2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.(3分)-(-2021)=()

A.-2021B.2021C.--1—D.—?—

20212021

【分析】直接利用相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，即可得出答案.

【解答】解：-(-2021)=2021.

故選：B.

【點評】此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.

2.(3分)“奮斗者”號載人潛水器此前在馬里亞納海溝創(chuàng)造了10909米的我國載人深潛記

錄.數(shù)據(jù)10909用科學(xué)記數(shù)法可表示為()

A.0.10909X105B.1.0909X104

C.10.909X103D.109.09X102

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為“X10”,其中間＜10,〃為整數(shù),

據(jù)此判斷即可.

【解答】解：10909=1.0909X1()4.

故選：B.

【點評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，確定。與〃的值是解題的關(guān)鍵.

3.(3分)因式分解：1-4/=()

A.(l-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(l+2y)

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：1-49

=1-(24

=(1-2y)(l+2y).

故選:A.

【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

4.(3分)如圖，設(shè)點P是直線/外一點，PQLI,垂足為點。，點T是直線/上的一個動點，

連結(jié)尸7,則()

A.PT^2PQB.PTW2PQC.PT^PQD.PTWPQ

【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)“垂線段最短”即可得到結(jié)論.

【解答】解：；PQ，/,點T是直線/上的一個動點，連結(jié)PT,

:.PTNPQ,

故選：C.

【點評】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(3分)下列計算正確的是()

A.亞=2B.k2)2=.C.*=±2D.2=±2

【分析】求出后=2,在赤=2,再逐個判斷即可.

【解答】解：A.正=2,故本選項符合題意；

B.{(-2)2=2,故本選項不符合題意；

C.正=2,故本選項不符合題意；

D...2)2=2,故本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵,

6.(3分)某景點今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次.設(shè)該景點今年

四月到五月接待游客人次的增長率為x(x>0),則()

A.60.5(1-%)=25B.25(1-%)=60.5

C.60.5(1+x)=25D.25(1+x)=60.5

【分析】依題意可知四月份接待游客25萬，則五月份接待游客人次為：25(1+x),進(jìn)而

得出答案.

【解答】解：設(shè)該景點今年四月到五月接待游客人次的增長率為x(x>0),則

25(l+x)=60.5.

故選：D.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程中增長率的問題，一般公式為:

原來的量X(l±x)=現(xiàn)在的量，x為增長或減少的百分率.增加用+,減少用

7.(3分)某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機會均等.某天甲、乙

兩位乘客同時乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是()

A.AB.Ac.AD.A

5432

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的結(jié)果有3種，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：把3節(jié)車廂分別記為A、B、C,

畫樹狀圖如圖：

開始

甲ABC

/1\/N

乙ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的結(jié)果有3種，

甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率為3=工，

93

故選：C.

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

8.(3分)在“探索函數(shù)y=or2+^+c的系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了

直角坐標(biāo)系中的四個點：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同學(xué)們探索了經(jīng)

過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其

2262

【分析】比較任意三個點組成的二次函數(shù)，比較開口方向，開口向下，則只需把

開口向上的二次函數(shù)解析式求出即可.

【解答】解：由圖象知，A、B、。組成的點開口向上，。>0；

A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，a>0;

B、C、。三點組成的二次函數(shù)開口向下，a<0；

A、D、C三點組成的二次函數(shù)開口向下，fl<0；

即只需比較A、B、。組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可.

設(shè)A、B、C組成的二次函數(shù)為)”=417+6江+<?|,

把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入上式得，

4=2

<a[+b]+c?=0,

9a[+3b]+C[=l

解得

6

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為)'=/+法+<:,

把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入上式得，

'c=2

<a+b+c=0，

4a+2b+c=3

解得a=互，

2

即。最大的值為互，

2

故選：A.

【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解本題的關(guān)鍵要熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)

和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.

9.(3分)已知線段48,按如下步驟作圖：①作射線4C,使ACJ_AB；②作NB4C的平分

線AD-,③以點4為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點E；④過點E作EPLAB于點P,

則AP：AB=()

A.1：疾B.1：2C.1：MD.1：V2

【分析】直接利用基本作圖方法得出AP=P￡，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)表示出

的長，即可得出答案.

【解答】解：-：AC1.AB,

NC4B=90°,

YA。平分NBAC,

：.ZEAB=^X90°=45°,

2

VEPlAfi,

AZAPE=90°,

AZEAP=ZAEP=45°,

：.AP=PE,

.,.設(shè)AP=PE=x,

^l.AE=AB=y[2x,

.".AP：AB—x:y[2>c—1:V2.

故選：D.

【點評】此題主要考查了基本作圖以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正確掌握基本作圖方法

得出線段之間關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.（3分）已知yi和”均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)工="?時，函數(shù)值分別是Mi和M2,

若存在實數(shù)，〃，使得MI+M2=0,則稱函數(shù)）1和,Y2具有性質(zhì)P.以下函數(shù)yi和”具有性

質(zhì)尸的是（）

A.yi=/+2x和戶=-x-1B.yi=7+2x和*=-x+1

C.yi=-y2=-x-]D.yi=-A>和”=-x+]

XX

【分析】根據(jù)題干信息可知，直接令"+”=0,若方程有解，則具有性質(zhì)P,若無解，

則不具有性質(zhì)P.

【解答】解：4.令yi+*=0,則/+2x-x-1=0,解得x=±ZG或x=±ZG,即

22

函數(shù)yi和"具有性質(zhì)P,符合題意；

B.令yi+*=0,則/+2x-x+l=0,整理得，7+x+l=0,方程無解，即函數(shù)yi和"不

具有有性質(zhì)P,不符合題意；

C.令yi+”=0,則-工-X-1=0,整理得，/+x+l=0,方程無解，即函數(shù)yi和”不

x

具有有性質(zhì)P,不符合題意;

D.令yi+*=O,則-2-x+l=O,整理得，/-x+l=O,方程無解，即函數(shù)yi和”不

x

具有有性質(zhì)P,不符合題意；

故選：A.

【點評】本題屬于新定義類問題，根據(jù)給出定義構(gòu)造方程，利用方程思想解決問題是常

見思路，本題也可利用函數(shù)圖象快速解答.

二、填空題：本大題有6個小題，每小題4分，共24分。

11.（4分）計算：sin30°=A.

-2一

【分析】根據(jù)sin30。=1直接解答即可.

2

【解答】解：sin30°-1.

2

【點評】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.

12.（4分）計算：2a+3a=5a.

【分析】根據(jù)合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字

母的指數(shù)不變求解.

【解答】解：2a+3a=5a,故答案為5a.

【點評】本題考查了合并同類項的法則，解題時牢記法則是關(guān)鍵.

13.（4分）如圖，已知的半徑為1,點P是。。外一點，且0P=2.若P7是。。的切

線，7為切點，連結(jié)07,則PT=_F_.

【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出△OPT為直角三角形，再利用勾股定理求得PT長度.

【解答】解：是。。的切線，7為切點，

OTLPT,

在RtaOPT中，0A1,0P—2,

?,PT-rop2-QT2=yj22-l2=V3>

故：PT—43-

【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，即圓的切線垂直于過切點的半徑.

14.(4分)現(xiàn)有甲、乙兩種糖果的單價與千克數(shù)如下表所示.

甲種糖果乙種糖果

單價(元/千克)3020

千克數(shù)23

將這2千克甲種糖果和3千克乙種糖果混合成5千克什錦糖果，若商家用加權(quán)平均數(shù)來

確定什錦糖果的單價，則這5千克什錦糖果的單價為24元/千克.

【分析】將兩種糖果的總價算出，用它們的和除以混合后的總重量即可.

【解答】解：這5千克什錦糖果的單價為：(30X2+20X3)+5=24(元/千克).

故答案為：24.

【點評】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法.本題易出現(xiàn)的錯誤是求30、20這兩個數(shù)的平

均數(shù)，對平均數(shù)的理解不正確.

15.(4分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點A(3,1)為端點的四條射線A8,AC,AD,AE

分別過點B(l,1),點C(l,3),點0(4,4),點E(5,2),則NBAC=/D4E

(填中的一個).

【分析】在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角形邊之間的關(guān)系推出角之間的關(guān)系.

【解答】解：連接OE，

由上圖可知AB-2,BC=2,

??.△ABC是等腰直角三角形，

：.ZBAC—45°,

又:A￡-7AF2+EF2-V22+12-^)

同理可得DE-62+]2—加，

AD—yF+32—

則在△ADE■中，有^E2+DE2=AD2,

...△ADE是等腰直角三角形，

：.ZDAE-45°,

ZBAC—ZDAE,

故答案為：一.

【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，可以根據(jù)各個點的坐標(biāo)構(gòu)造直角三角形求出各

線段的長度，再根據(jù)邊來判斷角的大小.其解題關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形.

16.（4分）如圖是一張矩形紙片ABCQ,點M是對角線AC的中點，點E在8c邊上，把

△OCE沿直線。E折疊，使點C落在對角線AC上的點尸處，連接DF,EF.若M尸=4B,

則18度.

【分析】連接DM,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得△AM。和為等腰三角

形，ZDAF^ZMDA,/MCD=NMDC；由折疊可知。F=OC,可得/Z）FC=/￡>CF；

由MF=AB,AB=CD,DF=DC,可得FM=FD,進(jìn)而得到//FDM；利用三角

形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得NORS=2N尸MO；最后在中,

利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，結(jié)論可得.

【解答】解：連接。M,如圖：

???四邊形A8C。是矩形，

AZADC=90°.

??,加是AC的中點，

：.DM=AM=CM,

：.ZFAD=ZMDAf/MDC=/MCD.

VDC,關(guān)于OE對稱，

:,DF=DC,

：.ZDFC=ZDCF.

*：MF=AB,AB=CD,DF=DC,

：?MF=FD.

；?NFMD=NFDM.

???ZDFC=NFMD+/FDM,

:?/DFC=2/FMD.

?.*/DMC=ZFAD+ZADM,

：.ZDMC=2ZFAD.

設(shè)NE4Q=￡,則NOR7=4￡,

:?/MCD=/MDC=4x°.

VZDMC+ZMC￡>+ZMDC=180o,

2x+4x+4x=180.

??x=18.

故答案為：18.

【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊問題，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，利用

三角形內(nèi)角和定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題有7個小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。

17.（6分）以下是圓圓解不等式組的解答過程：

解：由①，得2+x>-1,

所以x>-3.

由②，得1-x>2,

所以-%>1,

所以-1.

所以原不等式組的解是-1.

圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：圓圓的解答過程有錯誤，

正確過程如下：由①得2+2x>-l,

：.2x>-3,

.,.x>-—,

2

由②得1-x<2,

-x<\,

/.x>-1,

...不等式組的解集為X>-1.

【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

18.（8分）為了解某校某年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，對該年級全部360名學(xué)生進(jìn)行一分鐘

跳繩次數(shù)的測試，并把測得數(shù)據(jù)分成四組，繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)分

布直方圖（每一組不含前一個邊界值，含后一個邊界值）.

某校某年級360名學(xué)生一分鐘跳繩次數(shù)的頻數(shù)表

組別（次）頻數(shù)

100-13048

130?16096

160~190

190~22072

(1)求。的值：

(2)把頻數(shù)分布直方圖補充完整；

(3)求該年級一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級全部學(xué)生數(shù)的百分比.

某校某年級360名學(xué)生一分鐘跳

繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

【分析】(1)用360減去第1、2、4組的頻數(shù)和即可；

(2)根據(jù)以上所求結(jié)果即可補全圖形；

(3)用第4組的頻數(shù)除以該年級的總?cè)藬?shù)即可得出答案.

【解答】解：(1)a=360-(48+96+72)=144；

(2)補全頻數(shù)分布直方圖如下：

某校某年級360名學(xué)生一分鐘跳

繩次數(shù)的頻數(shù)直方圖

(3)該年級一分鐘跳繩次數(shù)在190次以上的學(xué)生數(shù)占該年級全部學(xué)生數(shù)的百分比為衛(wèi)

360

X100%=20%.

【點評】本題考查頻數(shù)(率)分布直方圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題

需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

19.（8分）在①4D=AE,?ZABE=ZACD,③尸B=FC這三個條件中選擇其中一個，補

充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖，在△ABC中，/A8C=NACB,點。在A8邊上（不與點A,點8重合），

點E在4c邊上（不與點A,點C重合），連接BE,CD,BE與CO相交于點F.若①

A￡）=4E（②或③尸8=FC）,求證：BE=CD.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

【分析】若選擇條件①，利用NA8C=NACB得至IJA2=AC,則可根據(jù)“S4S”可判斷△

ABE^/XACD,從而得至I]8E=C￡）；

選擇條件②，利用/ABC=NACB得到48=4C,則可根據(jù)“4SA”可判斷AABE四△ACD,

從而得到BE=CD；

選擇條件③，利用NA8C=NAC8得到AB=AC,再證明NABE=/ACD,則可根據(jù)“ASA”

可判斷△ABEZ/XACD,從而得到BE=CD.

【解答】證明：選擇條件①的證明為：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△4BE和△ACO中，

，AB=AC

<ZA=ZA>

AE=AD

.,.△ABE絲△AC。（SAS）,

：.BE=CD；

選擇條件②的證明為：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

在△4BE和△4CO中,

，ZABE=ZACD

，AB=AC，

ZA=ZA

.,.△ABE絲△AC。（ASA）,

：.BE=CD-,

選擇條件③的證明為：

ZABC=ZACB,

：.AB=AC,

,:FB=FC,

：.ZFBC=ZFCB,

：.ZABC-ZFBC=ZACB-NFCB,

即NABE=ZACD,

在△ABE和△ACO中，

fZABE=ZACD

<AB=AC，

ZA=ZA

A/\ABE^/\ACD（ASA）,

：.BE=CD.

故答案為①4D=AE（?ZABE=ZACD^@FB=FC）

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的

性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l

件.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

20.（10分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)（Zi是常數(shù)，八>0,x>0）與函數(shù)）2=42%

x

（左2是常數(shù)，幻W0）的圖象交于點A,點A關(guān)于y軸的對稱點為點8.

（1）若點B的坐標(biāo)為（-1,2）,

①求心，上的值；

②當(dāng)時，直接寫出x的取值范圍；

（2）若點8在函數(shù)”=包（七是常數(shù)，心W0）的圖象上，求心+總的值.

k

【分析】（1）①由題意得，點A的坐標(biāo)是（1,2）,分別代入yi=>（上是常數(shù)，用>0,

X

X>0）,”=%2X（七是常數(shù)，女2#0）即可求得內(nèi)，攵2的值；

②根據(jù)圖象即可求得；

（2）設(shè)點A的坐標(biāo)是（xo,y）,則點B的坐標(biāo)是（-刈，y）,根據(jù)待定系數(shù)法即可求得

k[=xo*y,攵3=-xo?y,即可求得回+依=0.

【解答】解：（1）①由題意得，點A的坐標(biāo)是（1,2）,

'??函數(shù)yi=占L（%是常數(shù)，公>0,x>0）與函數(shù)（上是常數(shù)，攵2*0）的圖象交

X

于點A,

ki

.*.2=-2=上，

1

，攵1=2,22=2；

②由圖象可知，當(dāng)時，x的取值范圍是x>l；

（2）設(shè)點A的坐標(biāo)是（刈，y）,則點8的坐標(biāo)是（-刈，y）,

9

.\k\=xo*y9fa=-xoy9

A/:i+fa=0.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求

函數(shù)的解析式，表示出B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

21.（10分）如圖，在aABC中，N4BC的平分線8。交AC邊于點。，AE_L8C于點￡,已

知NA8C=60°,ZC=45°.

（1）求證：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面積.

【分析】（1）計算出NAO8和N8AC,利用等角對等邊即可證明;

（2）利用銳角三角函數(shù)求出BC即可計算△ABC的面積.

【解答】（1）證明：平分乙4BC,ZABC=60°,

AZ￡）BC=AZABC=30°,

2

VZC=45°,

二/AOB=NO8C+/C=75°,

ZBAC=180°-ZABC-ZC=75°,

：.ZBAC=ZADB,

（2）解：在RtZ^ABE中，ZABC=60°,AE=3,

：.BE=-----=5/3,

tan/ABC

在RtZ\AEC中，ZC=45°,AE=3,

.?.EC=-^-=3,

tanC

:.BC=3+M，

：.SMBC=1BCXAE=.

22

【點評】本題考查等腰三角形的判定以及利用銳角三角函數(shù)求值，解題的關(guān)犍是求出/

AOB和/BAC的度數(shù).

22.（12分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)丫=癥+灰+1（a,人是常數(shù)，aWO）.

（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過（1,0）和（2,1）兩點，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象

的頂點坐標(biāo)；

（2）寫出一組“，。的值，使函數(shù)），=,/+法+1的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說

明理由.

（3）已知。=匕=1,當(dāng)x=p,q（p,q是實數(shù)，p中q）時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為

P,Q.若p+q=2,求證：P+Q>6.

【分析】（1）考查使用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題，將兩點坐標(biāo)代入，

解二元一次方程組即可；

（2）寫出一組a,b,使得廿-4ac>0即可；

（3）已知4=6=1,貝（Jy=/+x+l.容易得至lj尸+。=〃2+〃+1+/+4+1,利用p+夕=2,即〃

=2-q代入對代數(shù)式P+。進(jìn)行化簡，并配方得出尸+Q=2（9-1）2+626.最后注意利

用正鉤條件判斷4力1，得證.

【解答】解：（1）由題意，得［a+b+l=°,

l4a+2b