勾股定理教案人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

教學(xué)內(nèi)容分析勾股定理：直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，由此，在直角三角形中已知任意兩邊長(zhǎng)，就可以求出第三邊長(zhǎng)，勾股定理常用來(lái)求解線段長(zhǎng)度或距離問(wèn)題．勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探究過(guò)程和研究方法．證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，并以此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明勾股定理的思路．我國(guó)對(duì)勾股定理的研究和其他國(guó)家相比是比較早的，在國(guó)際上得到肯定．要通過(guò)我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感；要通過(guò)對(duì)勾股定理的探索和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心．教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程．了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，通過(guò)對(duì)我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感；2.能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)【重點(diǎn)】掌握勾股定理的內(nèi)容.【難點(diǎn)】探索并證明勾股定理.教學(xué)方法問(wèn)題啟發(fā)法、探究法、幾何直觀法.教學(xué)過(guò)程（一）情境導(dǎo)入我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看他朋友家用磚鋪成的地面（如下圖所示）：意圖：通過(guò)穿越式的情境創(chuàng)設(shè)來(lái)引出本章的研究?jī)?nèi)容，激發(fā)學(xué)生興趣.效果：通過(guò)情境展示，學(xué)生明白本節(jié)課研究的內(nèi)容.新課講授問(wèn)題1試問(wèn)A.B.C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？學(xué)生獨(dú)立觀察圖形，分析、思考其中隱含的規(guī)律．通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，或者用割補(bǔ)的方法將小正方形A，B中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形，得到結(jié)論：小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積．問(wèn)題2你能發(fā)現(xiàn)圖中的等腰直角三角形有什么性質(zhì)嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．意圖：從最特殊的直角三角形入手，通過(guò)觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，并進(jìn)行初步的一般化（等腰三角形邊長(zhǎng)的一般化）．效果：學(xué)生通過(guò)觀察幾何圖形的面積關(guān)系，初步形成幾何直觀的意識(shí).問(wèn)題3在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A.B.C是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論，難點(diǎn)是求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積，可由師生共同總結(jié)得出：可以通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積．方法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）方法2：分割法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）錯(cuò)誤!嵌入對(duì)象無(wú)效。錯(cuò)誤!嵌入對(duì)象無(wú)效。根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：思考正方形A.B.C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上歸納方法——割補(bǔ)法．可以求得C的面積為13，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．猜想一般直角三角形三邊還有這樣的數(shù)量關(guān)系（即a2+b2=c2).下面動(dòng)圖形象的說(shuō)明命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學(xué)家們用拼圖法來(lái)證明這一猜想.意圖：在網(wǎng)格背景下，通過(guò)觀察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三邊關(guān)系，為形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成變得水到渠成．最后通過(guò)動(dòng)圖更形象的感受勾股定理.效果：學(xué)生通過(guò)一步步的觀察、探究和計(jì)算，猜想出勾股定理的內(nèi)容.拼一拼請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備四個(gè)完全相同的直角三角形，跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖.證一證學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，用a，b表示c的面積．如圖7，用“割”的方法可得；如圖8，用“補(bǔ)”的方法可得．經(jīng)過(guò)整理都可以得到a2+b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因?yàn)?，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽.意圖：通過(guò)拼圖活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的形象思維；使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想．通過(guò)對(duì)趙爽弦圖的介紹，了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明作出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感．效果：通過(guò)了解勾股定理的證明方法，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心．2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要、基本，還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際.以至于古往今來(lái)，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn).如：畢達(dá)哥拉斯證法和美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.歸納總結(jié)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5，求c;（2）若a=1，c=2，求b.變式題1在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2，c=5，求a;（2）若b=15，∠A=30°，求a，c.歸納已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.變式題2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).歸納當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.例2已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BCCD的長(zhǎng).歸納由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．練一練求下列圖中未知數(shù)x、y的值：意圖：通過(guò)例題的講解和方法的歸納，讓學(xué)生掌握勾股定理的內(nèi)容，以及能將正方形的面積關(guān)系和直角三角形三邊之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系．效果：鞏固了學(xué)生對(duì)勾股定理的理解.課堂練習(xí)1.下列說(shuō)法中，正確的是（C）a，b，c是三角形的三邊，則a2+b2=c2C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c22.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為36cm2.3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=17.（2）若c=13，b=12，則a=5.4.若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是5和7，則第三邊長(zhǎng)的平方為74或24.5.求斜邊長(zhǎng)17cm、一條直角邊長(zhǎng)15cm的直角三角形的面積.解：設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)是xcm.由勾股定理得152+x2=172，即x2=172152=289–225=64，∴x=±8（負(fù)值舍去），∴另一直角邊長(zhǎng)為8cm，直角三角形的面積是.意圖：練習(xí)題是本節(jié)所學(xué)的直接運(yùn)用，意在鞏固基礎(chǔ)知識(shí).效果：檢測(cè)了學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握和運(yùn)用情況.課堂小結(jié)先讓學(xué)生自己總結(jié)反思，然后同學(xué)之間進(jìn)行交流，再找學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@.勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的證明：割補(bǔ)法利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算方程思想、分情況討論意圖：總結(jié)反思是一節(jié)課必不可少的環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)和技能.效果：學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)有了系統(tǒng)的回顧.作業(yè)布置完成配套練習(xí)板書(shū)設(shè)計(jì)初識(shí)勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.勾股定理的證明勾股定理的應(yīng)用（1）在直角三角形中（2）分清直角邊和斜邊（3）不確定是直角邊和斜邊時(shí)，