《理論力學(xué)》36道大題答案 (一)

理論力學(xué)36道大題答案

2-5如圖2-5a所東，剛架的點(diǎn)8作用1水平力尸，剛架重量不計(jì).求支座4,。的約

束力。

圖2-5

解研究對象：剛架。由三力平衡匯交定理，支座4的約束力以必通過點(diǎn)C,方向如

圖2-5b所示.取坐標(biāo)系3,由平衡理論得

2

ZF,=O,F-FAX=0(1)

2戶,=0,F-FX1=0

DX(2)

、J

式⑴、(2)聯(lián)立,解得

V5

FA=-yF=1.12F,Fo=0.5F

2-8圖2-8a所示為1撥樁裝置。在木樁的點(diǎn)4上系1繩，將繩的另1端固定在點(diǎn)C,

在繩的點(diǎn)B系另1繩8E,符它的另1端固定在點(diǎn)E。然后在繩的點(diǎn)O用力向下拉，使繩的

80段水平，A8段鉛直，OE段與水平線、CB段與鉛直線間成等角。=0.1rad(當(dāng)"很小

忖，tan。*。)。如向下的拉力氏=800N,求繩48作用于樁上的拉力。

解(1)節(jié)點(diǎn)。，坐標(biāo)及受力如圖2-8b,由平衡理論得

Z鼻=0,FDB-FDEcos0=0

EK=°，F(xiàn)DEsin0-F=O

解得

FDB=尸血。

討論：也可以向垂直于在法方向投影，直接得

FDB=Fcot0

(2)節(jié)點(diǎn)8,坐標(biāo)及受力如圖2-8c所示.由平衡理論得

25=0,尸esin〃一F°B，=0

ZFy=0,FCBsin0-FAB=0

解得

ponnN

心=FDB3〃=Fcot20=—=80kN

2-12已知梁48上作用1力偶，力偶矩為M,梁K為7,梁重不計(jì)。求在圖2-12a,2-12b,

2-I2C三種情況下支座4和B的約束力.

(cl)

圖2-12

解(a)梁A8,受力如圖2-12al所示.尸，，尸&組成力偶，故

FA=FB

MM

ZMA=0,FBI-M=0,FB=y,FA=—

(b)梁A8,受力如圖2-12bl所示。

一M

ZM”=0,FBl-M=0,FB=FA=y

(c)梁A8,受力如圖2-12cl所示。

M

肛

Z=0,FBlcosff-M=0,FB=F.---------

/cos。

【例題2-6】水平梁45中點(diǎn)C作用著力尸,其大小等于2kN,方向

與梁的軸線成60°角，支承情況如圖所示，試求固定較鏈支座力和

活動錢鏈支座B的約束力(梁的自重不計(jì))。

【解】(1)取4B桿為研究對象,畫出(3)求解方程，確定未知量。

受力圖。

聯(lián)立求解兩個(gè)平衡方程，得:

(2)以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

立坐標(biāo)系，列平衡方程。FA=S/3kN,FB=lkN

【例2-18］如圖所不為簡易起吊機(jī)的平面力系簡圖。已知橫梁的自重

&=1.2kN,起吊總量（72=7.5kN,的長度/=2.5m;斜拉桿CD的傾角

四=30。，自重不計(jì)；當(dāng)電葫蘆距4端距離a=2m時(shí)，處于平衡狀態(tài)，試求拉

桿CD的拉力和，端固定錢鏈支座的約束反力。

【解答】：（4）用二力矩式平衡方程求解：

=0,-Z-an/z-?—~Gj-cs=0

(乃=0,-%/+G1]+G?(7-。)=0

Xg=°，乙-%?cosa=°

同樣解得：

FCZ)=13.2kN,7^=11.43kN,F,=2.1kN

結(jié)果為正值，表明圖中假設(shè)各未知力方向正確。

【例2-18］如圖所示為簡易起吊機(jī)的平面力系簡圖。J知橫梁的自重

5=1.2kN,起吊總量G2=7.5kN,48的長度/=2.5m;斜拉桿CD的傾角

a=30。，自市不計(jì)；當(dāng)電葫蘆距4端距離環(huán)2m時(shí)，處于平衡狀態(tài)，試求拉

桿C。的拉力和4端固定較鏈支座的約束反力。

【解答】：（5）用三力矩式平衡方程求解：

5)=0,-%/+G^+G2=0

^Afc(F)=0,?I?tana-Gx---G2a=0

同樣解得：

FCD=13.2kN,^v=11.43kN,F,=2.1kN

結(jié)論：?個(gè)平衡問題可以用多種形式的平衡方程

求解,且結(jié)果是相同的。

4-4求圖44所示力尸1=()0()N對于z軸的力矩Mz,

解把力尸向x,y軸方向投影，得

3

F=1000x-^=507N

F*=1000x-J==169N

v35

Mz=xFy-yFx=-150x507-150x169

=-101400N-mm=-101.4N-m

4-10如圖4J0a所示，3腳闞桌的半徑為r=500mm,重為尸=60()N。圓桌的3腳

A,8和C形成1等邊三角形.若在中線8上距圓心為。的點(diǎn)〃處作用鉗直力金1500N,

解設(shè)圓桌中心為O,A8中點(diǎn)為E,則OE=rsin30°=250mm,取圓桌為研究對寐，受

力如圖4-10b所示.若在點(diǎn)的作用力尸使桌剛要翻倒，則此時(shí)風(fēng)片0,力系對軸A8的力矩

平衡方程

=0,FME-WDE=0

.W__600N

MEDE=---------x250mm=100mm

F1500N

a=DE+EM=350mm

4-24均質(zhì)塊尺寸如圖上24所示，求其重心的位置。

解r_門再_加(40><40><1(^60+20><40)<30><10+80><40><60)<20)

“""XPtpg(40x40xl0+20x40x30+80x40x60)

=21.72mm

_Zgv_pg(40x40x10x20+20x40x30x60+80x40x60x40)

Z月麗40?0XTO+2O1<4OX3O+80x40x60『

=40.69mm

一工P&夕g(40x40xl0x(-5)+20x40x30x15+80x40x60x(—30))

__^(40x40x10+20x40x30+80x40x60)

=-23.62mm

【例題3-23］已知：均質(zhì)等厚Z字型薄板尺寸如圖所示，求其重心坐標(biāo)。

【解答】：厚度方向重心坐標(biāo)已確定，只求重心的x,j坐標(biāo)即可,.

用虛線分割如圖，為三個(gè)小矩形，其面積與坐標(biāo)分別為

1

A1=300mm,xt=-15mm,y|=45mm

2

A廣400mm,x5mm,y2-30mm

A產(chǎn)300mm1,x$=15mm,y,=5mm

代入組合法計(jì)算公式，得：

=型1土線±4三=2mm

A.+A24~

__4%+初2+4%

yc=27mm

~~T~4+4+4

【例題4-1】兩物塊/、5膏放在

?起，Z由繩子系住。已知，重

GA=500N,B重GB=1000N,AB

間的摩擦因數(shù)工=0.25,8與地面

間的摩擦因數(shù)以=0.2,試求抽動

6物塊所需的最小力。

【解答】(1)畫出物塊4、8的受力圖。

(2)列平衡方程(請自己完成)

(3)根據(jù)滑動摩擦定律補(bǔ)充方程：

線=￡,小，=fl'FVR

(4)求解未知量：

"=Gd￡+(G/+GDf

=500x0.25+1500x0.2=425N

6-1圖6-1所示為曲線規(guī)尺的各桿，氏為。4=A3=200mm,

CD=QE=4C=AE=50mm,如桿QA以等角速度3=:rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動，并且當(dāng)運(yùn)

動開始忖,桿QA水平向右,求尺上點(diǎn)D的運(yùn)動方程和軌跡。

解如圖所示4。8=碗，則點(diǎn)。坐標(biāo)為

xD=OAcQscot,yD=OAsin(ot-2ACsin(ot

代入數(shù)據(jù)，得到點(diǎn)。的運(yùn)動方程為：

x=200cos—mm，y=100sin—mm

5”5

把以上兩式消去t得點(diǎn)。軌跡方程：

22

------1------=1(坐標(biāo)單位：mm)

4000010000

因此，巴點(diǎn)軌跡為中心在(0,0),長半軸為0.2m,

d/

6-9曲柄OA伎『，在平而內(nèi)繞O軸轉(zhuǎn)動，如圖6-9

所示。桿AB通過固定于點(diǎn)N的套筒與曲柄OA較接于點(diǎn)

4。設(shè)0=切，桿人8長/=2，求點(diǎn)8的運(yùn)動方程、

速度和加速度。

解/=2r

x=r+(/—2rsin^)sin—

<J?

y=-(Z-2rsin-^)cos-^

即圖6-9

,.tt)tc.2sti.St上,c.(Ot.

x=r+lsin-zrsm=/sin—+rcoswf=ncosw/+2sin)

2222

,(ot_(t)t.

y=-Icos~+trsin,W=r(sin(ot-2cos—)

.,O)cdt..(tJt..

x=t——cos------rcosinii)t=rw(cos------sincut)

222

..CO.(Dt.,.(t)t.

y=rcocos(ot+r—sm~=^(cosfdT+sin—)

v=Ji2+y2=2-2sin

'\2

..,co.cut八

x=rfo(---sin--ft)cosorf)=---(sin—+2cos69/)

y=sincutcos-^y)=(cos--2sincut]

22

i'.：2rco1?...cot

a=<JC+y=——、|5-4sin-

2\2

7-6如圖7-6所示，摩擦傳動機(jī)構(gòu)的主動軸I的轉(zhuǎn)速為n=600r/min。軸I的輪盤與軸II的輪

盤接觸，接觸點(diǎn)按箭頭A所示的方向移動。距離d的變化規(guī)律為d=100-5，，其中d以mm計(jì)，

，以s計(jì)。己知r=50mm,R=150mm。求：（1）以距離d表示軸11的角加速度；（2）當(dāng)d=r

lit,輪8邊緣上1點(diǎn)的全加速度。

解（1）兩輪接觸點(diǎn)的速度以及切向加速度相同

(oxr

50n-60010(h

故-------------=---------rad/s

100-5/3010-0.5/

_皿_d(1000n、5000K

-d/■d/H00-5r一(100-5gT

￡00071

rad/s2

2

（2）輪H作定軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)d=7?時(shí)輪緣上1點(diǎn)的加速度可如下求得:

(t)

a)2~\=20/crad/s

5x1035xl03n

7t2

%==2n:rad/s

d22

242

a=R4af+to*=15Ov'(27t)+(20TT)=300JTJl+40000K

=592000mm/s2=592m/s2

【例題6-2】攪拌機(jī)如圖所示，J知。/=。23=夫，OyO2=AB,桿以不變

轉(zhuǎn)速〃（r/min）轉(zhuǎn)動。試分析區(qū)4M構(gòu)件上M點(diǎn)的軌跡、速度和加速度。

【解答】：因?yàn)闃?gòu)件及IM作平移，所以MU跡與N相同。

A.5點(diǎn)的軌跡為?個(gè)圓。

n2n蟲m?

速度：——R=——R

6030

加速度：力=0,W=

02

M點(diǎn)的軌跡也是?個(gè)圓，與A點(diǎn)軌跡圓的半

徑相同，圓心位.置不同。

速度：4

加速度：4=0，《=（梟我

2死

【例題33】單擺按照下面的運(yùn)動規(guī)律^=%cos—Z繞固定軸0二擺動，如圖

所示。其中外為搜的振幅，7為擾動周期，OC=l,試求在初瞬時(shí)（片0）及經(jīng)

過平衡位置（*=0）時(shí)，其重心C的速度和加速度。

【解答】：（1）求單提的角速度和角加速度

dtp拉%-2x

8=——=-----sm——t

diTT

do)4/42<

a=----=cos——t

diT2T

當(dāng)尸0時(shí)：租）=0,%下普

（2）求片0時(shí)C點(diǎn)的速度和加速度

%=）?=0，&=1=0

%=八收+屈=4*#

【例題6-3】單撰按照下面的運(yùn)動規(guī)律W=比cos于,繞固定軸必投動，如圖

所示。其中鈾為擺的振幅，7為擺動周期，OC=l,試求在初瞬時(shí)（片0）及經(jīng)

過平衡位置（°=0）時(shí)，其重心C的速度和加速度。

【解答】：（3）求伊=0時(shí)單擺的角速度和角加速度

2處K2乃n?3方

V>=^cos—/=0了'=萬或萬

而苧=±1匚>萃^

C^>a=0

（4）求e=o時(shí)c點(diǎn)的速度和加速度

V"—攀

1

，=La=0,二a=《d+4=4掌?

8-9如圖8-9a所示，搖桿機(jī)構(gòu)的滑桿以等速u向上運(yùn)動，初瞬時(shí)搖桿0C水平。

搖桿氏OC=a,距離8=7,求當(dāng)0=三忖點(diǎn)C的速度的大小.

(a)(b)

圖8-9

解套筒/為動點(diǎn)，動系固結(jié)十桿OC絕對運(yùn)動為上下直線，相對運(yùn)動沿OC1直線,

牽連運(yùn)動為繞O定軸轉(zhuǎn)動.速度分析如圖8-9b所示，設(shè)桿OC角速度為⑷，其轉(zhuǎn)向逆時(shí)

針。由題意及兒何美系可得

Vg=V(1)

ve=u)-OA(2)

(3)

cose

OA=VZ2+v2t2(4)

I

COS(P------(5)

OA

式(1),(2),(4),<5)代入式(3),得

_o)?OA_=a)OA2_f()(y2t2+/2)

cos*II

via

(o=

v2t2+l2

因

【例題7-6】如圖所示半徑為R的偏心圓凸輪，偏心距為e,以勻角速度e繞O轉(zhuǎn)

動，桿AB能在滑槽中上下移動，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成條直

線。求在圖示位置時(shí)，桿AB的速度。

【解答】：

(1)選AB桿上的A點(diǎn)為動點(diǎn)，則動參考系0M/必須移

建、'/:在凸輪」，靜參考系建U在地面上。r

(2)分析三種運(yùn)動和三種速度

絕對運(yùn)動：A點(diǎn)隨著AB桿的上下宜線運(yùn)動，

絕對速度此時(shí)豎直向上，大小未知。

牽連運(yùn)動：凸輪繞O的定軸轉(zhuǎn)動，牽連速度方向垂克于

OA,大小為：v,

相對運(yùn)動：A點(diǎn)沿凸輪邊緣的曲線運(yùn)動，相對速度大小未知，

方向與A點(diǎn)的圓周相切，即垂直于半徑CA。

【例這7-6】如圖所示半徑為滅的偏心圓凸輪，偏心距為e,以勻角速度，"繞O轉(zhuǎn)

動，桿AB能在滑槽中上下移動，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成?條直

線。求在圖示位置時(shí)，桿AB的速度。

【解答】：

(3)根據(jù)速度合成定理，作速度平行四邊形如圖。

(4)根據(jù)圖中的幾何關(guān)系求解

04=

v.=OAtB=yJR2-e1a>

v.=v,-cot0=JR.<B--j—…=e(o

yjR2—，

由于AB桿作平行移動，因此A點(diǎn)的絕對速度就代表AB桿運(yùn)動的速度。

【例題7-7】礦砂從傳送帶A落到另傳送帶B上，如圖所示。站在地面上觀察

礦砂下落的速度為匕=4m/s,方向與鉛直線成30。角。己知傳送帶B水平傳動速

度與=3m/s。求礦砂相對于傳送帶B的速度。

【解答】：(1)選M點(diǎn)為動點(diǎn)，動參考系建立在傳送帶上?！?

(2)分析二種運(yùn)動和三種速度

絕對運(yùn)動：礦砂相對于地面的運(yùn)動，絕對速度

%大小和方向均己知。

牽連運(yùn)動：傳送帶的運(yùn)動，車進(jìn)速度匕=%大小

和方向均一知。

相對運(yùn)動：M點(diǎn)相對于傳送帶的運(yùn)動，相對速度

大小和方向均未知。

(3)根據(jù)速度合成定理，作速度平行四邊形如圖。

vr=+vj-Zv.v,cos600=3.6m/s

3

/?=arcsine-

sin尸sin6003.0

9-6四連桿機(jī)構(gòu)中，連桿48上周結(jié)1塊三角板A8D,如圖9-6a所示1，機(jī)構(gòu)由曲柄。①

帶動。已知曲柄的角速度儂4,=2rad/s；曲柄O|A=0.1m,水平跳離QO2=。05m,

A0=0.05m；當(dāng)。①鉛直忖，48平行于。。2,且4。與A。1在同1直線上；角3=30°.

p

(b)

圖94

解三角板ABD作平面運(yùn)動，在圖9-6所示位置的速度瞬心在點(diǎn)P,設(shè)三角板角速度

為。48，由題意得

vA=OiA(o(hA=PAGTAB

由兒何關(guān)系

PA=O}A+PO1=O,A+。。2cot30。=0.10+0.05J3m

把總值代入上式，得

(o=—^—-(o=——_i.f^raj/s(逆)

ABPAO°'AA0.10+0W3

于是有

VD=PD(DAB=(AD+PA^o^=(0.05+0.10+0.0573)x1.07=0.253m/s(-)

【例迎8-3】曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，OA=r,AB=y/3-r.如曲柄OA以勻角速

度切轉(zhuǎn)動，求當(dāng)e=60。、0=0。和夕=90。時(shí)點(diǎn)B的速度。O、B在同?水平面。

【解答】：([)求當(dāng)《=60。時(shí)點(diǎn)B的速度。

A

選A點(diǎn)作基點(diǎn)，則有：

率連速度：=OAa>=rto,vALOA

相對速度：%，/方，大小未知。B

絕對速度：%方向水平向左，大小未知。

根據(jù)速度合成定理，作速度合成圖。RA

請根據(jù)正弦定理和已知條件，自己

證明如下兩個(gè)結(jié)論：

由圖中幾何關(guān)系得B點(diǎn)速度為：

G)6MLAB

V,2ra>2-j3-ra}

(.2yZOBA=30°

。cos300衣3~

【例題8-3】曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示，OA=r,AB=抬?「。如曲柄OA以勻角速

度◎轉(zhuǎn)動，求當(dāng)9=60。、匕0。和？=90。時(shí)點(diǎn)B的速度。O、B在同一水平面。

【解答】：(2)求當(dāng)(90。時(shí)點(diǎn)B的速度。

選A點(diǎn)作基點(diǎn)，則有：

牽連速度：=OAa=rtD9vAJLOA

相對速度：大小未知。

絕對速度：va方向水平向左，大小未知。

根據(jù)速度合成定理，作速度合成圖。

■=4十%

此時(shí)牽連速度與絕對速度共線、同向，所以相對速度：%=0

所以當(dāng)9=90。時(shí)點(diǎn)B的速度為：。=打=>。

10-11質(zhì)量為zn的物體放在勻速轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)臺上，它與轉(zhuǎn)軸的距離為r,如圖10-la

所示.設(shè)物體與轉(zhuǎn)臺表面的摩擦因數(shù)為了,求當(dāng)物體不致因轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)而滑出時(shí)，水平臺的

最大轉(zhuǎn)速。

L、

(a)

圖10-1

解物體也為研究對.象，受力和運(yùn)動分析如圖io-lb所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)最大時(shí)，摩擦力達(dá)

最大：

F=fFz(1)

將Z尸=mo分別向x和y方向投影得

-F=-ma,其中a=(2)

風(fēng)-mg=0(3)

式(1),(2)、(3)聯(lián)立，解得

&m?x

最大轉(zhuǎn)速

30=理成r/min

%一線3

7T兀

10-2如圖IO-2a所示A、B兩物體的質(zhì)量分別為叫與加?，2者間用I繩r連接，此繩

跨過1滑輪，滑輪半徑為r.如在開始時(shí)，2物體的高度差為〃，而且町＞加2,不計(jì)滑輪

質(zhì)量。求由靜止釋放后，2物體達(dá)到相同的高度時(shí)所需的忖間.

AB

飛g

圖10-2

解分別取重物力”“為研究對象，受力和運(yùn)動分析如圖b,分別列出西物體在鉛垂

方向的運(yùn)動微分方程

=加國一尸1(1)

Fm(2)

m2a2=2~2g

不計(jì)滑輪質(zhì)量，故

F\=F”

由式⑴、(2),解得

m}+加2

a為常量，2物體以相等的加速度反向作勻加速運(yùn)動，且由靜止釋放，即

%=0

-at2

2

當(dāng)2物體達(dá)到相同高度時(shí)，每物體均經(jīng)過Qsg的路程。

'〃（町—m,）

g（g一加2）

【例題9-3】?圓錐擺,如圖所示。質(zhì)量肋=O.lkg的小球系于長/=0.3m的繩上,

繩的另?端系在固定點(diǎn)O,并與鉛垂線成外60。角。如小球在水平面內(nèi)作勻速

圓周運(yùn)動，求小球的速度v與繩的張力廣的大小。

【解答】：以小球?yàn)檠芯康馁|(zhì)點(diǎn)

作用于質(zhì)點(diǎn)的力：重力，〃g和繩的拉力后

選取在自然軸上投影的運(yùn)動微分方程，得:

2

0=FCOB0-mg,m-v=尸sin。

0.1x9.8,…

解方程,得：尸=/=-----------=1.96NT

COS。0.5

根據(jù)作用與反作用定律，這就等于繩的張力大小。

gZsin20

小球的速度大小為：v="一一

VmCOS0

小球的速艮為什么不用公式計(jì)算？

【例10-6】圖示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，設(shè)曲柄OA受力偶作用以勻角速度轉(zhuǎn)動，

滑塊B沿x軸滑動。若OA=AB=/,OA及AB皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量皆為〃。，滑塊B的

質(zhì)量為，叫。求此系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動方程、軌跡以及此系統(tǒng)的動量。

【解答】：取桿OA在水平位置為運(yùn)動初始時(shí)刻。

系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)表示（即運(yùn)動方程）為：

I31

Wj-cogdT+w,—cosat+Wj(21cosar))

x=-2---------------Z----------------=產(chǎn)1cosat

cg+w,+啊物+啊

犯一sinor+肛一sin3

——&------------------------=-------/smctl

州+的+嗎2叫+啊

質(zhì)心的軌跡方程為：

?4

1

刑+啊)]州+啊.

2(------?/

2ml+啊2n+加2

可知系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動軌跡為,個(gè)橢圓?；鼗鼗貒?/p>

【解答】：根據(jù)質(zhì)心的運(yùn)動方程,求系統(tǒng)的動量。

系統(tǒng)質(zhì)心速度的直角坐標(biāo)投影為：

?a=_2（啊+叱）/切由似,v=^2=-——la）cosai

di孫+啊wdt孫+煙

系統(tǒng)動員的直.角坐標(biāo)投影為：

（陰+叱）VQ（叫+?￥/?，=（孫+?。￢。=叫/℃

px=2=-2111"P,83

系統(tǒng)動量的大小為：

p-4p：+pj=/3/4（啊+啊fsin?3+若co『at

系統(tǒng)動量的方向如何表示？弋一ojC>

【例10-7】均質(zhì)曲柄AB長為r,質(zhì)量為,假設(shè)受力偶作用以不變的角速

度”轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與它同連的活塞。，如圖所示?；?、連桿、

活塞總質(zhì)鋁為%.質(zhì)心在點(diǎn)C。在活塞上作用恒力人不計(jì)摩擦及滑塊B

的質(zhì)量，求作用在曲柄軸A處的最大水平約束力號。

【解答】：取整個(gè)機(jī)構(gòu)為研究的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。

網(wǎng)二cosfflf+m2（r8s〃+6）

系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)*c為：xc=--------------------

叫+ni2

質(zhì)心加速度在x軸上的投影為：

d2xraf.1、

==年c=-------（二州+?。ヽos改

atg+煙2

應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，得：

2

求解上面的方程，得：F=F-+w2）ro>cosat

A處的最大水平約束力為：尸.2=尸+弓/+%），02AB桿在什么位置？

【例題10-10】勻質(zhì)桿AB長2/,B端放置在光滑水平面上。桿在如圖所示位

置自由倒下，試求A點(diǎn)的軌跡方程。（參考習(xí)題10-4）

【解答】：

光滑面沒有摩擦力，A

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動守恒定

理，質(zhì)心C的水平位A

置保持不變。

添加輔助線，根

據(jù)圖中幾何關(guān)系，BB

得到A點(diǎn)的運(yùn)動

Zcos0；,]ZCOSfl?

方程為：I-------------------------i

x=Acos%+/cos^>

<A

>4=2Zsin@

結(jié)論：A點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為楠圓。

軌跡方程為：如半空+和

Hl3]EH

【例11-7】圖中小球A,B以細(xì)繩相連，質(zhì)量皆為,”,其余構(gòu)件質(zhì)量不計(jì)。忽

略摩擦，系統(tǒng)繞鉛垂軸z自由轉(zhuǎn)動，初始時(shí)系統(tǒng)的角速度為co。。當(dāng)細(xì)繩拉斷后，

求各桿與鉛垂線成。角時(shí)系統(tǒng)的角速度。

【解答】：研究整個(gè)系統(tǒng)為所研究的質(zhì)點(diǎn)系。

質(zhì)點(diǎn)系所受的重力、軸承約束力對于轉(zhuǎn)軸的矩

都等于零，所以系統(tǒng)對于轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒。

當(dāng)6M)時(shí)，動量矩為：

4=2m(aA?0)-a=i?0

當(dāng)今0時(shí)，動量矩為：

2

LZ2-2m(a+Zsin^)4?

當(dāng)乙乜2,可得：

2

CD-----：---a)

(a+Zsind)-n

【例題11-12】在絞車主動軸上，作用?不變力偶短M以提升重為尸的物體，

如圖所示。己知：主動軸及從動軸連同各軸上的齒輪、鼓輪等部件對軸的轉(zhuǎn)

動慣量分別為4及4；傳速比i,吊索繞在半徑為K的鼓輪上。不計(jì)軸承摩擦

及吊索質(zhì)量，求重物A的加速度。小

【解答提小】：設(shè)齒輪嚙合點(diǎn)切向力為名。徐弓具動軸

八%—M一4?4

R1?嗎=&?嗎,居?%=??2?。2

M?i—P'R

%一4+，下+尸及2

_(M-i-P-R)-g-R

a=Ra.=—=-----------------

^-e+j^g+PRT2

同區(qū)EEtHI

12.6如圖12-6a所示/為離合搟，開始時(shí)輪2靜止，輪1具有角速度。當(dāng)離合㈱

接合后，依靠摩擦使輪2啟動。已知輪1和2的轉(zhuǎn)動慣量分別為J和A.求：（I）當(dāng)離合

播接合后，兩輪共同轉(zhuǎn)動的角速度:（2）若經(jīng)過t秒兩輪的轉(zhuǎn)速相同，求離合播境有多大的

摩擦力矩。

解（I）以輪1和2為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，因?yàn)橄到y(tǒng)所受外力（包括重力和約束反力）

對轉(zhuǎn)軸之矩均為零，所以系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的動量矩守恒，即

J\（OQ=（/+J2

（O=——

Jj+J2

（2）以輪2為研究對致，受力分析如圖l2-6b所示，根據(jù)動量矩定理對于轉(zhuǎn)軸的投影

式得旦=%

dr

兩邊積分

片3=⑶市

設(shè)跖為常值力矩得

(i)

J3w0

乂L=J^D=(2)

z4+J?

由式（1）、（2）得

M-4'々”。

f(4+。

13-1如圖13-la所示，圓盤的半徑r=0.5m,可繞水平軸。轉(zhuǎn)動。在繞過圓盤的繩上

吊有兩物塊A,B,質(zhì)量分別為叫=3kg,g=2kg。繩與盤之間無相對滑動,在圓盤上作

用1力偶，力偶矩按M=4。的規(guī)律變化（M以N,m計(jì)，。以rad計(jì)）“求由0=0到。=2兀

忖，力偶M與物塊48重力所作的功之總和。

圖13-1

解軸承處約束力（圖13-lb中未畫出）為理想約束力，不做功.做功的力和力偶矩有

M,"這，〃叫:

「2九2

卬=JO4（pd（p+（mA一機(jī)s）g?2加廠=8冗~+（小人-%）g-2nr

=（8兀2+1x9.8x271x0.5）J=110J

13-3圖13-3a所示坦克的履帶質(zhì)量為m,兩個(gè)車輪的質(zhì)量均為四。車輪被看成均質(zhì)圓

盤，半徑為R,兩車輪間的距離為7T/?。設(shè)坦克前進(jìn)速度為％計(jì)算此質(zhì)點(diǎn)系的動能.

解系統(tǒng)的動能為履帶動能和車輪動能之和.將履帶分為4部分，如圖13-3b所東。履

帶動能：

由于匕=0#1V=2v,且由于每部分履帶K度均為兀/?,因此

叫=%=小=嗎=?

TI=—/Wjv/=0

e1216/C、262

TTV==3x7(20=—V

II、01段可合并看作1滾環(huán)，其質(zhì)量為轉(zhuǎn)動慣量為?/="/?2,質(zhì)心速度為y,角速度

22

為3=一,則

R

r2

T,T1胴2,172my-1/nd2tn

7^+4=——VH—J(t)=-----+-?一■/?,--?—―--V'

nm222422R22

T=0+—v2+—v2=mv2

n腰22

輪動能

輪肉獷。

T=2%=2432

=3團(tuán)止

則系統(tǒng)動能

T=o+q=mv2+-m2

2'lV

13.5自動彈射器如圖13-5a放置，彈簧在未受力時(shí)的長度為200mm,恰好等于筒長。

欲使彈簧改變10mm,需力2N.如彈簧被小縮到100mm,然后讓質(zhì)量為30g的小球自彈

射器中射出.求小球離開彈射器筒口時(shí)的速度。

圖13-5

解由題意得彈簧的剛度系數(shù)

F2N

k=—=z—=200N/m

AZ0.01m

彈射過程中，彈性力功

%=*（品2"2）=1x200（0.12-0）J=1J

重力功

W2=-mgsin30°[0.2-0.1]=-0.0147J

動能

*=0

T=—mv2=—x0.03v2

222

由動能定理知

叱+也=72-n

將有大量代入，得

1J-0.0147J=^x0.03kgv2-0

v=8.1m/s*--.一?~?

.,■??■?-_I??■■■?—.?.?—?-uI-?—?*??—k?,??—k-■?*

14-2如圖14*2b所示汽車總質(zhì)量為m,以加速度a作水平直線運(yùn)動.汽車質(zhì)心G離地

而的高度為h,汽車的前后軸到通過質(zhì)心垂線的距離分別等于c和b.求其前后輪的正樂力,

解取汽車為研究對軟，受力（含虛加慣性力）如圖14-2b所示。其中慣性力

F1=ma

由動靜法:

=0,F^B(h+c)-mgb+Fjh=0(1)

=0,-F^A(b+c)+mgc+Fyh=0(2)

解得

口bg-haeg+ha

F^.=tn-----F--ZBm-------

W(c+b)(b+c)

欲使尸NA=&<B，則汽車的加速度可由

bg-ha_eg+ha

(c+b)m(h+c)

解得

S-c)g

2h

14-3如圖】4-3a所示矩形塊質(zhì)量啊=100kg,置于平臺車上.車質(zhì)量為m2=50kg.

此車沿光滑的水平而運(yùn)動。車和矩形塊在?起由質(zhì)量為則的物體牽引，使之作加速運(yùn)動。

設(shè)物塊與車之間的摩擦力足夠阻止相互滑動，求能夠使車加速運(yùn)動而m,塊不倒的質(zhì)量為

的最大值，以及此時(shí)車的加速度大小。

⑹

El*+-3

解取車與矩形塊為研究時(shí)象如圖14-3b所示.慣性力為

Fi=(/?|+z?2)a=150a

由動靜法

EFX=0,FT-F[=0,FT=150a

取矩形塊為研究對.象，欲求使車與矩形塊一起加速運(yùn)動而塊叫不倒的叫最大值，應(yīng)考慮在

此時(shí)矩形塊受車的約束力已集中到左側(cè)點(diǎn)A，如圖143c所示，且矩形塊慣性力為

Fu=

由動靜法，不翻倒的條件為

A=0,%.加g_加圖?；=0

將

FT=150a

代入上式，解得

a=—=2.45m/s2

4

取物塊為研究對象，慣性力(如圖l4-3d所示)

尸31=m3a

由動靜法

FT+m3a-mig=0

F150百

=-2-=---^=50kg

8-a0-1

S4

【例題13-1】列車沿水平直線軌道行駛，在車廂內(nèi)懸掛?單擺。當(dāng)車廂向右勻

加速運(yùn)動時(shí)，在穩(wěn)定狀態(tài)卜提