【人教A版】數(shù)學(xué)B卷-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）3月《試題·月考卷》(考試范圍：選修2-2第一、二章)(解析版)

2021-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）3月《最新試題?月考卷》

人教版卷

班級姓名分?jǐn)?shù)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.考試范圍：選修2-2第一、二章.

一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

I.用反證法證明命題：“若beR,且"+|切=0,則%〃全為0”時，應(yīng)假設(shè)

A.且力。0B.a,卜不全為0

C.a,b中至少有一個為0D.a,。中只有一個為0

1.【答案】B

【解析】山題可知““，力全為0”的否定為“。，人不全為0”，故選B.

2.若函數(shù)“X）滿足/'（2）=4,則lin/QiA/⑵二

a-。h

A.8B.-8

C.4D.-4

2.【答案】D

L解析］lim-----------=-lxlim--------------=-f（2）=4

h-h、7

故選D.

3.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是

A.=l-2xB.=36

R-J\

C.(cos60°)=-sin60°D.[ln(2x)]

3.【答案】B

【解析】(a-=-2x>(2A/?)=(2x^Y=2x^x^=3>/x?

t\

(cos60°/=0>[ln(2x)J=(ln2+lnx)'=(.只有B正確.

故選B.

x

4.函數(shù)/(幻==一的單調(diào)遞增區(qū)間是

x"+1

A.(-a),-l)B.(-1,1)

C.(l,+°o)D.(—oo,-1)和(1,+ao)

4.【答案】B

■z、+1—2JC-x1_(1+X乂1—x)

【解析】/(X)的定義域為R，且/(x)=Z+l)2=卜'+1『=―卜'+1廣一,所以當(dāng)

T<x<l時，/(x)>0,“X)單調(diào)遞增，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,1).故選B.

I"的解集為

5.已知函數(shù)/(x)與/(X)的圖象如圖所示，則不等式組

A.(0,1)

C.P2D.(1,4)

5.【答案】A

【解析】結(jié)合圖象，若實線是/(x)的圖象，虛線是f(尤)的圖象，則在(0,2)上/(x)<0,則/(x)

在(0,2)上單調(diào)遞減，不滿足題意，故實線那支為/(X)的圖象，虛線那支為/0)的圖象，故不

等式組I/?！盷⑺的解集為(0,1).故選A.

6.小趙、小錢、小孫、小李四位同學(xué)被問到誰去過北京時，小趙說：我沒去過；小錢說：小李去過；

小孫說；小錢去過；小李說：我沒去過.假定四人中只有一人說的是假話，由此可判斷一定去過

北京的是

A.小錢B.小李

C.小孫D.小趙

6.【答案】A

【解析】由題意得，如果小趙去過長城，則小趙說謊，小錢說謊，不滿足題意；

如果小錢去過長城，則小趙說真話，小錢說謊，小孫、小李說真話，滿足題意，故選A.

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+標(biāo)=￡把，則當(dāng)n=k+l時，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上

2

A.l+iB.(k+l)2

C.(fc2+1)+(fc2+2)++(fc+I)2D.(k+l)：(k+l)2

7.【答案】C

【解析】當(dāng)片女時，等式左端=1+2+…+A2,

當(dāng)n=k+\時，等式左端=1+2+…+*+*+1+R+2+...+(A+1)2,增加了項(公+1)+(F+2)+(一+3)

+...+(A+l)2.故選C.

8.觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則7009的末兩位數(shù)字為

A.49B.43

C.07D.01

8.【答案】C

【解析】觀察7?=49，73=343，74=2401?75=2401x7=16807.

76=16807x7=117649，…，可知末兩位每4個式子一個循環(huán),7?=49到嚴(yán)09一共有1008

個式子，且1008+4=252,則71°"的末兩位數(shù)字與7、的末兩位數(shù)字相同，為07.

故選C.

9.函數(shù)/(%)=工3+以2―(3+2a)x+l在X=1處取得極大值，則實數(shù)。的取值范圍為

A.(—00,—3)B.(—3,+8)

C.(-oo3)D.(3,+oo)

9.【答案】A

【解析】/(%)=3/+2G一(3+2。)，/(1)=0,/'(X)的一個零點為％=1,

由根與系數(shù)的關(guān)系可知，/(%)的另一個零點為無2=T-$，

因為/(x)在U處取得極大值，所以/'(x)在的左側(cè)附近大于0,右側(cè)附近小于0,

因為：次函數(shù)/'(X)是開口向上的拋物線，所以玉＜々，即1＜一1一可，解得。＜一3.

故選A.

10.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在ZVIBC

Ir(n2+h2-r2Y

中，角A,8,C所對的邊分別為a,仇c,則ZX/WC的面積S=-(ab)2-----------------

何I2〃

根據(jù)此公式，若acos3+(/?+3c)cosA=0,且/一從一=2,則人鉆。的面積為

A.V2B.272

C.V6D.2百

10.【答案】A

【解析】由acosB+(Z?+3c)cosA=0得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因為sinC^O,所以cosA=--,

3

2

由余弦定理。2—/-c2=-2Z?ccosA=—he=2,所以bc=3,

3

由AABC的面積公式得S=#(be)2-j=^1(32-12)=V2.

故選A.

H.在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時,

其梯形的上底為

A-i

c?今D.r

II.【答案】D

【解析】設(shè)NCQB=6,則上底為2rcos6,高為rsin。，

因此梯形面積為5=^(2rcos0+2r)rsin0=r2(1+cos0)sin夕Be(0,5,

因為山S,=r2(-sin2^+cos^+cos20)-r2(-l+cos^+2cos26)=0,得cos8=；

根據(jù)實際意義得cose=’時，梯形面積取最大值，此時上底為2rcos8=r，選D.

2

12.已知函數(shù)/(x)=x2+2alnx+3,若V/we[4,+oo)(玉?！?，BaG[2,3],

''3<2m,則加的取值范圍是

演一工2

A.[-2,+00)B.I，+00

919

C.——,+ooD.----,+8

24

12.【答案】D

【解析】設(shè)為〉電，因為―/（'）＜20,所以/（%）+2網(wǎng)＞/（毛）+2年.

%一工2

記g（x）=f（x）+2mx,則g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

故g'（x）?0在［4,-H?）上恒成立，即2x+?+2根20在［4,+8）上恒成立，

整理得-機4x+在［4,+oo）上恒成立.

因為ac［2,3］,所以函數(shù)丁=工+色在［4,+8）上單調(diào)遞增，故有一加《4+?.

1919

因為mae[2,3],所以—加44+2—,Bp/n>---

V-/max44

故選D.

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.函數(shù)）=lnx（x＞0）的圖象與直線y=；x+a相切，則。等于

13.【答案】ln2-l

［解析】設(shè)切點坐標(biāo)為&1M）,對函數(shù)y=Inx求導(dǎo)得y'=~,則切線斜率為1=L解得/=2，

xt2

所以，切點坐標(biāo)為（2,ln2）,將切點坐標(biāo)代入切線方程得gx2+a=ln2,解得a=ln2-l.

故答案為In2—1.

14.如圖陰影部分是由曲線y=4，V=x與直線x=2,y=0圍成，則其面積為

14.【答案】-+ln2

3

i2](22、

22122

【解析】由題意可知,面枳為J?dx+J—dr=-x+(lnx)=—+ln2.

0Ix(3J013

15.將等差數(shù)列1,4,7,…按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣，根據(jù)這個排列規(guī)則，數(shù)

陣中第10行最后一個數(shù)是

101316

19222528

3!34374043

15.【答案】163

【解析】設(shè)各行的首項為｛%｝，故q=1，4=3,03-a2=6,...a?-an_x=3(n-1),

疊加法得到：=3+6+...+3(〃—1)="(7),，=即［二D+1,故q0=i36,

又每一行是以3為公差的等差數(shù)列，則數(shù)陣中第10行最后一個數(shù)是136+3x9=163.

16.設(shè)函數(shù)/'(X)是偶函數(shù)〃X)(XH0)的導(dǎo)函數(shù)，/(-2)=0,當(dāng)x>0時,#,(x)-/(x)>0,

則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是.

16.［答案］(?,-2)U(2,??)

【解析】令g(x)-卓，..R(x)

=~~~~~,

?.?當(dāng)x>0時，當(dāng)x>0時，g'(x)>0,

；.g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

?."(X)是偶函數(shù)且/(一2)=0,.?./(2)=/(-2)=0,；.g(2)=午=0,

.?.當(dāng)x>2時,g(x)>0,則當(dāng)x>2時，/(x)>0,

又〃龍)為偶函數(shù)，，當(dāng)x<—2時，/(x)>0.

綜上所述：當(dāng)xe(-oo,-2)U(2,M)時，/(x)>0.

三、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

已知函數(shù)f(x)=Inx+?+b,當(dāng)x=l時，f(x)取得極小值2.

(1)求a,b的值;

(2)求函數(shù)/"(x)在悖,2］上的最大值和最小值.

17.(本小題滿分10分)

【解析】⑴r(x)=i-|^(x>o),

因為E時，/(x)有極小值2,所以|，2=乎+:=：，所以卜=:，(2分)

(/⑴=1-3a=0(b=l

所以/(x)=Inx+：+1,

經(jīng)檢驗符合題意.(4分)

(2)由(1)知/'。)=等(%>0)

當(dāng)時,由廣⑶<0得xegl),由r(x)>0得xe(1,2),

所以/(x)在G，1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，(7分)

所以f(x)min=f(l)=2,

1O

又由/?)=5-21n2>3J(2)=j+ln2<3,

得f(x)max=〃》=5-21n2.(10分)

18.(本小題滿分12分)

(1)已知。>0,/?>0,求證：空2"2吃;

2a+b

(2)已知a+b+c>0,ab+bc+ca>Qabc>0,求證：。>0,b>0,c>0.

18.(本小題滿分12分)

【解析】(1)因為〃>0,Z?>0,所以a+〃〉0,

要證幺—,只要證(a+Z?)2N4時,(2分)

2a+b

只要證(a+價2—4^20,即證/一2。。+〃20，

而/一2昉+〃=3—與220恒成立，所以巴女(6分)

2a+b

(2)假設(shè)a,〃,c中至少有一個不是正數(shù)，不妨設(shè)。<0,

當(dāng)〃=0時，abc=0?與必c>0矛盾；(7分)

當(dāng)。<0時，由而c>0可得bc<0,(8分)

又a+b+c>0,所以人+。>一。>0,所以。Z?+Z?c+ca=a(0+c)+力cvO,

與次2+4?+。4>0矛盾，所以假設(shè)不成立，所以。>0.(10分)

同理可證b>0,c>0.故。>0,/?>0,c>0.(12分)

19.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為s〃，V〃GN*，5,,=；(2〃+1)%+；.

(1)求q,a2、。3；

(2)猜想數(shù)列｛為｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.

19.(本小題滿分12分)

【解析】(1)分別取〃=1,2,3得

號=4=1+?'/+生=會+；,邑=4+生+%=1+（，

解得。]=1,%=3,%=5.（4分）

(2)猜想%二2〃-1,

〃=1時，由(1)知，?]=l=2xl-l,猜想成立，(5分)

假設(shè)力=&(%EN*)時，ak=2k-l,

則以+]=1+]_5女=；(2左+3)4+]+；-；(2%+1)4+；

=—(2火+3)%+]——Qk+1)%,

所以:(2A—1)%M=；(2A+l)a*,(9分)

因為%=2左一1,所以4+i=24+1=2(左+1)-1,

所以，〃=左+1時4=2〃一1成立，

綜上所述，任意“eN*，%=2"-1.(12分)

20.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)-ov+l-a(aeR).

(1)若/(x"0對任意x>T恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)求證：-ln(x+1)+把"—x+1^0.

20.(本小題滿分12分)

【解析】(1)問題等價于aWTn(x+1—l對任意一>-1恒成立,

X+1

令E=x+l(x>-l),則/>0,

人/\—Int—1_.,/\Int..

令g(')=--------->則g(')=：-，(3分)

???g(f)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+?)上是增函數(shù)，

.?送(。有最小值8。)=-1，

u<—1.(5分)

(2)由(1)知，-ln(%+l)+x>0,要證一ln(x+l)+xexT—x+120,

即證一ln(x+l)+x+xe'T-2x+120,(6分)

令〃(x)=xe'T-2x+l(x>-D,/?,(x)=(x+l)e'~'-2,

令加(x)=(x+l)e"T-2,則m'(x)=(x+2)et'1>0,

則皿x)在(一1,一)上是增函數(shù)，(9分)

又力⑴=0,./(x)在上是減函數(shù),在(1,+?)上是增函數(shù),

.-./z(x)>/z(l)=0,即l-2x+120，

-ln(x+l)+x+xe1''-2x+l>0,即得證.(12分)

21.(本小題滿分12分)

某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費

f百萬元，可增加銷售額約為--+7.百萬元.

(1)若該公司將一年的廣告費控制在4百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此

增加的收益最大？

(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造

費x(lSx<5)百萬元，可增加的銷售額約為二f+4inx百萬元，請設(shè)計一個資金分配方案，

使該公司由此增加的收益最大.

(注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費和技術(shù)改造費，不考慮其他的投入)

21.（本小題滿分12分）

【解析】（1）設(shè)投入『百萬元的廣告費后增加的收益為/⑺百萬元，

則山/（。=（一/+7/）—，=一/+61=-?-3）2+9（0±44）,（2分）

得當(dāng)（=3時，/⑺取得最大值9,

即投入3百萬元的廣告費時，該公司由此增加的收益最大.（5分）

（2）用于技術(shù)改造的資金為x百萬元，則用于廣告促銷的資金為（5-x）百萬元，設(shè)由此增加的收

益是g（x）百萬元.

則g（x）=gx2+41nx+-（5-x）2+7（5-x）^-5=-1x2+3x+41nx+5.（7^-）

2

，/、4X-3X-4（X-4）（X+1）「

g（x）=—x+3+—=-----------=---------------,1<x<5

XXX

則當(dāng)1W%<4時，g'（x）>0；當(dāng)4<xW5時，g'（x）<o.

.?.當(dāng)x=4時，g（x）取得最大值.

即4百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大.（12分）

22.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=x2-8x+alnx（aeR）.

（1）當(dāng)％=1時，〃x）取得極值，求。的值并判斷x=l是極大值點還是極小值點；

a\x\x.2、

（2）當(dāng)函數(shù)/（%）有兩個極值點玉,々（王<々），且百力1時，總有-；一L>M4+3%一石）成立，

求f的取值范圍.

22.（本小題滿分12分）

【解析】（1）/（x）=-~8—fl（x