高數(shù)講義第四節(jié)有理函數(shù)的積分_第1頁
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第四節(jié)有理函數(shù)的積分在積分其中，m

為正整數(shù)，n

為非負整數(shù)，分子分母沒有公因子。并且稱我們稱積分中，當被積函數(shù)為為有理函數(shù)的積分。一、有理函數(shù)的積分

有理函數(shù)積分的一般步驟：（1）用多項式除法化有理假分式為一個多項式與一個真分式之和；（2）在實數(shù)范圍內(nèi)將真分式的分母

Q(x)分解成一次因式和二次質(zhì)因式的乘積；例如：其中，（3）化有理真分式為部分分式之和；（i）分母Q(x)的分解式中若有因式有理真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后的部分分式中僅含一項：則分解后的部分分式中應含有下列k

項之和：（3）化有理真分式為部分分式之和；（ii）分母Q(x)的分解式中若有質(zhì)因式有理真分式化為部分分式之和的一般規(guī)律：則分解后的部分分式中應含有下列k

項之和：特殊地：都是待定常數(shù)。分解后的部分分式中僅含一項：舉例：（4）確定部分分式中的待定系數(shù)；

方法一：將分解式兩端消去分母后，得到一個關(guān)于

x

的恒等式，再以適當?shù)膞

值代入恒等式可得到一組線性方程，解此方程組即可。例如

方法二：將分解式兩端消去分母，得到一個關(guān)于

x

的恒等式，再比較恒等式兩端x

同次冪項的系數(shù)得到一組線性方程，解此方程組即可。解之：例如所以（5）將分解式兩端逐項求不定積分。例如所以例1：求解：取x=3,得B=6；再取x=2,得A=－5；//例2：求解：令：例2：求例3：求解：令：例4：求解：注意分母中的二次多項式已不能分解例4：求解：注意分母中的二次多項式已不能分解

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為令（萬能置換公式）二、三角函數(shù)有理式的積分令（萬能置換公式）例7

求積分解由萬能置換公式：例8

求積分解（一）解（二）修改萬能置換公式,令例8

求積分解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.例8

求積分討論類型解決方法作代換去掉根號.例9

求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分例9

求積分解令例10

求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例11

求積分解先對分母進行有理化原式作業(yè)習題4

4（P218）：

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