?.?相似三角形的對應高、中線、角平分線的比等于相似比，

...它們的對應中線之比為1：

4.故選B.

【點評】本題考查相似三角形的相似比問題，須熟練掌握：①相似三角形的對應

高、角平分線、中線的比等于相似比；

②相似三角形的周長比等于相似比；③相似三角形的面積比等于相似比的平方.

2.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）在RtZkABC中,ZC=90°,AB=5,BC=4,則sinA

的值為（）

A.aB.旦C.AD.A

4553

【分析】根據(jù)正弦的定義解得即可.

【解答】解：?.?/C=90°,AB=5,BC=4,

.,.sinA=-^=-l,

AB5

故選：C.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為

對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

3.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，點D、E分別在AB、AC上，以下能推

得DE〃BC的條件是（）

A.AD：AB=DE：BCB.AD：DB=DE：BCC.AD：DB=AE：ECD.AE：AC=AD：DB

【分析】根據(jù)平行線的判定定理進行判斷即可.

【解答】解：:AD：DB=AE：EC,

，DE〃BC,

故選：C.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確根據(jù)平行線的判定定理證

明平行線是解題的關鍵.

4.（4分）（2004?濰坊）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則a、b、c

滿足（）

A.a<0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c<0C.a<0,b>0,c>0D.a>

0,b<0,c>0

【分析】由于開口向下可以判斷a<0,由與y軸交于正半軸得到c>0,又由于

對稱軸且V0,可以得到bVO,所以可以找到結果.

2a

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，

?.?開口向下，

?.?與y軸交于正半軸,

，c>0,

又???對稱軸區(qū)VO,

2a

.,.b<0,

所以A正

確.故選A.

【點評】考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定.

5.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，Rt^ABC中，NACB=90。，CD^AB于點

D,下列結論中錯誤的是（）

A.AC2=AD?ABB.CD2=CA?CBC.CD2=AD?DBD.BC2=BD*BA

【分析】直接根據(jù)射影定理對各選項進行判斷.

【解答】解：VZACB=90°,CDLAB于點D,

，AC2=AD?AB,CD2=DA?DB,BC2=BD?BA.

故選B.

【點評】本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上

射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中

項.

6.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）下列命題是真命題的是（）

A.有一個角相等的兩個等腰三角形相似

B.兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似

C.四個內(nèi)角都對應相等的兩個四邊形相似

D.斜邊和一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似

【分析】根據(jù)相等的角可能為頂角或底角可對A進行判斷；根據(jù)相似三角形的判

定方法對B、D進行判斷；利用矩形和正方形不相似可對C進行判斷.

【解答】解：A、有一個頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似，所以A選

項錯誤；

B、兩邊對應成比例且它們的夾角相等的兩個三角形相似，所以B選項錯誤；

C、四個內(nèi)角都對應相等的兩個四邊形不一定相似，所以C選項錯誤；

D、斜邊和一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似，所以D選項正

確.故選D.

【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都

是由題設和結論兩部分組成，題設是己知事項，結論是由已知事項推出的事項，

一個命題可以寫成“如果…那么，’形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣

的真命題叫做定理.

二、填空題（本大題共12小題，每題4分，滿分48分）7.已知，那么.

7.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知三衛(wèi)，那么/二二.

y3x+y-A

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)及合比定理解答.

【解答】解三二的兩個內(nèi)項是y、1，兩個外項是x、3,

y3

???工二3，

x

根據(jù)合比定理，曲=上電=4；

x1

又,上式的兩個內(nèi)項是x和4,兩個外項是x+y和1,

???,x”1.

x+y-4

故答案為工.

4

【點評】本題主要考查了比例的性質(zhì)：在比例式中，兩個內(nèi)項之積等于兩個外項

之積.

8.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）計算：2a-3（―a+b）=a-3卜＞.

3

【分析】直接利用平面向量的加減運算法則求解即可求得答案.

-__

【解答】解a-3（Xab）=2aa3b=a3

3

b.故答案為a-3b.

【點評】此題考查了平面向量的知識.注意去括號時符號的變化.

9.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）上海與杭州的實際距離約200千米，在比例尺

為1：5000000的地圖上，上海與杭州的圖上距離約4厘米.

【分析】設上海與杭州的圖上距離為x厘米，根據(jù)比例尺的意義列出方程X：

20000000=1：5000000,解方程即可.

【解答】解：設上海與杭州的圖上距離為x厘米.

200千米=20000000厘米，

X：20000000=1：5000000,

解得

x=4.故答案

為4.

【點評】本題考查了比例線段，掌握比例尺的定義是解題的關鍵.注意單位要統(tǒng)

10.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）某滑雪運動員沿著坡比為1：遮的斜坡向下

滑行了loo米，則運動員下降的垂直高度為米.

【分析】設出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：設垂直高度下降了X米，則水平前進后

米.根據(jù)勾股定理可得：x2+（V5＜）2=1002.

解得：x=50,

即它距離地面的垂直高度下降了50

米.故答案為：50.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，此題的關鍵是用同一未知數(shù)表示出下

降高度和水平前進距離.

11.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）將拋物線丫=（x+1）2向下平移2個單位，得

到新拋物線的函數(shù)解析式是y=（x+l）2-2.

【分析】先由二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=（x+l）2的頂點坐標為（-1,0）,

再根據(jù)點平移的規(guī)律，點（-1，0）平移后所得對應點的坐標為（-1,-2）,

然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線的解析式.

【解答】解：拋物線y=（x+1）2的頂點坐標為（-1,0）,把（-1,0）向下平

移2個單位所得對應點的坐標為（-1,-2）,所以平移后的拋物線的解析式是

y=（x+1）2-2.

故答案為y=（x+1）2-2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，

故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線

上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐

標，即可求出解析式.

12.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象如圖所示，對稱

軸為直線x=2,若此拋物線與x軸的一個交點為（6,0）,則拋物線與x軸的另一

個交點坐標是（-2,0）.

【分析】求出點（6,0）關于x=2的對稱點即可.

【解答】解（6,0）關于x=2的對稱點是（-2,

0）.故答案是（-2,0）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的兩個交點關于對稱

軸對稱是關鍵.

13.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）已知AD是aABC的中線，點G是aABC的重

心標二，那么用向W表示向點為2;.

一3a

【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，直接求

得向量的值.

【解答】解：???三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍

AGA=-21

3

.,.用向量;表示向量砒吟J

3

【點評】考查了三角形的重心的性質(zhì).注意要求的向量和已知的向量方向相反.

14.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在^ABC中，AC=6,BC=9,D^AABC

的邊BC上的點，且NCAD=NB,那么CD的長是4.

【分析】由NC=/C,ZCAD=ZB,根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，可得△

ACD-ABCA,又由相似三角形的對應邊成比例，易求得CD的長.

【解答】解：,.,NC=NC,NCAD=NB,

.'.△ACD^ABCA,

?AC=CD

**BCAC"

即2=型，

96

ACD的長是

4.故答案為：

4.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).注意有兩角對應相等的三角形相

似，相似三角形的對應邊成比例.

15.（4分）（2016?河南模擬）如圖，直線AAi〃BBi〃CCi，如果坐工，AAi=2,

BC3

CCi=6,那么線段BBi的長是3

【分析】過Ai作AE〃AC,交BBi于D,交CJ于E,得出四邊形ABDAi和四邊形

BCED是平行四邊形，求出AAi=BD=CE=2,EJ=6-2=4,運叫二L,根據(jù)BBi

BCDE3

〃CC1得出叫_=叫_,代入求出DB1=1即可.

EAjEg

【解答】解：如圖:

過Ai作AE〃AC,

.,直線AAi〃BBi〃CCi，

?.四邊形ABDAi和四邊形BCED是平行四邊形,

\AAi=2,CCi=6,

,.AAi=BD=CE=2,ECi=6-2=4,迪

BCDE3

\VBB1//CC1，

.DAjDB1

，'EA7~EC7,

A1=DB1,

1+34

，DBi=l,

BBi=2+l=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，能根據(jù)定理得出比例式是

解此題的關鍵.

16.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖是小明在建筑物AB上用激光儀測量另一

建筑物CD高度的示意圖，在地面點P處水平放置一平面鏡，一束激光從點A射

出經(jīng)平面鏡上的點P反射后剛好射到建筑物CD的頂端C處，已知AB±BD,CD

±BD,且測得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一條直線上，那么建

筑物CD的高度是24米.

【分析】由已知得△ABPsaCDP,則根據(jù)相似形的性質(zhì)可得空=更，解答即可.

DCDP

【解答】解：由題意知：光線AP與光線PC,ZAPB=ZCPD,

貝URtAABP^RtACDP,

故里=空，

DCDP

解得：CD=1^31.二24

20

(米).故答案為：24.

【點評】本題考查了平面鏡反射和相似三角形的應用，根據(jù)題意得出^ABPs4

CDP是解題關鍵.

17.(4分)(2016?浦東新區(qū)一模)若拋物線y=ax2+c與x軸交于點A(m,0),B

(n,0),與y軸交于點C(0,c),則稱AABC為"拋物三角形〃.特別地，當mnc

V0時，稱^ABC為"倒拋物三角形"時，a、c應分別滿足條件aVO,c>0.

【分析】根據(jù)m、n關于y軸對稱，則mn<0,則c的符號即可確定，然后根據(jù)

拋物線與x軸有交點，則可以確定開口方向，從而確定a的符號.

【解答】解：?.?拋物線y=ax2+c的對稱軸是y軸,

/.A(m,0)、B(n,0)關于y軸對稱，

/.mn<0,

XVmnc<0,

：.c>0,即拋物線與y軸的正半軸相交，

又‘拋物線y=ax2+c與x軸交于點A(m,0)、B(n,0),

.?.函數(shù)開口向下，

.,.a<0.

故答案是：aVO,c>0.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定二次函數(shù)的開口方向是本題的關

鍵.

18.（4分）（2016?浦東新區(qū)一模）在△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,D是邊AB

上的一點，E是邊AC上的一點（D,E均與端點不重合），如果4CDE與△ABC相

似，那么CE=2,2536.

825

【分析】先利用勾股定理的逆定理得到aABC為直角三角形，NACB=90。，再分

類討論：當△ABCs^CDE,如圖1,則/CED=/ACB=90。，ZDCE=ZA,所以CE=AE,

根據(jù)等腰三角形得L\C=2；當△ABCSZ^DCE,如圖2,則NCED=NACB=90。，

2

ZDCE=ZB,接著證明CD_LAB,利用面積法可計算出衛(wèi)，利用相似比可計

L

算出迤；當△ABCs^CED,如圖3,ZCDE=ZACB=90°,ZDCE=ZA,證明

25

CD為斜邊上的中線，則LXB=",然后利用相似比可計算出至，

228

綜上所述，CE的長為空，箜.

825

【解答】解：；AB=5,AC=4,BC=3,

.*.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC為直角三角形，ZACB=90°,

當△ABCsaCDE,如圖1,貝l」NCED=NACB=90。，NDCE=NA,

...△ADC為等腰三角形，

，CE=AE,

/.CE=1AC=2；

2

當△ABCs^DCE,如圖2,則NCED=NACB=90°,NDCE=/B,

而NBCD+NDCE=90°,

/.ZB+ZBCD=90°,

ACDlAB,

，CD=BC-AC=絲,

AB5

VAABC^ADCE,

AAB：CD=BC：CE,即03：CE,

5

/.CE=箜；

25

當△ABCs/\CED,如圖3,ZCDE=ZACB=90°,NDCE=NA,

，DC=DA,

VZA+ZB=90°,ZDCE+ZBCD=90°,

1.NB+NBCD=90°,

DB=DC,

.?.CD=DA=DB=L\B=",

22

VAABC^ACED,

ACE：AB=CD：AC,即與4,

2

.?.CE=空，

8

綜上所述，CE的長為空,

8

36故答案為空，36.

25825

【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比

相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對

應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積

的比等于相似比的平方.也考查了分類討論的思想.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分）

19.（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）計算:V2sin45°+6tan30°-2cos30°.

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【解答】解：原式=&?6X通-2義返

232

=后1.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的

三角函數(shù)值.

20.（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的變量x與變量y的部

分對應值如下表：

X-3-2-1015

y70-5-8-97

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）寫出拋物線頂點坐標和對稱軸.

【分析】（1）把（-2,0）,（-1,-5）,（0,-8）RAy=ax2+bx+c中，根據(jù)待

定系數(shù)法即可求得；

（2）把解析式化成頂點式即可求得.

【解答】解（1）把（-2,0）,（-1,-5）,（0,-8）代入y=ax2+bx+c得

（

'4a-2b+c=0zya=l

■a-b+c=-5'解得，b=-2'

,c=-8,c=-8

，二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-8；

（2）y=x2-2x-8=（x-1）2-9,

拋物線頂點坐標為（1,-9）,對稱軸為直線x=l.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點坐標和

對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵.

21.（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,點E是邊

AD的中點，連結BE并延長交CD的延長線于點F,交AC于點G.

（1）若眼小，求線段DC的長;

BC3

【分析】（1）由平行線得出△DEFs^CBF,得出對應邊成比例求出FC,即可得

出DC的長；

（2）由平行線得出△DEFs^CBF,AAEG^ACBG,得出對應邊成比里口，

BFBC

處理，由已知條件得出AE=DE,因里烏，即可得出結論.

BCGBBFGB

【解答】（1）解：；AD〃BC,

.'.△DEF^ACBF,

?FD二ED_）

*'FC^BCT

：.FC=3FD=6,

，DC=FC-FD=4；

（2）證明:：AD〃BC,

/.△DEF^ACBF,AAEG^ACBG,

?EF_DEAE_GE

"BFBC^GBT

??,點E是邊AD的中點，

Z.AE=DE,

?EF_GE；

，，BF^GB，

，EF?GB=BF?GE.

【點評】本題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握梯形的性

質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵.

22.（10分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，I為一條東西方向的筆直公路，一輛

小汽車XRS在這段限速為80千米/小時的公路上由西向東勻速行駛，依次經(jīng)過點

A、B、C,P是一個觀測點，PC±I,PC=60米ZBPC=45°,測得

3

該車從點A行駛到點B所用時間為1秒.

（1）求A、B兩點間的距離；

（2）試說明該車是否超過限速.

【分析】（1）由三角函數(shù)求出AC,證出4BCP是等腰直角三角形，得出BC=PC=60

米，求出AB=AC-BC=20米即可；

（2）求出該車從點A行駛到點B的速度為20米/秒=72千米/小時V80千米/小

時，即可得出結果.

【解答】解：如圖所示：

（1）VPC!I,PC=60米幺9，

3PC

；.AC=80米，

VZBPC=45°,

...△BCP是等腰直角三角形，

BC=PC=60米，

/.AB=AC-BC=20米，

答：A、B兩點間的距離為20米；

（2）該車不超過限速；理由如下：

由題意得：該車從點A行駛到點B所用時間為1秒，

...該車從點A行駛到點B的速度為20米/秒=72千米/小時＜80千米/小時，

,該車不超過限速.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握解直角三角形，由三角函數(shù)求出AC是解決問題（1）的關鍵.

23.（12分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，在aABC中，D是BC邊的中點，DE

_LBC交AB于點E,AD=AC,EC交AD于點F.

（1）求證：△ABCs^FCD；

（2）求證：FC=3EF.

【分析】（1）由AD=AC,利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，利

用兩對對應角相等的三角形相似即可得證；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得里勿，由D是BC邊的中點，得到BC=2CD,

BCAC

于是得至UAD=AC=2FD,由于NACD=NADC,ZB=ZFCD,推出NEAD=NACE,得

到△EAFs^ECA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得空即可得到結論.

ECEAAC2

【解答】（1）證明：???AD=AC,

/.ZADC=ZACB,

VZB=ZECB,

.'.△ABC^AFCD；

（2）VAABC^AFCD,

?CDFD

，，BC^AC，

?.'D是BC邊的中點，

，BC=2CD,

；.AD=AC=2FD,

VZACD=ZADC,ZB=ZFCD,

；.NEAD=NACE,

/.△EAF^AECA,

???-E-A-EF-—AF—_1,

EC-EA-AC2

；.EC=2EA=4EF,

，F(xiàn)C=3EF.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相

似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

24.（12分）（2016?浦東新區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a>0）與x軸交

于A（-3,0）、B兩點（A在B的左側），與v軸交于點C（0,-3）,拋物線的

頂點為M.

（1）求a、c的值；

（2）求tan/MAC的值；

（3）若點P是線段AC上一個動點，聯(lián)結OP.問：是否存在點P,使得以點0、

C、P為頂點的三角形與aABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請

說明理由.

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；

（2）根據(jù)勾股定理及逆定理，可得直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)等于對邊比鄰

邊，可得答案；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PC的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得

PH與CH的長，可得P點坐標.

【解答】解（1）將A、C點坐標代入函數(shù)解析式，得

（9a-6a+c=0,

lc=-3

解得［a=l

c=-3

拋物線的解析式為y=x2+2x-3；

(2)y=x2+2x-3=(x+1)2-4,頂點坐標M為(-1,-4).

又A(-3,0),C(0,-3),

AC=3亞.MC=&，AM=2旄.

VAC2+MC2=AM2,

Z.ZACM=90°,

tanZMAC=—

AC3723

①當△PCOSABAC時里=國，3

BAAC43A/2

解得加?

過P作PH_Ly軸于H點，APHC為等腰直角三角形，

PH=HC=2,-3+2=-1,

：.P(-2,-1)；

②當△PCOs^CAB時以工型，

_CAAB3724

解得也.

4

過P作