《直線和圓的方程》教學(xué)分析和教學(xué)建議

01章節(jié)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)02課程標(biāo)準(zhǔn)的要求及分析03本章的教學(xué)建議04在教學(xué)中體現(xiàn)大單元設(shè)計(jì)思想05章節(jié)的地位與作用06落實(shí)四基四能六素養(yǎng)流程章節(jié)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)框架章節(jié)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)框架

本章在平面直角坐標(biāo)系中探究確定直線、圓的幾何要素，并利用坐標(biāo)表示這些要素，進(jìn)而得到直線、圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，建立直線的方程、圓的方程；通過它們的方程，用代數(shù)方法研究有關(guān)幾何問題，包括兩直線的位置關(guān)系，兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，距離問題，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等.章節(jié)的地位與作用

解析幾何是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立的，它的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標(biāo)系，把幾何的基本元素——點(diǎn)和代數(shù)的基本對(duì)象——數(shù)(有序數(shù)對(duì)或數(shù)組)對(duì)應(yīng)起來，在此基礎(chǔ)上建立曲線的方程（點(diǎn)的軌跡方程），從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，數(shù)學(xué)從此進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期，它為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎(chǔ).章節(jié)的地位與作用

在以往的幾何學(xué)習(xí)中，我們常常通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算等方法研究幾何圖形的大小、形狀和位置關(guān)系，這種方法通常稱為綜合法.

本章我們采用坐標(biāo)法研究幾何圖形的性質(zhì).可以使學(xué)生體會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn)，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想.直線和圓的方程是最基本的曲線方程，是后繼學(xué)習(xí)圓錐曲線及其它曲線方程的基礎(chǔ),也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、微分、積分等知識(shí)的基礎(chǔ)..章節(jié)課程標(biāo)準(zhǔn)

本章的研究對(duì)象是直線與圓。根據(jù)課標(biāo)要求，通過本單元的學(xué)習(xí)是學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)直線和圓的幾何特征.在此基礎(chǔ)上，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識(shí)它們的位置關(guān)系，運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟平面解析幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.章節(jié)課程目標(biāo)分析

本章首先需要研究平面幾何中幾何對(duì)象的表示形式，即在直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法刻畫直線的傾斜角與斜率、直線與圓.在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步研究它們的位置關(guān)系，在比較中體會(huì)坐標(biāo)法的特點(diǎn)以及它在研究平面解析幾何問題的普適性和重要性.確定幾何要素（或特征）代數(shù)刻畫檢驗(yàn)完備性建立方程應(yīng)用直觀定性認(rèn)知代數(shù)定量刻畫應(yīng)用鏈接高考年份試卷知識(shí)點(diǎn)題號(hào)分值20211卷直線的斜率

直線和圓的位置關(guān)系115分2112分20221卷直線和圓的位置關(guān)系115分145分20231卷直線和圓的位置關(guān)系65分本章的教學(xué)建議（一）課時(shí)分配，本章教學(xué)時(shí)間共計(jì)約需16課時(shí)章節(jié)主題建議課時(shí)2.1直線的傾斜角與斜率2課時(shí)2.2直線的方程3課時(shí)2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式4課時(shí)2.4圓的方程2課時(shí)2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系3課時(shí)小結(jié)小結(jié)2課時(shí)（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議本章重點(diǎn)：直線的方程、圓的方程，以及運(yùn)用它們研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等.本章難點(diǎn)：用向量方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，以及對(duì)直線與直線的方程,圓與圓的方程之間關(guān)系的認(rèn)識(shí),理解有關(guān)應(yīng)用.（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議1.對(duì)于“曲線的方程”與“方程的曲線”的理解

第一，要特別重視點(diǎn)斜式方程的教學(xué)，這里的關(guān)鍵是要加強(qiáng)對(duì)“在平面直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一確定一條直線”的幾何意義、代數(shù)意義的.第二，在求出直線的方程后，要“通過直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（純粹性），且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上（完備性）”，再一次引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“唯一確定”的含義.（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

首先，將直角坐標(biāo)系下兩種確定直線位置的幾何要素聯(lián)系起來，在“同一對(duì)象的兩種表示一定有內(nèi)在聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化”的思想指導(dǎo)下把直線的傾斜角和直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系在一起，進(jìn)而得到直線的方向向量.

其次，三個(gè)問題按照從特殊到一般、有具體到抽象順次展開，而且“把角的分類”，“向量P1P2方向的分類”融入其中.這個(gè)過程非常簡(jiǎn)潔，但對(duì)學(xué)生的抽象思維要求很高，要聯(lián)系向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，還要進(jìn)行分類討論，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、發(fā)展邏輯思維、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)都有作用.（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

問題：你能類比兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)，推出點(diǎn) P到直線l的距離公式嗎?先請(qǐng)說明一下思路，然后再動(dòng)手完成推導(dǎo).

法一：先求出垂足Q的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)P到直線l的距離（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議2.注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式的推導(dǎo)

，加深對(duì)公式的理解

在點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過程中，運(yùn)用坐標(biāo)法求點(diǎn)到直線的距離，計(jì)算思路與方法容易得到，但運(yùn)算難度較大；

用向量方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，將幾何元素“向量化”并以投影向量為紐帶，通過向量運(yùn)算，可以非常簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)出公式.

在教學(xué)中應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生主體的作用，通過不同的推導(dǎo)方法，討論、對(duì)比、優(yōu)化、反思，可以使學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題，加深對(duì)公式本質(zhì)的認(rèn)識(shí)及其蘊(yùn)含的思想方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議3.注重?cái)?shù)學(xué)問題和實(shí)際問題在“坐標(biāo)法”中的應(yīng)用

將實(shí)際問題坐標(biāo)化是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，先通過問題引導(dǎo)學(xué)生思考如何根據(jù)問題的條件建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將問題代數(shù)化.，（二）重難點(diǎn)突破及其策略本章教學(xué)建議3.注重?cái)?shù)學(xué)問題和實(shí)際問題在“坐標(biāo)法”中的應(yīng)用

用坐標(biāo)法解決實(shí)際問題的基本步驟，得出“三步曲”.第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

1.抓住一切機(jī)會(huì)滲透解析幾何的基本思想.

本單元是解析幾何的開篇，承擔(dān)著從宏觀上明確研究對(duì)象、構(gòu)建研究框架、形成研究路徑等任務(wù).解析幾何是方法論，解析幾何課程的核心任務(wù)是使學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)方法研究幾何問題.,所以在開篇伊始就注重解析幾何基本思想、用坐標(biāo)法解決問題的基本思路的滲透.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

1.抓住一切機(jī)會(huì)滲透解析幾何的基本思想.

首先，要注重章引言的學(xué)習(xí)，發(fā)揮章引言的先行組織者作用，使學(xué)生形成對(duì)坐標(biāo)法思想的宏觀認(rèn)識(shí).

其次，緊緊圍繞坐標(biāo)法，在每一個(gè)具體問題的研究過程中，都強(qiáng)調(diào)“先用幾何眼光觀察再用代數(shù)方法解決”，引導(dǎo)學(xué)生明確問題的幾何意義、涉及的幾何元素和幾何關(guān)系，再用坐標(biāo)法的語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出問題的代數(shù)表達(dá)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)入代數(shù)運(yùn)算求解.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議2.注重全面調(diào)動(dòng)已有知識(shí)，特別是與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)的聯(lián)系，在建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

直線斜率的定義、判定兩直線垂直的充要條件，點(diǎn)到直線的距離、以及解決一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單問題，圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)，都用到了平面向量、三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。

運(yùn)用坐標(biāo)法通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題過程程序化，但在具體操作過程中難免會(huì)遇到運(yùn)算復(fù)雜的情況，簡(jiǎn)化運(yùn)算的一個(gè)基本途徑是調(diào)動(dòng)已有的幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合地解決問題，這也是強(qiáng)調(diào)“先用幾何眼光觀察、再用代數(shù)方法解決”的坐標(biāo)法思想的體現(xiàn).（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議3.注重“曲線和方程”的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生在一般觀念引領(lǐng)下構(gòu)建和把握曲線方程的整體結(jié)構(gòu).

曲線與方程之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是解析幾何的基石.雖然教科書正文中沒有明確提出曲線與方程的關(guān)系，但是兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系在直線的點(diǎn)斜式方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程中有所體現(xiàn).從大的范圍看,曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)反映了數(shù)量關(guān)系與空間形式之間的關(guān)系.有了這種關(guān)系，就可以用方程表示曲線，對(duì)曲線進(jìn)行“運(yùn)算”；建立方程的幾何直觀表達(dá)，把方程“形象化”，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議4.在教學(xué)中滲透分類討論思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.直線傾斜角的定義、直線斜率的定義、如何用直線的點(diǎn)斜式和斜截式設(shè)直線方程、過圓外一點(diǎn)求圓的切線方程的注意事項(xiàng)、由截距相等設(shè)直線的截距式方程時(shí)的注意事項(xiàng)、用斜率就要討論斜率等.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議5.充分注意各種曲線線方程的“個(gè)性”，歸納“共性”，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

每一種曲線方程都有自己的特殊意義，反映了確定曲線位置的特殊條件.直線的方程都是二元一次方程，圓的方程都是二元二次方程，進(jìn)而可以拓展到圓錐曲線的方程也是二元二次方程.在直線各種形式的方程中，當(dāng)斜率存在或表達(dá)式有意義時(shí)，一般式方程與其他形式的方程可以互化.圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程雖然形式不同，但本質(zhì)上是一致的，兩者形式之間可以互相轉(zhuǎn)化.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議6.在求軌跡方程時(shí)，注意步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性.

以建立曲線方程的一般步驟為指導(dǎo)提出問題,以坐標(biāo)法思想統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)研究過程，

讓學(xué)生經(jīng)歷求曲線方程的完整過程.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議7.加強(qiáng)與綜合法、向量方法的比較，使學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法的特點(diǎn).

綜合法是不借助其他教學(xué)工具，用邏輯推理的方法，通過抽象思維解決問題；

坐標(biāo)法以平面直角坐標(biāo)系為媒介，用方程表示直線與圓，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題，具有程序性；

向量方法以向量為工具，發(fā)揮向量集數(shù)與形于一身的優(yōu)勢(shì)，用向量及其運(yùn)算來表示幾何元素及其關(guān)系，再通過向量運(yùn)算得出結(jié)果.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議8.重視基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，注重揭示研究方法.課本101頁的9個(gè)問題（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

9.設(shè)計(jì)專題訓(xùn)練，結(jié)合解題過程，加強(qiáng)方法的總結(jié)，落實(shí)解題技能.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

9.設(shè)計(jì)專題訓(xùn)練，結(jié)合解題過程，加強(qiáng)方法的總結(jié)，落實(shí)解題技能.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

9.設(shè)計(jì)專題訓(xùn)練，結(jié)合解題過程，加強(qiáng)方法的總結(jié)，落實(shí)解題技能.（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

9.設(shè)計(jì)專題訓(xùn)練，結(jié)合解題過程，加強(qiáng)方法的總結(jié)，落實(shí)解題技能.17.已知0<x<1，0<y<1.求證：并求使等式成立的條件；說明上述不等式的幾何意義．（三）教法、學(xué)法建議本章教學(xué)建議

10.強(qiáng)化“書寫規(guī)范、運(yùn)算準(zhǔn)確、過程完整”的要求，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線打下基礎(chǔ).如何體現(xiàn)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)思想（一）大單元教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施框架如何體現(xiàn)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)思想

①有機(jī)整合幾何知識(shí)：將直線與圓的方程與其他相關(guān)的幾何知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，比如點(diǎn)與直線的關(guān)系、直線與平面的關(guān)系等，幫助學(xué)生建立全面的幾何知識(shí)體系。通過對(duì)不同幾何知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行比較和分析，促進(jìn)學(xué)生綜合思維的發(fā)展。②引導(dǎo)學(xué)生跨越思維：通過引導(dǎo)學(xué)生分析和解決一些相對(duì)復(fù)雜的問題，幫助他們跨越不同幾何知識(shí)點(diǎn)之間的思維鴻溝。③提供綜合運(yùn)用的練習(xí)和問題：設(shè)計(jì)綜合性的練習(xí)和問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的直線與圓的方程知識(shí)來解決實(shí)際問題。這些練習(xí)和問題可以涉及到實(shí)際生活中的應(yīng)用場(chǎng)景，也可以涉及到其他學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，培養(yǎng)問題解決能力。（二）大單元教學(xué)設(shè)計(jì)理念（三）確定大單元教學(xué)目標(biāo)如何體現(xiàn)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)思想

大單元目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)核心素養(yǎng)的綜合性、發(fā)展性和實(shí)踐性.大單元目標(biāo)和學(xué)業(yè)要求：大單元目標(biāo)是學(xué)生應(yīng)當(dāng)知道、理解或能夠做的事情，它是完成某項(xiàng)活動(dòng)或?qū)W習(xí)任務(wù)的結(jié)果.（四）探究大單元教學(xué)實(shí)施策略如何體