專(zhuān)題11 數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索（解析版）

專(zhuān)題11數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索1．閱讀探究：，，，…(1)根據(jù)上述規(guī)律，小亮發(fā)現(xiàn)，求出___________．(2)小聰繼續(xù)又發(fā)現(xiàn)：，求出___________．(3)若，請(qǐng)運(yùn)用小聰?shù)姆椒ㄇ蠛偷闹怠敬鸢浮?1)6(2)7(3)，【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)閱讀材料，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可；（3）把A變形為，根據(jù)閱讀材料所得規(guī)律即可計(jì)算．(1)解：∵，，，∴，∴故答案為：6(2)解：∵，，∴，∴.故答案為：7(3)解：∵，∴∵，∴，.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?數(shù)字的變化類(lèi)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料．2．先閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題：材料：從4張不同的卡片中選取2張，有6種不同的選法，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從4個(gè)不同元素中選取2個(gè)元素的組合，組合數(shù)記為＝＝6．一般地，從n個(gè)不同元素中選取m個(gè)元素的組合數(shù)記作，＝（m≤n）．例如：從6個(gè)不同元素中選3個(gè)元素的組合，組合數(shù)記作＝＝20（1）為迎接國(guó)家建設(shè)工作檢查，學(xué)校將舉辦小型書(shū)畫(huà)展覽．王老師在班級(jí)8幅優(yōu)秀書(shū)畫(huà)中選取3幅，共有多少種選法？（2）探索發(fā)現(xiàn)：計(jì)算：＝，＝，＝，＝，＝，＝．由上述計(jì)算，試猜想，，之間有什么關(guān)系．（只寫(xiě)結(jié)論，不需說(shuō)明理由）（3）請(qǐng)你直接利用（2）中猜想的結(jié)論計(jì)算：++++…+．【答案】（1）56種；（2）3，1，4，10，5，15；Ckn+?nk+1＝Cn+1k+1；（3）165【分析】（1）根據(jù)材料給出組合的方法直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算；利用計(jì)算結(jié)果得∵+=，+＝，由此規(guī)律可得+=，

；（3）利用（2）中的規(guī)律從左到右依次計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)公式＝＝56，答：共有56種選法．（2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15，∵+＝3+1＝4=，+＝10+5=15=，∴+=，

故答案為3；1；4；10；5；15；（3）++++…+，＝+++…+，＝++…+，＝，＝，＝165．【點(diǎn)睛】本題考查組合新定義計(jì)算，有理數(shù)的乘除法混合計(jì)算，掌握新定義的計(jì)算方法與性質(zhì)，有理數(shù)的乘除法混合計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．3．找規(guī)律：觀察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按規(guī)律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的規(guī)律計(jì)算：113+123+133+143+…+503（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）（3）思維拓展：計(jì)算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）【答案】（1）；；（2）1622600；（3）【分析】（1）觀察等式右邊都是平方數(shù)，且底數(shù)正好是等式左邊各底數(shù)的和，依此規(guī)律類(lèi)推可分別解決以上兩個(gè)問(wèn)題；（2）由于上面的等式都是從底數(shù)是1開(kāi)始的，所以可以把該式子前面的部分從1開(kāi)始補(bǔ)上，再把補(bǔ)上的部分減掉即可；（3）該式中的底數(shù)并不是題干中所給出的從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)，因此不能直接用上述規(guī)律解題，但該式中的底數(shù)卻都是從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)的2倍，因此提出2后，各項(xiàng)都含有，逆用乘法分配律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）＝＝1622600；（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）＝23×＝．【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)式規(guī)律題，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)的觀察和分析的能力，首先學(xué)生應(yīng)對(duì)平方數(shù)有一定的認(rèn)識(shí)和感知力，這樣才能邁出解決問(wèn)題的第一步，其次學(xué)生要學(xué)會(huì)對(duì)不同的數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，通過(guò)它們的和差積商中的一種或多種組合找到它們的聯(lián)系，才能得出這道題的規(guī)律，建議在學(xué)習(xí)過(guò)程中多積累相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散思維，提高解決該類(lèi)問(wèn)題的效率．4．觀察下面三行單項(xiàng)式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；（2）第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)______；（3）取每行的第9個(gè)單項(xiàng)式，令這三個(gè)單項(xiàng)式的和為當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）觀察第①行的前四個(gè)單項(xiàng)式，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得；（2）分別觀察第②行和第③行的前四個(gè)單項(xiàng)式，歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得；（3）先計(jì)算整式的加減進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將x的值代入即可得．【詳解】（1）第①行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，第①行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，第①行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，第①行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，歸納類(lèi)推得：第①行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第①行的第8個(gè)單項(xiàng)式為，故答案為：；（2）第②行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，第②行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，第②行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，第②行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，歸納類(lèi)推得：第②行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第②行的第9個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第1個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第2個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第3個(gè)單項(xiàng)式為，第③行的第4個(gè)單項(xiàng)式為，歸納類(lèi)推得：第③行的第n個(gè)單項(xiàng)式為，其中n為正整數(shù)，則第③行的第10個(gè)單項(xiàng)式為，故答案為：，；（3）由題意得：，當(dāng)時(shí)，，，，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律型問(wèn)題、整式的化簡(jiǎn)求值，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．從2開(kāi)始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表：加數(shù)m的個(gè)數(shù)和S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按這個(gè)規(guī)律，當(dāng)m＝6時(shí)，和S為；（2）從2開(kāi)始，m個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和S與m之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)為：S＝．（3）應(yīng)用上述公式計(jì)算：①2+4+6+…+100②1002+1004+1006+…+1100③1+3+5+7+…+99【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律列出運(yùn)算式子，計(jì)算有理數(shù)的乘法即可得；（2）根據(jù)表格歸納類(lèi)推出一般規(guī)律即可得；（3）①根據(jù)（2）的結(jié)論列出運(yùn)算式子，計(jì)算有理數(shù)的乘法即可得；②利用的值減去的值即可得；③將運(yùn)算中的每個(gè)加數(shù)都加上1可變成（3）①的運(yùn)算式子，再減去50即可得．【詳解】（1）根據(jù)規(guī)律得：當(dāng)時(shí)，和，故答案為：42；（2）由表可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，歸納類(lèi)推得：，故答案為：；（3）①，，；②，，，，，；③，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減法與乘法的規(guī)律型問(wèn)題，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．如圖，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，…按圖1中的方式排成一個(gè)數(shù)表，用一個(gè)十字框框柱5個(gè)數(shù)，這樣框出的任意5個(gè)數(shù)（如圖2）分別用，，，，表示．（1）若，則______．（2）直接寫(xiě)出，，，，的和與之間的一個(gè)等量關(guān)系：______．（3）設(shè)，判斷的值能否等于2035？若能，請(qǐng)求出框內(nèi)5個(gè)數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）68；（2）；（3）不能等于2035，詳見(jiàn)解析【分析】（1）由x=17可找出a、b、c、d的值，將其相加即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圖形即可得出a、b、c、d與x之間的關(guān)系，將a、b、c、d相加即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)M=5x，代入2010求出x的值，根據(jù)x的奇偶性即可得出M的值不能等于2010．【詳解】（1）∵∴，，，∴；（2）∵觀察圖片可知，比小，比小，比大，比大∴，，，；∴∴；（3）不能等于2035，理由如下：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∵407為奇數(shù)，，所以2035在第34行第6列∴的值不能等于2035【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，仔細(xì)閱讀圖表排列規(guī)律，觀察出其余四個(gè)數(shù)與最中間的數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．觀察下列等式，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得（1）猜想并寫(xiě)出：__________．（2）利用你的結(jié)論計(jì)算：；（3）直接寫(xiě)出下列式子的結(jié)果：___________．【答案】(1);(2);(3).【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；（2）兩式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）原式變形后，利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果【詳解】解：（1）猜想得；（2）＝＝(3)根據(jù)(2)的結(jié)論可得:．【點(diǎn)睛】本題考查了觀察代數(shù)式找規(guī)律和有理數(shù)的混合運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．8．1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52……（1）按照此規(guī)律，寫(xiě)出第5個(gè)等式；（2）按照此規(guī)律，寫(xiě)出第（為正整數(shù)）個(gè)等式；（3）利用（2）中寫(xiě)出的等式，求101+103+105+……+295+297+299的值．【答案】（1）1+3+5+7+9+11=62；（2）1+3+5+……+（2n+1）=（n+1）2；（3）20000【分析】（1）根據(jù)連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個(gè)數(shù)的平方，即可完成解答；（2）根據(jù)連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個(gè)數(shù)的平方，即可完成解答；(3)運(yùn)用（2）所得的規(guī)律解答即可.【詳解】解：（1）經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個(gè)數(shù)的平方，則第五個(gè)等式為：1+3+5+7+9+11=62；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可歸納（為正整數(shù)）個(gè)等式為：1+3+5+……+（2n+1）=（n+1）2；（3）101+103+105+……+295+297+299＝1+3+5+…+299-（1+3+5+…+99）=1502-502=20000【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于得出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個(gè)數(shù)的平方.9．觀察下列等式（1）（2）（3）（4）…根據(jù)上述等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出第個(gè)等式（用含有的代數(shù)式表示）；（3）設(shè)是正整數(shù)且，應(yīng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，化簡(jiǎn)：．【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由題意可知從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)的立方和等于最后兩個(gè)整數(shù)的平方積的，據(jù)此進(jìn)行分析即可得出答案；（2）由題意直接根據(jù)從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)的立方和等于最后兩個(gè)整數(shù)的平方積的，這一規(guī)律即可求得；（3）利用所得規(guī)律將原式變?yōu)?，?jù)此進(jìn)行計(jì)算可得．【詳解】解：（1）第5個(gè)等式為，故答案為：.（2）第個(gè)等式為；（3）.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件推出規(guī)律.10．如圖1，在的九個(gè)格子中填入個(gè)數(shù)字，當(dāng)每行、每列及每條對(duì)角線的個(gè)數(shù)字之和都相等時(shí)，我們把這張圖稱(chēng)之為九宮歸位圖:（1）若，這個(gè)數(shù)也能構(gòu)成九宮歸位圖，則此時(shí)每行、每列及每條對(duì)角線的個(gè)數(shù)字之和都為；（2）如圖2.在這張九宮歸位圖中，只填入了個(gè)數(shù)，請(qǐng)將剩余的個(gè)數(shù)直接填入表2中；(用含的代數(shù)式分別表示這個(gè)數(shù))（3）如圖3，在這張九宮歸位圖中，只填入了個(gè)數(shù)，請(qǐng)你求出右上角“”所表示的數(shù)值.【答案】（1）6；（2）詳見(jiàn)解析；（3）1.【分析】（1）根據(jù)題意可知，數(shù)字2肯定在中間位置，其余兩個(gè)格子的數(shù)之和為4，即可得到答案；（2）由圖可知，設(shè)是9個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，根據(jù)規(guī)律，即可得到答案；（3）設(shè)右上角“”所表示的數(shù)值為，設(shè)空格中相應(yīng)位置的數(shù)為，然后根據(jù)每行、每列、每對(duì)角線的和相等，即可求出答案.【詳解】解：（1）在，這9個(gè)數(shù)中，∴2在中間，其余兩個(gè)格子的數(shù)之和為4，∴此時(shí)每行、每列及每條對(duì)角線的個(gè)數(shù)字之和都為：；故答案為：6.（2）設(shè)是9個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，則中間的數(shù)為，∴其余各數(shù)如圖：（3）如圖，設(shè)右上角“”所表示的數(shù)值為，設(shè)空格中相應(yīng)位置的數(shù)為，由題意可得：，可得：，∴，解得：.∴右上角“”所表示的數(shù)值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，以及九宮歸位圖的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)九宮歸位圖的規(guī)律進(jìn)行列式計(jì)算．11．將正整數(shù)1至2019按照一定規(guī)律排成下表：記aij表示第i行第j個(gè)數(shù)，如a14＝4表示第1行第4個(gè)數(shù)是4．（1）直接寫(xiě)出a35＝，a54＝；（2）①若aij＝2019，那么i＝，j＝，②用i，j表示aij＝；（3）將表格中的5個(gè)陰影格子看成一個(gè)整體并平移，所覆蓋的5個(gè)數(shù)之和能否等于2026．若能，求出這5個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）23，40；（2）①225，3；②9（i﹣1）+j；或者9i﹣9+j；（3）不能等于2026，見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)表格直接得出即可.(2)①根據(jù)每行由小到大排列8個(gè)數(shù),用2019除以8,根據(jù)除數(shù)與余數(shù)即可求值.②根據(jù)表格數(shù)據(jù)排列規(guī)律即可.(3)設(shè)5個(gè)數(shù)最小的為x,用含x的代數(shù)式分別表示出其他4個(gè)數(shù),根據(jù)求和等式列出方程,解出即可.【詳解】解：（1）a35＝23，a54＝40;（2）①∵2019÷9＝224…3，

∴2019是第225行的第3個(gè)數(shù)，

∴i＝225，j＝3．

故答案為225，3；

②根據(jù)題意，可得aij＝9（i﹣1）+j．

故答案為9（i﹣1）+j；或者9i-9+j（3）設(shè)這5個(gè)數(shù)中的最小數(shù)為x，則其余4個(gè)數(shù)可表示為x+4，x+10，x+12，x+20，根據(jù)題意，得x+x+4+x+10+x+12+x+20＝2026，

解得x＝396．

∵396÷9＝44，

∴396是第44行的第9個(gè)數(shù)，

而此時(shí)x+4＝400是第45行的第4個(gè)數(shù)，與396不在同一行，

∴將表格中的5個(gè)陰影格子看成一個(gè)整體并平移，所覆蓋的5個(gè)數(shù)之和不能等于2026．【點(diǎn)睛】本題為新定義的類(lèi)型題,讀懂題意根據(jù)規(guī)定計(jì)算是解題關(guān)鍵.12．a(chǎn)是不為1的有理數(shù)，我們把稱(chēng)為a的差倒數(shù)．如:2的差倒數(shù)是，現(xiàn)已知a1=，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…(1)求a2，a3，a4的值；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)猜想并寫(xiě)出a2016?a2017?a2018的值；(3)計(jì)算：a33+a66+a99+…+a9999的值．【答案】（1）a2=2，a3=-1，a4=（2）a2016?a2017?a2018=-1（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1【分析】(1)將a1=代入中即可求出a2，再將a2代入求出a3，同樣求出a4即可.(2)從（1）的計(jì)算結(jié)果可以看出，從a1開(kāi)始，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，而2016÷3=672，則a2016=-1,a2017=,a2018=2然后計(jì)算a2016?a2017?a2018的值；(3)觀察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，將-1代入，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）將a1=，代入，得；將a2=2，代入，得；將a3=-1，代入，得.（2）根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，從a1開(kāi)始，每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，而2016÷3=672，則a2016=-1,a2017=,a2018=2所以，a2016?a2017?a2018=（-1）××2=-1（3）觀察可得a3、a6、a9、…a99，都等于-1，將-1代入，a33+a66+a99+…+a9999=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99=（-1）+1+（-1）+…(-1)=-1【點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題考查了數(shù)字類(lèi)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是要嚴(yán)格根據(jù)定義進(jìn)行解答，同時(shí)注意分析循環(huán)的規(guī)律．13．任何一個(gè)整數(shù)，可以用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)表示：．例如：．已知是一個(gè)三位數(shù)．（1）為．（2）小明猜想：“與的差一定是的倍數(shù)”,請(qǐng)你幫助小明說(shuō)明理由．（3）在一次游戲中，小明算出，，，與這個(gè)數(shù)和是，請(qǐng)你求出這個(gè)三位數(shù)．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）748；【分析】（1）根據(jù)所給例子表示即可；（2）直接作差即可得出結(jié)論；（3）先根據(jù)題意得出a+b+c的取值范圍，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】（1）（2）；與的差一定是的倍數(shù)．

（3），由已知條件可得===即．是個(gè)三位數(shù)至少?gòu)?6開(kāi)始，經(jīng)嘗試發(fā)現(xiàn)，只有滿(mǎn)足條件，此時(shí)，這個(gè)三位數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類(lèi)項(xiàng)是解答此題的關(guān)鍵．14．高斯函數(shù)，也稱(chēng)為取整函數(shù)，即表示不超過(guò)的最大整數(shù).例如：，.試探索：（1）_____,_____；（2）_____；

（3）_____.【答案】（1）﹣5，3；（2）4；（3）6048

【詳解】試題分析：根據(jù)取整函數(shù)的定義分別計(jì)算即可．試題解析：（1）[-5]=-5，[π]=3；（2）[2.7]+[2.3]=2+2=4；.（3）=550+733+916+1100+1283+1466=604815．從2開(kāi)始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表：(1)按這個(gè)規(guī)律，當(dāng)m=10時(shí)，和為_(kāi)_；(2)從2開(kāi)始，m個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和S與m之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)為：________________________________________．(3)應(yīng)用上述公式計(jì)算：①2+4+6+…+100②108+210+212+…+300【答案】(1)110(2)m（m+1）；(3)①2550；②19788【分析】（1）由計(jì)算的算式可以看出：從2開(kāi)始連續(xù)偶數(shù)的和，等于加數(shù)的個(gè)數(shù)乘加數(shù)的個(gè)數(shù)加1，由此規(guī)律解答即可；（2）由計(jì)算的算式可以看出：從2開(kāi)始連續(xù)偶數(shù)的和，等于加數(shù)的個(gè)數(shù)乘加數(shù)的個(gè)數(shù)加1，由此規(guī)律解答即可；（3）①利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接計(jì)算即可；②把算式變?yōu)橛?jì)算得出答案即可．（1）解：∵2+2=2×2，2+4=6=2×3=2×（2+1），2+4+6=12=3×4=3×（3+1），2+4+6+8=20=4×5=4×（4+1），∴m=10時(shí)，和為：10×11=110；故答案為：110；（2）解：∴和S與m之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)：2+4+6+…+2m=m（m+1）；（3）解：①2+4+6+…+100=50×51，=2550；②108+210+212+…+300=（2+4+6+…+300）-（2+4+6+…+106）=150×151-53×54=19788．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)典型的模型應(yīng)用題，通過(guò)一些具有特定規(guī)律的式子發(fā)現(xiàn)模型規(guī)律，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，找出一般形式，同時(shí)通過(guò)發(fā)現(xiàn)規(guī)律代入比較大的值，一般最后一問(wèn)通常是模型的應(yīng)用，符合了解，理解，掌握，應(yīng)用這四個(gè)知識(shí)認(rèn)知層次．16．（1）觀察下列各式：根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問(wèn)題：①的個(gè)位數(shù)字是___________；的個(gè)位數(shù)字是___________；②的個(gè)位數(shù)字是___________；的個(gè)位數(shù)字是___________；（2）自主探究回答問(wèn)題：①的個(gè)位數(shù)字是___________，的個(gè)位數(shù)字是___________；②的個(gè)位數(shù)字是___________，的個(gè)位數(shù)字是___________．（3）若n是自然數(shù)，則的個(gè)位上的數(shù)字（

）A．恒為0

B．有時(shí)為0，有時(shí)非0

C．與n的末位數(shù)字相同

D．無(wú)法確定【答案】（1）①9；7

②7；7

（2）①3；3

②8；8

（3）A【分析】（1）根據(jù)已知式子可以得到末尾數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，據(jù)此解得即可；（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾數(shù)字4個(gè)一循環(huán)，據(jù)此解得即可；（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論可知與個(gè)位上的數(shù)字相同即可得出答案．【詳解】解：（1）①3的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是9；13的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是7；故答案為：9；7；②由①可知尾號(hào)為3的數(shù)的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是3，9，7，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是7，的個(gè)位數(shù)字是7；故答案為：7；7；（2）①7的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是7，9，3，1，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是3，的個(gè)位數(shù)字是3故答案為：3；3②2的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是2，4，8，6，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)52的乘方的個(gè)位數(shù)字依次是2，4，8，6，以此4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)依次進(jìn)行循環(huán)的個(gè)位數(shù)字是8，的個(gè)位數(shù)字是8故答案為：8；8（3）由（1）（2）中的結(jié)論可知與個(gè)位上的數(shù)字相同的個(gè)位上的數(shù)字恒為0故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．17．學(xué)校餐廳中，一張桌子可坐6人，現(xiàn)有以下兩種擺放方式：(1)當(dāng)有5張桌子時(shí)，第一種方式能坐____________人，第二種方式能坐___________人．(2)當(dāng)有n張桌子時(shí)，第一種方式能坐____________人，第二種方式能坐____________人．(3)新學(xué)期有200人在學(xué)校就餐，但餐廳只有60張這樣的餐桌，現(xiàn)在請(qǐng)你當(dāng)一回小老師，你打算選擇以下哪種方式來(lái)擺放餐桌？為什么？【答案】(1)22，14(2)(3)選擇第一種方式，理由見(jiàn)解析【分析】（1）旁邊2人除外，每張桌可以坐4人，由此即可解決問(wèn)題；旁邊4人除外，每張桌可以坐2人，由此即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)（1）中所得規(guī)律列式可得．（3）分別求出兩種情形坐的人數(shù)，即可判斷．(1)解：當(dāng)有5張桌子時(shí)，第一種擺放方式能坐4×5+2=22人，第二種擺放方式能坐2×5+4=14人；(2)解：第一種中，只有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多4人．即有n張桌子時(shí)是6+4（n-1）=4n+2．第二種中，有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多2人，即6+2（n-1）=2n+4．(3)解：選擇第一種方式．理由如下；第一種方式：60張桌子一共