考點(diǎn)20 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用【有答案】

考點(diǎn)20銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，其考察內(nèi)容主要包括①正弦、余弦、正切三函數(shù)、②特殊角的三角函數(shù)值、③解直角三角形與其應(yīng)用等。而且，因?yàn)殇J角三角函數(shù)的性質(zhì)的特點(diǎn)，出題時(shí)除了會(huì)單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察。特別是三角函數(shù)的應(yīng)用，是近幾年中考填空壓軸題常考題型。學(xué)生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)時(shí)，需要付出更多的努力，已達(dá)到熟練掌握這塊考點(diǎn)的要求。銳角三角函數(shù)的定義及其性質(zhì)特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形解直角三角形的應(yīng)用考向一：銳角三角函數(shù)的定義及其性質(zhì)一．銳角三角函數(shù)的定義：ACBabc在Rt△ACBabc則：∠A正弦：；∠A余弦：；∠A正切：；銳角三角函數(shù)的函數(shù)關(guān)系當(dāng)∠A＋∠B=90°時(shí)，有以下兩種關(guān)系：.同角三角函數(shù)的關(guān)系：；互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系：;1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，則cosB的值為（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC，再根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可得解．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得，則cosB＝＝．故選：B．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tanA的值為（）A． B． C． D．2【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的值，代入正切公式即可得到答案；【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴．故選：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，則AC＝（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故選：B．4．已知0°＜θ＜45°，則下列各式中正確的是（）A．cosθ＜ B．tanθ＞1 C．sinθ＞cosθ D．sinθ＜tanθ【分析】根據(jù)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．由于一個(gè)銳角的余弦值隨著銳角的增大而減小，而0°＜θ＜45°，所以cosθ＞cos60°，即cosθ＞，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．由于一個(gè)銳角的正切值隨著銳角的增大而增大，而所以tanθ＜tan45°，即tanθ＜1，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．由于cosθ＝sin（90°﹣θ），而0°＜θ＜45°，即45°＜90°﹣θ＜90°，所以sinθ＜sin（90°﹣θ），即sinθ＜cosθ，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．由于sinθ＝，tanθ＝，而銳角的鄰邊小于斜邊，所以sinθ＜tanθ，因此選項(xiàng)D符合題意．故選：D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．a(chǎn)2+b2＝c2 B．sinB＝cosA C．tanA＝ D．sinB＝【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此選項(xiàng)A不符合題意；由銳角三角函數(shù)的定義可得sinB＝＝cosA，因此選項(xiàng)B不符合題意；由銳角三角函數(shù)的定義可知，tanA＝，因此選項(xiàng)C符合題意；由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．考向二：特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°1．下列三角函數(shù)中，值為的是（）A．cos45° B．tan30° C．sin5° D．cos60°【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．由于cos45°＝，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．由于tan30°＝，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．sin5°＜sin30°，即sin5°＜，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．由于cos60°＝sin30°＝，因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．計(jì)算tan45°+tan30°cos30°的值為（）A． B．1 C． D．2【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，可得答案．【解答】解：原式＝1+×＝1+＝，故選：C．3．4sin260°的值為（）A．3 B．1 C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得出答案．【解答】解：．故選：A．4．若sin（x+15°）＝，則銳角x＝45°．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答．【解答】解：∵sin（x+15°）＝，∴x+15°＝60°，解得：x＝45°，故答案為：45．5．計(jì)算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×＝﹣+1﹣＝．故答案為：．6．在△ABC中，，則△ABC的形狀是等邊三角形．【分析】非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)加數(shù)都等于0，求得相應(yīng)的三角函數(shù)，進(jìn)而求得∠A，∠B的度數(shù)．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠C的度數(shù)．【解答】解：由題意得：2cosA﹣1＝0，﹣tanB＝0，解得cosA＝，tanB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．7．計(jì)算：．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值的混合計(jì)算法則求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．考向三：解直角三角形解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：1．如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P．則tan∠APD的值是（）A．2 B．1 C．0.5 D．2.5【分析】連接格點(diǎn)AE，BE．根據(jù)題圖和勾股定理先判斷△ABE的形狀，再求出∠APD的正切，利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接格點(diǎn)AE，BE．由網(wǎng)格和勾股定理可求得；，，，∴BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形．在Rt△ABE中，．∵BE∥CD，∴∠APD＝∠ABE，∴tan∠APD＝2，故選：A．2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若tan∠BDC＝，則BC的長(zhǎng)是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm【分析】設(shè)CD為xcm，則有AD為（8﹣x）cm，根據(jù)垂直平分線得到AD＝BD，根據(jù)得到BC，最后根據(jù)勾股定理即可得到答案．【解答】解：設(shè)CD為xcm，則有AD為（8﹣x）cm，∵AB的垂直平分線MN交AC于D，∴AD＝BD＝8﹣x，∵，∴，∴，∵∠C＝90°，∴，解得：x1＝3，x2＝﹣12（不符合題意舍去），∴，故答案為：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D．求：（1）線段AB的長(zhǎng)；（2）tan∠DBA的值．【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sinC＝＝，設(shè)出AB＝3k，則BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，進(jìn)而得到AB；（2）過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)AD＝x，則CD＝8﹣x．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝AD＝x，利用HL證明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即為AD的長(zhǎng)，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sinC＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可設(shè)AB＝3k，則BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（負(fù)值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）過D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)AD＝x，則CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE與Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．4．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上，且滿足∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若AC是∠BAD的平分線，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OA，OC與AB相交于點(diǎn)E，如圖，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根據(jù)圓周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代換可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根據(jù)垂徑定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根據(jù)正弦定理可得sinB＝＝＝，即可算出CE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理可算出BE＝的長(zhǎng)度，設(shè)⊙O的半徑為r，則CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入計(jì)算即可得出答案．【解答】證明：（1）連接OA，OC與AB相交于點(diǎn)E，如圖，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵，∴，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；解：（2）∵AC是∠BAD的平分線，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sinB＝＝＝，∴CE＝，∴BE＝＝＝，設(shè)⊙O的半徑為r，則CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r﹣）2+，解得：r＝．5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以2cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以3cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△CPQ的面積為S（cm2）．（1）sinB＝；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可解答；（2）分兩種情況，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，當(dāng)1＜t＜2時(shí)．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC＝6cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4cm，在Rt△ABD中，AB＝6cm，BD＝4cm，∴AD＝＝2，∴sinB＝＝；故答案為：．（2）過點(diǎn)Q作QE⊥BC，垂足為E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sinB＝sinC＝，分兩種情況：當(dāng)0＜t≤1時(shí)，由題意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQsinC＝3t?＝t，∴S＝CP?QE＝?（8﹣2t）?t＝4t﹣t2＝﹣t2+4t，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，由題意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝12﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQsinB＝（12﹣3t）?＝4﹣t，∴S＝CP?QE＝?（8﹣2t）?（4﹣t）＝，∴S＝．考向四：解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用：仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角.俯角：視線在水平線下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡在實(shí)際測(cè)量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識(shí)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點(diǎn)看同一點(diǎn)，如圖①（2）同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③2.常用結(jié)論：1．在山坡上植樹，要求兩棵樹間的坡面距離是3，測(cè)得斜坡的傾斜角為27°，則斜坡上相鄰兩棵樹的水平距離是（）A．3sin27° B．3cos27° C． D．3tan27°【分析】根據(jù)坡角的定義、余弦的概念列式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AB⊥BC于B，∴∠ABC＝90°，cos∠BAC＝，∵AC＝3，∠BAC＝27°，∴AB＝ACcos∠BAC＝3cos27°；故選：B．2．如圖，在天定山滑雪場(chǎng)滑雪，需從山腳下A處乘纜車上山頂B處，纜車索道與水平線所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，則纜車索道AB的長(zhǎng)為（）A．800sinα米 B．800cosα米 C．米 D．米【分析】利用直角三角形的邊角關(guān)系定理列出關(guān)系式即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，sinBAC＝，∴AB＝．∵∠BAC＝α，BC＝800米，∴AB＝（米）．故選：C．3．如圖，為了估算某河流的寬度，在該河流的對(duì)岸選取一點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)D，C，使得A、D、C在一條直線上，且與河流的邊沿垂直，測(cè)得CD＝15m，然后又在垂直AC的直線上取點(diǎn)B，并量得BC＝30m，若cosB＝，則該河流的寬AD為25m．【分析】根據(jù)三角形函數(shù)的定義可得AB的長(zhǎng)，利用勾股定理可得AC的長(zhǎng)，由線段的和差關(guān)系可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝30m，cosB＝＝，∴AB＝50m，∴AC＝＝40（m），∵CD＝15m，∴AD＝AC﹣CD＝25（m），故答案為：25．4．某古村落為方便游客泊車，準(zhǔn)備利用長(zhǎng)方形曬谷場(chǎng)長(zhǎng)60m一側(cè)，規(guī)劃一個(gè)停車場(chǎng)，已知每個(gè)停車位需確保有如長(zhǎng)5.5m，寬2.5m的長(zhǎng)方形AEDF供停車，如圖平行四邊形ABCD是其中一個(gè)停車位，所有停車位都平行排列，∠ABD為60°，則每個(gè)體車位的面積大約為17m2（結(jié)果保留整數(shù)），這個(gè)曬谷場(chǎng)按規(guī)劃最多可容納20個(gè)停車位．（）【分析】由題意，在Rt△ABF中，由直角三角形的邊角關(guān)系得出AB，BF的長(zhǎng)，講而可以解決問題．【解答】解：由題意，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝60°，AF＝2.5m，∴AB＝＝＝≈2.94（m），∴BF＝AB≈1.47（m），∴BD＝DF+BF≈5.5+1.47＝6.97（m），∵CD＝AB≈2.94m，∴S平行四邊形ABDC＝BD?AF≈6.97×2.5≈17（m2），∴每個(gè)停車位的面積大約為17m2；∵60÷2.94≈20.4，∴這個(gè)曬谷場(chǎng)按規(guī)劃最多可容納20個(gè)停車位．故答案為：17；20．5．夏秋季節(jié)，許多露營愛好者晚間會(huì)在湖邊露營，為遮陽和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點(diǎn)E處（EF⊥BF），使得A，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“天幕”的開合，幕布寬AC＝AD＝2m，CD⊥AB于點(diǎn)O，支桿AB與樹干EF的橫向距離BF＝2.2m．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴時(shí)打開“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮陽寬度CD．（2）下雨時(shí)收攏“天幕”，∠CAE由140°減小到90°，求點(diǎn)E下降的高度．【分析】（1）根據(jù)在Rt△AOD中，，先算出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)AD＝2OD即可得到答案；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，，得，當(dāng)∠CAE＝140°時(shí)和當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，分別求出AH的值，作差即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，∴，CD＝2DO，在Rt△AOD中，，即，解得：OD≈1.88m，∴CD＝2OD≈3.76m，答：遮陽寬度CD約為3.76m；（2）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝2.2m，在Rt△AHE中，，∴，當(dāng)∠CAE＝140°時(shí)，∠EAO＝70°，m，當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，答：點(diǎn)E下降的高度為1.4m．6．近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，為響應(yīng)國家的號(hào)召，某公司推出了如圖1所示的護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）如圖2所示，其中燈柱BC＝18cm，燈臂CD＝31cm，燈罩DE＝24cm，BC⊥AB，CD、DE分別可以繞點(diǎn)C、D上下調(diào)節(jié)一定的角度．經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠DCB＝140°，且ED∥AB時(shí)，臺(tái)燈光線最佳．求此時(shí)點(diǎn)D到桌面AB的距離．（精確到0.1cm，參考數(shù)值：cos50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可得到DF的長(zhǎng)，再根據(jù)FG＝CB，即可求得DG的長(zhǎng)，從而可以解答本題．【解答】解：過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G，過點(diǎn)C作CF⊥DG，垂足為F，如右圖所示，∵CB⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，CF⊥FG，∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，∴四邊形BCFG為矩形，∴∠BCF＝90°，F(xiàn)G＝BC＝18cm，又∵∠DCB＝140°，∴∠DCF＝50°，∵CD＝31cm，∠DFC＝90°，∴DF＝CD?sin50°≈31×0.77＝23.87（cm），∴DG≈23.87+18≈41.9（cm），答：點(diǎn)D到桌面AB的距離約為41.9cm．1．（2022?揚(yáng)州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時(shí)除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x＝時(shí)，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．2．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．3．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．4．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．5．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．6．（2022?貴港）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（）A． B． C． D．【分析】延長(zhǎng)AC到D，連接BD，由網(wǎng)格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．【解答】解：延長(zhǎng)AC到D，連接BD，如圖：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故選：C．7．（2022?廣西）如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長(zhǎng)為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【分析】直接根據(jù)∠A的正弦可得結(jié)論．【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故選：A．8．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【分析】利用矩形和折疊的性質(zhì)可得BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，進(jìn)而可得cos∠ADF．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故選：C．9．（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故選：B．10．（2022?陜西）如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．3 D．6【分析】利用三角函數(shù)求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵2CD＝6，∴CD＝3，∵tanC＝2，∴＝2，∴AD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝，故選：D．11．（2022?常州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin∠ABD＝．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBD，根據(jù)角平分線的定義可得∠ADB＝∠CDB，則可得CD＝CB＝3，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案為：．12．（2022?齊齊哈爾）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，則BC＝3+3或3﹣3．【分析】利用分類討論的思想方法，畫出圖形，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB?sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；綜上，BC的長(zhǎng)為3+3或3﹣3．13．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA＝．【分析】先構(gòu)造直角三角形，然后即可求出sinA的值．【解答】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，作CD⊥AB于點(diǎn)D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案為：．14．（2022?長(zhǎng)春）如圖是長(zhǎng)春市人民大街下穿隧道工程施工現(xiàn)場(chǎng)的一臺(tái)起重機(jī)的示意圖，該起重機(jī)的變幅索頂端記為點(diǎn)A，變幅索的底端記為點(diǎn)B，AD垂直地面，垂足為點(diǎn)D，BC⊥AD，垂足為點(diǎn)C．設(shè)∠ABC＝α，下列關(guān)系式正確的是（）A．sinα＝ B．sinα＝ C．sinα＝ D．sinα＝【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由銳角三角函數(shù)的定義可知，sinα＝sin∠ABC＝，故選：D．15．（2022?沈陽）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測(cè)量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測(cè)量得P，Q兩點(diǎn)間距離為m米，∠PQT＝α，則河寬PT的長(zhǎng)為（）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．【分析】根據(jù)垂直定義可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ?tanα＝mtanα（米），∴河寬PT的長(zhǎng)度是mtanα米，故選：C．16．（2022?福建）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD，根據(jù)角度的正切值可求出AD．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故選：B．17．（2022?六盤水）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會(huì)搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿AB，用繩子拉直AD后系在樹干EF上的點(diǎn)E處，使得A，D，E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“天幕”的開合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴時(shí)打開“天幕”，若∠α＝65°，求遮陽寬度CD（結(jié)果精確到0.1m）；（2）下雨時(shí)收攏“天幕”，∠α從65°減少到45°，求點(diǎn)E下降的高度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性得出AD＝2m，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OD，即可求出答案；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，得出EH＝BF＝3m，再分別求出∠α＝65°和45°時(shí)，AH的值，即可求出答案．【解答】解：（1）由對(duì)稱知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD?sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，∴CD＝2OD＝3.6m，答：遮陽寬度CD約為3.6米；（2）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tana＝，∴AH＝，當(dāng)∠α＝65°時(shí)，AH＝≈≈1.40m，當(dāng)∠α＝45°時(shí)，AH＝＝3，∴當(dāng)∠α從65°減少到45°時(shí)，點(diǎn)E下降的高度約為3﹣1.40＝1.6m．18．（2022?鹽城）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）求OD長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的長(zhǎng)；（2）過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CB，垂足為E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．1．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出答案．【解答】解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sinA＝．故答案為：．2．（2022?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．【分析】根據(jù)勾股定理求AC的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的定義求sinA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sinA＝＝．答：AC的長(zhǎng)為4，sinA的值為．3．（2022?廣東）sin30°＝．【分析】熟記特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案為：．4．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．【分析】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計(jì)算得結(jié)論．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案為：．5．（2022?張家界）計(jì)算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝＝．6．（2022?岳陽）計(jì)算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0＝3﹣2×1+1﹣1＝3﹣2+1﹣1＝1．7．（2022?通遼）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．【分析】由格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案．【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又∵點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故選：B．8．（2022?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．2【分析】過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，由銳角三角函數(shù)的定義可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的長(zhǎng)，利用勾股定理可求解AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求解AD的長(zhǎng)．【解答】解：過D點(diǎn)作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故選：C．9．（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，4），四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線l的解析式為（）A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12【分析】分別求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求經(jīng)過兩中心的直線即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OB，AC，它們交于點(diǎn)M，連接AE，BF，它們交于點(diǎn)N，則直線MN為符合條件的直線l，如圖，∵四邊形OABC是矩形，∴OM＝BM．∵B的坐標(biāo)為（10，4），∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．∵四邊形ABEF為菱形，BE＝AB＝10．過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝，∴，設(shè)EG＝4k，則BG＝3k，∴BE＝＝5k，∴5k＝10，∴k＝2，∴EG＝8，BG＝6，∴AG＝4．∴E（4，12）．∵B的坐標(biāo)為（10，4），AB∥x軸，∴A（0，4）．∵點(diǎn)N為AE的中點(diǎn)，∴N（2，8）．設(shè)直線l的解析式為y＝ax+b，∴，解得：，∴直線l的解析式為y＝﹣2x+12，故選：D．10．（2022?益陽）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到cosB＝sinA＝．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sinA＝＝，∴cosB＝＝．故答案為：．11．（2022?西寧）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則cosA＝．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出cosA即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，所以cosA＝＝＝，故答案為：．12．（2022?通遼）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，AE＝AB，BE＝DE，則tan∠BDE＝﹣1．【分析】用含有AB的代數(shù)式表示AD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，設(shè)AB＝a，則AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案為：﹣1．13．（2022?張家界）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形ABCD的面積是100，小正方形EFGH的面積是4，那么tan∠ADF＝．【分析】根據(jù)兩個(gè)正方形的面積可得AD＝10，DF﹣AF＝2，設(shè)AF＝x，則DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，從而解決問題．【解答】解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴AD＝10，∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，∴DF﹣AF＝2，設(shè)AF＝x，則DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解得x＝6或﹣8（負(fù)值舍去），∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝，故答案為：．14．（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，則房頂A離地面EF的高度為（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房頂A離地面EF的高度．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖，∵它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD?tanα＝3tanαm．∴房頂A離地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故選：B．15．（2022?棗莊）北京冬奧會(huì)開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．【分析】由正六邊形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝60°，則∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AB、BC、AC、BE，∵點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，故答案為：．16．（2022?綿陽）如圖，測(cè)量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對(duì)某海島進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量船在A處測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏東45°方向上．航行半個(gè)小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝（5﹣5）海里（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，從而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，設(shè)DE＝x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC，DC的長(zhǎng)，最后根據(jù)AC＝5海里，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得：AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，在Rt△ACB中，AC＝AB?sin45°＝10×＝5（海里），設(shè)DE＝x海里，在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°，在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），DC＝＝＝x（海里），∵AE+EC＝AC，∴x+x＝5，∴x＝，∴DC＝x＝（5﹣5）海里，故答案為：（5﹣5）．17．（2022?荊門）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它沿正南方向以50海里/小時(shí)的速度航行t小時(shí)后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的點(diǎn)B處，則t＝（1+）小時(shí)．【分析】根據(jù)題意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，PC的長(zhǎng)，再在Rt△BCP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP?cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP?sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小時(shí)，故答案為：（1+）．18．（2022?桂林）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是20米．【分析】先證OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，取MN的中點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FE⊥OB于E，以直徑MN作⊙F，∵M(jìn)N＝2OM＝40m，點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切線，切點(diǎn)為E，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，觀景視角∠MPN最大，此時(shí)OP＝20m，故答案為：20．19．（2022?內(nèi)江）如圖所示，九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量河對(duì)岸的古樹A、B之間的距離，他們?cè)诤舆吪cAB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的寬度；（2）求古樹A、B之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，設(shè)CE＝x米，則DE＝（x+60）米，先利用平角定義求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定義求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，設(shè)CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE?tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的寬度為（30+30）米；（2）過點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，則CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古樹A、B之間的距離為20米．20．（2022?吉林）動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由AB，BC的長(zhǎng)度求出AC長(zhǎng)度，然后根據(jù)sin∠BCD＝求解．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC?sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約88cm．21．（2022?常德）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽(yù)，激起了國人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖1），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成．圖2是其示意圖，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳臺(tái)的跨度FG＝7米，頂端E到BD的距離為40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離是多少米（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【分析】過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，交HG于點(diǎn)M，則AB＝AH﹣EM+EN，分別在Rt△AHF中，Rt△FEM和Rt△EMG中，解直角三角形即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，交HG于點(diǎn)M，則AB＝AH﹣EM+EN．根據(jù)題意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF?sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，設(shè)MG＝m米，則FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG?tan∠EGM＝MG?tan36°≈0.73m，EM＝FM?tan∠EFM＝FM?tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離約是70米．1．（2022?濱海新區(qū)一模）2sin30°的值等于（）A． B． C．1 D．【分析】根據(jù)30°角的正弦值解題即可．【解答】解：．故選：C．2．（2022?大理州二模）在Rt△ABC中，∠B為直角，cosA＝，AB＝，則BC＝（）A．3 B．2 C．1 D．2【分析】先根據(jù)余弦的定義計(jì)算求出AC，再根據(jù)勾股定理求出BC．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B為直角，cosA＝，AB＝，則AC＝＝＝2，BC＝＝1．故選：C．3．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．+1 B．2+2 C．2+1 D．+4【分析】先在Rt△ABD中，利用60°的余弦和正弦求出AD＝2，BD＝2，再在Rt△ACD中，利用正切的定義求出CD，然后計(jì)算BD+CD即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，sin∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝4×＝2，BD＝4sin60°＝4×＝2，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故選：C．4．（2022?椒江區(qū)校級(jí)二模）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形頂點(diǎn)上，則圖中∠ACB的正切值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的長(zhǎng)度，然后證明△FDE∽△ABC，推出∠ACB＝∠DFE，由此即可解決問題．【解答】解：由勾股定理可求出：BC＝2，AC＝2，DF＝，DE＝，∴＝＝，＝，∴＝＝，∴△FDE∽△CAB，∴∠DFE＝∠ACB，∴tan∠DFE＝tan∠ACB＝，故選：B．5．（2022?仁懷市模擬）如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AC上一點(diǎn)，，∠CBD＝15°，則sin∠BDC的值為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形ABC，得出∠A＝45°，從而得到△DEA為等腰直角三角形，求出AE＝ADsin45°＝2，在求出∠DBE＝30°，所以在Rt△DBE中得到BD＝4，在Rt△DBC中，設(shè)BC＝x，則CD＝x﹣2由勾股定理可得，【解答】解：如圖：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵等腰三角形ABC，AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°，因?yàn)镈E⊥AB，∴∠EDA＝∠DAE＝45°，∴△DEA為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，∵AD＝2，∴AE＝ADsin45°＝2，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠DBC＝45°﹣15°＝30°，在Rt△DBE中，BD＝2DE＝2×2＝4，在Rt△DBC中，設(shè)BC＝x，則CD＝x﹣2，由勾股定理可得，BC2+CD2＝BD2，∴，解得：（舍去），所以sin∠BDC＝，故選：A．6．（2023?小店區(qū)校級(jí)一模）小敏利用無人機(jī)測(cè)量某座山的垂直高度AB．如圖所示，無人機(jī)在地面BC上方130米的D處測(cè)得山頂A的仰角為22°，測(cè)得山腳C的俯角為63.5°．已知AC的坡度為1：0.75，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，則此山的垂直高度AB約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米 B．222.9米 C．225.7米 D．318.6米【分析】如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)C作CR⊥DH于R，設(shè)AB＝x米，則AH＝（x﹣130）米．構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)C作CR⊥DH于R，設(shè)AB＝x米，則AH＝（x﹣130）米．∵AB：BC＝1：0.75，∴BC＝RH＝0.75x（米），BH＝CR＝130米，在Rt△DCR中，DR＝＝＝65（米），∵tan∠ADH＝，∴＝0.4，解得x≈222.9，∴AB＝222.9（米），故選：B．7．（2023?福安市一模）若cos（α﹣15）°＝，則α＝45．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵cos（α﹣15）°＝，∴（α﹣15）°＝30°，則α＝45．故答案為：45．8．（2022?敖漢旗一模）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為β，則兩梯腳之間的距離BC為4cosβ米．【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC＝2DC，根據(jù)余弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2DC，在Rt△ADC中，cos∠ACD＝，則DC＝AC?cos∠ACD＝2cosβ，∴BC＝4cosβ，故答案為：4cosβ．9．（2022?韶關(guān)模擬）在疫情防控工作中，某學(xué)校在校門口的大門上方安裝了一個(gè)人體測(cè)溫?cái)z像頭．如圖，學(xué)校大門高M(jìn)E＝7.5米，AB為體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域的長(zhǎng)度，小明身高BD＝1.5米，他站在點(diǎn)B處測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，站在點(diǎn)A處測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，求體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)度＝4米（結(jié)果帶根號(hào)表示）．【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進(jìn)而可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意可知：四邊形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，設(shè)FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵M(jìn)E＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得：x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：體溫監(jiān)測(cè)有效識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)為4米，故答案為：4米．10．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，點(diǎn)D在邊BC上，且BD＝AC，sin∠ADC＝．那么邊BC的長(zhǎng)為7．【分析】在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sin∠ADC，將AC及已知sin∠ADC的值代入，求出AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DC的長(zhǎng)，由BD+DC即可求出BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵在Rt△ADC中，∠C＝90°，∴sin∠ADC＝，∵sin∠ADC＝，AC＝4，∴AD＝5，∴在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得：CD＝＝3，∵BD＝AC，∴BD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7．11．（2022?武漢模擬）如圖，AD∥BC，∠A＝∠D，BC＝2AD，P為邊AD上一點(diǎn)（不與A，D重合），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，作射線PE交直線BC于M，作射線PF交直線BC于N．若PM⊥PN，設(shè)tan∠ABC＝m，則m的取值范圍是＜m＜3．【分析】如圖，取MN的中點(diǎn)H，連接PH，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過點(diǎn)D作DK⊥BC于K，則AG＝DK，證明△ABG≌△DCK（AAS），可得AB＝CD，BG＝CK，證明△PAE≌△MBE（ASA），則AP＝BM，PD＝CN，設(shè)BC＝2AD＝4k，AP＝GQ＝MB＝a，則BG＝k，MN＝6k，PH＝3k，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理列式可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取MN的中點(diǎn)H，連接PH，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過點(diǎn)D作DK⊥BC于K，則AG＝DK，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠ADC＝∠DCB＝180°，∵∠DAB＝∠ADC，∴∠ABC＝∠DCB，∵∠AGB＝∠DKC＝90°，∴△ABG≌△DCK（AAS），∴AB＝CD，BG＝CK，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵∠AEP＝∠BEM，∠PAE＝∠EBM，∴△PAE≌△MBE（ASA），∴AP＝BM，同理得：PD＝CN，∵AD＝KG，BC＝2AD，∴MN＝3AD，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∵H是MN的中點(diǎn)，∴PH＝MN，設(shè)BC＝2AD＝4k，AP＝GQ＝MB＝a，則BG＝k，MN＝6k，PH＝3k，∵tan∠ABC＝＝m，∴PQ＝AG＝km，∵PQ2＝PH2﹣QH2，即k2m2＝9k2﹣（2k﹣2a）2，∴m2＝﹣++5＝﹣（a﹣k）2+9，又∵0＜a＜2k，當(dāng)a＝0時(shí)，m2＝5，當(dāng)a＝k時(shí)，Q與H重合，不符合題意，∴5＜m2＜9，∴＜m＜3．故答案為：＜m＜3．12．（2022?婺城區(qū)模擬）長(zhǎng)嘴壺茶藝表演是一項(xiàng)深受群眾喜愛的民俗文化，是我國茶文化的一部分，所用到的長(zhǎng)嘴壺更是歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)．圖①是現(xiàn)今使用的某款長(zhǎng)嘴壺放置在水平桌面上的照片，圖②是其抽象示意圖，l是水平桌面，測(cè)得壺身AD＝BC＝3AE＝24cm，AB＝30cm，CD＝22cm，且CD∥AB．壺嘴EF＝80cm，∠FED＝70°．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.6；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）FE與水平桌面l的夾角為30°．（2）如圖③，若長(zhǎng)嘴壺中裝有若干茶水，繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)壺身，當(dāng)恰好倒出茶水時(shí)，EF∥l，此時(shí)點(diǎn)F下落的高度為40.3cm．（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【分析】（1）延長(zhǎng)FE交l于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)D作DM⊥l，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥l，垂足為N，可得四邊形DMNC是平行四邊形，從而可得MN＝CD，進(jìn)而可求出AM的長(zhǎng)度，然后在Rt△ADM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出∠DAO，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用圖②，過點(diǎn)F作FH⊥l，垂足為H，過點(diǎn)E作EG⊥l，垂足為G，過點(diǎn)E作EP⊥FH，垂足為P，可得四邊形PHGE是矩形，從而可得EP∥GH，PH＝EG，進(jìn)而可得∠FEP＝∠AOE＝30°，然后在Rt△FPE中求出FP，再在Rt△AEG中，求出EG，即可求出FH，利用圖③，過點(diǎn)E作EQ⊥l，垂足為Q，在Rt△EQA中，求出EQ，最后利用FH減去EQ進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）延長(zhǎng)FE交l于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)D作DM⊥l，垂足為M，過點(diǎn)C作CN⊥l，垂足為N，∴∠AEO＝∠FED＝70°，∠AMD＝∠BNC＝90°，DM∥CN，∵CD∥AB，∴四邊形DMNC是平行四邊形，∴DM＝CN，MN＝DC＝22cm，∵AD＝BC，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴AM＝BN＝＝＝4cm，在Rt△ADM中，cos∠DAM＝＝≈0.17，∴∠DAM＝80°，∴∠AOE＝180°﹣∠AEO﹣∠DAM＝30°，∴FE與水平桌面l的夾角為30°；故答案為：30°；（2）過點(diǎn)F作FH⊥l，垂足為H，過點(diǎn)E作EG⊥l，垂足為G，過點(diǎn)E作EP⊥FH，垂足為P，∴∠EGH＝∠FHG＝∠EPH＝90，∴四邊形PHGE是矩形，∴EP∥GH，PH＝EG∴∠FEP＝∠AOE＝30°，在Rt△FPE中，EF＝80cm，∴FP＝EF＝40cm，∵AD＝3AE，∴AE＝8cm，在Rt△AEG中，∠DAO＝80°，∴EG＝AEsin80°≈8×0.98＝7.84cm，∴PH＝EG＝7.84（cm），∴FH＝FP+PH＝47.84（cm），過點(diǎn)E作EQ⊥l，垂足為Q，∵EF∥l，∴∠FED＝∠QAE＝70°，在Rt△EQA中，AE＝8cm，∴EQ＝AEsin70°≈8×0.94＝7.52cm，∴FH﹣EQ＝47.84﹣7.52＝40.32≈40.3（cm），∴點(diǎn)F下落的高度約為40.3cm．故答案為：40.3