專題提升01 倍長(zhǎng)中線模型（幾何模型）（解析版）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清十二章全等三角形12.2三角形全等的重要模型倍長(zhǎng)中線模型（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解倍長(zhǎng)中線法的基本方法。會(huì)運(yùn)用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形證明和計(jì)算；3、提高推理能力，獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心。老師對(duì)你說：全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型--倍長(zhǎng)中線模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等是證線段相等或角相等的重要依據(jù),在解題過程中若不能直接運(yùn)用,則需要通過作輔助線來構(gòu)造全等三角形，若已知條件中存在中線,可將中線延長(zhǎng),將要求解或證明的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化,進(jìn)而解決問題。倍長(zhǎng)中線法定義延長(zhǎng)三角形的中線，使得延長(zhǎng)后的線段是原中線的兩倍．其目的是構(gòu)造一對(duì)對(duì)頂?shù)娜热切?；其本質(zhì)是轉(zhuǎn)移邊和角．示例剖析其中，延長(zhǎng)使得，則．其模型也屬于“8字型或成X字型”.基本方法：1.基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點(diǎn)型:如圖2，為的中點(diǎn).證明思路：若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則;若延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，則.3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).證明思路：延長(zhǎng)交于點(diǎn)(或交延長(zhǎng)線于點(diǎn))，則.【例1-1】【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)見解析【分析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．（3）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M，使AD＝DM，連接BM．∵AD是△ABC中線∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中∴∴BM＝AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等邊對(duì)等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角對(duì)等邊）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．【例1-2】【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C畫直線CE，使，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：證明∵（已知）∴，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．在與中，∵，（已證），（已知），∴，∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長(zhǎng)．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由見解析；（3）DF=3．【分析】（1）延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；（2）結(jié)論：AD=AB+DC．延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，證明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再證明DA=DF即可解決問題；（3）如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明AB=DF+CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）結(jié)論：AD=AB+DC．理由：如圖②中，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．針對(duì)性訓(xùn)練11.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請(qǐng)判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC=BF，理由見解析【解析】（1）解：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．（2）AC=BF，理由如下：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使GD=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，作輔助線：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在中，為邊上的中線．(1)按要求作圖：延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使；連接．(2)求證：．(3)求證：．(4)若，，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題目中語言描述畫出圖形即可；（2）直接利用證明即可；（3）根據(jù)，得，從而得出，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)三角形三邊關(guān)系得，又由，，，，代入即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）證明：如圖，

∵為邊上的中線，∴，在和中，，∴．（3）證明：如圖，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式模型：【例2-1】已知：如圖，D為線段AB的中點(diǎn)，在AB上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B，D重合），分別以AC，BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰Rt△ACE與等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，連接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度數(shù)；（2）求證：△DEF為等腰直角三角形．解析（1）∵△ACE和△CBF均為等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°，∠FCB＝45°．∵∠ECA+∠ECF+∠FCB＝180°，∴∠ECF＝90°．（2）證明：延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使得DG＝DE，連接BG，F(xiàn)G．∵D為線段AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD．∵在△EDA和△GDB中ED=GD∠EDA=∠GDBDA=DB，∴△EDA≌△GDB（∴EA＝GB，∠A＝∠GBD＝45°．∵△ACE與△BCF是等腰直角三角形∴CF＝FB，AE＝EC，∠A＝∠ECA＝∠FCB＝∠FBC＝45°．∴CF＝FB，EC＝BG，∠ECF＝90°．∵在△ECF和△GBF中EC=BG∠ECF=∠GBFCF=BF，∴△ECF≌△GBF（∴EF＝GF，∠EFC＝∠GFB．∵∠CFB＝∠CFG+∠GFB＝90°，∴∠EFG＝∠EFC+∠CFG＝90°．∵在△EFD和△GFD中EF=GFFD=FDED=GD，∴△EFD≌△∴∠EDF＝∠GDF＝90°，∠EFD＝∠GFD＝45°．∴ED＝DF，∴△DEF為等腰直角三角形．【例2-2】.如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BD＝CE，連接DE交BC于點(diǎn)M．求證：MD＝ME．證明如圖，過點(diǎn)E作EN∥AB，并交BC的延長(zhǎng)線于N．∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°．又∵∠ACB與∠NCE是對(duì)頂角，∴∠ACB＝∠NCE＝60°．∵AB∥NE，∴∠B＝∠N＝60°．∴∠NCE＝∠N＝60°．∴CE＝NE．又∵BD＝CE，∴BD＝NE．在△BDM和△NEM中&∴△BDM≌△NEM(AAS)．∴DM＝EM．【例2-3】如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．證明過E作AC的平行線于AD延長(zhǎng)線交于G點(diǎn)，∵EG∥AC，∴∠DEG＝∠C，在△DEG和△DCA中，∠ADC=∠GDECD=ED∠DEG=∠DCA，∴△DEG≌△DCA（∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．針對(duì)性訓(xùn)練21.如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AP＝CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP＝DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的長(zhǎng)．答案（1）略（2）2解析(1)證明：如圖，過點(diǎn)P作PM∥BC，則∠DPM＝∠Q，∵△ABC為等邊三角形，∴△APM是等邊三角形，∴AP＝PM，又∵AP＝CQ，∴PM＝CQ，在△DPM和△DQC中&∠DPM∴△DPM≌△DQC(AAS)，∴DP＝DQ；(2)∵△DPM≌△DQC，∴DM＝DC，∵PE⊥AC，△APM是等邊三角形，∴AE＝EM，∴DE＝DM+EM＝12AC∵等邊三角形ABC的邊BC＝4，∴AC＝4，∴DE＝12×4＝2如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH上的中點(diǎn)，求證：MA⊥BC．證明延長(zhǎng)AM到N使MN＝AM，如圖，∵M(jìn)為FH上的中點(diǎn)，∴FM＝HM，在△AMF和△NMB中，AM=NM∠AMF=∠NMHFM=HM，∴△AMF≌△∴∠MAF＝∠N，AF＝NH，∵四邊形ABEF和四邊形ACGH為正方形，∴AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，∴∠FAH+∠BAC＝180°，HN＝AB，∴∠N+∠NAH+∠BAC＝180°，∵∠N+∠NAH+∠AHN＝180°，∴∠BAC＝∠AHN，在△ABC和△HNA中，AB=HN∠BAC=∠AHNAC=HA，∴△ABC≌△HNA（∴∠ACB＝∠HAN，∵∠HAN+∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．鞏固提高1．是的中線，，則的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】先畫出圖形，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，再利用定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則，

是的中線，，在和中，，，，在中，，即，，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有A符合，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．如圖，在中，為中線，且，則邊的取值范圍是___________．【答案】【分析】延長(zhǎng)至，使得，連接，先證明，由此可得，，再根據(jù)三角形存在性，求得，即得到邊的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，∵在中，為中線，∴，在與中，∵，∴，∴．∵，又∵，，∴，，在中，∵，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3.如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，，且，，那么的長(zhǎng)度為__．【答案】；【分析】延長(zhǎng)至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度建立等量關(guān)系計(jì)算．【詳解】

如圖：延長(zhǎng)至使，連接在和中：∴∴∵∴∴∵∴∴∴即∴【點(diǎn)撥】倍長(zhǎng)中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵．4.規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，，，，回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點(diǎn)P，連接，請(qǐng)證明．【分析】（1）根據(jù)，，即可證明；（2）延長(zhǎng)至E，使，先證，推出，，進(jìn)而推出，再證，即可推出，由此可證．【詳解】（1）證明：，，又，，和是兄弟三角形．（2）證明：延長(zhǎng)至E，使，P為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，又，，，，，在和中，，，又，．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．5.已知：如圖，△ABC和△DEF，，，AP、DQ分別是BC和EF邊上的高，且．求證：；（2）如果（1）中的條件不變，“如圖”二字去掉，那么△ABC與△DEF全等嗎?如果全等請(qǐng)證明，如果不全等請(qǐng)舉出反例．（3）如果把（1）中的條件“AP、DQ分別是BC和EF邊上的高”改為“AP、DQ分別是BC和EF邊上的中線”，請(qǐng)證明：．【答案】（1）見解析；（2）不一定全等；反例見解析；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（2）沒有如圖三角形的高線的位置不可知，所以無法求證；（3）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）∵在△ABC和△DEF中，AP、DQ分別是三角形的高，∴，，在Rt△ABP和Rt△DEQ中，，∴(HL)，∴，

在Rt△ACP和Rt△DFQ中，，∴(HL)．∴，∴，即，在△ABC和△DEF中，∴(SAS)；（2）不一定全等，反例如圖：；（3）延長(zhǎng)AP至M，使得，延長(zhǎng)DQ至N，使得．

∴，∵∴∵AP、DQ是中線∴，在△ACP和△MBP中，∴(SAS)，∴，在△DFQ和△NEQ中，∴△DFQ△NEQ(SAS)，∴，，∵，∴，在△ABM和△DEN中，∴△ABM△DEN(SSS)，∴，，∴，∴，即，在△ABC和△DEF中，∴△ABC△DEF(SAS)，6.（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍長(zhǎng)中線模型，構(gòu)造全等三角形，即可求出中線的取值范圍；（2）用倍長(zhǎng)中線模型，通過證明三角形的全等，可求出線段與的數(shù)量和位置關(guān)系．【詳解】解：（1）如下圖，延長(zhǎng)，使得，則，∵D是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴邊上的中線的取值范圍為：；（2）且，證明如下：如下圖，延長(zhǎng)，使得，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)H，由（1）可易證，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，綜上所述，且．【點(diǎn)撥】本題考查三角形中線的定義、三角形全等的判定和性質(zhì)，用倍長(zhǎng)中線模型添加輔助線是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的高和中線的相關(guān)性質(zhì)．7.課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．(1)小明的想法是，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請(qǐng)你按照小明的想法解決此問題；(2)請(qǐng)按照上述提示，解決下面問題：在等腰Rt△A