專題27 涉及圓的證明與計(jì)算問(wèn)題【有答案】

專題27涉及圓的證明與計(jì)算問(wèn)題圓的證明與計(jì)算是中考必考點(diǎn)，也是中考的難點(diǎn)之一?？v觀全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷，能夠看出，圓的證明與計(jì)算這個(gè)專題內(nèi)容有三種題型：選擇題、填空題和解答題。一、與圓有關(guān)的概念1．圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。2．圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。3.圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊分別與圓相交的角叫做圓周角。

4.外接圓和外心：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。5．若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓。6.和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。二、與圓有關(guān)的規(guī)律1.圓的性質(zhì)：（1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；（2）圓具有軸對(duì)稱性；（3）圓具有中心對(duì)稱性。2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。3．推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。5.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．6．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．7．圓內(nèi)接四邊形的特征①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。三、點(diǎn)和圓、線和圓、圓和圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.直線與圓有3種位置關(guān)系如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么①直線和⊙O相交；②直線和⊙O相切；③直線和⊙O相離。3．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，兩個(gè)圓的圓心距，則：兩圓外離；兩圓外切；兩圓相交；兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含四、切線的規(guī)律1.切線的性質(zhì)（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。2.切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。3.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，并且圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。四、求解圓的周長(zhǎng)和面積的公式設(shè)圓的周長(zhǎng)為r，則：求圓的直徑公式d=2r2.求圓的周長(zhǎng)公式c=2πr3.求圓的面積公式s=πr2五、解題要領(lǐng)1.判定切線的方法（1）若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法有角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）；②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.2.與圓有關(guān)的計(jì)算計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng)）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問(wèn)題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3.攻克典型基本模型圖是解決圓的所有難題的寶劍類型1圖形：（1）如圖1,AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E、C是⊙O上的兩點(diǎn).基本結(jié)論有：在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切線”三個(gè)論斷中，知二推一。如圖2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如圖（4）：若CK⊥AB于K，則：①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD?AB（4）在(1)中的條件①、②、③中任選兩個(gè)條件，當(dāng)BG⊥CD于E時(shí)（如圖5），則：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD?BG==DC2類型2圖形：如圖：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑作⊙O交AC于點(diǎn)E，基本結(jié)論有：（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切線”;“BD=BC”。四個(gè)論斷中，知一推三。（2）①G是⊿BCD的內(nèi)心；②；③⊿BCO∽⊿CDEBO?DE=CO?CE=CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如圖（3），若①BC=CE，則：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H，,則BH=2EH類型3圖形：如圖：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O交AC于D，基本結(jié)論有：如圖：（1）DE切⊙OE是BC的中點(diǎn)；（2）若DE切⊙O，則：①DE=BE=CE；②D、O、B、E四點(diǎn)共圓∠CED=2∠A③CD·CA=4BE2,圖形特殊化：在（1）的條件下如圖：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；如圖：若DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AB=BF，則：① ;②類型4圖形：如圖，⊿ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，基本結(jié)論有：（1）DE⊥ACDE切⊙O；（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中點(diǎn)。④與基本圖形1的結(jié)論重合。⑤連AD，產(chǎn)生母子三角形。類型5圖形：以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于Ｅ，基本結(jié)論有：（1）如圖1：①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切線”四個(gè)論斷中，知一推三）④AD·BC＝2=R2；（2）如圖2，連AE、CO，則有：CO∥AE，CO?AE=2R2(與基本圖形2重合)（3）如圖3，若EF⊥AB于F，交AC于G，則：EG=FG.類型6圖形：如圖：直線PR⊥⊙O的半徑OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直線PQ于R?；窘Y(jié)論有：（1）PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形)；（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2類型7圖形：如圖，⊿ABC內(nèi)接于⊙O，I為△ABC的內(nèi)心?；窘Y(jié)論有：（1）如圖1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；③∠AIB=90°+∠ACB;（2）如圖2，若∠BAC=60°，則：BD+CE=BC.類型8圖形：已知，AB是⊙O的直徑，C是中點(diǎn)，CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F。基本結(jié)論有：（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是中點(diǎn))（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF（3）BE·BG=BD·BA（4）若D是OB的中點(diǎn)，則：①⊿CEF是等邊三角形；②【例題1】（2020?武漢）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是（）A．523 B．33 C．32【答案】D【解析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理得出OD⊥AC，AF＝CF，進(jìn)而證得DF＝BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF=12BC=12DF，從而求得BC＝連接OD，交AC于F，∵D是AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF=12∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∠DFE=∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF=12∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC=AB2【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?山東省聊城市）如圖，BC是半圓O的直徑，D，E是上兩點(diǎn)，連接BD，CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A，連接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度數(shù)為（）A．35° B．38° C．40° D．42°【答案】C．【解析】考點(diǎn)是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)。連接CD，由圓周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圓周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，連接CD，如圖所示：∵BC是半圓O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°【例題2】（2020?牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足為M，連接OA．若△AOM中有一個(gè)角是30°，OM＝23，則弦AB的長(zhǎng)為．【答案】12或4．【解析】分∠OAM＝30°，∠AOM＝30°，兩種情況分別利用正切的定義求解即可．∵OM⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，則tan∠OAM=OM∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，則tan∠AOM=AM∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019安徽)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為．【答案】．【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連接BE，則∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半徑為2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝【例題3】（2020貴州黔西南）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請(qǐng)研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)C，使BC＝OB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值．回答這個(gè)確定的值是多少？并對(duì)小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），解析【解析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）連接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等邊三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)可得∠CDB＝30°，從而可得∠ODC＝90°，所以O(shè)D⊥CD，所以CD是⊙O的切線；（2）連接OP，由已知條件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“兩組邊成比例，夾角相等”證明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如答圖，連接OD，DB，∵點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE為△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）這個(gè)確定的值是．證明：如答圖，連接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．【點(diǎn)撥】本題考查切線的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?湖北十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠CDE＝∠BAC．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半徑．【答案】見(jiàn)解析。【解析】本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形．（1）如圖，連接OD，AD，∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BAC．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半徑∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，設(shè)DC＝x，則AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝，即＝＝∴DE＝4，x＝，∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半徑為7．一、選擇題1．（2020?宜昌）如圖，E，F(xiàn)，G為圓上的三點(diǎn)，∠FEG＝50°，P點(diǎn)可能是圓心的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用圓周角定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．∵∠FEG＝50°，若P點(diǎn)圓心，∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．2．（2020?營(yíng)口）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°【答案】B【解析】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則∠B＝50°，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)．如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．3．（2020?荊門(mén)）如圖，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．14° B．28° C．42° D．56°【答案】D【解析】根據(jù)垂徑定理，可得AC=BC，∠APC＝28°，根據(jù)圓周角定理，可得∠∵在⊙O中，OC⊥AB，∴AC=∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°4．（2020?臨沂）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC＝80°．點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)．則∠CED的大小可能是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】C【解析】連接OD、OE，設(shè)∠BOE＝x，則∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DEO和∠CEO，即可求出答案．連接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵點(diǎn)D為弦的中點(diǎn)，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，設(shè)∠BOE＝x，則∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+12∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+12∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+12x）﹣（20°+∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°5．（2020?內(nèi)江）如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解析】連接OB，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠AOB＝∠COB=12∠AOC＝60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠連接OB，如圖，∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，∴∠AOB＝∠COB=12∠AOC∴∠D=12∠6．（2020?湖州）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】B【解析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°7．（2020?泰安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長(zhǎng)為（）A．4 B．43 C．833【答案】B【分析】連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】連接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD是直徑，∴∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD=12∴AC=AD28．（2020?嘉興）如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，將△ABC繞它的外心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C'，則它們重疊部分的面積是（）A．23 B．343 C．3【答案】C【解析】根據(jù)重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形，據(jù)此即可求解．作AM⊥BC于M，如圖：重合部分是正六邊形，連接O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形．∵△ABC是等邊三角形，AM⊥BC，∴AB＝BC＝3，BM＝CM=12BC=3∴AM=3BM=∴△ABC的面積=12BC×AM=1∴重疊部分的面積=69△ABC的面積9．（2020?隨州）設(shè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、R，則下列結(jié)論不正確的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r=34a D．R【答案】C【解析】根據(jù)等邊三角形的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓，設(shè)圓心為O，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得：R＝2r；等邊三角形的高是R與r的和，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴△ABC的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓，圓心為O，設(shè)OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正確；∵AD⊥BC，∴∠DAC=12∠BAC在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正確；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE=12AC=∴（12a）2+r2＝（2r）2，（12a）2+（12R）2＝∴r=3a6，R=33a10．（2020?涼山州）如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于⊙O，則AD：AB＝（）A．22：3 B．2：3 C．3：2 D．3：22【答案】B【分析】連接OA、OB、OD，過(guò)O作OH⊥AB于H，由垂徑定理得出AH＝BH=12AB，證出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH=12AB，得出AD=2OA，AH=32OA【解析】連接OA、OB、OD，過(guò)O作OH⊥AB于H，如圖所示：則AH＝BH=12∵正方形ABCD和等邊三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=1∴AD=2OA，AH＝OA?sin60°=3∴AB＝2AH＝2×32OA=∴AD二、填空題11．（2020?黑龍江）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠ADB＝°．【答案】50．【解析】根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°12．（2020?無(wú)錫）已知圓錐的底面半徑為1cm，高為3cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為＝cm2．【答案】2π．【解析】先利用勾股定理求出圓錐的母線l的長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl計(jì)算即可．根據(jù)題意可知，圓錐的底面半徑r＝1cm，高h(yuǎn)=3cm∴圓錐的母線l=r∴S側(cè)＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．13．（2020?湖州）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，則CD與AB之間的距離是．【答案】3．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理計(jì)算出OH＝3，從而得到CD與AB之間的距離．【解析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，則CH＝DH=12在Rt△OCH中，OH=5所以CD與AB之間的距離是3．14．（2020?棗莊）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C．連接BC，若∠P＝36°，則∠B＝．【答案】27°．【解析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠AOP＝54°，結(jié)合圓周角定理得出答案．∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∴∠B=12∠15．（2020?連云港）用一個(gè)圓心角為90°，半徑為20cm的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓半徑為cm．【答案】5．【分析】設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2πr=90π×20【解析】設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)題意得2πr=90π解得r＝5（cm）．16.（2019?南京）如圖，PA.PB是⊙O的切線，A.B為切點(diǎn)，點(diǎn)C.D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝．【答案】219°．【解析】連接AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到結(jié)論．連接AB，∵PA.PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°17.（2019山東東營(yíng)）如圖，AC是⊙O的弦，AC=5，點(diǎn)B是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=45°，若點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則MN的最大值是____________．【答案】【解析】∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴MN=AB．當(dāng)AB為⊙O的直徑時(shí)，AB有最大值，則MN有最大值．當(dāng)AB為直徑時(shí)，∠ACB=90°，∵∠ABC=45°，AC=5，∴AB=，∴MN=．18.（2019黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，點(diǎn)D在圓上，且∠ADC＝30°，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】60°.【解析】∵OA⊥BC，∴，∴∠AOB＝2∠ADC,∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°.19.山東濟(jì)寧模擬為Rt△ABCACOC⊙O與邊AB切點(diǎn)D，交OA點(diǎn)E，知BC＝，AC＝3．圖陰分的積是．【答案】．【解析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理的運(yùn)用，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．，∵BC⊥OC，∴BC是圓的切線，∵⊙O與斜邊AB相切于點(diǎn)D，∴BD＝BC，；在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴∠A＝30°，∵⊙O與斜邊AB相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，＝tanA＝tan30°，，∴OD＝1，∴S陰20.（2019?湖北省鄂州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3，4），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長(zhǎng)度的最大值為．【答案】16．【解析】連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)AB的長(zhǎng)度最大，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直徑，∴∠APB＝90°，∴AB長(zhǎng)度的最大值為16。三、解答題21.（2020?咸寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：BF＝DF；（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圓O的半徑長(zhǎng)．【解析】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）連接OD，由切線性質(zhì)得∠ODF＝90°，進(jìn)而證明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；（2）設(shè)半徑為r，連接OD，OF，則OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF為中間變量列出r的方程便可求得結(jié)果．【解析】（1）連接OD，如圖1，∵過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線DF，交BC于點(diǎn)F，∴∠ODF＝90°，∴∠ADO+∠BDF＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD+∠BDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠OAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠BDF，∴BF＝DF；（2）連接OF，OD，如圖2，設(shè)圓的半徑為r，則OD＝OE＝r，∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，∴r2+22＝（4﹣r）2+12，∴r=13故圓的半徑為13822．（2020?懷化）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使CD＝CA，且∠D＝30°．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G．求證：CG2＝AE?BF．【解析】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）連接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，進(jìn)而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由內(nèi)角和定理可知∠OCD＝90°即可證明；（2）證明AC是∠EAG的角平分線，CB是∠FCG的角平分線，得到CE＝CG，CF＝CG，再證明△AEC∽△CFB，對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解．【解答】（1）證明：連接OC，如右圖所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分線，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分線，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴AECF=CEBF，即AE?BF＝又CE＝CG，CF＝CG，∴AE?BF＝CG2．23．（2020?銅仁市）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，CE⊥AB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BCE＝∠BCD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝8，BECE=1【答案】見(jiàn)解析。【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACO，等量代換得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)BC＝k，AC＝2k，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BCAC=tan∠設(shè)BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BCAC∵AD＝8，∴CD＝4．24．（2020?溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點(diǎn)E，G是AC上一點(diǎn)，∠ADC＝∠G．（1）求證：∠1＝∠2．（2）點(diǎn)C關(guān)于DG的對(duì)稱點(diǎn)為F，連結(jié)CF．當(dāng)點(diǎn)F落在直徑AB上時(shí)，CF＝10，tan∠1=25，求⊙【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）根據(jù)圓周角定理和AB為⊙O的直徑，即可證明∠1＝∠2；（2）連接DF，根據(jù)垂徑定理可得FD＝FC＝10，再根據(jù)對(duì)稱性可得DC＝DF，進(jìn)而可得DE的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑．【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，∴AC=∵AB為⊙O的直徑，∴BC=∴∠1＝∠2；（2）如圖，連接DF，∵AC=AD，AB是⊙∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵點(diǎn)C，F(xiàn)關(guān)于DG對(duì)稱，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1=2∴EB＝DE?tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2=2∴AE=DE∴AB＝AE+EB=29∴⊙O的半徑為29425．（2020?衢州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，其中點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）利用垂徑定理以及圓周角定理解決問(wèn)題即可．（2）證明△AEC∽△BCA，推出CEAC=AC【解析】（1）證明：∵AE＝DE，OC是半徑，∴AC=∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CEAC∴CE6∴CE＝3.6，∵OC=12∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．26．（2020?嘉興）已知：如圖，在△OAB中，OA＝OB，⊙O與AB相切于點(diǎn)C．求證：AC＝BC．小明同學(xué)的證明過(guò)程如下框：證明：連結(jié)OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的證法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程．【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥窟B結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】證法錯(cuò)誤；證明：連結(jié)OC，∵⊙O與AB相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC＝BC．27．（2020?湖州）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結(jié)BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求CD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?）由角平分線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圓周角定理可得CD=【解析】（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，∴CD=∵AD是⊙O的直徑，AD＝6，∴CD的長(zhǎng)=12×28．（2020?遵義）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∠CAB的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長(zhǎng)度．【答案】見(jiàn)解析?！痉治觥浚?