工程電磁場(chǎng)之一矢量分析

1電磁場(chǎng)原理主講教師：電話：Email：2參考書目1《工程電磁場(chǎng)》王澤忠,全玉生,盧斌先編著，2004，清華大學(xué)出版社2《工程電磁場(chǎng)基礎(chǔ)》孫敏主編，科學(xué)出版社3第一章矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)矢量運(yùn)算的有關(guān)公式場(chǎng)的基本概念標(biāo)量場(chǎng)的等值面方程和矢量場(chǎng)的矢量線方程源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)的基本概念及其相互關(guān)系梯度的定義散度的定義旋度的定義哈米爾頓算子的定義和運(yùn)算規(guī)則重點(diǎn)掌握梯度、散度和旋度的定義、計(jì)算公式和運(yùn)算規(guī)則，以及散度定理、斯托克斯定理、格林定理和亥姆霍茲定理。41.1矢量分析公式1.矢量代數(shù)公式（１）標(biāo)量、矢量和單位矢量只有大小，沒有空間方向的量稱為標(biāo)量。不僅具有大小，而且具有空間方向的量稱為矢量。矢量的大小用絕對(duì)值表示，叫做矢量的模。模為１的矢量叫做單位矢量，用ｅ表示。如ex，ey，ez，分別表示與直角坐標(biāo)系中ｘ，ｙ，ｚ三個(gè)坐標(biāo)軸同方向的單位矢量。（２）矢量的加減法設(shè)則5（３）矢量的數(shù)乘式中，λ為實(shí)數(shù)。

（４）矢量的點(diǎn)積式中，θ是矢量Ａ，Ｂ之間的夾角，Ｂcosθ是矢量Ｂ在矢量Ａ方向上的投影Ａcosθ是矢量Ａ在矢量Ｂ方向上的投影。式中，λ，μ為實(shí)數(shù)6（５）矢量的叉積式中，en是與矢量Ａ和Ｂ都垂直的單位矢量，Ａ，Ｂ和en構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；θ是矢量Ａ，Ｂ之間的夾角。71.2場(chǎng)的基本概念和可視化1場(chǎng)的概念在自然界中，許多問(wèn)題是定義在確定空間區(qū)域上的，在該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對(duì)應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場(chǎng)，電流在周圍空間激發(fā)的磁場(chǎng)等。如果這個(gè)量是標(biāo)量我們稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)；如果這個(gè)量是矢量，則稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)。如果空間中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，我們就說(shuō)在這空間里確定了該物理量的場(chǎng)。8標(biāo)量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場(chǎng)。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場(chǎng)來(lái)表示。矢量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場(chǎng)。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場(chǎng)來(lái)表示。9場(chǎng)的概念：物理系統(tǒng)中某物理量在該區(qū)域的一種分布。標(biāo)量場(chǎng)：被描述的物理量是標(biāo)量，用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)描述矢量場(chǎng)：被描述的物理量是矢量，用一個(gè)矢量函數(shù)來(lái)描述場(chǎng)不僅具有空間屬性，還具有時(shí)間屬性靜態(tài)場(chǎng)：物理系統(tǒng)的狀態(tài)只按空間分布，不隨時(shí)間變化，即物理系統(tǒng)的狀態(tài)是靜態(tài)的；記為（標(biāo)量場(chǎng)）和（矢量場(chǎng)）；時(shí)變場(chǎng)：物理系統(tǒng)的狀態(tài)不僅按空間分布，還隨時(shí)間變化，即場(chǎng)的分布是動(dòng)態(tài)的；記為（標(biāo)量場(chǎng)）和（矢量場(chǎng)）；10

場(chǎng)中的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)物理量----場(chǎng)量的值。場(chǎng)量為標(biāo)量的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)、能量場(chǎng)、電位場(chǎng)等。場(chǎng)量為矢量的場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)，如速度場(chǎng)、力場(chǎng)、電場(chǎng)和磁場(chǎng)等。

定義了場(chǎng)量的空間點(diǎn)稱為場(chǎng)點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中，場(chǎng)點(diǎn)Ｍ可以由它的三個(gè)坐標(biāo)ｘ，ｙ，ｚ確定。因此，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)和一個(gè)矢量場(chǎng)可分別用坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)和矢量函數(shù)表示，即其中，矢量函數(shù)Ａ（Ｍ）的坐標(biāo)表示式可寫成上式。式中，函數(shù)Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ分別為矢量函數(shù)Ａ在直角坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影，為三個(gè)標(biāo)量函數(shù)；ｅｘ，ｅｙ，ｅｚ分別為ｘ，ｙ，ｚ軸正方向的單位矢量。11

α，β，γ分別為矢量Ａ與三個(gè)坐標(biāo)軸正方向之間的夾角，稱為方向角。ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｃｏｓγ稱為方向余弦。根據(jù)矢量與其分量之間的關(guān)系，矢量函數(shù)Ａ（Ｍ）可寫成如果場(chǎng)中的物理量不僅與點(diǎn)的空間位置有關(guān)，而且隨時(shí)間變化，則稱這種場(chǎng)為時(shí)變場(chǎng)；反之，若場(chǎng)中的物理量?jī)H與空間位置有關(guān)而不隨時(shí)間變化，則稱這種場(chǎng)為恒定場(chǎng)。12２．源點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng)是由場(chǎng)源產(chǎn)生的。場(chǎng)源所在的空間位置稱為源點(diǎn)?？臻g位置上除了定義場(chǎng)量外，也可以定義場(chǎng)源。這樣，可以把空間的點(diǎn)表示為場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)。源點(diǎn)Ｐ′用坐標(biāo)（ｘ′，ｙ′，ｚ′）表示，也可以用位置矢量ｒ′表示；場(chǎng)點(diǎn)Ｐ用坐標(biāo)（ｘ，ｙ，ｚ）表示，也可以用位置矢量ｒ表示。由源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量用Ｒ表示。根據(jù)矢量代數(shù)關(guān)系可知，Ｒ＝ｒ－ｒ′。矢量Ｒ的模Ｒ＝｜ｒ－ｒ′｜，矢量Ｒ對(duì)應(yīng)的單位矢量

在研究場(chǎng)的性質(zhì)的過(guò)程中，Ｒ是一個(gè)非常重要的矢量，因?yàn)樗?lián)系著源點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)，決定著場(chǎng)量與場(chǎng)源之間的空間關(guān)系。13３．標(biāo)量場(chǎng)的等值面設(shè)標(biāo)量場(chǎng)u(M)是空間的連續(xù)函數(shù)，那么通過(guò)所討論空間的任何一點(diǎn)M0，可以作出這樣的一個(gè)曲面Ｓ，在它上面每一點(diǎn)處，函數(shù)u(M)的值都等于u(M0)，即在曲面Ｓ上，函數(shù)u(M)保持著同一數(shù)值u(M0)，這樣的曲面Ｓ叫做標(biāo)量場(chǎng)ｕ的等值面。等值面的方程為式中，Ｃ為常數(shù)。給定Ｃ的一系列不同的數(shù)值，可以得到一系列不同的等值面，稱為等值面族。14

等值面族可以充滿整個(gè)標(biāo)量場(chǎng)所在的空間。等值面互不相交，因?yàn)槿绻嘟?，則函數(shù)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在相交處就不具有惟一的值。場(chǎng)中的每一點(diǎn)只與一個(gè)等值面對(duì)應(yīng)，即經(jīng)過(guò)場(chǎng)中的一個(gè)點(diǎn)只能作出一個(gè)等值面。用等值面族表示標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，一般將每?jī)蓚€(gè)相鄰等值面場(chǎng)量值之差設(shè)為定值。這樣可以根據(jù)等值面的稀密程度觀察場(chǎng)量的空間分布。點(diǎn)電荷電勢(shì)方程：15

標(biāo)量場(chǎng)的等值面與一給定平面相交，就得到標(biāo)量場(chǎng)在該平面上的等值線。如ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在XOY平面上的等值線的方程為，ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｃ，Ｃ為常數(shù)。16形象描繪場(chǎng)分布的工具標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面)，其方程為。在某一高度上沿什么方向高度變化最快？17４．矢量場(chǎng)的矢量線對(duì)于矢量場(chǎng)，可以用矢量線來(lái)形象地表示其分布情況。所謂矢量線，就是這樣的曲線，在它上面每一點(diǎn)處曲線的切線方向和該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向相同。矢量線反映了場(chǎng)矢量在線上每一點(diǎn)的方向。一般來(lái)說(shuō)，矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)有一條矢量線通過(guò)。所以，矢量線應(yīng)是一族曲線，它可以充滿整個(gè)矢量場(chǎng)所在的空間。18意義直觀了解矢量場(chǎng)在空間的分布狀況定義曲線：在曲線上的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。例：靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等性質(zhì)矢量線與矢徑的關(guān)系式：A×dr=

019已知場(chǎng)矢量Ａ＝Ａ（ｘ，ｙ，ｚ），可用下述方法求得矢量線方程。設(shè)Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）為矢量線l上的任一點(diǎn)，其矢徑（始點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)位于Ｍ點(diǎn)的距離矢量）為ｒ＝ｘｅｘ＋ｙｅｙ＋ｚｅｚ，則矢量微分為在點(diǎn)Ｍ處與矢量線相切的矢量。按矢量線的定義，矢量微分必定在Ｍ點(diǎn)處與場(chǎng)矢量方向相同，而場(chǎng)矢量為這便是矢量線所滿足的微分方程，其解為矢量線族。再利用過(guò)Ｍ點(diǎn)這個(gè)條件，即可求出過(guò)Ｍ點(diǎn)的矢量線。20

因矢量線的切線方向與場(chǎng)矢量的方向相同，所以矢量線方程又可以用矢量式表示為ｄｌ×Ａ＝０211.3標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)的定義為了確定在某空間上的標(biāo)量場(chǎng)ｕ（Ｍ）需要研究它在該空間的變化情況。要了解ｕ（Ｍ）沿著ｘ軸（或ｙ，ｚ軸）方向的變化，只需要求出ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）關(guān)于ｘ（或ｙ，ｚ）的偏導(dǎo)數(shù)。在許多場(chǎng)合，除了沿坐標(biāo)軸方向的變化外，還需要知道ｕ（Ｍ）沿著其他任意方向的變化情況。這就需要計(jì)算ｕ（Ｍ）沿著任意方向的導(dǎo)數(shù)。從標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn)M0出發(fā)，引一條射線ｌ，在ｌ上任取一點(diǎn)Ｍ，用Δｌ表示從M0到Ｍ的距離，則Δｕ＝ｕ（Ｍ）－ｕ（M0

）。當(dāng)沿著ｌ，Ｍ→M0時(shí)，比式Δｕ/Δｌ＝(ｕ(M)-ｕ(M0))/Δｌ的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)ｕ(M)在點(diǎn)M0處沿ｌ方向的方向?qū)?shù)，記作22

方向?qū)?shù)是標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)在一點(diǎn)M0處沿某一方向ｌ對(duì)距離的變化率，它反映了函數(shù)u(M)沿ｌ方向增減的情況。表示函數(shù)ｕ（Ｍ）在點(diǎn)Ｍ０沿ｌ方向是增加的，越大，表示增加得越快；表示函數(shù)ｕ（Ｍ）在點(diǎn)Ｍ０沿ｌ方向是減小的，越大，表示減小得越快。２．方向?qū)?shù)的計(jì)算

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)標(biāo)量函數(shù)ｕ(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，則函數(shù)ｕ在點(diǎn)M0

處沿ｌ方向的方向?qū)?shù)存在。全微分則23將ｌ方向的３個(gè)方向余弦表示式代入，得方向余弦24方向?qū)?shù)３．梯度

標(biāo)量函數(shù)ｕ在Ｍ０點(diǎn)沿著不同方向的變化率是不同的，那么，是否存在某個(gè)方向，使函數(shù)ｕ沿著該方向的變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？這是電磁場(chǎng)理論中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。標(biāo)量函數(shù)的方向?qū)?shù)為ｌ方向的單位矢量可表示為即ｌ方向的方向余弦是ｌ方向的單位矢量el在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上的投影。25令令θ表示矢量Ｇ與單位矢量el之間的夾角，根據(jù)矢量點(diǎn)積的計(jì)算式可得

隨著ｌ方向的改變，θ發(fā)生變化，方向?qū)?shù)值也隨之變化。當(dāng)ｌ方向與Ｇ方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)值達(dá)到最大，最大的方向?qū)?shù)為Ｇ（Ｇ是矢量Ｇ的模）。

如果在標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn)Ｍ處，存在矢量Ｇ，其方向?yàn)閳?chǎng)函數(shù)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在Ｍ點(diǎn)處變化率最大（方向?qū)?shù)最大）的方向，其模｜Ｇ｜是這個(gè)最大變化率的數(shù)值，則稱矢量Ｇ為標(biāo)量場(chǎng)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）在點(diǎn)Ｍ處的梯度，記為26

梯度運(yùn)算是分析標(biāo)量場(chǎng)的工具。梯度是描述標(biāo)量場(chǎng)中任一點(diǎn)函數(shù)值在該點(diǎn)附近增減性質(zhì)的量，但標(biāo)量場(chǎng)的梯度本身卻是一個(gè)矢量，沿著梯度的方向，函數(shù)ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）增加得最快。方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，表示為

場(chǎng)函數(shù)在點(diǎn)Ｍ處梯度的方向垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面ｕ＝Ｃ，且指向ｕ增大的方向。標(biāo)量場(chǎng)的每一點(diǎn)都有一個(gè)梯度，它是矢量，這便構(gòu)成了標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)是矢量場(chǎng)。27

標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);

梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);梯度的物理意義281.4矢量場(chǎng)的通量和散度

1.矢量場(chǎng)的通量

在場(chǎng)域中選取一曲面Ｓ，為區(qū)分曲面的兩側(cè)，取定其中的任一側(cè)作為曲面的正側(cè)。如果曲面是閉合的，習(xí)慣上取外側(cè)為正側(cè)。表示曲面正側(cè)的方法是取曲面的法線方向。在曲面Ｓ上任取一點(diǎn)Ｍ與包含這點(diǎn)在內(nèi)的一曲面元ｄＳ，過(guò)Ｍ點(diǎn)作曲面的法向單位矢量en。矢量Ａ（Ｍ）穿過(guò)曲面元的通量定義為矢量場(chǎng)函數(shù)Ａ（Ｍ）穿過(guò)場(chǎng)中某一有向曲面Ｓ的通量定義為29通量是一個(gè)標(biāo)量。當(dāng)場(chǎng)矢量與曲面法線方向之間夾角為銳角時(shí)，ｄΦ＞０；當(dāng)場(chǎng)矢量與曲面法線方向之間夾角為鈍角時(shí)，ｄΦ＜０；當(dāng)場(chǎng)矢量與曲面法線方向垂直時(shí)，ｄΦ＝０若Ｓ是閉合曲面，且指定外側(cè)方向?yàn)榉ň€方向，則有若Φ＞０，則表示流出閉合面的通量大于流入的通量，說(shuō)明有矢量線從閉合面內(nèi)散發(fā)出來(lái)。若Φ＜０，則表示流入閉合面的通量大于流出的通量，說(shuō)明有矢量線被吸收到閉合

面內(nèi)。若Φ＝０，則表示流出閉合面的通量與流入的通量相等，說(shuō)明矢量線處于某種平衡

狀態(tài)。30矢量E

沿閉合曲面S的面積分

>0(有正源)

<0(有負(fù)源)

=0(無(wú)源)矢量場(chǎng)的通量可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):通量的物理意義31例1-4-1在點(diǎn)電荷ｑ產(chǎn)生的電場(chǎng)中，場(chǎng)矢量其中，ｒ是點(diǎn)電荷ｑ到場(chǎng)點(diǎn)Ｍ的距離；er是從點(diǎn)電荷ｑ指向場(chǎng)點(diǎn)Ｍ的單位矢量。設(shè)Ｓ是以點(diǎn)電荷為中心、Ｒ為半徑的球面，求從球內(nèi)穿出Ｓ的電通量Φ。解在球面Ｓ上恒有ｒ＝Ｒ，且er與球面的法向單位矢量en的方向一致，所以在球面Ｓ內(nèi)產(chǎn)生電通量Φ的源就是電荷ｑ。當(dāng)ｑ為正電荷時(shí)，Φ＞０，為正源，說(shuō)明有場(chǎng)矢量線從ｑ向外發(fā)出。當(dāng)ｑ為負(fù)電荷時(shí)，Φ＜０，為負(fù)源，說(shuō)明有場(chǎng)矢量線終止于ｑ。32２．散度的定義

利用通量概念只能分析閉合面內(nèi)場(chǎng)矢量源的整體情況。要分析場(chǎng)中任一點(diǎn)附近的情況，必須將閉合面縮小到一點(diǎn)上。為此，引入矢量場(chǎng)的散度概念。設(shè)有矢量場(chǎng)函數(shù)Ａ（Ｍ），在場(chǎng)中作包圍點(diǎn)Ｍ的閉曲面Ｓ，并令Ｓ所包圍的空間區(qū)域?yàn)棣?，體積為ΔＶ。當(dāng)Ω收縮到Ｍ，即ΔＶ→０時(shí)，若極限存在，則稱此極限值為矢量場(chǎng)Ａ（Ｍ）在點(diǎn)Ｍ處的散度。記作ｄｉｖＡ，且

矢量的散度是描述矢量場(chǎng)中任一點(diǎn)發(fā)散性質(zhì)的量。矢量的散度是標(biāo)量。散度就是通量的體密度，即單位體積發(fā)出的通量。矢量Ａ的散度形成一標(biāo)量場(chǎng)，叫做矢量場(chǎng)Ａ的散度場(chǎng)。

應(yīng)用散度概念可以分析矢量場(chǎng)中任一點(diǎn)的情況。在Ｍ點(diǎn)，若ｄｉｖＡ＞０，則表明Ｍ點(diǎn)有正源；若ｄｉｖＡ＜０，則表明Ｍ點(diǎn)有負(fù)源。ｄｉｖＡ為正值時(shí)，其數(shù)值越大，正源的發(fā)散量越大；ｄｉｖＡ為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值越大，表明這個(gè)負(fù)源吸收量越大。若ｄｉｖＡ＝０，則表明該點(diǎn)無(wú)源。如果在場(chǎng)中處處有ｄｉｖＡ＝０，則稱此場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)，或稱為無(wú)散場(chǎng)。33３．散度的計(jì)算

在直角坐標(biāo)系中，若矢量場(chǎng)Ａ＝Ax(x,y,z)ex

＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez

的分量Ａｘ，Ａｙ，Ａｚ有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則可求Ａ在任一點(diǎn)Ｍ處的散度。根據(jù)散度的定義可知，ｄｉｖＡ與所取ΔＶ的形狀無(wú)關(guān)，只要在取極限時(shí)，所有的尺寸都趨于零即可。前后面左右面上下面34凈通量散度定義35

例1-4-2求點(diǎn)電荷ｑ產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，場(chǎng)矢量在ｒ≠０的任意一點(diǎn)Ｍ處的散度ｄｉｖＤ。36４．散度的運(yùn)算公式

設(shè)Ｃ為常數(shù)，ｕ為標(biāo)量函數(shù)，Ａ，Ｂ為矢量函數(shù)，有37５．散度定理

設(shè)矢量場(chǎng)Ａ＝Ax(x,y,z)ex＋Ay(x,y,z)ey＋Az(x,y,z)ez的各分量Ax，Ay，Az在閉曲面Ｓ所圍區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有上式稱為散度定理，又稱為高斯-奧斯特洛格拉特斯基公式。它的意義在于給出了閉合曲面積分與體積分之間的等價(jià)互換關(guān)系。381.5矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度

1.矢量場(chǎng)的環(huán)量

在矢量場(chǎng)中選取一閉合曲線ｌ。為了表示曲線的走向，選定曲線的一個(gè)切線方向?yàn)榍€的正方向。在曲線ｌ上任取一點(diǎn)Ｍ，過(guò)Ｍ點(diǎn)作曲線的切線，其單位矢量為et。取一弧元ｄｌ，矢量函數(shù)Ａ（Ｍ）沿場(chǎng)中有向閉合曲線ｌ的線積分稱為矢量場(chǎng)Ａ按所取方向沿曲線ｌ的環(huán)量。

環(huán)量是描述矢量場(chǎng)特征的量，是一個(gè)標(biāo)量。由定義式可知，它的數(shù)值不僅與場(chǎng)矢量Ａ有關(guān)，而且與回路ｌ的形狀和取向有關(guān)。這說(shuō)明Γ表示的是場(chǎng)矢量沿ｌ的總體旋轉(zhuǎn)特性。為了研究場(chǎng)矢量Ａ在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)，就需要讓ｌ收縮到一點(diǎn)，為此，引入環(huán)量面密度的概念。39２．環(huán)量面密度

設(shè)Ｍ為矢量場(chǎng)中的一點(diǎn)，在Ｍ點(diǎn)取一單位矢量en，并在Ｍ點(diǎn)周圍取小閉合回路Δｌ，令Δｌ的環(huán)繞方向與en構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；作以Δｌ為邊界，en為法線方向，且過(guò)點(diǎn)Ｍ的小曲面ΔＳ。當(dāng)ΔＳ以任意方式收縮到Ｍ點(diǎn)時(shí)，若極限存在，則稱該極限值為矢量場(chǎng)Ａ在Ｍ點(diǎn)繞方向en

的環(huán)量面密度。上式是環(huán)量的平均面密度，取極限得到在Ｍ點(diǎn)的環(huán)量面密度。若極限存在，則環(huán)量面密度與en有關(guān)，與Δｌ的形狀無(wú)關(guān)。環(huán)量面密度的大小反映了Ａ在Ｍ點(diǎn)繞en方向旋轉(zhuǎn)的強(qiáng)弱情況。它與取定的方向en有關(guān)。在空間的一點(diǎn)，方向en可以任意選取。隨著en方向的改變，環(huán)量面密度將連續(xù)變化。在環(huán)量面密度最大的方向上，場(chǎng)矢量的旋轉(zhuǎn)性最強(qiáng)。為了表述這種特性，引入旋度的概念。40３．旋度的定義

環(huán)量面密度是一個(gè)與方向有關(guān)的量，正如在標(biāo)量場(chǎng)中，方向?qū)?shù)與方向有關(guān)一樣。若在矢量場(chǎng)Ａ中的一點(diǎn)Ｍ處存在矢量Ｒ，它的方向是Ａ在該點(diǎn)環(huán)量面密度最大的方向，它的模就是這個(gè)最大的環(huán)量面密度，則稱矢量Ｒ為矢量場(chǎng)Ａ在點(diǎn)Ｍ的旋度，記為ｒｏｔＡ，且

因此，旋度矢量在數(shù)值和方向上表示出了最大的環(huán)量面密度。Ａ在en方向的環(huán)量面密度就是ｒｏｔＡ在en上的投影。en方向的環(huán)量面密度表示為41４．旋度的計(jì)算

環(huán)量面密度定義式中的極限與所取小曲面邊緣的形狀無(wú)關(guān)。取平行于ｙＯｚ坐標(biāo)平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量與ｅｘ平行，小矩形面的面積為

以Ｍ點(diǎn)為中心，在其周圍將Ａ展開成泰勒級(jí)數(shù)并忽略高階項(xiàng)，則Ａ沿Δlx

的線積分為（Δlx沿逆時(shí)針?lè)较颍?2得

取平行于ｚＯｘ坐標(biāo)平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量與ey平行，小矩形面的面積為43得

取平行于XＯY坐標(biāo)平面的小矩形面，小矩形面的法向矢量與ez平行，小矩形面的面積為4445旋度的物理意義

矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。

在矢量場(chǎng)中，若

A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J

稱為旋度源(或渦旋源)；

點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。

若矢量場(chǎng)處處

A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)(或保守場(chǎng))。466斯托克斯定理設(shè)矢量場(chǎng)Ａ＝Ax(x,y,z)ex

＋Ay(x,y,z