第9關(guān) 以二次函數(shù)與直角三角形問(wèn)題為背景的解答題【有答案】

第九關(guān)以二次函數(shù)與直角三角形問(wèn)題為背景的解答題【總體點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)在全國(guó)中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國(guó)家級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來(lái)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。直角三角形的有關(guān)知識(shí)和二次函數(shù)都是初中代數(shù)中的重點(diǎn)內(nèi)容，這兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)學(xué)最突出的綜合內(nèi)容，因此這類(lèi)問(wèn)題就成為中考命題中比較受關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.【解題思路】近幾年的中考中,二次函數(shù)圖形中存在性問(wèn)題始終是熱點(diǎn)和難點(diǎn)。考題內(nèi)容涉及到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想,對(duì)學(xué)生思維能力、模型思想等數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求很高,所以學(xué)生的失分現(xiàn)象比較普遍和突出。解這類(lèi)問(wèn)題有什么規(guī)律可循?所應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)：1.拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo);2.拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的解析式;3.勾股定理;4.三角形的相似的性質(zhì)和判定;5.兩直線(xiàn)垂直的條件;運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想：1.函數(shù)與方程;2.數(shù)形結(jié)合;3.分類(lèi)討論;4.等價(jià)轉(zhuǎn)化；解決二次函數(shù)中直角三角形存在性問(wèn)題采用方法：1.找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，要么以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造兩條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直;以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以已知線(xiàn)段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)；2.以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線(xiàn)互相垂直，則k1*k2=-1，以已知線(xiàn)段為斜邊時(shí)，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解.【典型例題】【例1】（2019·邢臺(tái)市第八中學(xué)中考模擬）如圖，已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，且拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，.（1）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為，直線(xiàn)的解析式為.（2）；（3）的坐標(biāo)為或或或.【解析】分析：（1）先把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)解析式得到a和b，c的關(guān)系式，再根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程可得a和b的關(guān)系，再聯(lián)立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線(xiàn)解析式；把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線(xiàn)解析式；（2）設(shè)直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸x=-1的交點(diǎn)為M，此時(shí)MA+MC的值最小．把x=-1代入直線(xiàn)y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）設(shè)P（-1，t），又因?yàn)锽（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）依題意得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為.∵對(duì)稱(chēng)軸為，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，∴把、分別代入直線(xiàn)，得，解之得：，∴直線(xiàn)的解析式為.（2）直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為，則此時(shí)的值最小，把代入直線(xiàn)得，∴.即當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之和最小時(shí)的坐標(biāo)為.（注：本題只求坐標(biāo)沒(méi)說(shuō)要求證明為何此時(shí)的值最小，所以答案未證明的值最小的原因）.（3）設(shè)，又，，∴，，，①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，即：解得：，②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，即：解得：，③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，即：解得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.【名師點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)確定線(xiàn)段的最小長(zhǎng)度、難度不是很大，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．【例2】（2020·山東初三期末）已知，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。咳绻嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為、、或.【解析】【分析】由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；連接BC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)BC的解析式，利用配方法可求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，，，分、和三種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：將、代入中，得：，解得：，拋物線(xiàn)的解析式為．連接BC交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)取最小值，如圖1所示．當(dāng)時(shí)，有，解得：，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．拋物線(xiàn)的解析式為，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，將、代入中，得：，解得：，直線(xiàn)BC的解析式為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，，．分三種情況考慮：當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有，即，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為綜上所述：當(dāng)是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為、、或【名師點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次一次函數(shù)解析式、二次一次函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱(chēng)中的最短路徑問(wèn)題以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式；由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性找出點(diǎn)P的位置；分、和三種情況，列出關(guān)于m的方程．【例3】（2019·山東中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)AB上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)E，使PE=DE．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在直線(xiàn)PD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）①先得AB的解析式為：y=-2x+2，根據(jù)PD⊥x軸，設(shè)P（x，-x2-3x+4），則E（x，-2x+2），根據(jù)PE=DE，列方程可得P的坐標(biāo)；

②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB，AM，BM的長(zhǎng)，分三種情況：△ABM為直角三角形時(shí)，分別以A、B、M為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），Rt△ABC中，tan∠ABC=2，∴，∴，∴AC=6，∴A（﹣2，6），把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式為：y=﹣2x+2，設(shè)P（x，﹣x2﹣3x+4），則E（x，﹣2x+2），∵PE=DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M(jìn)在直線(xiàn)PD上，且P（﹣1，6），設(shè)M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三種情況：i）當(dāng)∠AMB=90°時(shí)，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；ii）當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=，∴M（﹣1，）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．【名師點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，鉛直高度和勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的判定等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．【方法歸納】解決二次函數(shù)中直角三角形存在性問(wèn)題采用方法：1.找點(diǎn)：在已知兩定點(diǎn)，確定第三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，要么以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)，要么以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn).以定點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，構(gòu)造兩條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直;以動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，以已知線(xiàn)段為直徑構(gòu)造圓找點(diǎn)；2.以?xún)啥c(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，兩直線(xiàn)互相垂直，則k1*k2=-1，以已知線(xiàn)段為斜邊時(shí)，利用K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解.【針對(duì)練習(xí)】1．（2019·四川中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)（a≠0）與y軸交與點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△MBN的面積為S，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）S=，運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）t=或t=．【解析】【分析】（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的解析式，通過(guò)解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數(shù)關(guān)系式．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）根據(jù)余弦函數(shù)，可得關(guān)于t的方程，解方程，可得答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1，∴A（﹣2，0），把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）、點(diǎn)C（0，3），分別代入（a≠0），得：，解得：，所以該拋物線(xiàn)的解析式為：；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t，即S=，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，0＜t＜2，∴當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大=．答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）如圖2，在Rt△OBC中，cos∠B=．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．①當(dāng)∠MNB=90°時(shí)，cos∠B=，即，化簡(jiǎn)，得17t=24，解得t=；②當(dāng)∠BMN=90°時(shí)，cos∠B=，化簡(jiǎn)，得19t=30，解得t=．綜上所述：t=或t=時(shí)，△MBN為直角三角形．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；最值問(wèn)題；二次函數(shù)的最值；動(dòng)點(diǎn)型；存在型；分類(lèi)討論；壓軸題．2．（2019·四川中考真題）如圖①,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l：x=2，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對(duì)稱(chēng)性得：D（3，0），設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線(xiàn)的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；（3）如圖3，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程的思想解決問(wèn)題．3．（2019·吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線(xiàn)DC與x軸相交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，OE等于多少；（2）OE的長(zhǎng)是否與a值有關(guān)，說(shuō)明你的理由；（3）設(shè)∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范圍；（4）以DE為斜邊，在直線(xiàn)DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設(shè)P（m，n），直接寫(xiě)出n關(guān)于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．理由見(jiàn)解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直線(xiàn)CD的解析式即可解決問(wèn)題；(2)利用參數(shù)a，求出直線(xiàn)CD的解析式求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可判斷；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱(chēng)軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.【詳解】解：(1)當(dāng)a=﹣1時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，∴頂點(diǎn)D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直線(xiàn)CD的解析式為y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)結(jié)論：OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直線(xiàn)CD的解析式為y=ax﹣3a，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)．(3)當(dāng)β=45°時(shí)，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，當(dāng)β=60°時(shí)，在Rt△OCE中，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣，∴45°≤β≤60°，a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．(4)如圖，作PM⊥對(duì)稱(chēng)軸于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時(shí)，P(1，﹣2)，此時(shí)m的值1，∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長(zhǎng)與a值無(wú)關(guān)；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。4．（2019·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)AC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+3；直線(xiàn)AC的解析式為y=3x+3；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣），【解析】分析：（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），展開(kāi)得到-2a=2，然后求出a即可得到拋物線(xiàn)解析式；再確定C（0，3），然后利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AC的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（-3，0），利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可判斷此時(shí)MB+MD的值最小，則此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，然后求出直線(xiàn)DB′的解析式即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)P，如圖2，利用兩直線(xiàn)垂直一次項(xiàng)系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)設(shè)直線(xiàn)PC的解析式為y=-x+b，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出b得到直線(xiàn)PC的解析式為y=-x+3，再解方程組得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)P時(shí)，利用同樣的方法可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．詳解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+3；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線(xiàn)AC的解析式為y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而B(niǎo)D的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，易得直線(xiàn)DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）存在．過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線(xiàn)AC的解析式為y=3x+3，∴直線(xiàn)PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線(xiàn)PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)P，直線(xiàn)PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線(xiàn)PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線(xiàn)垂直時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)解方程組求把兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短解決最短路徑問(wèn)題；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．5．（2019·湖南中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中有，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，將此三角形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，二次函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)．①若，求的值；②證明：無(wú)論為何值，恒為直角三角形；③當(dāng)直線(xiàn)繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，外接圓圓心在一條拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的表達(dá)式．【答案】（1）,;（2）①；②見(jiàn)解析；③．【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）①S△PMN=PQ×（x2-x1），則x2-x1=4，即可求解；②k1k2==-1，即可求解；③取MN的中點(diǎn)H，則點(diǎn)H是△PMN外接圓圓心，即可求解．【詳解】（1），則，即點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則二次函數(shù)表達(dá)式為：，即：，解得：，故函數(shù)表達(dá)式為：，點(diǎn)；（2）將二次函數(shù)與直線(xiàn)的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則，則：，同理：，①，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，，則，，解得：；②點(diǎn)的坐標(biāo)為、、點(diǎn)，則直線(xiàn)表達(dá)式中的值為：，直線(xiàn)表達(dá)式中的值為：，為：，故，即：恒為直角三角形；③取的中點(diǎn)，則點(diǎn)是外接圓圓心，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，整理得：，即：該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圓的基本知識(shí)等，其中，用根與系數(shù)的關(guān)系處理復(fù)雜數(shù)據(jù)，是本題解題的關(guān)鍵．6．（2019·山東中考真題）如圖1，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)、、，拋物線(xiàn)與軸的另一交點(diǎn)為.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)將平行四邊形分割為面積相等的兩部分，與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn).點(diǎn)為直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)何值時(shí)，的面積最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在點(diǎn)使為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=時(shí)，△PEF的面積最大，其最大值為×，最大值的立方根為=；（3）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，t的值為1或【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式；（2）由A、C坐標(biāo)可求得平行四邊形的中心的坐標(biāo)，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線(xiàn)EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長(zhǎng)，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當(dāng)∠APE=90°時(shí)，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．試題解析：（1）由題意可得，解得，∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為（，），∵直線(xiàn)l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，∴直線(xiàn)l過(guò)平行四邊形的對(duì)稱(chēng)中心，∵A、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∴E（3，0），設(shè)直線(xiàn)l的解析式為y=kx+m，把E點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線(xiàn)l的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線(xiàn)l和拋物線(xiàn)解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如圖1，作PH⊥x軸，交l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴當(dāng)t=時(shí)，△PEF的面積最大，其最大值為×，∴最大值的立方根為=；（3）由圖可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①當(dāng)∠PAE=90°時(shí)，如圖2，作PG⊥y軸，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②當(dāng)∠APE=90°時(shí)，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，t的值為1或．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題7．（2018·遼寧中考真題）如圖，在平面角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)C1：y=ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（﹣1，﹣1），拋物線(xiàn)C2：y=2x2+x+1，動(dòng)直線(xiàn)x=t與拋物線(xiàn)C1交于點(diǎn)N，與拋物線(xiàn)C2交于點(diǎn)M．（1）求拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式；（2）直接用含t的代數(shù)式表示線(xiàn)段MN的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求t的值；（4）在（3）的條件下，設(shè)拋物線(xiàn)C1與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線(xiàn)C2上，連接AM交y軸于點(diǎn)k，連接KN，在平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，連接KQ和QN，當(dāng)KQ=1且∠KNQ=∠BNP時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線(xiàn)C1：解析式為y=x2+x﹣1；（2）MN=t2+2；（3）t的值為1或0；（4）滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）把x=t代入函數(shù)關(guān)系式相減即可得；（3）根據(jù)圖形分別討論∠ANM=90°、∠AMN=90°時(shí)的情況即可得；（4）根據(jù)題意畫(huà)出滿(mǎn)足條件圖形，可以找到AN為△KNP對(duì)稱(chēng)軸，由對(duì)稱(chēng)性找到第一個(gè)滿(mǎn)足條件Q，再通過(guò)延長(zhǎng)和圓的對(duì)稱(chēng)性找到剩余三個(gè)點(diǎn)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）∵拋物線(xiàn)C1：y=ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（﹣1，﹣1），∴，解得：，∴拋物線(xiàn)C1：解析式為y=x2+x﹣1；（2）∵動(dòng)直線(xiàn)x=t與拋物線(xiàn)C1交于點(diǎn)N，與拋物線(xiàn)C2交于點(diǎn)M，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為t2+t﹣1，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2t2+t+1，∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2；（3）共分兩種情況①當(dāng)∠ANM=90°，AN=MN時(shí)，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1），∴AN=t﹣（﹣2）=t+2，∵M(jìn)N=t2+2，∴t2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②當(dāng)∠AMN=90°，AN=MN時(shí)，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1），∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵M(jìn)N=t2+2，∴t2+2=t+2，∴t1=0，t2=1（舍去），∴t=0，故t的值為1或0；（4）由（3）可知t=1時(shí)M位于y軸右側(cè)，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖如圖：易得K（0，3），B、O、N三點(diǎn)共線(xiàn)，∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1），∴點(diǎn)K、P關(guān)于直線(xiàn)AN對(duì)稱(chēng)，設(shè)⊙K與y軸下方交點(diǎn)為Q2，則其坐標(biāo)為（0，2），∴Q2與點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)AN對(duì)稱(chēng)，∴Q2是滿(mǎn)足條件∠KNQ=∠BNP，則NQ2延長(zhǎng)線(xiàn)與⊙K交點(diǎn)Q1，Q1、Q2關(guān)于KN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q3、Q4也滿(mǎn)足∠KNQ=∠BNP，由圖形易得Q1（﹣1，3），設(shè)點(diǎn)Q3坐標(biāo)為（a，b），由對(duì)稱(chēng)性可知Q3N=NQ1=BN=2，由∵⊙K半徑為1，∴，解得：，，同理，設(shè)點(diǎn)Q4坐標(biāo)為（a，b），由對(duì)稱(chēng)性可知Q4N=NQ2=NO=，∴，解得：，，∴滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）.【點(diǎn)睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)基本性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、靈活運(yùn)用分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合以及構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．8．（2018·廣西中考真題）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線(xiàn)段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+x+4；D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值為．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式；利用等腰三角形的性質(zhì)得B（3，0），然后計(jì)算自變量為3所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)值可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用勾股定理計(jì)算出BC=5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，由于∠MCN=∠OCB，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△CMN∽△COB，于是有∠CMN=∠COB=90°，即；當(dāng)時(shí)，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM=∠COB=90°，即，然后分別求出m的值即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接DN，AD，如圖，先證明△ACM≌△DBN，則AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三邊的關(guān)系得到DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），然后計(jì)算出AD即可．【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC==5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)時(shí)，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)時(shí)，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），∴DN+AN的最小值=，∴AM+AN的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．9．（2018·四川中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸分別交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）將直線(xiàn)BC向上平移t(t>0)個(gè)單位，平移后的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在y軸的右側(cè)），當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD為直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，t的值為1或4．【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；（2）利用配方法及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出CD、BD、BC的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可證出△BCD為直角三角形；（3）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)BC的解析式，進(jìn)而可找出平移后直線(xiàn)的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過(guò)解方程組可找出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分別令三個(gè)角為直角，利用勾股定理可得出關(guān)于t的無(wú)理方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）將、代入，得：，解得：，此二次函數(shù)解析式為．（2）為直角三角形，理由如下：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．，，為直角三角形．（3）設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將，代入，得：，解得：，直線(xiàn)的解析式為，將直線(xiàn)向上平移個(gè)單位得到的直線(xiàn)的解析式為．聯(lián)立新直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式成方程組，得：，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．為直角三角形，分三種情況考慮：①當(dāng)時(shí)，有，即，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）；②當(dāng)時(shí)，有，即，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）；③當(dāng)時(shí)，有，即，整理，得：．，該方程無(wú)解（或解均為增解）．綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的值為1或4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三種情況考慮．10．（2018·黑龍江中考真題）如圖，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸下方的拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)y=x+m與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE+EF的最大值；（3）點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】（1）拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣5x+4；（2）PE+EF的最大值為；（3）①符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，）或（，﹣）；②點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為＜y＜或﹣＜y＜．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式；（2）易得BC的解析式為y=﹣x+4，先證明△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，則△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，設(shè)P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），接著利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+5t，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；（3）①如圖2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍；②由于△BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，），然后結(jié)合圖形可確定△BCD是銳角三角形時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍．【詳解】（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4），根據(jù)待定系數(shù)法易得BC的解析式為y=﹣x+4，∵直線(xiàn)y=x+m與直線(xiàn)y=x平行，∴直線(xiàn)y=﹣x+4與直線(xiàn)y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，設(shè)P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），則G（t，﹣t+4），∴PF=PH=t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，∴PE=PG=﹣t2+2t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+，當(dāng)t=時(shí)，PE+EF的最大值為；（3）①如圖2，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=，設(shè)D（，y），則BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2，當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DC2=BD2，即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；當(dāng)△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DB2=DC2，即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；綜上所述，符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，）或（，﹣）；②當(dāng)△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時(shí)，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）2++y2=32，解得y1=，y2=，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，），所以△BCD是銳角三角形，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍為＜y＜或﹣＜y＜．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法、兩直線(xiàn)平行或相交問(wèn)題、二次函數(shù)的最值、存在性問(wèn)題等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線(xiàn)、靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)以及分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.11．（2018·湖南中考真題）如圖所示，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，和x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，D（點(diǎn)D位于點(diǎn)C的左側(cè)）．（1）求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；（2）從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解析式為y=﹣x2+4；（2）構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率是；（3）存在，tan∠MAN的值為1或4或．【解析】【分析】（1）利用配方法得到y(tǒng)=x2+2x+1=（x+1）2，然后根據(jù)拋物線(xiàn)的變換規(guī)律求解；（2）利用頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列舉出所有的三角形，再計(jì)算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，然后根據(jù)等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是為y=﹣2x+4，S△ABC=6，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），討論：①當(dāng)N點(diǎn)在AC上，如圖1，利用面積公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，當(dāng)m=0時(shí)，求出AN=1，MN=4，再利用正切定義計(jì)算tan∠MAC的值；當(dāng)m=1時(shí)，計(jì)算出AN=2，MN=2，再利用正切定義計(jì)算tan∠MAC的值；②當(dāng)N點(diǎn)在BC上，如圖2，先利用面積法計(jì)算出AN=，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出MN=，然后利用正切定義計(jì)算tan∠MAC的值；③當(dāng)N點(diǎn)在AB上，如圖3，作AH⊥BC于H，設(shè)AN=t，則BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可計(jì)算出BH=，證明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面積公式得到?（﹣t）?=2，根據(jù)此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解可判斷點(diǎn)N在AB上不符合條件，從而得到tan∠MAN的值為1或4或．【詳解】（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的圖象沿x軸翻折，得y=﹣（x+1）2，把y=﹣（x+1）2向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得y=﹣x2+4，∴所求的函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+4=0，解得x=±2，則D（﹣2，0），C（2，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+4=4，則B（0，4），從點(diǎn)A，C，D三個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)B構(gòu)造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，∴△BCD為等腰三角形，∴構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率=；（3）存在，易得BC的解析是為y=﹣2x+4，S△ABC=AC?OB=×3×4=6，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①當(dāng)N點(diǎn)在AC上，如圖1，∴△AMN的面積為△ABC面積的，∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，當(dāng)m=0時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），N（0，0），則AN=1，MN=4，∴tan∠MAC==4；當(dāng)m=1時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），N（1，0），則AN=2，MN=2，∴tan∠MAC==1；②當(dāng)N點(diǎn)在BC上，如圖2，BC==2，∵BC?AN=AC?BC，解得AN=，∵S△AMN=AN?MN=2，∴MN==，∴∠MAC=；③當(dāng)N點(diǎn)在AB上，如圖3，作AH⊥BC于H，設(shè)AN=t，則BN=﹣t，由②得AH=，則BH=，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴，即，∴MN=，∵AN?MN=2，即?（﹣t）?=2，整理得3t2﹣3t+14=0，△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，∴點(diǎn)N在AB上不符合條件，綜上所述，tan∠MAN的值為1或4或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定、概率公式、待定系數(shù)法、兩點(diǎn)間的距離公式、相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度；理解二次函數(shù)圖象的圖象變換規(guī)律、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、記住兩點(diǎn)間的距離公式，利用相似比表示線(xiàn)段之間的關(guān)系、運(yùn)用分類(lèi)討論思想等是解題的關(guān)鍵.12．（2016·甘肅中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．已知拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)AB的解析式；（2）如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？（3）如圖②，取一根橡皮筋，兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣x+3；（2）當(dāng)t=1或t=32時(shí)，△AEF為等腰直角三角形；（3）存在，△ABP的面積的最大值為278，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（32【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)，直線(xiàn)解析式；（2）分兩種情況：△AOB∽△AEF或△AOB∽△AFE即可求出t值；（3）確定出面積達(dá)到最大時(shí)，直線(xiàn)PC和拋物線(xiàn)相交于唯一點(diǎn)，從而確定出直線(xiàn)PC解析式為y=﹣x+214，可求出P點(diǎn)坐標(biāo).過(guò)點(diǎn)B作BD⊥PC于點(diǎn)D，則DBDC為等腰直角三角形，BC=94，可求出試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)，∴-9+3b+∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+3，設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+n，∴3k+n=0n=3，解得k=-1n=3，∴直線(xiàn)AB的解析式為y=﹣x+3；（2）由題意得，OE=t，AF=2t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF為直角三角形，∴①若△AOB∽△AEF，∴AFAB=AEOA，∴2t5=3-∴32t=53-t，∴t=9(52-3)41；綜上所述，t=15(5-32)7或9(52-3)41；（3）如圖，存在，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于C，當(dāng)直線(xiàn)PC與y=﹣x2+2x+3有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，DPAB面積最大.∵直線(xiàn)AB解析式為y=﹣x+3，∴設(shè)直線(xiàn)PC解析式為y=﹣x+b，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=214.解方程組y=-x+214y∴直線(xiàn)BD解析式為y=x+3，∴∠CBD=45°，∴2BD=94.∴BD=，∵AB=32，∴S最大=12AB×BD=94×32×=278．即：存在面積最大，最大值是278，此時(shí)點(diǎn)P考點(diǎn)：1二次函數(shù)；2一次函數(shù)；3相似三角形；4平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)平行與垂直解析式關(guān)系.13．（2017·廣西中考真題）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為.（1）寫(xiě)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（2）設(shè)，求的值；（3）當(dāng)是直角三角形時(shí)，求對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的解析式.【答案】（1）C（0，3a），D（2，﹣a）；（2）3；（3）y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．【解析】試題分析：（1）令x=0可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，化為頂點(diǎn)式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令y=0可求得A、B的坐標(biāo)，結(jié)合D點(diǎn)坐標(biāo)可求得△ABD的面積，設(shè)直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)E，由C、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線(xiàn)CD的解析式，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出△BCD的面積，可求得k的值；（3）由B、C、D的坐標(biāo)，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線(xiàn)的解析式．試題解析：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如圖，設(shè)直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)E，設(shè)直線(xiàn)CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線(xiàn)CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD為直角三角形時(shí)，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，①當(dāng)∠CBD=90°時(shí)，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣4x+3；②當(dāng)∠CDB=90°時(shí)，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此時(shí)拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣2x+；綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．14．（2020·廣州大學(xué)附屬中學(xué)初三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；（2）如圖（1），在x軸上找一點(diǎn)E，使得△CDE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖（2），F(xiàn)為直線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．【解析】試題分析：（1）令拋物線(xiàn)解析式中y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再令拋物線(xiàn)解析式中x=0求出y值即可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用配方法將拋物線(xiàn)解析式配方即可找出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小，由點(diǎn)C的坐標(biāo)可找出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C′、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AC的解析式，假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A、F點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入拋物線(xiàn)解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)中y=0時(shí)，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當(dāng)中x=0時(shí)，則y=3，∴C（0，3）．∵=，∴頂點(diǎn)D（﹣1，4）．（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設(shè)直線(xiàn)C′D的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線(xiàn)C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當(dāng)y=﹣7x﹣3中y=0時(shí)，x=，∴當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）．（3）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=ax+c，則有：，解得：，∴直線(xiàn)AC的解析式為y=x+3．假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)F（m，m+3），△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：①當(dāng)∠PAF=90°時(shí)，P（m，﹣m﹣3），∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）；②當(dāng)∠AFP=90°時(shí)，P（2m+3，0）∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；③當(dāng)∠APF=90°時(shí)，P（m，0），∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．綜上可知：在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得△AFP為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（1，0）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；最值問(wèn)題；存在型；分類(lèi)討論；綜合題．15．（2020·安徽初三期末）如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，－4）為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）在（1）中拋物線(xiàn)的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】解：（1）；（2）存在，P（，）；（3）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-）或（0，）或（0，－1）或（0，－3）.【解析】【分析】（1）已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線(xiàn)AB的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．點(diǎn)A是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線(xiàn)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解.（2）首先由拋物