DFT信號頻譜分析

一，實驗名稱：DFT的頻譜分析二，實驗目的：加深對DFT原理的理解，熟悉DFT的性質(zhì)。掌握離散傅里葉變換的有關性質(zhì)，利用Matlab實現(xiàn)DFT變換深刻理解利用DFT分析信號頻譜的原理，分析實現(xiàn)過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象及解決方法三，實驗原理：所謂信號的頻譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算，使其應用受到限制，而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運算，成為分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。工程實際中，經(jīng)常遇到的連續(xù)信號Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)也是連續(xù)函數(shù)。數(shù)字計算機難于處理，因而我們采用DFT來對連續(xù)時間信號的傅里葉變換進行逼近，進而分析連續(xù)時間信號的頻譜。離散傅里葉變換是有限長序列的傅里葉變換，它相當于把信號的傅里葉變換進行等頻率間隔采樣，并且有限長序列的離散傅里葉變換和周期序列的離散傅里葉級數(shù)本質(zhì)是一樣的。快速傅里葉變換〔FFT〕并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而開展起來的：〔1〕把長度為N的序列的DFT逐次分解成長度較短的序列的DFT來計算。〔2〕利用WN(nk)的周期性和對稱性，在DFT運算中適當?shù)姆诸?，以提高運算速度?！矊ΨQ性，;周期性，r為任意整數(shù)〕離散傅里葉變換的推導：離散傅里葉級數(shù)定義為〔1-1〕將上式兩端乘以并對n在0~N-1求和可得因為所以這樣用k代替m得〔1-2〕令，那么〔1-2〕成為DFS〔1-3〕〔1-1〕成為IDFS〔1-4〕式〔1-3〕、〔1-4〕式構成周期序列傅里葉級數(shù)變換關系。其中都是周期為N的周期序列，DFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[·]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。習慣上，對于長為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間稱為主值區(qū)，把稱為的主值序列，同樣也稱為的主值序列。由于，對于周期序列僅有N個獨立樣值，對于任何一個周期進行研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究與是等價的，因此在主值區(qū)計算DFS和DFT是相等的，所以DFT計算公式形式與DFS根本相同。其關系為，所以離散傅里葉正變換0kN-1離散傅里葉變換(DFT)定義：設有限長序列x(n)長為N〔0nN-1〕，其離散傅里葉變換是一個長為N的頻率有限長序列〔0kN-1〕，其正變換為0kN-1〔〕離散傅里葉變換的實質(zhì)是：把有限長序列當做周期序列的主值序列進行DFS變換，x(n)、X(k)的長度均為N，都是N個獨立值，因此二者具有的信息量是相等的。x(n)可以唯一確定X(k),X(k)可以唯一確定x(n)。雖然離散傅里葉變換是兩個有限長序列之間的變化，但它們是利用DFS關系推導出來的，因而隱含著周期性四，實驗內(nèi)容與程序：1，對離散確定信號作如下譜分析：截取使成為有限長序列N()，(長度N自己選)寫程序計算出的N點DFT,畫出時域序列圖xn～n和相應的幅頻圖。解：1〕求x(n)的前10點數(shù)據(jù)對應的X(ejw)、X(k)。MATLAB程序：N=10;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時域序列圖xn');xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率〔單位：pi〕');axis([0,1,0,10]);x(n)的前10點數(shù)據(jù)對應的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-1所示。圖1-1x(n)的前10點數(shù)據(jù)對應的x(n)、X(ejw)、X(k)2〕將x(n)補零至100點，求N=100點的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=10;n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);N1=100;n1=0:N1-1;x1=[xn(1:10)zeros(1,90)];subplot(3,1,1)stem(n1,x1,'.k');title('時域序列圖x1');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率〔單位：pi〕');axis([0,1,0,10]);x(n)補零至100點對應的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。圖1-2x(n)補零至100點對應的x(n)、X(ejw)、X(k)x(n)補零至100點對應的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。由圖可見，x(n)補零至100點，只是改變X(k)的密度，截斷函數(shù)的頻譜混疊作用沒有改變，這時的物理分辨率使X(k)仍不能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量。這說明，補零僅僅是提高了計算分辨率，得到的是高密度頻譜，而得不到高分辨率譜。3〕求x(n)的前100點數(shù)據(jù)，求N=100點的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=100;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時域序列圖xn');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,50]);subplot(3,1,3);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率〔單位：pi〕');axis([0,1,0,50]);100點x(n)對應的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-3所示圖1-3100點x(n)對應的x(n)、X(ejw)、X(k)由圖可見，截斷函數(shù)的加寬且為周期序列的整數(shù)倍，改變了頻譜混疊作用，提高了物理分辨率，使X(k)能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個頻率分量。這說明通過增加數(shù)據(jù)的記錄長度Tp來提高物理分辨率可以得到分辨率譜。2，離散序列x(n)=cos(0.48πn)+cos(0.52πn)0≤n≤10時，用DFT估計x(n)的頻譜；將x(n)補零加長到長度為100點序列用DFT估計x(n)的頻譜。要求畫出相應波形。0≤n≤100時，用DFT估計x(n)的頻譜，并畫出波形MATLAB程序：n=[0:10];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);y=fft(x);subplot(3,1,1);stem(n,y,'filled');xn=[x,zeros(1,90)]; yn=fft(xn);holdon;nn=[0:100];subplot(3,1,2);stem(nn,yn,'filled');n1=[0:100];x1=cos(0.48*pi*n1)+cos(0.52*pi*n1);y1=fft(x1);subplot(3,1,3);stem(n1,y1,'filled');運行結(jié)果：五，實驗結(jié)果思考分析：1，將實驗內(nèi)容的1中(1)(2)(3)的圖，說明補零DFT的作用。答：由圖〔1-1〕、〔1-2〕、〔1-3〕可知DFT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當于透過一個柵欄去觀察原來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的局部就是未被采樣到的局部，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。如下列圖由于柵欄效應總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋〞二無法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補假設干個零值，介意改變原序列的長度。這樣加長的序列作DFT時，由于點數(shù)增加就相當于調(diào)整了原來柵欄的間隙即間隔頻率，可以使得原來的不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點上而得到反映。但要注意，由于柵欄效應，使得被分析的頻譜變得較為稀疏，為此，在采樣樣本序列x(n)后補零，在數(shù)據(jù)長度不變的情況下，可以改變頻譜的頻率取樣密度，得到高密度頻譜。2，分析第2題實驗結(jié)果，思考利用DFT計算頻譜時如何提高頻譜的分辨率；對序列補零加長是否能提高頻譜的分辨率。答：更長的時域信號能夠提供更高的頻域分辨率，因為一個N點的時域信號能被分解為N/2+1個余弦信號和N/2+1個正弦信號，N增大那么(N/2+1)也增大，頻域間隔(1/2的時域采樣頻率)/(N/2+1)減小，所以頻域分辨率提高了。所以利用DFT計算頻譜時增加取樣點的長度范圍可以提高分辨率。補零加長并不會改變頻域的間隔，所以不能提高分辨率。六，實驗心得過該課程設計，我們受益匪淺，對DFT在進行頻譜的分析上有了根深刻的理解和掌握。DFT實現(xiàn)了頻域采樣，同時DFT存在快速算法FFT，所以在實際應用中，可以利用計算機，用DFT來逼近連續(xù)時間信號的