大一高數(shù)-微分

三、微分運算法則四、微分在近似計算中的應用二、微分的幾何意義第七節(jié)一、微分的概念機動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的微分

第二章2021/5/91一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當x

在取得增量時,變到邊長由其機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/92的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/93說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,(4)當故當機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/94定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導,且在點可微的充要條件是在點處可導,且即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/95定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導,且即“充分性”已知即在點的可導,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/96二、微分的幾何意義當很小時,則有從而導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分,記作記機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/97例如,求基本初等函數(shù)的微分公式(見P136表)又如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/98三、微分運算法則設u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/99例1.求解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/910例2.設求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.2021/5/911數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注意目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/912四、微分在近似計算中的應用當很小時,使用原則:得近似等式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/913例4.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/914的近似值.解:

設取則例5.求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/915特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/916的近似值.解:例6.計算機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/917內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導可微2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應用近似計算估計誤差*機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/918思考題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/919思考題解答說法不對.

從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/920導數(shù)與微分的區(qū)別:★機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/921練習1.設函數(shù)的