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數(shù)學試題一、選擇題(本大題共有8小題,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上)1.-3的倒數(shù)是()A.3 B.-3 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義,即可計算出結(jié)果.【詳解】解:-3的倒數(shù)是;故選:D【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義:乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).2.下列圖案中,是軸對稱圖形的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可,軸對稱圖形的概念:平面內(nèi),一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.【詳解】A.是軸對稱圖形,故該選項正確,符合題意;B.不是軸對稱圖形,故該選項不正確,不符合題意;C.不是軸對稱圖形,故該選項不正確,不符合題意;D.不是軸對稱圖形,故該選項不正確,不符合題意;故選A【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念,軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.3.2021年12月9日,“天宮課堂”正式開課,我國航天員在中國空間站首次進行太空授課,本次授課結(jié)束時,網(wǎng)絡在線觀看人數(shù)累計超過14600000人次.把“14600000”用科學記數(shù)法表示為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式,其中,n為整數(shù),確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同,當原數(shù)絕對值大于等于10時,n是正數(shù),當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù);由此進行求解即可得到答案.【詳解】解:.故選:B.【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的具體要求.4.在體育測試中,7名女生仰臥起坐的成績?nèi)缦拢ù?分鐘):38,42,42,45,43,45,45,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是()A.38 B.42 C.43 D.45【答案】D【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義即可求解.【詳解】解:∵45出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)次數(shù)最多,∴眾數(shù)為45.故選D.【點睛】本題考查了求眾數(shù),掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).5.函數(shù)中自變量的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式,即可求解.【詳解】解:∵,∴.故選A.【點睛】本題考查了求函數(shù)自變量取值范圍,二次根式有意義的條件,掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.6.的三邊長分別為2,3,4,另有一個與它相似的三角形,其最長邊為12,則的周長是()A.54 B.36 C.27 D.21【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:∵△ABC與△DEF相似,△ABC的最長邊為4,△DEF的最長邊為12,∴兩個相似三角形的相似比為1:3,∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1,∴△DEF的周長為3×(2+3+4)=27,故選:C.【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵.7.如圖,有一個半徑為2的圓形時鐘,其中每個刻度間的弧長均相等,過9點和11點的位置作一條線段,則鐘面中陰影部分的面積為()
A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積,分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可.【詳解】解:如圖,過點OC作OD⊥AB于點D,
∵∠AOB=2×=60°,∴△OAB是等邊三角形,∴∠AOD=∠BOD=30°,OA=OB=AB=2,AD=BD=AB=1,∴OD=,∴陰影部分的面積為,故選:B.【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法,掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.8.如圖,將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折,使得點A、B、D恰好都落在點O處,且點G、O、C在同一條直線上,同時點E、O、F在另一條直線上.小煒同學得出以下結(jié)論:①GF∥EC;②AB=AD;③GE=DF;④OC=2OF;⑤△COF∽△CEG.其中正確的是()A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④【答案】B【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°,∠GEC=90°,點G為AD的中點,點E為AB的中點,設AD=BC=2a,AB=CD=2b,在Rt△CDG中,由勾股定理求得b=,然后利用勾股定理再求得DF=FO=,據(jù)此求解即可.【詳解】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF,∠AGE=∠OGE,∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO)=90°,同理∠GEC=90°,∴GF∥EC;故①正確;根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO,GA=GO,∴DG=GO=GA,即點G為AD的中點,同理可得點E為AB的中點,設AD=BC=2a,AB=CD=2b,則DG=GO=GA=a,OC=BC=2a,AE=BE=OE=b,∴GC=3a,在Rt△CDG中,CG2=DG2+CD2,即(3a)2=a2+(2b)2,∴b=,∴AB=2=AD,故②不正確;設DF=FO=x,則FC=2b-x,在Rt△COF中,CF2=OF2+OC2,即(2b-x)2=x2+(2a)2,∴x==,即DF=FO=,GE=a,∴,∴GE=DF;故③正確;∴,∴OC=2OF;故④正確;∵∠FCO與∠GCE不一定相等,∴△COF∽△CEG不成立,故⑤不正確;綜上,正確的有①③④,故選:B.【點睛】本題主要考查了折疊問題,解題時,我們常常設要求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度,選擇適當?shù)闹苯侨切?,運用勾股定理列出方程求出答案.二、填空題(本大題共8小題,不需要寫出解答過程,請把答案直接填寫在答題卡相應位置上)9.計算:______.【答案】【解析】【分析】直接運用合并同類項法則進行計算即可得到答案.【詳解】解:.故答案為:.【點睛】本題主要考查了合并同類項,熟練掌握合并同類項法則是解答本題的關(guān)鍵.10.已知∠A的補角是60°,則_________.【答案】120【解析】【分析】如果兩個角的和等于180°,就說這兩個角互為補角.由此定義即可求解.【詳解】解:∵∠A的補角是60°,∴∠A=180°-60°=120°,故答案為:120.【點睛】本題考查補角的定義,熟練掌握兩個角互為補角的定義是解題的關(guān)鍵.11.寫出一個在1到3之間的無理數(shù):_________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由于12=1,32=9,所以只需寫出被開方數(shù)在1和9之間的,且不是完全平方數(shù)的數(shù)即可求解.【詳解】解:1和3之間的無理數(shù)如.故答案為:(答案不唯一).【點睛】本題主要考查常見無理數(shù)的定義和性質(zhì),解題關(guān)鍵是估算無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分.12.若關(guān)于的一元二次方程的一個解是,則的值是___.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到進行求解即可.【詳解】解:∵關(guān)于x的一元二次方程的一個解是,∴,∴,故答案為:1.【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義,代數(shù)式求值,熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵.13.如圖,是⊙的直徑,是⊙的切線,為切點,連接,與⊙交于點,連接.若,則_________.
【答案】49【解析】【分析】利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得∠B=∠AOD=41°,根據(jù)AC是⊙O的切線得到∠BAC=90°,即可求出答案.【詳解】解:∵∠AOD=82°,∴∠B=∠AOD=41°,∵AC為圓的切線,A為切點,∴∠BAC=90°,∴∠C=90°-41°=49°故答案為49.【點睛】此題考查圓周角定理,圓的切線的性質(zhì)定理,直角三角形兩銳角互余,正確理解圓周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.14.如圖,在正方形網(wǎng)格中,的頂點、、都在網(wǎng)格線上,且都是小正方形邊的中點,則_________.
【答案】【解析】【分析】如圖所示,過點C作CE⊥AB于E,先求出CE,AE的長,從而利用勾股定理求出AC的長,由此求解即可.【詳解】解:如圖所示,過點C作CE⊥AB于E,由題意得,∴,∴,故答案為:.
【點睛】本題主要考查了求正弦值,勾股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.15.如圖,一位籃球運動員投籃,球沿拋物線運行,然后準確落入籃筐內(nèi),已知籃筐的中心離地面的高度為,則他距籃筐中心的水平距離是_________.【答案】4【解析】【分析】將代入中可求出x,結(jié)合圖形可知,即可求出OH.【詳解】解:當時,,解得:或,結(jié)合圖形可知:,故答案為:4【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用:投球問題,解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值.16.如圖,在中,.利用尺規(guī)在、上分別截取、,使;分別以、為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧在內(nèi)交于點;作射線交于點.若,則的長為_________.【答案】【解析】【分析】如圖所示,過點H作HM⊥BC于M,由作圖方法可知,BH平分∠ABC,即可證明∠CBH=∠CHB,得到,從而求出HM,CM的長,進而求出BM的長,即可利用勾股定理求出BH的長.【詳解】解:如圖所示,過點H作HM⊥BC于M,由作圖方法可知,BH平分∠ABC,∴∠ABH=∠CBH,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,∴∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=30°,∴∠CBH=∠CHB,∴,∴,∴,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖,平行四邊形的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)與判定等等,正確求出CH的長是解題的關(guān)鍵.三、解答題(本大題共11小題,請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.計算:.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法,二次根式的性質(zhì),零指數(shù)的計算法則求解即可.詳解】解:原式.【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法,二次根式的性質(zhì),零指數(shù),熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.18.解不等式2x﹣1>,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.【答案】不等式的解集為x>1,在數(shù)軸上表示見解析.【解析】【詳解】試題分析:根據(jù)不等式的基本性質(zhì)去分母、去括號、移項可得不等式的解集,再根據(jù)“大于向右,小于向左,包括端點用實心,不包括端點用空心”的原則在數(shù)軸上將解集表示出來.試題解析:去分母,得:4x﹣2>3x﹣1,移項,得:4x﹣3x>2﹣1,合并同類項,得:x>1,將不等式解集表示在數(shù)軸上如圖:19.化簡:.【答案】【解析】【分析】根據(jù)異分母分式的加法計算法則求解即可.【詳解】解:原式.【點睛】本題主要考查了異分母分式的加法,熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.20.為落實國家“雙減”政策,某校為學生開展了課后服務,其中在體育類活動中開設了四種運動項目:A乒乓球,B排球,C籃球,D跳繩.為了解學生最喜歡哪一種運動項目,隨機抽取部分學生進行調(diào)查(每位學生僅選一種),并將調(diào)查結(jié)果制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.問卷情況統(tǒng)計表:運動項目人數(shù)A乒乓球mB排球10C籃球80D跳繩70(1)本次調(diào)查的樣本容量是_______,統(tǒng)計表中m=_________;(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“B排球”對應的圓心角的度數(shù)是_________;(3)若該校共有2000名學生,請你估計該校最喜歡“A乒乓球”的學生人數(shù).【答案】(1)200,40(2)18(3)約為400人【解析】【分析】(1)從兩個統(tǒng)計圖中可知,“C籃球”的人數(shù)80人,占調(diào)查人數(shù)的40%,可求出本次調(diào)查的樣本容量,進而求出m的值;(2)“B排球”的人數(shù)10人,據(jù)此可求得相應的圓心角;(3)用總?cè)藬?shù)乘以“A乒乓球”的學生所占的百分比即可.【小問1詳解】解:本次調(diào)查的樣本容量是:80÷40%=200(人),m=200-10-80-70=40;故答案為:200,40;【小問2詳解】解:扇形統(tǒng)計圖中B部分扇形所對應的圓心角是360°×=18°,故答案為:18;【小問3詳解】解:(人),估計該校最喜歡“A乒乓球”的學生人數(shù)約為400人.【點睛】此題考查統(tǒng)計表、扇形統(tǒng)計圖的結(jié)合,從兩個統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系是解決問題的前提.21.“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲,規(guī)則是:甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種,其中“石頭”贏“剪子”,“剪子”贏“布”,“布”贏“石頭”,手勢相同不分輸贏.假設甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種.(1)甲每次做出“石頭”手勢的概率為_________;(2)用畫樹狀圖或列表的方法,求乙不輸?shù)母怕剩敬鸢浮浚?)(2)見解析,【解析】【分析】(1)根據(jù)概率計算公式求解即可;(2)先畫樹狀圖得出所有等可能性的結(jié)果數(shù),然后找到乙不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),最后利用概率計算公式求解即可.【小問1詳解】解:∵甲每次做出的手勢只有“石頭”、“剪子”、“布”其中的一種,∴甲每次做出“石頭”手勢的概率為;【小問2詳解】解:樹狀圖如圖所示:甲、乙兩人同時做出手勢共有9種等可能結(jié)果,其中乙不輸?shù)墓灿?種,∴(乙不輸).答:乙不輸?shù)母怕适牵军c睛】本題主要考查了簡單的概率計算,利用列表法或樹狀圖法求解概率,熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵.22.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:“今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”其大意是:今有幾個人共同出錢購買一件物品.每人出8錢,剩余3錢;每人出7錢,還缺4錢.問人數(shù)、物品價格各是多少?請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價格.【答案】有7人,物品價格是53錢【解析】【分析】設人數(shù)為人,根據(jù)“物品價格=8×人數(shù)-多余錢數(shù)=7×人數(shù)+缺少的錢數(shù)”可得方程,求解方程即可.【詳解】解:設人數(shù)為人,由題意得,解得.所以物品價格是.答:有7人,物品價格是53錢.【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次方程,由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法,它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來,找出題目中的相等關(guān)系.23.如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點.點,點的縱坐標為-2.(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;(2)求面積.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)通過點P坐標求出反比例函數(shù)解析式,再通過解析式求出點Q坐標,從而解出PQ一次函數(shù)解析式;(2)令PQ與軸的交點為M,則三角形POQ的面積為OM乘以點P橫坐標除以2加上OM乘以點Q橫坐標除以2即可.【小問1詳解】將代入,解得,∴反比例函數(shù)表達式為.當時,代入,解得,即.將、代入,得,解得.∴一次函數(shù)表達式為.【小問2詳解】設一次函數(shù)的圖像與軸交點為,將代入,得,即.∵,,,∴.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)和反比例函數(shù)圍成的三角形面積,掌握拆分法是解本題關(guān)鍵.24.我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔,是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔.小明與小亮要測量阿育王塔的高度,如圖所示,小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角,再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角,;小亮在點處豎立標桿,小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上,,.(注:結(jié)果精確到,參考數(shù)據(jù):,,)(1)求阿育王塔的高度;(2)求小亮與阿育王塔之間的距離.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)在中,由,解方程即可求解.(2)證明,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】在中,∵,∴.∵,∴.在中,由,得,解得.經(jīng)檢驗是方程的解答:阿育王塔的高度約為.【小問2詳解】由題意知,∴,即,∴.經(jīng)檢驗是方程的解答:小亮與阿育王塔之間的距離約為.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,相似三角形的應用,掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.25.如圖,四邊形為平行四邊形,延長到點,使,且.(1)求證:四邊形菱形;(2)若是邊長為2的等邊三角形,點、、分別在線段、、上運動,求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形,再根據(jù),即可得證;(2)先根據(jù)菱形對稱性得,得到,進一步說明的最小值即為菱形的高,再利用三角函數(shù)即可求解.【小問1詳解】證明:∵四邊形是平行四邊形,∴,,∵,∴,又∵點在的延長線上,∴,∴四邊形為平行四邊形,又∵,∴四邊形為菱形.【小問2詳解】解:如圖,由菱形對稱性得,點關(guān)于的對稱點在上,∴,當、、共線時,,過點作,垂足為,∵,∴的最小值即為平行線間的距離的長,∵是邊長為2的等邊三角形,∴在中,,,,∴,∴的最小值為.【點睛】本題考查了最值問題,考查了菱形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),三角函數(shù)等知識,運用了轉(zhuǎn)化的思想方法.將最值問題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵.26.已知二次函數(shù),其中.
(1)當該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點,求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標;(2)求證:二次函數(shù)的頂點在第三象限;(3)如圖,在(1)的條件下,若平移該二次函數(shù)的圖像,使其頂點在直線上運動,平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負半軸的交點為,求面積的最大值.【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【解析】【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式,再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案;(2)先根據(jù)頂點坐標公式求出頂點坐標為,然后分別證明頂點坐標的橫縱坐標都小于0即可;(3)設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為,則其頂點坐標為,然后求出點B的坐標,根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線上推出,過點作,垂足為,可以推出,由此即可求解.【小問1詳解】解:將代入,解得.由,則符合題意,∴,∴.【小問2詳解】解:由拋物線頂點坐標公式得頂點坐標為.∵,∴,∴,∴.∵,∴二次函數(shù)的頂點在第三象限.【小問3詳解】解:設平移后圖像對應的二次函數(shù)表達式為,則其頂點坐標為當時,,∴.將代入,解得.∵在軸的負半軸上,∴.∴.過點作,垂足為,∵,∴.在中,,∴當時,此時,面積有最大值,最大值為.【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的平移,二次函數(shù)的最值問題,正確理解題意,熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.27.【問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中,小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放
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