高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)專題復(fù)習(xí)熱點(diǎn)七 圓錐曲線 文科試題

熱點(diǎn)七圓錐曲線【考點(diǎn)精要】考點(diǎn)一.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用。雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的簡單的幾何性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)方程。如：設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為()A. B. C. D.考點(diǎn)二.直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的交點(diǎn)（向量的數(shù)量積）、截取的線段。如：已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線，點(diǎn)，線段AF交C于點(diǎn)B。若,則=()A. B.2 C. D.3考點(diǎn)三.圓錐曲線的離心率。一般考查兩個(gè)方面：一是求離心率的值，另一個(gè)是根據(jù)題目條件求離心率的范圍問題。求解時(shí)或根據(jù)題意巧設(shè)參數(shù)，或利用直線與圓錐曲線的交點(diǎn)得到不等量關(guān)系進(jìn)而求出離心率的范圍。如：已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.考點(diǎn)四.圓錐曲線的軌跡方程。借助代數(shù)、幾何、平面向量等求圓錐曲線的軌跡方程問題，一般運(yùn)用代入法、交規(guī)法，參數(shù)法、設(shè)而不求法等。如：已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為?？键c(diǎn)五.圓錐曲線的最值。以圓錐曲線知識為依托，注重考查對稱問題、最值問題、存在性問題等，這類問題入手點(diǎn)難，運(yùn)算量大，題目往往涉及的知識多，層次復(fù)雜，多以大題出現(xiàn)。巧點(diǎn)秒撥1.直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解，或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.3.求圓錐曲線中的最值問題解決方法一般有兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來做非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值?！镜漕}對應(yīng)】例1.（2014·山東文15）已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為A，拋物線的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為。命題意圖：考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線方程。解析：拋物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為即代入雙曲線方程為∴漸近線方程為答案：1.例2.（2014·山東文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（Ｉ）求橢圓的方程；（II）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）.點(diǎn)D在橢圓C上，且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點(diǎn).（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；（ii）求面積的最大值.命題意圖：本題考查橢圓的定義，離心率，弦長，最值。解析：（Ⅰ）∵∴∴.（=2\*ROMANII）（i）設(shè)直線與橢圓交于p,q兩點(diǎn).不妨設(shè)p點(diǎn)為直線和橢圓在第一象限的交點(diǎn).又∵弦長為∴∴聯(lián)立解得∴橢圓方程為（Ⅱ）（1）設(shè)，則，因?yàn)橹本€的斜率，又，所以直線的斜率，設(shè)直線的方程為，由題意知，，由，可得，所以因此，由題意知所以所以直線的方程為令，得，即?？傻谩Ｋ?，即。因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立。（2）直線的方程為，令，得，即由（1）知，可得的面積。因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。此時(shí)取得最大值。名師坐堂：求三角形的面積有多種方法，主要公式有：（1）;(2)；（3）；（4）；（5）。求解最值時(shí)要么轉(zhuǎn)化成含有一個(gè)未知數(shù)的函數(shù)，要么利用均值不等式，要么利用單調(diào)性，要么利用整體代換。例3.（2013·山東文11）拋物線C1：y＝(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝()A.B.C.D.命題意圖：本題主要考查拋物線與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，掌握切線、漸近線等的求法，考證學(xué)生綜合分析問題解決問題的能力。解析：設(shè)M，，故M點(diǎn)切線的斜率為，故M.由，，(2,0)三點(diǎn)共線，可求得p＝，故選D.名師坐堂：應(yīng)掌握的相關(guān)知識：1.已知雙曲線的漸近線為，在求該雙曲線方程時(shí)為避免對焦點(diǎn)的討論，可設(shè)方程為求解；2.若雙曲線的方程為，即焦點(diǎn)在軸上，若直線與橢圓相交，被橢圓所截得弦為，其中點(diǎn)設(shè)為，則該直線的斜率與該弦的中點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率之積為常數(shù)，即；3.若雙曲線的方程為，即焦點(diǎn)在軸上，若直線與橢圓相交，被橢圓所截得弦為，其中點(diǎn)設(shè)為，則該直線的斜率與該弦的中點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率之積為常數(shù)，即例4.（2013·山東文22)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)，求實(shí)數(shù)t的值.命題意圖：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的線段、三角形的面積、共線向量等知識?？疾閷W(xué)生綜合分析問題解決問題的能力。解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為(a＞b＞0)，由題意知解得a＝，b＝1.因此橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝m，由題意＜m＜0或0＜m＜.將x＝m代入橢圓方程＋y2＝1，得|y|＝.所以S△AOB＝|m|.解得m2＝或m2＝.①又＝＝(2m,0)＝(mt,0)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因?yàn)閠＞0，所以t＝2或t＝.當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋h.將其代入橢圓的方程＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由判別式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，此時(shí)x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，所以|AB|＝＝.因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝＝.又S△AOB＝，所以.③令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，解得n＝4h2或n＝，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝.④又＝＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以，即.⑤將④代入⑤得t2＝4或t2＝，又知t＞0，故t＝2或t＝.經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意.綜上所得t＝2或t＝.名師坐堂：1.在橢圓中，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，稱該三角形為焦點(diǎn)三角形，則三角形的周長為定值等于，面積等于，其中是短半軸的長；2.如果已知橢圓或雙曲線過兩個(gè)點(diǎn)（不是在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），求其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，為了避免對焦點(diǎn)的討論可以設(shè)其方程為或；3.在橢圓中離心率，在雙曲線中離心率.例5.（2012·山東21）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)的值.命題意圖：本題主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，最值的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想。解析：(I)……①矩形ABCD面積為8，即……②由①②解得：，∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(II)，設(shè)，則，由得..當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，有，，其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.②由對稱性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值.③當(dāng)時(shí)，，，由此知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.綜上可知，當(dāng)和0時(shí)，取得最大值.名師坐堂：與橢圓有關(guān)的知識較多，如橢圓的第一、第二定義，點(diǎn)與橢圓的關(guān)系，焦半徑，焦點(diǎn)三角形，焦點(diǎn)弦、弦長公式與中點(diǎn)弦，橢圓的參數(shù)方程等。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，實(shí)質(zhì)上就是求方程中的未知數(shù)，若不確定焦點(diǎn)在軸上還是在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為。例6.（2010·山東文22）如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意 一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、的斜線分別為、.①證明：；②問直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.命題意圖：本題主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想以及探求解決新問題的能力。解析：（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)（），，所以又，所以故所求橢圓方程為.(2)①證明：方法一：由于，，，的斜率分別為、，且點(diǎn)P不在軸上，所以.又直線，的方程分別為，，聯(lián)立方程組得所以，由于在直線上，所以，因此即結(jié)論成立.②:設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程得化簡得,因此，由于OA,OB的斜率存在,所以因此相似地可以得到,若，須有.當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,2）；當(dāng)時(shí)，結(jié)合（1）的結(jié)論可得（此時(shí)，不滿足，舍去），此時(shí)直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為。綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（0,2），.名師坐堂：(1)根據(jù)離心率和已知點(diǎn)構(gòu)造含有的方程組，可求出橢圓的方程；（2）方法一：將點(diǎn)P的坐標(biāo)用表示出來，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線進(jìn)行化簡；方法二：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，并利用點(diǎn)P在直線上進(jìn)行化簡；利用韋達(dá)定理將用表示出來，將用表示出來，再由可得關(guān)于的方程，再聯(lián)立結(jié)論（1）可求出，最終可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【命題趨向】解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，解析幾何的特點(diǎn)是用代數(shù)的方法研究解決幾何問題，重點(diǎn)是用“數(shù)形結(jié)合”的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這類試題涉及面廣、綜合性強(qiáng)、題目新穎、靈活多樣，解題對能力要求較高.其核心內(nèi)容是直線和圓以及圓錐曲線.這類問題涉及面廣、綜合性強(qiáng)、背景新穎、靈活多樣，求解此類問題對能力要求較高.在考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能的考試目標(biāo)指導(dǎo)下，每年的高考對解析幾何的考查都占有較大的比例，且?？汲Ｐ?題目特點(diǎn)：(1)題型穩(wěn)定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個(gè)選擇題，一個(gè)填空題，一個(gè)解答題上，分值約為30分左右，占總分值的20%左右。(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時(shí)既注意全面，更注意突出重點(diǎn)，對支撐數(shù)學(xué)科知識體系的主干知識，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度。（3）直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是支撐解析幾何的基石，也是高考命題的基本元素.高考十分注重對這些基礎(chǔ)知識的考查，有的是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；有的是直接考查圓錐曲線的離心率，在考查相應(yīng)基礎(chǔ)知識的同時(shí)，著重考查基本數(shù)學(xué)思想和方法，如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想.除此之外，要重視對考生思維能力和思維品質(zhì)的考查。(4)能力立意，滲透數(shù)學(xué)思想：一些雖是常見的基本題型，但如果借助于數(shù)形結(jié)合的思想，就能快速準(zhǔn)確的得到答案。(5)題型新穎，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計(jì)算量減少，思考量增大。加大與相關(guān)知識的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程、不等式等)，凸現(xiàn)教材中研究性學(xué)習(xí)的能力要求。加大探索性題型的分量?？v觀近幾年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查以下幾點(diǎn)應(yīng)該引起我們特別關(guān)注：1.求曲線方程(類型確定、類型未定);2.直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題(含切線問題);3.與曲線有關(guān)的最(極)值問題;4.與曲線有關(guān)的幾何證明(對稱性或求對稱曲線、平行、垂直);5.探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征.【直擊高考】1.已知雙曲線（b＞0）的焦點(diǎn)，則b=()A.3 B. C. D.2.已知橢圓方程,雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn),頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),則雙曲線的離心率為（） A. B. C.2 D.33.已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為().A.18B.24C.36D.484.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))的最大值().A.2 B.3C.6 D.85.已知、是橢圓（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=____________.6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為.7.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圖過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．8.已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點(diǎn)．（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值．9.如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值.10.過拋物線上不同兩點(diǎn)分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求證：直線恒過定點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中直線恒過定點(diǎn)為，若恒成立，求的值.

熱點(diǎn)七圓錐曲線【直擊高考】1.解析：可得雙曲線的準(zhǔn)線為,又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為所以有.即b2=3故b=.故C.2.解析：橢圓的焦點(diǎn)為,頂點(diǎn)為,即雙曲線中,所以雙曲線的離心率為,選C.3.解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px，當(dāng)x＝eq\f(p,2)時(shí)，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(12,2)＝6，又點(diǎn)P到AB的距離始終為6，∴S△ABP＝eq\f(1,2)×12×6＝36.選C.4.解析：由橢圓方程得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0).∵P為橢圓上一點(diǎn)，∴eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1.∴eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))的最大值在x0＝2時(shí)取得，且最大值等于6.答案C5.解析：依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。6.解析：答案解法1因?yàn)樵谥校烧叶ɡ淼脛t由已知，得，即設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率解法2由解析1知由橢圓的定義知，由橢圓的幾何性質(zhì)知所以以下同解析1.（Ⅰ）設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為（Ⅱ）設(shè)