映射拓?fù)鋵W(xué)的新方向仿緊映射及亞緊映射

映射拓?fù)鋵W(xué)的新方向仿緊映射及亞緊映射

1u3000上的同類性定義利用纖維覆蓋的特征來(lái)研究和雕刻入侵空間的連續(xù)映射，產(chǎn)生了一般入侵科學(xué)的新研究方向。例如，完整的映射策略被刻為一組緊密映射，這引起了許多拓荒者的興趣，并取得了一些重要的結(jié)果。Buhagiar和Miwa定義了仿緊映射,次仿緊映射,亞緊映射和集態(tài)正規(guī)映射,并在一定分離公理?xiàng)l件下給出了這些映射的一些等價(jià)刻劃.本文進(jìn)一步拓展他們的結(jié)果,利用半開(kāi)覆蓋及內(nèi)核保持開(kāi)覆蓋給出了仿緊映射和亞緊映射的新的刻劃.任意拓?fù)淇臻gY,記N(y)為空間Y中的點(diǎn)y的鄰域,這里的鄰域指的都是開(kāi)鄰域.對(duì)空間的子集族U,W及子集A,集族{U∩A:U∈U}記為U∧A;集族{U∩W:U∈U,W∈W}記為U∧W.記(U)A={U∈U:U∩A≠?};如果A={x},則用(U)x代替(U)A.集族U中元的所有有限并構(gòu)成的集族記為UF.定義1.1設(shè)A,B,U為空間X中的子集,若A∩U,B∩U在U中有互不相交的鄰域,則稱A,B在U中鄰域可分的.定義1.2連續(xù)映射f:X→Y被稱為是正則映射,如果每一x∈X及X中的任一閉集F使得xue06fF,存在f(x)的一個(gè)鄰域O使得{x},F在f-1O中鄰域可分.定義1.3設(shè)f:X→Y是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的連續(xù)映射.對(duì)y∈Y,X中的子集族稱為是y-局部有限的,如果任一x∈f-1y,存在x在X中的鄰域Ox使得Ox只與這集族中有限個(gè)元相交.如果集族U={Uα:α∈A}是X的y-局部有限開(kāi)集族,則U在∪x∈f-1yΟx∪x∈f?1yOx中局部有限.特別地,如果f是閉的且U覆蓋f-1y,則存在y的一個(gè)鄰域Oy使f-1Oy被U所覆蓋且U在f-1Oy中局部有限.定義1.4連續(xù)映射f:X→Y是仿緊的,如果對(duì)y∈Y及X中每個(gè)覆蓋f-1y的開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy有一個(gè)開(kāi)加細(xì)在f-1Oy中是y-局部有限開(kāi)的.定義1.5連續(xù)映射f:X→Y是亞緊的,如果對(duì)y∈Y及X中每個(gè)覆蓋f-1y的開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)點(diǎn)有限開(kāi)細(xì).定義1.6連續(xù)映射f:X→Y是可數(shù)仿緊的,如果對(duì)y∈Y及X中每個(gè)覆蓋f-1y的可數(shù)開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy有一個(gè)開(kāi)加細(xì)在f-1Oy中是y-局部有限開(kāi)的.從定義知,如果映射f是仿緊的,亞緊的或可數(shù)仿緊的,那么它是閉的.因此上述定義中y-局部有限可換為局部有限.以下定義詳細(xì)請(qǐng)參閱文.定義1.7空間X的覆蓋U被稱為是內(nèi)核保持的,如果任意U′?U,∩U′是開(kāi)的.集族L稱為單調(diào)的,如果L上的包含于關(guān)系?是L上的線性序;如果這個(gè)線性序是良序,則稱L為嚴(yán)格單調(diào)的.L稱為定向的,如果對(duì)L,L′∈L,K∈L使得L∪L′?K.如果L是嚴(yán)格單調(diào)的,L′?L,則∩L′∈L.所以X的每一嚴(yán)格單調(diào)開(kāi)覆蓋是內(nèi)核保持.顯然每一單調(diào)集族是定向的;LF及L是定向的當(dāng)且僅當(dāng)LF加細(xì)L;如果L是空間X的內(nèi)核保持開(kāi)(閉包保持閉)覆蓋,則LF是X的內(nèi)核保持開(kāi)的(閉包保持閉的).定義1.8設(shè)U是X的一個(gè)覆蓋,U被稱為是X的半開(kāi)覆蓋,如果對(duì)x∈X,St(x,U)是x的一個(gè)鄰域.K是X的一個(gè)覆蓋,K稱為是L的一個(gè)F加細(xì),如果任意N∈K,存在L的有限子族L′使N?∪L′;K稱為是L的一個(gè)點(diǎn)態(tài)(局部)W-加細(xì),如果對(duì)x∈X,存在有限子族L′?L使得對(duì)每一N∈(K)x(存在x的某一鄰域U使得每一N∈(K)U),存在L∈L′,N?L.2價(jià)i映射f為了利用局部有限半開(kāi)加細(xì)得到仿緊映射刻劃,我們先給出下面這個(gè)引理.引理2.1設(shè)y∈Y,V是f-1y的一個(gè)y-局部有限半開(kāi)覆蓋,則V有一個(gè)閉F-加細(xì)是y-局部有限的.證明設(shè)y∈Y,V是f-1y的一個(gè)y-局部有限半開(kāi)覆蓋.對(duì)V的任一子族V′,令K(V′)=Cl(∩V′)-Int(∪(V-V′)).若V′是無(wú)限的,則K(V′)=?.對(duì)V′?V,若x∈K(V′),則xue06fInt(∪(V-V′)).由于x∈Int(∪(V)x),故(V)x∩V′≠?,即x∈∪V′.所以K(V′)?∪V′.對(duì)x∈f-1y,x∈K((V)x),由前面知K={K(V′):V′?V}是X中的閉集族并且是V的F-加細(xì).往證K是y-局部有限的.對(duì)x∈f-1y,由于V是y-局部有限的,故集族V*={V∈V:x∈ˉV}x∈Vˉˉˉ}是有限的且O=X-Cl(∪(V-V*))為x在X中的開(kāi)鄰域.如果對(duì)V′?V滿足K(V′)∩O≠?,則(Cl(∩V′))∩O≠?,(∩V′)∩O≠?,從而V′?V*.所以O(shè)只與K中的有限個(gè)元相交.特別地,若又有f是閉映射,則存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被V所覆蓋且V∧f-1Oy有一個(gè)閉F-加細(xì)在f-1Oy中是局部有限的.定理2.2設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射,則下列論述等價(jià)(i)映射f是仿緊的;(ii)對(duì)y∈Y及X中每一個(gè)覆蓋f-1y的單調(diào)開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)局部有限半開(kāi)加細(xì);(iii)對(duì)y∈Y及X中每一個(gè)覆蓋f-1y的嚴(yán)格單調(diào)開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)局部有限開(kāi)加細(xì).證明(i)?(ii),(i)?(iii)顯然.(ii)?(i).任意基數(shù)κ,P(κ)表示命題:對(duì)y∈Y,如果U是勢(shì)為κ的X中一個(gè)覆蓋f-1y的開(kāi)族,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy有一個(gè)閉的F-加細(xì)在f-1Oy中是局部有限的.當(dāng)κ為有限基數(shù)時(shí),P(κ)顯然為真.下面我們利用歸納假設(shè)證明P(κ)對(duì)任一無(wú)限基數(shù)都為真.設(shè)κ是無(wú)限基數(shù)使得每個(gè)基數(shù)α<κ,P(α)真.往證P(κ)真.設(shè)U為任一覆蓋f-1y的勢(shì)為κ的開(kāi)族,不妨設(shè)U={Uα:α<γ},γ是對(duì)應(yīng)于基數(shù)κ的最小序列數(shù).對(duì)α<γ,令Vα=∪β≤αUβVα=∪β≤αUβ,則V={Vα:α<γ}是覆蓋f-1y的單調(diào)開(kāi)族.于是存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被V所覆蓋且V∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)局部有限半開(kāi)加細(xì).由引理2.1,V∧f-1Oy有一個(gè)閉的F-加細(xì)在f-1Oy中是局部有限的,記為K,即對(duì)K∈K,存在V∧f-1Oy的有限子族V′∧f-1Oy使得K?∪(V′∧f-1Oy).由于V是單調(diào)的,所以存在V∈V使得K?V∩f-1Oy.取α(K)<γ使得K?Vα(K)∩f-1Oy,則W(K)={f-1Oy-K}∪{Uα:α≤α(K)}為覆蓋f-1y的開(kāi)族且|W(K)|<κ.由假設(shè)存在y的一個(gè)鄰域O*y?Oy使得f-1O*y被W(K)所覆蓋且W(K)∧f-1O*y有一個(gè)閉的F-加細(xì)在f-1O*y是局部有限的,記作F(K).對(duì)K∈K,F′(K)={F∩K:F∈F(K)}是X中的閉集族且在K∩f-1O*y是局部有限的,由于K是f-1Oy的局部有限閉覆蓋,故F=∪{F′(K):K∈K}是X中覆蓋f-1O*y的閉集族且在f-1O*y中局部有限.對(duì)F′∈F,存在K0∈K及F∈F(K0)使得F′=F∩K0.因?yàn)镕(K0)是W(K0)∩f-1O*y的F-加細(xì),所以存在有限子族W′(K0)∧f-1O*y?W(K0)∧f-1O*y使得F?∪(W′(K0)∧f-1O*y),F∩K0?∪(W′(K0)∧f-1O*y).由W(K0)的定義,F中的每個(gè)元F′都包含在U∧f-1O*y的某有限并內(nèi),所以F是U∧f-1O*y的F-加細(xì),從而P(κ)成立.這就證明了對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的開(kāi)族U={Uα}α∈Γ,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy有一個(gè)閉的F-加細(xì)H={Hs}s∈S在f-1Oy中是局部有限的.每一x∈f-1Oy,選取f-1Oy中的開(kāi)鄰域Vx僅與H中有限個(gè)元相交.則存在y的一個(gè)鄰域O*y,不妨設(shè)O*y=Oy,{Vx}x∈f-1Oy有一個(gè)閉F-加細(xì)A在f-1Oy中是局部有限的.對(duì)s∈S,置Ps=f-1Oy-{A:A∈A,A∩Hs=?}顯然,Ps是f-1Oy中包含Hs的開(kāi)集.此外,對(duì)s∈S,A∈APs∩A≠?當(dāng)且僅當(dāng)Hs∩A≠?(1)令B={?！??！?Γ且Γ′是有限的},U(?！?={Uα}α∈?！?對(duì)s∈S,取Γ′(s)∈B使Hs?∪(U(?！?s))∧f-1Oy)且設(shè)Gs={Ps∩Uα∩f-1Oy:α∈Γ′(s)},G=∪{Gs}s∈S是U∧f-1Oy在f-1Oy中的開(kāi)加細(xì).由于每一x∈f-1Oy具有f-1Oy中的開(kāi)鄰域Vx僅與A中的有限個(gè)元相交,而A中的每一元僅與H中的有限個(gè)元相交.由(1)式Vx僅與有限個(gè)Ps相交.由于H是U∧f-1Oy的F-加細(xì),故Vx僅與G中有限個(gè)元相交.從而G在f-1Oy中是局部有限的.這就證明了f是仿緊的.(iii)?(i).任意基數(shù)κ,P(κ)表示命題:對(duì)y∈Y,如果U是X中任一覆蓋f-1y勢(shì)為κ的開(kāi)族,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)局部有限開(kāi)加細(xì).類似于上述證明方法,集族V是f-1y的嚴(yán)格單調(diào)開(kāi)覆蓋,W是V∧f-1Oy在f-1Oy中的局部有限開(kāi)加細(xì).對(duì)α<γ,令Pα=∪{W∈W:α(W)>α},Pα={Pα}∪{Uβ:β≤α}.由假設(shè)存在y的一個(gè)鄰域O*y?Oy使得f-1O*y被Pα所覆蓋且Pα∧f-1O*y在f-1O*y中有一個(gè)局部有限開(kāi)加細(xì)Lα.對(duì)W∈W,令R(W)={W∩Q:Q∈Lα(W)且存在某一α≤α(W),Q?Uα}.易見(jiàn)R=∪{˙R(W)R=∪{R˙(W):W∈W}是U∧f-1O*y在f-1O*y中的局部有限開(kāi)加細(xì).從而P(κ)成立,f是仿緊的.引理2.3設(shè)f:X→Y是連續(xù)閉映射.對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持開(kāi)集族U,下列論述等價(jià)(i)存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)閉包保持閉加細(xì);(ii)存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)開(kāi)的內(nèi)核保持點(diǎn)態(tài)星加細(xì);(iii)存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)開(kāi)的內(nèi)核保持點(diǎn)態(tài)W-加細(xì).證明(i)?(iii).設(shè)y∈Y,U是X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持開(kāi)族,Oy為y的一個(gè)鄰域使得f-1Oy被U所覆蓋,F為UF∧f-1Oy在f-1Oy中的閉包保持閉加細(xì).對(duì)x∈f-1Oy,設(shè)W(x)=[∩(U)x]∩[f-1Oy-∪(F-(F)x)].由于U是內(nèi)核保持的,F是閉包保持的,故W={W(x):x∈f-1Oy}是X中覆蓋f-1Oy的內(nèi)核保持開(kāi)集族.每一x∈f-1Oy及W(z)∈Wx,由W(x)的定義知存在F0∈(F)z使得x∈F0.根據(jù)假設(shè),存在U有限子族U(F0)使得F0?∪(U(F0)∧f-1Oy).所以存在U∈U(F0)使得x,z∈U∩f-1Oy,從而W(z)?U∩f-1Oy.這就證明了W是U∧f-1Oy在f-1Oy中開(kāi)的點(diǎn)態(tài)W-加細(xì).(iii)?(ii).顯然,因?yàn)閁∧f-1Oy在f-1Oy中的任何一個(gè)點(diǎn)態(tài)W-加細(xì)都是UF∧f-1Oy在f-1Oy中的點(diǎn)態(tài)星加細(xì).(ii)?(i).設(shè)y∈Y,Oy是y的一個(gè)鄰域使得f-1Oy被U所覆蓋,V是UF∧f-1Oy在f-1Oy中的一個(gè)開(kāi)的內(nèi)核保持點(diǎn)態(tài)星加細(xì).對(duì)U′?U,令F(U′)={x∈f-1Oy:St(x,V)?∪(U′∧f-1Oy)},F={F(U′):U′?U且U′是有限的}.對(duì)x∈f-1Oy及z∈∩(V)x,有(V)x?(V)z,St(x,V)?St(z,V)且若F(U′)∩[∩(V)x]≠?,有x∈F(U′).易證F是f-1Oy中的閉包保持閉族.由于V是UF∧f-1Oy的點(diǎn)態(tài)星加細(xì),又F(U′)?∪(U′∧f-1Oy),所以F是UF∧f-1Oy的一個(gè)加細(xì).注在上述引理(i)中,若UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)閉包保持閉加細(xì)且這覆蓋的元的內(nèi)核覆蓋f-1Oy,則相應(yīng)地(ii),(iii)中“點(diǎn)態(tài)”就可改為“局部”.由于點(diǎn)有限開(kāi)覆蓋是其本身的一個(gè)內(nèi)核保持點(diǎn)態(tài)W-加細(xì),所以若f:X→Y是連續(xù)閉映射,對(duì)y∈Y,U是X中一覆蓋f-1y的點(diǎn)有限開(kāi)族,則存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)閉包保持閉加細(xì).從引理2.3的證明中我們?nèi)菀字?設(shè)y∈Y,U是任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持開(kāi)族,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)點(diǎn)星開(kāi)加細(xì)當(dāng)且僅當(dāng)U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)閉包保持閉加細(xì).定理2.4設(shè)f:X→Y是正則映射.則下列論述等價(jià)(i)f是仿緊映射;(ii)對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)內(nèi)核保持開(kāi)的局部星加細(xì);(iii)對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)σ-閉包保持閉加細(xì)且這覆蓋的元的內(nèi)核覆蓋f-1Oy;(iv)對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的定向開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)閉包保持閉加細(xì)且這覆蓋的元的內(nèi)核覆蓋f-1Oy.證明由于局部有限覆蓋是它本身的局部W-加細(xì),由引理2.3及其后的注釋知(i)?(iv),(iv)?(iii)顯然.(iii)?(ii).假設(shè)f滿足條件(iii).首先證f是可數(shù)仿緊的.設(shè)y∈Y,C={Cn:n∈N}是X中任一覆蓋f-1y的可數(shù)開(kāi)族.對(duì)n∈N,令Dn=n∪k=1Ck,則D={Dn:n∈N}是X中覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)族.由假設(shè)存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy的被D所覆蓋且D∧f-1Oy有一個(gè)σ-閉包保持閉加細(xì)S=∪n∈ΝSn滿足{S0:S∈S}覆蓋f-1Oy.設(shè)R0=?,對(duì)每一n∈Ν,Rn=∪{S∈n∪k=1Sn:S?Dn}.易證集族{Cn-Rn-1:n∈N}是C∧f-1Oy的一個(gè)開(kāi)加細(xì)且在f-1Oy中是局部有限的.下面我們證明如果F是f-1Oy的一個(gè)σ-閉包保持閉子集族使得{F0:F∈F}覆蓋f-1Oy,則有一個(gè)閉族K是F在f-1Oy中的閉包保持加細(xì)且{K0:K∈K}覆蓋f-1Oy.設(shè)F=∪n∈ΝFn是f-1Oy的閉子集族滿足{F0:F∈F}覆蓋f-1Oy且Fn是閉包保持的,n∈N.對(duì)n∈N,令Cn=∪{F0:F∈Fn},則C={Cn:n∈N}是f-1Oy的可數(shù)開(kāi)覆蓋,從而覆蓋f-1y.所以C∧f-1Oy有一個(gè)開(kāi)加細(xì)P在f-1Oy中是局部有限的.任一P∈P,存在n(P)∈N使得P?Cn(P)∩f-1Oy.置K(Ρ)={F∩ˉΡ:F∈Fn(P)},則K=∪{K(P):P∈P}是F在f-1Oy中的一個(gè)閉加細(xì).每一P∈P,集族K(P)是閉包保持的.由于P在f-1Oy中是局部有限的,所以K在f-1Oy中是閉包保持的.此外,若x∈f-1Oy,P∈Px,則存在K∈K(P),x∈K0.從而{K0:K∈K}覆蓋f-1Oy.綜上所述,我們知道每一y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy有一個(gè)閉包保持閉加細(xì),且這覆蓋的元的內(nèi)核覆蓋f-1Oy.由引理2.3的注釋知f滿足條件(ii).(ii)?(i).設(shè)f滿足條件(ii).根據(jù)引理2.3,f也滿足(iii).由前面證明知f是可數(shù)仿緊的.再根據(jù)定理2.2(iii),只需證明每一y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)局部有限開(kāi)加細(xì).設(shè)y∈Y,U是X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持開(kāi)族,則UF為X中覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)集族.由條件知,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被UF所覆蓋且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)開(kāi)的內(nèi)核保持局部星加細(xì).根據(jù)引理2.3,U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)開(kāi)的內(nèi)核保持局部W-加細(xì)U2.如此遞推,存在y的鄰域序列〈On(y)〉及X中的開(kāi)集族序列〈Un〉覆蓋f-1y使得U1=U,O1(y)=Oy,f-1On(y)被Un所覆蓋且對(duì)n∈N,On+1(y)?On(y),Un+1是Un∧f-1On(y)在f-1On(y)中的局部W-加細(xì).往證U有一個(gè)開(kāi)加細(xì)V=∞∪n=2Vn且每一n∈N,Vn在f-1On(y)中是局部有限的.設(shè)U={Uα:α<γ},其中γ是某一序數(shù).對(duì)U∈∞∪n=1Un,令α(U)為{α:α<γ,U?Uα}中的最小序數(shù).如果U′∈∞∪n=1Un使得U?U′,那么α(U′)≥α(U)對(duì)n∈N,置Wn={U∈Un:任意U′∈Un-1滿足U?U′,則α(U′)=α(U)}.下面我們證明∞∪n=2Wn覆蓋f-1y.設(shè)x∈f-1y,對(duì)n>1,令αn為{α(U):U∈(Un)x}的上確界.由于Un是U在f-1y中的點(diǎn)態(tài)W-加細(xì),故有αn<γ.又每一n∈N,Un+1是Un的加細(xì),所以αn+1≤αn.因而存在β<γ及k≥3使得對(duì)每一n≥k-1,αn=β.因?yàn)閁k+1是Uk在f-1y中的點(diǎn)態(tài)W-加細(xì),所以存在(Uk)x的有限子族?U使得(Uk+1)x加細(xì)?U.取U∈?U使得每一U′∈?U,α(U′)≤α(U).顯然αk+1≤α(U).另外,由于U∈Uk,故α(U)≤αk.又αk+1=αk=β,所以α(U)=β.如果U滿足U?U′,那么α(U)≤α(U′).而αk-1=β,U′∈(Uk-1)x,所以α(U′)≤β,即α(U′)≤α(U).所以α(U)=α(U′)=β,x∈U∈Wk.從而∞∪n=2Wn覆蓋f-1y.對(duì)n∈N及α<γ,令Vα,n=∪{U∈Wn:α(U)=α},Vn={Vα,n:α＜γ},V=∞∪n=2Vn.顯然∪Vn=∪Wn,n∈N且對(duì)n∈N及α<γ,Vα,n?Uα.所以V是U的開(kāi)加細(xì).往證Vn在f-1On(y)中是局部有限的.每一n∈N及x∈f-1On(y),存在x在f-1On(y)中的鄰域N及Un的有限子族U′使得(Un+1)N加細(xì)U′.令A(yù)={α(U′):U′∈U′},B={α<γ:N∩Vα,n+1≠?}.任一β∈B,N∩Vβ,n+1≠?.所以存在U∈Wn+1使得α(U)=β,U∩N≠?,則U∈(Un+1)N.于是存在U′?U′使得U?U′.又U∈Wn+1,所以U?U′∈Un且α(U′)=α(U)=β.從而β∈A,B?A,即|(Vn+1)N|≤|U′|.所以Vn+1在f-1On(y)中是局部有限的,從而在f-1On+1(y)中是局部有限的.由文的定理3.7知f是仿緊的.以下我們主要給出亞緊映射的一些特征定理.類似于定理2.2的證明方法易證定理2.5f是亞緊映射,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)y∈Y及X中每一覆蓋f-1y的嚴(yán)格單調(diào)開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy,使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy,在f-1Oy中有一個(gè)點(diǎn)有限開(kāi)加細(xì).不難看到,點(diǎn)有限半開(kāi)甚至開(kāi)覆蓋并不一定都有點(diǎn)有限半開(kāi)閉F-加細(xì).但下面這個(gè)定理告訴我們,若存在點(diǎn)有限半開(kāi)加細(xì),則必存在某一開(kāi)加細(xì),從而得到亞緊映射在點(diǎn)有限半開(kāi)加細(xì)下的刻劃.定理2.6f是亞緊映射,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)y∈Y及X中每一覆蓋f-1y的開(kāi)集族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy,使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy,在f-1Oy中有一個(gè)點(diǎn)有限半開(kāi)加細(xì).證明“?”顯然.“?”設(shè)y∈Y,U為X中任一覆蓋f-1y的開(kāi)族,Oy為y的一個(gè)鄰域使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)點(diǎn)有限的半開(kāi)加細(xì)L,先證明存在一個(gè)開(kāi)族是U∧f-1Oy在f-1Oy中的點(diǎn)態(tài)W-加細(xì).對(duì)L∈L,存在U(L)∈U使得L?U(L)∩f-1Oy.每一x∈f-1Oy,U(x)={U(L)∩f-1Oy:L∈(L)x}為U∧f-1Oy的有限子族.令V(x)=[Int(St(x,L))]∩[∩U(x)].往證V={V(x):x∈f-1Oy}是U∧f-1Oy在f-1Oy中的點(diǎn)態(tài)W-加細(xì).對(duì)x∈f-1Oy及z∈f-1Oy使x∈V(z),則x∈St(z,L).所以存在L∈L使x∈L,z∈L.對(duì)開(kāi)集U(L),U(L)∩f-1Oy∈U(x)且V(z)?U(L)∩f-1Oy.即每一V∈(V)x,存在U∧f-1Oy的有限子族U(x)中的某元U∩f-1Oy使V?U∩f-1Oy.所以V是U∧f-1Oy在f-1Oy中的點(diǎn)態(tài)W-加細(xì).由文的定理3.4(Vi)可知f是亞緊的.定理2.7設(shè)f:X→Y是正則映射.則下列論述等價(jià):(i)f是亞緊映射的;(ii)對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy中在f-1Oy中有一個(gè)內(nèi)核保持點(diǎn)星開(kāi)加細(xì).(iii)對(duì)y∈Y及X中任一覆蓋f-1y的內(nèi)核保持定向開(kāi)族U,存在y的一個(gè)鄰域Oy使得f-1Oy被U所覆蓋且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一個(gè)閉包保持閉加細(xì).證明(i)?(iii)由文的定理3.4直接得出.(iii)?(ii)由引理2.3可得.(ii)?(i).設(shè)條件(ii)成立.要證f是亞緊的,由根據(jù)