2022屆高考數(shù)學熱身題

2022年高考數(shù)學考前熱身題

1.如圖，在等腰梯形ABCQ中，AB//CD,AB=2CD=2AD=2,將△AOC沿著AC翻折,

使得點D到點P處，且APLBC.

(1)求證：平面APC_L平面A8C；

(2)求二面角C-B4-B的平面角的正弦值.

【分析】(1)證明ACL2C,結(jié)合BCLAP,推出平面APC,然后證明平面APCL

平面ABC.

(2)取AC的中點E,A8的中點F,以E為坐標原點，￡4為方軸，EF為y軸，EP為z

軸建立空間坐標系，

求出平面APC的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的正弦

函數(shù)值即可.

【解答】(1)證明：由等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2AD=2,

可得NABC=60°,

又由A8=2BC,所以ACJ_8C,

又因為BCJ_AP,S.ACDAP=A,所以BC_L平面APC,

又由8Cu平面ABC,所以平面APC_L平面ABC.

(2)解：取AC的中點E,AB的中點凡以E為坐標原點，E4為x軸，EF為y軸，EP

為z軸建立空間坐標系，

則A(亨,0,0),B(一*，1,0),C(一孚,0,0),尸(D)(0,0,1),

AP~(-,0)；),4C=(-0,0),PB=,1，＞PA,0,-

設(shè)平面APC的法向量為元=Qi，乃，Zi),平面的法向量為R=(刈，刈，Z2)，

r1

723+-o

馬-

則

--得

1<?^12n,-L

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一一277

二面角C-%-B的平面角的正弦值為7-.

【點評】本題考查二面角的平面角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空

間想象能力，邏輯推理能力，以及計算能力，是中檔題.

2.如圖，四邊形ABDP是直角梯形，滿足AB1DB,DB^^PA,CA_L平面A8CP.E

為PC的中點.

（1）求證：￡>E〃平面ABC；

（2）若08=1,AE=V3,BC=2時,求銳二面角。-AE-C的余弦值.

【分析】（1）取AC的中點為凡分別連接EF,BF,先證明四邊形EFB。是平行四邊形，

得到DE〃BF,由線面平行的判定定理證明即可；

（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)

法求出平面4OE的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】（1）證明：取AC的中點為凡分別連接EGBF,

又因為E為PC的中點，

所以EF〃%，EF=^PA,

又因為DB=4P4

所以EF〃DB,EF=DB,

故四邊形EFBD是平行四邊形,

則DE//BF,

又DEC平面ABC,BFu平面ABC,

所以。E〃平面ABC；

(2)解：由(1)可知，PA,AB,AC三條直線兩兩相互垂直，

以A8,AC,AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，連接

因為4E=百，EF=1,

則4F=V2,故AC=2VL

所以BC=2A/3,

故A8=2,

則74(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2V2,0),P(0,0,2),E(0,

V2,1),D(2,0,1),

.所以版=(2,0,0)是平面AEC的一個法向量，

又族=(0,V2,1),AD=(2,0,1),

設(shè)平面4CE的一個法向量m=(x,y,z),

(TT—

則m-AE=V2y+z=0

—>—>

Im-AD=2%+z=0

令y=&，可得m=(l,y/2,—2),

設(shè)所成的銳二面角為仇

TTT廠

所以cos。=|cosOn,48||

\m\\AB\

y/7

故所求銳二面角D-AE-C的余弦值為號.

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面平行的判定定理的應用，在求解

有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間

向量問題進行研究，屬于中檔題.

3.如圖，A尸是圓柱的母線，邊長為4的正△ABC是該圓柱的下底面的內(nèi)接三角形，D,E,

產(chǎn)分別為BC，PB,AB的中點，G是EF的中點，AP=4.

(1)求證：QG〃平面PAC；

(II)求直線DG與平面P8C所成角的正弦值.

【分析】(I)由已知利用三角形中位線定理證明EF〃辦,OE〃PC,可得《尸〃平面PAC,

OE〃平面出C,進一步得到平面。EG〃平面出C,從而得到OG〃平面附C；

(II)以A為坐標原點，分別以A。、AP所在直線為＞、z軸建立空間直角坐標系，求出

平面P8C的一個法向量由法與向量1所成角的余弦值可得直線OG與平面P8C所成

角的正弦值.

【解答】(I)證明：如圖,

■:E,尸分別為PB,AB的中點，：.EF//PA,

:陰匚平面必。，ERt平面BIC,〃平面以C,

,:D,E,分別為BC,尸B的中點，：.DE//PC,

：PCu平面出C,DEC平面孫C,：.DE//nPAC,

又EF、OEu平面OGE,HEFQDE=E,

，平面。EG〃平面B4C,而QGu平面。EG,

；.OG〃平面PACi

(II)解：以A為坐標原點，分別以AC、AP所在直線為y、z軸建立空間直角坐標系，

「△ABC是邊長為4的正三角形，用=4,

：.P(0,0,4),D(0,2V3,0),B(2,2E，0),G(1,V3,1).

PB=(2,2V3,-4),DB=(2,0,0),DG=(1,-6,1).

設(shè)平面P8C的一個法向量為蔡=(x,y,z),

則仔.皿=2x+2何/—4z=0,取產(chǎn)［,則蔡=(0,1,空).

n-DB=2%=0

設(shè)直線OG與平面PBC所成角為e,

則sine=|c°sv立法上典=獸嘮=誓.

|n||DG|J1+|X7535

直線DG與平面PBC所成角的正弦值為貴.

【點評】本題考查平面與平面平行的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓練

了利用空間向量求解空間角，是中檔題.

4.已知雙曲線C與橢圓3+;=1有相同的焦點，P(3,通)是C上一點.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)記C的右頂點為與x軸平行的直線/與C交于A,B兩點，求證：以AB為直

徑的圓過點用.

XVcr

【分析】(1)由已知設(shè)雙曲線C的方程為：—--=l(d>0,6>0),所以/+y=6,

a2bz

再把點P的坐標代入，解出小人的值，從而得到雙曲線的坐標方程.

(2)設(shè)直線/的方程為：y=m(m20),與雙曲線方程聯(lián)立，求出點A,8的坐標，再

利用斜率公式計算MM?%M=-1,所以即以AB為直徑的圓過點M.

x2y2

【解答】解：(1)由已知設(shè)雙曲線。的方程為：—l(a>0>6>0),

由已知得a2+h2=6且一7-=1，

fa2b2

解得：。2=房=3,

V

二雙曲線。的方程為二■——=L

33

(2)設(shè)直線/的方程為：y=m(機#0),

與％2-產(chǎn)=3聯(lián)立解得：x=7m2+3或%=-Vm2+3,

不妨設(shè)4(—，m2+3,m),B(y/m24-3,m),

由(1)知點M(b，0),

k

的斜率分別為：kAM=-7=^—，BM

Jm24-3+73J7712+3—A/3

--kk=—

AMBMJm.2+3+y/^Jm^+3-^3

所以

故以AB為直徑的圓過點M.

【點評】本題主要考查了雙曲線的標準方程，考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，是中檔

題.

5.已知拋物線C：/=2px(p>0)的焦點為尸，原點0關(guān)于點尸的對稱點為。，點P(0,

1)關(guān)于點。的對稱點P也在拋物線C上.

(1)求p的值；

(2)設(shè)直線/交拋物線C于不同兩點A、B,直線以、P8與拋物線C的另一個交點分

T-?TT11

別為M、N,PM=APA,PN=RPB,且；+-=2,求直線/的橫截距的最大值.

AM

【分析】(1)根據(jù)題意求出點P1的坐標，代入拋物線方程，即可求出p的值.

(2)設(shè)直線/的方程為x=m_y+r,與拋物線C：y2=x聯(lián)立，所以A=打2+書>0,yi+y2

.TT1°1ry

=m,y\y2=-3由PM=2P4得；=(y-l)2,同理可得一=(y-l)2,所以(y1-l)24-

A1,/

2

(%—1)2=.I+丫2)2—2(y]+丫2)-2yly2+2—2,所以nV-2m+2t=0,即t=m—

將其代入〃?+4/>o,解出m的取值范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出t的最大值.

【解答】解：(1)由題知F(，，0),Q(p,0),

：.P\(2p,-1),代入C的方程得l=4p2,

.1

?.P=2;

(2)設(shè)直線/的方程為x=m)，+f,與拋物線C：y2=x聯(lián)立得/-%),_『()，

由題知△=/n2+4/>0,

可設(shè)方程兩根為yi,y2,則yi+y2=，〃，y\yi=-t>(*),

由茄=疝得時,yM-1)=X(yl，%-1),

'.xM=Ayl，.y“=\yi+l-A,

又點用在拋物線C上，

(Ri+1-A)2=Ayl，化簡得Q-l)[A(yi-l)2-l]=0,

由題知M,A為不同兩點，故入Wl,

-=1，即(=(y1-I)2,

2

同理可得工=(y2-l),

22

(%T)2+(y2-l)=(71+y2)-2(71+y2)-2yly2+2=2,

2

將(*)式代入得a?-2〃z+2f=0,即t=將其代入m2+4/>O,

解得0V加V4,

：.t=m-^=-1(m-l)2+1,在〃?=1時取得最大值之，

即直線/的最大橫截距為

【點評】本題主要考查了拋物線的方程，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了二次

函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.

2

6.已知A,B,C三點在橢圓E：聚+y2=i上，其中4為橢圓E的右頂點，圓O：？+/

=，為三角形A8C的內(nèi)切圓.

(1)求圓。的半徑六

(2)已知4式等，等)，&，&是E上的兩個點，直線442與直線443均與圓。相

切，判斷直線A*3與圓0的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】(1)由題意可設(shè)B(-r,W),0<r<l,過圓心0作OO_LAB于點。，設(shè)BC

與x軸交于點H,由相似三角形對應邊成比例可得|坊|=與，而點8(-r,消)在

橢圓E上，代入橢圓方程可得關(guān)于，?的方程，求解可得r值.

(2)由題意可知直線4A2與4A3斜率內(nèi)和心均存在，設(shè)出過Ai且與圓。相切的直線

方程，由圓心。到該直線的距離等于半徑列式可得4F=18k-4,聯(lián)立直線方程與橢圓方

程，求出切點坐標，進一步求得直線AM3的斜率，可得直線A泊3的方程，求得圓心O

到AM3的距離d=r,可得直線4M3與圓。相切.

【解答】解：(1);圓。與橢圓E均關(guān)于戈軸對稱，故可設(shè)3(-r,)歸)，0<r<l,

過圓心。作0QLA3于點O,設(shè)3C與無軸交于點兒

,ODHB,TIVRI/?+r

町F=而得不港=擊'即1狗=

而點B(-r,ye)在橢圓E上，

1M(2-r)(2+r)2,2+r、

故%2=1-彳=-_L=丁(=)，

即(2-r)2=“，得r=|.

(2)直線A2A3與圓O相切.理由如下：

由題意可知直線4A2與A&斜率A1和心均存在，

設(shè)過人(等，等)且與圓0；/+y2=g相切的直線方程為：丫一等=卜@一竽)，

即kx-y+管(l-k)=0,

則圓心。到該直線的距離d=嵯型=2即4廬=18k-4,