廣東省佛山市S7高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市S7高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗∵集合，故為奇數(shù)集.而，故為整數(shù)集，∴.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則，因此，.故選：A.3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD的中點(diǎn)，那么（）A.4 B.2 C. D.1〖答案〗B〖解析〗,因?yàn)?，?而為的中點(diǎn)，故，故.故選：B.4.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.1 B.-1 C.-2 D.2〖答案〗A〖解析〗由題可知是以4為周期的周期函數(shù)，，，.故選：A．5.已知橢圓C：+=1的離心率為，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.8 B.4 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗依題意，因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以=，得m=2，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2=4．故選：B.6.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可知，得到，即，，作出曲線的圖像如下：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得；當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得或；因?yàn)橹本€可化為，由截距得，則，此時(shí)直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；故滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，則，又都為正項(xiàng)，則，故，所以，所以，故.故選：C.8.如圖，某公園有一個(gè)半徑為2公里的半圓形湖面，其圓心為O，現(xiàn)規(guī)劃在半圓弧岸邊取點(diǎn)C、D、E，且，在扇形區(qū)域內(nèi)種植蘆葦，在扇形區(qū)域內(nèi)修建水上項(xiàng)目，在四邊形區(qū)域內(nèi)種植荷花，并在湖面修建棧道和作為觀光線路.當(dāng)最大時(shí)，游客有更美好的觀賞感受，則的最大值為（）A. B.4 C. D.6〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，則、為正數(shù).在三角形中，連接，由余弦定理得：，在三角形中，由余弦定理得：所以,由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，也即時(shí)，取得最大值為.故選：C二、多選題9.下列結(jié)論正確的有（）A.若隨機(jī)變量，滿足，則B.若隨機(jī)變量，且，則C.若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，30，37，m，40，50；乙組：24，n，33，44．48，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由方差的性質(zhì)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由正態(tài)分布的圖象的對(duì)稱性可得，故B正確；對(duì)于C，由相關(guān)系數(shù)知識(shí)可得：線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故C正確；對(duì)于D，甲組：第30百分位數(shù)為30，第50百分位數(shù)為，乙組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，則，解得，故，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的是（）A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案種數(shù)是〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有種安排方法，A正確；對(duì)于B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則有種安排方法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，①?gòu)谋?，丁，戊中選出1人開(kāi)車，②從丙，丁，戊中選出2人開(kāi)車，則有種安排方法，D正確．故選：AD．11.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.不等式的解集為；B.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C.當(dāng)時(shí)，總有恒成立；D.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〖答案〗AC〖解析〗由題意得，則對(duì)于A：由，可得，解得，所以解集為，故A正確；對(duì)于B：，令，解得x=1，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，若，則，所以，即，令，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，又，所以在是恒成立，所以為減函數(shù)，又，所以在是恒成立，所以當(dāng)時(shí)，總有恒成立，故C正確；對(duì)于D：若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)根，即在有兩個(gè)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.如圖甲，在矩形中，，，為上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足將沿折起后，點(diǎn)在平面上的射影總在棱上，如圖乙，則下列說(shuō)法正確的有（）A.翻折后總有B.當(dāng)時(shí)，翻折后異面直線與所成角的余弦值為C.當(dāng)時(shí)，翻折后四棱錐的體積為D.在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)度為〖答案〗ACD〖解析〗在圖乙中，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影在棱上，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；如圖，在圖乙中作于，連接，則，所以與所成角即為與所成角，又由平面可得平面，所以而，，則，即與所成角余弦值為，故B錯(cuò)誤；如上圖，在圖乙中作于，連接，則由平面可得，又，平面，所以平面，又平面，則，在圖甲中，如圖，作，則，，三點(diǎn)共線，設(shè)，，則由可得，即，又在圖乙中有，所以，所以，而，所以，，故D正確；當(dāng)時(shí)，，則，所以，則，故C正確.故選：ACD.三、填空題13.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是______．〖答案〗〖解析〗其展開(kāi)式第項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，展開(kāi)式第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)，故〖答案〗為：14.在中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且，.，，則DC=___________.〖答案〗3〖解析〗在中，，可得.又由余弦定理，，可得.在中，，由此可得，由已知可得，代入可得，所以，所以.故〖答案〗為：3.15.在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則平面截該球的截面面積為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗由正棱錐性質(zhì)知：平面，取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，平面，平面，，分別為中點(diǎn)，，又，，平面，，平面，又平面，，又，平面，，平面，則由球的性質(zhì)可知：為平面截球所得截面圓的圓心，設(shè)為該截面圓與的一個(gè)交點(diǎn)，連接，，，，，，又，；，，即截面圓的半徑，截面圓的面積.故〖答案〗為：.16.希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_(kāi)__________________；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)，，.拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，由題意知，，，.故〖答案〗為：；.四、解答題17.已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）設(shè)是邊上的高，且，，求的值．解：（1）解：在中，由正弦定理，可得，即，即，整理得，因?yàn)椋裕瑒t，又因?yàn)椋裕?）由（1）及已知，可得，又由，可得，所以，由余弦定理，可得，即，即，所以.18.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一點(diǎn)，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.（1）若M是DD1的中點(diǎn)，證明：平面AMB⊥平面A1MB1；（2）設(shè)四棱錐M-ABB1A1與四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積分別為V1與V2，求的值．（1）證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，所以BA⊥平面AA1D1D，又MA1?平面AA1D1D，所以BA⊥MA1.因?yàn)锳D＝DM，所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A，所以MA1⊥平面AMB，又MA1?平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1.（2）解：設(shè)AD＝1，則四棱錐M-ABB1A1的底面ABB1A1的面積SABB1A1＝4，高為AD＝1，所以四棱錐M-ABB1A1的體積V1＝SABB1A1×AD＝.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的面積SABCD＝，高為AA1＝2，所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V2＝SABCD×AA1＝3，所以19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；數(shù)列滿足．（1）求和；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列公比為由解得或(舍)，又，，解得，時(shí)，，整理得，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為1的常數(shù)列，，（2）設(shè)，20.隨著《2023年中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩(shī)詞與新時(shí)代精神相結(jié)合，使古詩(shī)詞綻放出新時(shí)代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級(jí)全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的情況，舉行了“古詩(shī)詞”測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2）若該校高二學(xué)生“古詩(shī)詞”的測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩(shī)詞”的測(cè)試成績(jī)不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）（3）現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場(chǎng)校內(nèi)“詩(shī)詞大會(huì)”.該“詩(shī)詞大會(huì)”共有三個(gè)環(huán)節(jié)，依次為“詩(shī)詞對(duì)抗賽”“畫(huà)中有詩(shī)”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，在前兩個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次“詩(shī)詞大會(huì)”中的累計(jì)得分為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.解：（1）由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為：（分）（2）由題意可得測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布所以，則所以人故該校高二年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為人；（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為：，，，所以的分布列如下：數(shù)學(xué)期望.21.已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求的最小值．（1）解：由題可知，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）證明：由（1）知，，且，解得，所以.設(shè)，則，同理可得，，則，即.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，整理得.所以，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得.綜上，直線過(guò)定點(diǎn).（ii）解：設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，由題意，所以