2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義第03講 對(duì)數(shù)（教師版）

第03講對(duì)數(shù)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解對(duì)數(shù)的概念、掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì).

掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能進(jìn)行簡單

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)條件，

的對(duì)數(shù)運(yùn)算.

熟練掌握指對(duì)數(shù)形式的互化，準(zhǔn)確利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

2.理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，能熟

練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值.進(jìn)行對(duì)數(shù)式子的化簡與運(yùn)算，會(huì)解決與對(duì)數(shù)相關(guān)的綜合

問題.

3.能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解方程及與

指、嘉函數(shù)的綜合應(yīng)用問題的解決.

冊’知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)

i.對(duì)數(shù)的概念

(1)對(duì)數(shù)：一般地，如果"=N(a>0,且awl),那么數(shù)尤叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,

其中“叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常用對(duì)數(shù)：通常我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log“'N記為IgN.

(3)自然對(duì)數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然

對(duì)數(shù)，并把logeN記為InN.

2.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)a>0,且“聲1時(shí)，=Nob=log”N.即

a>0

ab=Nb=io&N

N>0T

3.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對(duì)數(shù)的概念，知對(duì)數(shù)log,,N(a>0,且a*1)具有以下性質(zhì)：

(1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)，即N>0；

(2)1的對(duì)數(shù)等于0,BPlogal=0；

(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即log/=l.

【微點(diǎn)撥】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路

(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的基作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式.

(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為幕，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.

不

蜜,知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的運(yùn)算

1.基本性質(zhì)

若a〉0,且aHl,N>0,貝!]

(1)*》=N；

b

(2)log(1a=b.

2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a〉0,且aHl,">0,N〉0,那么：

(1)\ogti(M-N)-log?/W+log“N；

⑵log噂=log?MTog.N;

H

(3)logoAf=nlogaA/(neR).

3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果a>0,且分1,M>0,N>0,那么：

①=1O&M+log“N；

M

②logaR=loggN；

③10gM=(n￡R).

三、換底公式及公式的推廣

1.對(duì)數(shù)的換底公式

IngN

10gz,N=-^^(b>0,且bwl;c>0,且c#l;N>0).

log加

【注】速記口訣：換底公式真神奇，換成新底可任意，原底加底變分母，真數(shù)加底變分子.

2.公式的推廣

（1）lognb=--—（其中4>0且awl；b>0且bwl）；

logf

（2）logbn=log^b（其中a>0且awl；b>0）；

m

（3）log?bm=—logb（其中。>0且QW1；/?>0）；

"ntt

（4）log1b=-\ogab（其中a>0且4W1；b>0）；

a

（5）logwb-log^c-logcd=log6/d（其中〃，b,c均大于0且不等于1,rf>0）.

【微點(diǎn)撥】①換底公式常利用常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)表示

②推導(dǎo)結(jié)論logv“=21og,vM.

a

【即學(xué)即練1】已知108.=3,貝ija的值為（）

A.1B.6C.9D.27

【答案】D

【分析】將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式即可求解.

【詳解】由log3a=3可得“=33=27,故選：D.

【即學(xué)即練2］已知4"=2，lgx=a,則》=（）

A.B.710C.10D.1

【答案】B

【分析】依題意首先求出。，再根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得；

【詳解】因?yàn)?"=2，lgx=a,所以a=J,

因?yàn)閘gx=a=g,則尤=加.

故選：B.

【即學(xué)即練3】對(duì)于“>0,且W1,下列說法中，正確的是（）

①若M=N,則log“M=logaN；

②若log”例=10gaN,則M=N;

③若log?A/2=log??72,則M=N；

④若M=N,則logJWMogJV2.

A.①③B.②④

C.②D.①②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的基本概念對(duì)各個(gè)說法逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)于①，當(dāng)河=悵0時(shí)，log〃M,logjv都沒有意義，故不成立；

對(duì)于②，log“M=log〃M則必有M>0,N>0,M=N,故正確；

對(duì)于③，當(dāng)M,N互為相反數(shù)且不為0EI寸，也有l(wèi)ogJVfTogJV2,但此時(shí)故錯(cuò)誤:

對(duì)于④，當(dāng)M=N=0時(shí)，bgaM2,loga/V2都沒有意義，故錯(cuò)誤.

綜上，只有②正確.

故選:C

log,x,x>3

【即學(xué)即練4】已知函數(shù)/*)=15,則f(7(81))=()

2',x<3

B.-log34D.log,4

【答案】C

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式先求出/(81),再求/(f(81))即可得解.

【詳解】

log]x,x>3

因函數(shù)/(x)=5，于是得f(81)=/(34)=log[34=log!

所以/(7(81))=〃-4)=27=%

16

故選：c

【即學(xué)即練5】已知方程8x+4=0的兩根為a,h,則1。&a+1嗚。=()

【答案】D

【分析】

根據(jù)韋達(dá)定理及對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】

..,方程》2-8》+4=0的兩根為。，b.

二ab=4,

.,,..,,.log,42

..log8a+logsfe=Iog8?/?=log84=^^=-.

故選：D.

【即學(xué)即練6］若4"=25”=10,則,+，=()

ab

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再利用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得;

【詳解】

解:?.?4"=25"=10,

log4I0=a,log2510=/?,

―1+―1=---1--+----1--

ablog410log2510

=lg4+lg25

=lg(4x25)

=IglOO

=2.

故選：B

【即學(xué)即練7】(多選)下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()

A.零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)

B.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式

C.以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)

D.以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

【答案】BCD

【分析】

對(duì)于A：由對(duì)數(shù)的定義即可判斷；

對(duì)于B：用對(duì)數(shù)的定義即可判斷；

對(duì)于C：由常用對(duì)數(shù)的定義即可判斷；

對(duì)于D：由自然對(duì)數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】

對(duì)于A：由對(duì)數(shù)的定義可知：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).故A正確；

對(duì)于B：只有符合“>0,旦awl,N,才有優(yōu)=Nox=log,,N,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

【即學(xué)即練8】下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是()

A.10°=1與1g1=0B.27-=；與唾27；=-g

€\10839=2與/=3D.Iog55=l與51=5

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的結(jié)論逐個(gè)分析可得答案.

【詳解】

對(duì)于A,100=1olgl=0,A正確；

-1111

對(duì)于B,27'=_olog_=一，B正確；

3,33

對(duì)于C,Iog39=2o32=9,C不正確；

對(duì)于D,log55=l?5'=5,D正確.

故選：ABD.

【即學(xué)即練9】有以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的有()

A.Ig(1g10)=0B.lg(Ine)=0

C.若e=Inx,貝!]x=e2D.In(lg1)=0

【答案】AB

【分析】

利用對(duì)數(shù)的概念逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】

解：lg(lg10)=lg1=0,lg(lne)=lg1=0,所以A,B均正確;

C中若e=\nx,則x-ee,故C錯(cuò)誤；

D中l(wèi)gl=0,而In0沒有意義，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

【點(diǎn)睛】

此題考查對(duì)數(shù)的概念的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

【即學(xué)即練10】下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是()

A21og,10+log,0.25=2

55

8

B.log427-log258-log95=-

C.lg2+lg50=10

D?1。勖+5(2-6)-(1嗚&『=-；

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算檢驗(yàn)，即可判斷各選項(xiàng)是否運(yùn)算錯(cuò)誤.

【詳解】

21og,10+log,0.25=log,(102x0.25)=log,52=-2,八錯(cuò)誤:

對(duì)于A,

5555

晦27%82=繇翳翳3x39

對(duì)于B,J，B錯(cuò)誤;

2x2x2O

對(duì)于c,lg2+lg50=lgl00=2,c錯(cuò)誤:

對(duì)于D,log(2+揚(yáng)(2-6)-(k)g2&)=T—(g)=—；'D正確?

故選ABC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

Q能力拓展

考法01

對(duì)數(shù)的概念

解決使對(duì)數(shù)式有意義的參數(shù)問題，只要注意滿足底數(shù)和真數(shù)的條件，然后解不等式（組）即可.對(duì)數(shù)

的概念是對(duì)數(shù)式和指數(shù)式互化的依據(jù)，在互化過程中應(yīng)注意對(duì)數(shù)式和指數(shù)式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【典例1】在6=10&3加|）（3-2?）中，實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

]_223

【答案】

3,33,2

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.

【詳解】

由題意，要使式子匕=1。耳31）（3-2a）有意義，則滿足<3〃-1",

.3-2。>0

解得或|<“<|,即實(shí)數(shù)”的取值范圍為，,|卜（|,|）.

故答案為：段）

【即學(xué)即練11】在對(duì)數(shù)式log（z）（3-x）中，實(shí)數(shù)1的取值范圍應(yīng)該是（）

A.l<x<3B.x>l且/2

C.x>3D.l<r<3且#2

【答案】D

3—x>0

【解析】要使對(duì)數(shù)式log（i）（3-x）有意義，需<無一1>0,解得l<x<3且/2.

%—1豐1

【名師點(diǎn)睛】本題極易忽略底數(shù)的限制范圍，底數(shù)x—l需大于0且不等于1.

考法02

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算和化簡的基礎(chǔ)，所以要熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)恒等式，化簡的原則

是：

（1）盡量將真數(shù)化為“底數(shù)”一致的形式;

（2）將同底的多個(gè)對(duì)數(shù)的和（差）合成積（商）的對(duì)數(shù)；

（3）將積（商）的對(duì)數(shù)分成若干個(gè)對(duì)數(shù)的和（差）.運(yùn)算時(shí)要靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的相關(guān)公式求解,

如log”a=l（a>0,且a。1）,logab?log%a=1等.

【典例2】1.化簡下列各式:

,1

(1)Mgl-lg25U100I2

(2)log225-log341og59

（3）；lg卷一gig%+lg

【答案】（1）-20；（2）8；（3）

【分析】

（1）先化簡為1g士xlO,再計(jì)算得解；

100

（2）先化簡為與gx罟x黑，再計(jì)算得解；

1g21g3lg5

（3）先化簡為1g逑-Ig4+lg7出，再計(jì)算得解.

【詳解】

原式=lg」-x10=-2x10=-20

(1)

100

?g4Ig9_21g521g221g3_

^-l|2Xlg3Xlg5-lg2lg3lg5-8-

原式=lg華-Ig4+lg7石=lg(；0x；x7不)=/

(3)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這弊知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.

7

【即學(xué)即練12】計(jì)算：（1）Iog535-21og5-+log57-log51.8；

⑵log2+log212-i'108242_1,

3

【答案】⑴2；（2）

2

【分析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

9

(1)原式=log5(5x7)-2(log57-logs3)+log57-log5-

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.

萬

(2)原式=log2+log212—Iog2(42—log22

X/7X12

g2748x^42x2

.123

=log2^=log22^--.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

2

【即學(xué)即練13】計(jì)算：（1）叫國百（Q-血）-2叫,（2）（Ig5）+lg2xlg5+lg2.

【答案】⑴-1-V3;（2）1.

【解析】（1）因?yàn)閘og五+幣(6-6)=l(〉ga+w丁+0=-1，

2SC=21叫3=2叫=6,所以log、聯(lián)0（6一夜）_2喝心=_1_6.

2

(2)(Ig5)+lg2xlg5+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

【名師點(diǎn)睛】在計(jì)算log拒+召（百-夜）的值時(shí)，注意將百—血化為G：夜即可求解.在求解⑵時(shí),

注意提取公因式，利用Ig2+lg5=l求解.

【即學(xué)即練14】計(jì)算：1°g：+學(xué)21。迎8=

!Og64

【答案】1

_1_21og63+log632+log6/Iog66x3_]一2[og63+log632+1-1咱32

【解析】

式一log64-log64

21—loge3log66-log63log()2

210g62.loge2-log62-

考法03

換底公式的應(yīng)用

換底公式即將底數(shù)不同的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟

換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以e為底的自然對(duì)數(shù).

【典例3】已知(J)=1,log74=^-試用表示Iog4948.

【答案】log4948=^^.

【解析】。=妲.

⑺31g7

Vlog74="=*.

,,lg48lg4lg3,a2b+a

則log4948o=-^—=—+-^=/?+-=------.

49lg49lg721g722

【名師點(diǎn)睛】在解題的方向還不清楚的情況下，一般統(tǒng)一為常用對(duì)數(shù)(當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為

底).

【即學(xué)即練15】已知log95=a,3"=7,試用“，6表示log2135

【分析】首先根據(jù)題意得到k)g37=6,log35=2?,再利用換底公式化簡即可得到答案.

【解析】由3"=7得到log37=6,

由log95=a,得到a=；log35,即log35=2a.

I：_335log?5+log?72a+匕

821

log321log37+log33b+\'

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)數(shù)的換底公式，同時(shí)考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的互化公式，屬于中檔題.

考法04

對(duì)數(shù)方程的求解及對(duì)數(shù)不等式的求解

解對(duì)數(shù)方程時(shí)，(1)等號(hào)兩邊為底數(shù)相同的對(duì)數(shù)式，則真數(shù)相等；(2)化簡后得到關(guān)于簡單對(duì)數(shù)式

的一元二次方程，再由對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化求解.

【典例4】求下列各式中的x的值：

(1)log,(x2-2)=0；

（2）1。%4|）（3，+2工-1）=1.

【答案】（1）x=±G;⑵x=-2.

【分析】

（1）根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化公式進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

（1）由嶼（爐-2）=0,得2=1。=1，解得x=±5

（2）由1。42，1）（3一+2》-1）=1,

得3x?+2x—1=（2x?—1）'=2廠—1,2丁—1>0,」」2——1/1,且3x?+2x-1>0,

解得x=-2（x=0舍去）.

【即學(xué)即練16］方程1082（91-5）=1。8式31-2）+2的解為.

【答案】x=2

【解析】：log2（91-5）=log］?）-2）+2,log2（9、T-5）=log,［（3^-2）x4］,

9'-|-5=4（3'-1-2）,即（3、）2—12X3*+27=0,即（3*-3）0-9）=0,解得3'=3或3*=9，

則x=l或x=2.當(dāng)x=l時(shí)，9'-1-5<0.3A-1-2<0,故舍去.從而尤=2.

【名師點(diǎn)睛】本題所給方程的底數(shù)相同，若底數(shù)不同，則還需化為同底數(shù)再求解.另外，解對(duì)數(shù)方程必須

把所求得的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，以確保所有的真數(shù)都大于零，這是必不可少的步驟.

【即學(xué)即練17］若log4<K?>0且存1）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】（0,Ju（l,+00）

3

1

（解析］當(dāng)0<67<1時(shí)，log*log“a=1,4

3

-

當(dāng)a>］時(shí)，log“沁g“”=I,.SI....實(shí)數(shù)a的取值范圍是I4+oo）.

ls

【即學(xué)即練18】S^llog5［log2（4'）］=0.則x的值為一

【答案】回

【分析】

根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化公式，結(jié)合指數(shù)幕運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

El：|log5[log2（4^）J=0,得log2（4*）=50=l,所以4電，=2=2，

即2?g=2,所以21gx=1,lgx=；，所以.io：布.

故答案為：V10

考法05

易錯(cuò)—忽略真數(shù)大于0

X

【典例5]已知lgx+lgy=21g（2x-3y）,求log,一的值.

2y

【錯(cuò)解】因?yàn)檑?+愴丁=2館（21一3?。?，

9

所以孫二（2x—3y）2,即4f_13孫+9丁=0,即（％一?。?%-9y）=0,解得x=y或

JQx93o

所以10g3-=10g31=0或10g3-=10g3：=10g3（7）2=2.

"25y2422

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中，lgx+lgy=21g（2x-3y）與孫=（2x—3y>對(duì)x,y的取值范圍要求是不同的，即求

解過程不等價(jià)，因此，得出解后要代入原方程驗(yàn)證.

9

【正解】同錯(cuò)解，得到％=丫或%=一丁.

4

由也%+尼〉=2坨（2工一3》）知，x>0,y>0,2x-3y>0,

當(dāng)x=y時(shí)，2x-3y<0,此時(shí)lg（2x-3y）無意義，所以x=y,即log?二=logg1=0應(yīng)舍去；

2y2

9[x[9]A2。

當(dāng)X=_y時(shí)，10g3-=10g3-=10g3（-）-=2.

4-5y5422

【名師點(diǎn)睛】求解有關(guān)對(duì)數(shù)恒等式或不等式的過程中，經(jīng)常需要將對(duì)數(shù)符號(hào)“脫掉”，此時(shí)很容易忽略原式中

對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0這一隱性限制條件，從而導(dǎo)致求出的最終結(jié)果中產(chǎn)生增根或范圍擴(kuò)大，因此要求我們對(duì)

于此類題，一定要將求出的結(jié)果代入原式中進(jìn)行檢驗(yàn).

品分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

4

1.若2，=6，log4§=y,則x+2y的值是()

A.3B.；C.log,3D.-3

【答案】A

【分析】

利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閘og(=y,則4，=22'=g,所以，2g=2,.22，=6xg=8=23,故x+2y=3.

故選:A.

2.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=2，，則〃1/827)的值為()

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】A

【分析】

先判斷l(xiāng)og.27>0,然后根據(jù)函數(shù)Ax)是奇函數(shù)進(jìn)行求值.

【詳解】

易知Iog827=log23>。因?yàn)椤癤)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<o時(shí),f(x)=2x,

log；

所以/(log827)=/(log?3)=-/(-log23)=-7|^log2；)=-25=-1.

故選：A.

3.方程上一2”i—3=0的解是().

A.Iogj2B.1C.Iog23D.2

【答案】C

【分析】

結(jié)合指數(shù)運(yùn)算化簡已知條件，求得2',再求得x.

【詳解】

方程4，-2"+1—3=0可化為(2，)2—22'—3=0,即(2■'—3)(2'+1)=0,V2'>0,；.2，=3,.*.A-=log23.

故選：C

4.已知》>0,log58=a,lg〃=c,5d=10,則下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

【答案】B

【分析】

利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化可得b=5",6=10，，再由指數(shù)的運(yùn)算即可求解.

【詳解】

因?yàn)閎>0,log5b=a,lg6=c,

所以b=5"力=10’，

又5J10,

所以b=5"=10°=(5"丫=5",

所以a=cd,

故選：B

5.已知函數(shù)?。?［野::::，則|&|的值為（§

A.：B.-C.3D.5

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)自變量范圍代入分段函數(shù)對(duì)應(yīng)解析式，求得/（g）=T，再計(jì)算/（T）即為所求.

【詳解】

3

又140,.?.〃-1)=2T+1=5,

…I，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)分段函數(shù)求值，涉及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.關(guān)鍵在于從內(nèi)到外的運(yùn)算，注意分段函數(shù)的分

段標(biāo)準(zhǔn)，注意對(duì)數(shù)的求值，一般地，log“a、=x(a>0,“Hl,xeR).

6.在N=log(5-歷S—2)中，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.X2或6>5B.2cb<5

C.4<b<5D.2<X5且厚4

【答案】D

【詳解】

b-2>0

由對(duì)數(shù)的意義得解得2<6<5且6H4.

5-21

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是2〈匕<5目.6*4.選D.

7.3%4-27,一坨0.。1+始/等于()

A.14B.0

C.1D.6

【答案】B

【解析】

原式=4-(33戶-(-2)+3=4-9-(-2)+3=0?選B.

點(diǎn)睛：基的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)恒等式的綜合是對(duì)數(shù)運(yùn)算中常見的題型，解題時(shí)要注意運(yùn)用基的運(yùn)算性質(zhì)將所

給的式子進(jìn)行變形，化成指數(shù)哥的形式，以便于運(yùn)用優(yōu)=Nox=log./V

(a>0且aN1)求解，同時(shí)解題中還要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用.

8.對(duì)于a>0且下列說法正確的是()

①若M=N,則log.M=log?N.

②若log,,M=log?N,則M=N；

22

@^flogflM=logoN,則"=汽；

④若M=N,則log“扭2=iog“解.

A.①②B.②③④

C.②D.②③

【答案】c

【分析】

①中若M,N小于或等于0時(shí)，不成立；②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可判斷；③中M與N也可能互為相反數(shù)；④

中當(dāng)M=N=O時(shí)不正確.

【詳解】

①中若M,N小于或等于0時(shí)，log“M=log〃N不成立;

②根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算易得加=',故正確；

③中M與N也可能互為相反數(shù)；

④中當(dāng)M=N=O時(shí)不正確.所以只有②正確.

故選：C

9.(\)，+fg2+lg逐的值是()

A5「7"9

A.-B.-C.一

622

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)基運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：f—1'+1lg2+lg石=3+：(lg2+lg5)=3+1lglO=3+：=；.

V27)22222

故選：B.

10.已知ln2=a,1n3=b,則1n(36e3)可以用a和。表示為()

A.a+2Z?—3B.4a+2/7+2

C.2a+2Z?+3D.2a+3b+3

【答案】C

【分析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【詳解】

In(36叫

=In36+Ine3

=ln（22x32）+31ne

=ln22+ln32+3

=21n2+21n3+3

=2a+2b+3

故選：C.

ILlog⑶）（3-20）等于（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【分析】

先把真數(shù)化為3-2四=的形式后再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【詳解】

2

3-272=2-2應(yīng)+1=（應(yīng)產(chǎn)-2立+12=（拒—1尸==（0+1>2.

???叫屈43-20)=叫即(0+1)、-2.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，考查?jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.正實(shí)數(shù)。，b,c均不等于1,若log7+logf=5,log；：+log*=3,則log：的值為()

A.-B.-C.-D.-

5543

【答案】A

【分析】

一log.a+log.b1

由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式可得5=■―-^-+-——，結(jié)合log〃4+log*=3可得結(jié)果.

log/,log*log￡.a

【詳解】

依題意，

ci7ii111\oga+\ogb1

5=log“b+log,c+log”c=-------+--------+--------=—h---------—c+--------

log/,alogrblog,。log》4?log,blogf.a

____3___?____1______4__

logcalogralogra'

4

解得logt,?=-.

故選：A.

題組B能力提升練

1設(shè)alog；,4=2,則4-"=（）

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解

【詳解】

由。陛34=2可得10834"=2,所以4"=9,

所以有.4-"=",

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)

題目.

21

2.設(shè)工、ywR,a>\,h>\,若"=〃=2,a2+/?=4,則一+一的最大值為（）.

xy

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

jI2]

由"=〃=2,可得x=log“2,y=log〃2,則一=log?。,一=log2%,則一+—=log2（/?），利用基本不等式

xyxy

即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)閍x=by=2,

所以x=log.2,y=log/,2,511J-=10g2a,-=log2b,

xy

212

則一+-=2log2a+log,b=log2(a-/?),

xy-

又因/+b=4,所以=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=/,,即。=08=2時(shí)，取等號(hào)，

所以log2("-b)410g24=2,

所以2+工的最大值為2.

xy

故選：B.

3.已知函/'(x)=log2(Jl+4_?+2x)+3,且./■(/?)=—5,則/(一〃?)=()

A.-1B.-5C.11D.13

【答案】C

【分析】

令g(x)=log2(Jl+4x2+2q,則/(x)=g(x)+3,則先判斷函數(shù)g(-x)+g(x)=0,進(jìn)而可得

/(-x)+/(x)=6,即〃/n)+〃m)=6,結(jié)合已知條件即可求/(-，")的值.

【詳解】

令g(X)=log?(Jl+4/+2xj,貝I]/(x)=g(x)+3,

2

因?yàn)間(x)+g(-x)=log2[\ll+4x+2x)+log,(Jl+4/-2x)

22

=log2(l+4x-4x)=0,

所以/(-x)+/(x)=g(—x)+3+g(x)+3=6,

則/⑺+/(ft)=6,又因?yàn)椤?=-5,則=

故選：C.

4.已知實(shí)數(shù)。，b,C滿足0.4"=2,0.2"=5,0.5*=0.4,則“+〃+。+,+:+_1=()

abc

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】

先利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系表示出。，b,c,進(jìn)而得到工，;，！，再根據(jù)換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算

abc

法則即可得結(jié)果.

【詳解】

：0.4"=2,0.2"=5,0.5"=0.4,

/.a=log042,Z?=log025,c=logo50.4,

—=log,0.4,-=log,0.2,-=log0.5,

abc04

a+6+c+—+—+-=log2+log,5+log0.4+log,0.4+log0.2+log0.5

abc■■()400s504

—logo.42+log040.5—1+log20.4+log050.4—1=log041-1—1-2.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)互化，對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力，試中檔題.需耍指出，涉及指數(shù)

式與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算時(shí)，常常進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，然后利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換

底公式進(jìn)行化簡，要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的正確運(yùn)用.

5.已知2愴(X-2)，)=愴％+吆>?,則log」,的值為()

A.0B.1C.0或1D.—1或1

【答案】B

【分析】

Yy

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)性質(zhì)得到關(guān)于x，y的代數(shù)式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于一的一元二次方程，求得一的值，注意

yy

根據(jù)已知等式，由對(duì)數(shù)的定義探求范圍，做出取舍，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的定義求得所求對(duì)數(shù)的值.

【詳解】

21g(x-2y)=lgx+lgy,lg(A-2y)2=lg(xy).

(x-2y)~=xy,x2-5xy+4y2=0.

y>0,土]+4=0,解之得:二=1或二=4.

[y)⑴yy

x犬

Vx-2^>0,y>0,/.x>2yy->2f/.—=4.

yy

/.log4-=log44=1.

y

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視對(duì)數(shù)中的真數(shù)大于零的要求，缺少對(duì)范圍的確定，產(chǎn)生多余的解.

6.已知函數(shù)f(x)=o?+g+4(a,AeR),/(lg(log210))=5,則/'(lg(lg2))=()

B.-1C?—5

【答案】A

【分析】

設(shè)F(x)=加+',則/(X)=尸(x)+4且/(-x)=-F(x),

/(lg(log210))=F(lg(log210))+4=5可求得F(lg(log210))=1,

愴2=丁%=(1嗚10［則〃lg(lg2))=-尸(lg(lg/0))+4,即可求解.

10g?Iu

【詳解】

設(shè)尸(x)=以3+§,則f(x)=尸(力+4且F(-x)=-F(x),

/(lg(log210))=F(lg(log210))+4=5,所以F(lg(log210))=1,

/(lg(lg2))=/(lg(lg2))+4=f(lg(黑)1+4

-l

+4=F(lg(log210))+4

(logJO

=F(-lg(log210))+4=-F(lg(log210))+4=-l+4=3,

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)F(x)=a?+§,則〃x)=F(x)+4且

F(-x)=-f(x),利用/(lg(log210))=5可得F(lg(log210))=1,

且坨2==(log210)-'t/(lg(lg2))=-F(lg(lg210))+4即可取值.

7.(多選題)若1伊=4,10*=25,則()

A.a+b—2B.b-a—IC.ab>8lg22D.b-a<lg6

【答案】AC

【分析】

由指對(duì)互化求出。涉，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出a+b和b-a的值，可判斷ACD,且ab=2lg2x2lg5=

4/g2“g5>4/g2”g4,可判斷C.

【詳解】

1伊=25,；.a=Ig4,b=lg25,，a+/?=/g4+/g25=/g100=2,

25

b-a=lg25-lg4=lg—>/g6,帥=2/g2x2/g5=4/g2?/g5>4/g2*/g4=8/g22.

故選：AC.

8.（多選題）設(shè)a=log26,^=log,-,則下列結(jié)論正確的有（）

6

A.a+b<0B.---=1

ab

C.cib<0D.—―+>—

【答案】BCD

【分析】

山題意可得a>0，b<0,可判斷C；根據(jù)1+:<0可判斷A；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可判斷B；根據(jù)

ab

11[ab]1可判斷D.

----1---->----------=—

a2b22--------2

【詳解】

已知a>0,b<0,所以C正確；

-+Y=Iog62+log13=log61<0,BP<0,

ab63ab

因?yàn)楸?lt;0,所以a+b>0,A錯(cuò)誤；

--7=log2-log3=log2+log3=1,B正確；

ab（）6x66

、fi.iY...iii…

因?yàn)?+1b）1>所以滔'+/■>/，D正確.

R記,-2-~2&

故選：BCD.

9.（多選題）已知。，匕均為正實(shí)數(shù)，若log“b+log〃a=ab=ba,則:=（）

2b

A"B.—C.y[2D.2

22

【答案】AD

【分析】

令f=log“b,代入可求出f,可得a與)的關(guān)系式,再代入底=J即可求出a,6的值.

【詳解】

令t=】og"則r+LJ,

t2

所以2/一5/+2=0,即⑵-1)(7—2)=0,

解得f=g或f=2,即bg.b=g或log,4=2,所以4=廿或

因?yàn)榇氲?b=a=。2或b=2a=/,

所以。=4,h=2或a=2,b=4,

所以

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，屬于中檔題.

x>3

10.已知函數(shù)代r)=?3'一’則_A2+log32)的值為.

/(x+l),x<3,

【答案】專

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得2+log32的范圍，代入分段函數(shù)可求得答案.

【詳解】

解：；2+log31<2+log32<2+log33,即2<2+log32<3,

.,次2+log32)=12+log?2+1)=火34-log?2).

又3<3+log32<4,

X-K>8.>2111

.?.火3+1卷2)==X3__y_—__

27272-54

.?.X2+log32)=—.

故答案為：—■

54

11.若函數(shù)f(x)=l