3.1.2橢圓的幾何性質(zhì)（10大題型）（原卷版）

橢圓的幾何性質(zhì)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程范圍，，對稱性關于軸、原點對稱軸長長軸長：；短軸長：長軸長：；短軸長：頂點離心率離心率越接近1，則橢圓越圓；離心率越接近0，則橢圓越扁通徑通徑的定義：過焦點且垂直于焦點軸的橢圓的弦長通徑的大?。憾?、點與橢圓的位置關系焦點在x軸上焦點在y軸上點在橢圓內(nèi)點在橢圓上點在橢圓外三、直線與橢圓的位置關系1、直線與橢圓的位置關系：聯(lián)立消去y得一個關于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出根與系數(shù)的關系；（4）將所求問題或題中關系轉化為關于，的形式；（5）代入求解．四、直線與橢圓相交的弦長公式1、定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．2、求弦長的方法（1）交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：五、解決橢圓中點弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；2、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點、，其中中點為，則有。證明：設、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點、，線段中點為，則有。題型一由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)【例1】（2024·寧夏銀川·高二期中）（多選）已知橢圓：.則下列結論正確的是（）A．長軸為6B．短軸為4C．焦距為D．離心率為【變式11】（2023·全國·高二專題練習）（多選）關于橢圓有以下結論，其中正確的有（）A．離心率為B．長軸長是C．焦距2D．焦點坐標為【變式12】（2024·浙江溫州·高二期中）已知曲線表示橢圓，下列說法正確的是（）A．m的取值范圍為B．若該橢圓的焦點在y軸上，則C．若，則該橢圓的焦距為4D．若橢圓的離心率為，則【變式13】（2024·重慶·高二期中）橢圓與橢圓的（）A．長軸相等B．短軸相等C．焦距相等D．離心率相等題型二由橢圓幾何性質(zhì)求標準方程【例2】（2024·河南開封·高二期中）已知橢圓C的焦點在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點，則的標準方程為（）A．B．C．D．【變式21】（2024·重慶·高二期中）已知是橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，若的周長為6.且橢圓的離心率為，則橢圓方程為（）A．B．C．D．【變式22】（2023秋·高二課時練習）已知中心在原點，以坐標軸為對稱軸，橢圓過點且與橢圓有公共的焦點，求橢圓的標準方程．【變式23】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習）焦點在軸上且中心為原點的橢圓與橢圓：離心率相同，且，在第一象限內(nèi)公共點的橫坐標為1，則的方程題型三求橢圓離心率的值【例3】（2024·四川成都·高二期中）若橢圓C：的短軸長為2，則橢圓C的離心率為．【變式31】（2024·江蘇南通·高二階段練習）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【變式32】（2023秋·高二課時練習），是橢圓E：的左，右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【變式33】（2023·江蘇·高二專題練習）設，分別是橢圓的左，右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為.題型四求橢圓離心率的取值范圍【例4】（2023·江蘇·高二專題練習）已知橢圓的左右焦點為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的范圍為（）．A．B．C．D．【變式41】（2024·蘭州·高二期中）橢圓的兩個焦點為是橢圓上一點，且滿足.則橢圓離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式42】（2024·重慶·高二期中）已知A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上不存在點P使，則橢圓離心率e的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式43】（2023秋·重慶·高二校考階段練習）設橢圓C：的右焦點為F，橢圓C上的兩點關于原點對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．題型五點與橢圓的位置關系【例5】（2023·江蘇·高二專題練習）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（）A．點不在橢圓上B．點不在橢圓上C．點在橢圓上D．無法判斷上述點與橢圓的關系【變式51】（2023·全國·高二專題練習）點P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關系是（）A．點P在橢圓C上B．點P與橢圓C的位置關系不能確定，與α的取值有關C．點P在橢圓C內(nèi)D．點P在橢圓C外【變式52】（2023·江蘇·高二專題練習）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式53】（2023·全國·高二專題練習）（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點M，設M的坐標為(x0，y0)，若l1⊥l2，則下列結論正確的有（）A．B．C．D．題型六直線與橢圓的位置關系【例6】（2024·遼寧大連·高二期中）已知橢圓，直線，則與的位置關系為（）A．相交B．相切C．相離D．以上選項都不對【變式61】（2023·高二專題練習）直線l：與橢圓C：的位置關系是（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【變式62】（2024·浙江溫州·高二期中）已知直線與橢圓有公共點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式63】（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且過點和（1）求橢圓C的標準方程；（2）求直線和橢圓C的公共點的坐標．題型七直線與橢圓相切應用【例7】（2022秋·新疆烏魯木齊·高二期末）設橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程.【變式71】（2023·全國·高二專題練習）若方程有解，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式72】（2023·全國·高二隨堂練習）求橢圓上的點到直線的最短距離，并求出此時橢圓上的點的坐標.【變式73】（2023·高二專題練習）已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，則點P到直線l：的最大距離為.題型八直線與橢圓相交弦長問題【例8】（2023秋·高二課時練習）過橢圓的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于兩點，則等于（）A．4B．2C．1D．4【變式81】（2023·全國·高二專題練習）過橢圓的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且，則這樣直線的條數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【變式82】（2023·江蘇·高二專題練習）過橢圓的左焦點引直線交橢圓于A，B兩點，且，則直線方程為．【變式83】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習）已知圓：和圓：，以動點為圓心的圓與其中一個圓外切，與另一個圓內(nèi)切.記動點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過的直線交軌跡于，兩點，點在直線上.若為以為斜邊的等腰直角三角形，求的長度.題型九橢圓的中點弦與點差法【例9】（2024·江蘇南京·高二階段練習）以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點和，直線與橢圓相交于兩點，為線段的中點．（1）求橢圓的方程；（2）若點的坐標為，求直線的方程；【變式91】（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓四個頂點構成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（）A．B．C．D．【變式92】（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習）橢圓與直線相交于A，B兩點，過的中點M與坐標原點的直線的斜率為2，則（）A．B．C．D．2【變式93】（2023秋·重慶·高二校考期末）已知橢圓上存在兩點關于直線對稱，且線段中點的縱坐標為，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．題型十橢圓的綜合問題【例10】（2024·江蘇鹽城·高二階段練習）已知橢圓E：的下焦點、上焦點為，離心率為過焦點且與x軸不垂直的直線l交橢圓E于A，B兩點．（1）求m的值；（2）求（O為坐標原點）面積的取值范圍．【變式101】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習）已知橢圓方程為，過點，的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）對于，是否存在實數(shù)k，使得直線分別交橢圓于點P，Q，且，若存在，求出k的值；