數(shù)列通項(xiàng)的求法

數(shù)列通項(xiàng)的求法

注：①有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，如：3，π，e，6；②有的數(shù)列有多個(gè)通項(xiàng)公式,如：

數(shù)列的通項(xiàng)公式:是一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)（即an）與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系

下面我就談一談數(shù)列通項(xiàng)公式的常用求法：一觀察、歸納法：觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)間的關(guān)系，歸納出變化規(guī)律,寫出通項(xiàng)公式.

解：變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通項(xiàng)公式為：例1：數(shù)列9，99，999，9999，……

注意：用觀察歸納法，只從數(shù)列的有限項(xiàng)來歸納數(shù)列所有項(xiàng)的通項(xiàng)公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可歸納成或者兩個(gè)不同的數(shù)列（便不同）二公式法：

提問：（1）我們已經(jīng)學(xué)過哪些數(shù)列的通項(xiàng)公式？等差數(shù)列：

等比數(shù)列：（2）如何判定？

等差數(shù)列：

等比數(shù)列：推導(dǎo)方法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法_______

②等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法_______疊加法疊乘法解：∵為等差數(shù)列∴

…即：把上面n-1個(gè)式子左右兩邊同時(shí)相加得：解：∵為等比數(shù)列,∴

把1，2…，n分別代入上式得：

，，…，把上面n-1個(gè)式子左右兩邊同時(shí)相乘得：∴例2（1）在等差數(shù)列中，若

則_________

（2）某工廠2000年底的產(chǎn)量為a,

若產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x,則2010年

底的產(chǎn)量為_____________

答案（1）

（2）

當(dāng)所給數(shù)列每依次相鄰兩項(xiàng)之間的差不是一個(gè)常數(shù)時(shí)，怎么求通項(xiàng)？例3.已知分析：探求三疊加法解：由已知，當(dāng)……將上邊n-1個(gè)式子相加得：∴又n=1時(shí)，=1適合上式想一想：你有什么解題方法上的收獲？四疊乘法

類比上例，當(dāng)一個(gè)數(shù)列每依次相鄰兩項(xiàng)之商不是一個(gè)非零常數(shù)時(shí)，怎么求通項(xiàng)呢？

例4、已知數(shù)列中，求通項(xiàng).

分析：探求

解由已知，

將左邊n-1個(gè)式子相乘\212=aa得：)2(113-=-nnnaann想一想：比較上述兩例的解法，你有什么收獲？

疊加法與疊乘法是探求數(shù)列通項(xiàng)的兩種常用基本方法。它們的相同點(diǎn)都是探求與的關(guān)系，不同點(diǎn)是：當(dāng)與的差是特殊數(shù)列時(shí)用疊 加法，當(dāng)與的商是特殊數(shù)列時(shí)用疊 乘法。解：得：試一試：已知數(shù)列中，， 求通項(xiàng).

把上面n-1個(gè)式子左右兩邊同時(shí)相乘得：

，，…，五.已知，求.基本方法是：

注意：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例5已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足求的通項(xiàng)公式。

由于=0不適合上式解當(dāng)時(shí)六.轉(zhuǎn)化、換元法

當(dāng)已知遞推關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，上面的方法還能用嗎？試試看：

例6已知數(shù)列的遞推關(guān)系為，且求通項(xiàng)公式。解：∵則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列∴令∴∴即∴你還有不同的解法嗎？

想一想：這個(gè)問題比較難吧，你有什么感受呢？

當(dāng)已知遞推關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，主要掌握：通過變形，引進(jìn)輔助數(shù)列后能轉(zhuǎn)化成公式法的特征形式，或是疊加、疊乘法的特征形式，所以上述基本方法的特征和步驟一定要熟練！

2已知滿足

1）證明數(shù)列為等比數(shù)列

2）求

挑戰(zhàn)自我：1已知滿足求1解由已知2解：

一觀察歸納法

二公式法特征：

三疊加法特征:

四疊乘法特征：

五已知求

六轉(zhuǎn)化、換元法類比！轉(zhuǎn)化換元!學(xué)貴：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些求數(shù)列通項(xiàng)反思的方法？它們的特征是什么？

一觀察歸納法

二公式法特征：

三疊加法特征:

四疊乘法特征：

五已知求

六轉(zhuǎn)化、換元法

一觀察歸納法

二公式法特征：

三疊加法特征:

四疊乘法特征：

五已知