2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)） 空間向量與 立體幾何 單元測試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元測試

1、在正方體ABCD-A[B]C]D]中，直線與平面AB]D]所成角的正弦值為（）

1生電也

A.3B.3C.3D.3

2、已知。=(2,-3,1),則下列向量中與。平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)

3、已知麗=(一1,2,0),而=(羽一2,3),若而而，則x=()

A.1B.4C.-1D.-4

4、已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),貝卜等于()

A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)

C.(~2,0,—2)D.(2,1,-3)

5、在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點A(1,2)距離為1,且與點B(3,1)距離為2的直線共

有()

A.1B.2C.3D.4

6、點(2,0,3)位于()

A.y軸上B.游山上C.xoz平面內(nèi)D.yoz平面內(nèi)

7、點(2,0,3)位于()

A.y軸上B.x軸上C.xoz平面內(nèi)D.yoz平面內(nèi)

abab

8、已知向量,=2),"=(-2,1,1),則，+1=(

A.50B.14C.5啦D.何

9、若平面a的一個法向量為n=(1,2,2),A(l,0,2),B(0,-l,4),ACa,B",則點A到平

面a的距離為()

12

A.1B.2C.3D.3

T-?

10、已知空間直角坐標(biāo)系中,A(4，L3)、B(2,-5,l),點c滿足AC-CB,則C的坐標(biāo)為

()

A.(3,-2,2)B.(-2,-6,-2)C.6-24)D.(0,-11,-1)

11、已知A(x,5-x,2x-l),B(1,x+2,2-x),當(dāng)ABI取最小值時，x

的值等于()

A.-B.--C.19D.—

7714

12、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D

所成角的正弦值為()

V6_276V15V10

---D.----n

35

13、正方體ABCD-AIB]C]D]的棱長為1,動點乂在線段CC1上，動點P在平面A1B1JD]

上，且APJ■平面MB%

(I)當(dāng)點M與點C重合時，線段AP的長度為；

(II)線段AP長度的最小值為.

14、在長方體ABCO-A肉中，AB=A4,=2,AD=l,E為CG的中點，則異面

直線BCi與AE所成角的余弦值為.

15、如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB,點M為PA的中點，BD=ABN.若MN_LAD,

16、已知向量1=(2-1,2),b=(—4,2,加)，且1_L九則加的值為.

17、如圖，已知E、尸分別是棱長為。的正方體ABC?！狝耳G3的棱CC,

的中點

(1)求證：AC〃平面gEZ*；

(2)求四棱錐G-4瓦*的體積.

18、如圖，BC=2,原點。是BC的中點，點A的坐標(biāo)為2,5,0),點。在

平面)'°z上，且N5QC=90°,/DCB=3U°.

(1)求向量麗的坐標(biāo).

(2)求A方與此的夾角的余弦值.

19、如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ZABC=90°,平面PABL

平面ABC,D、E分別為AB、AC中點.

(I)求證：DE〃平面PBC；

(II)求證:AB±PE；

(III)求二面角A—PB—E的大小.

20、已知A(x,5—x,2x—l),B(l,x+2,2—x),求|AB|取最小值時A、B兩點的坐

標(biāo)，并求出此時的|AB|.

21、在棱長為2的正方體ABC。一中，E,尸分別為4男,8的中點.

(1)求直線EC與平面B18CG所成角的大小;

(2)求二面角E—的大小.

(第19題圖)

22、如圖，矩形ABCQ所在平面與三角形EC。所在平面相交于CO,平面

ECD.

(1)求證：平面ADE；

(2)若點M在線段AE上，AM=2ME,且CZ)=OE=A￡,求平面BCE與平

面BDM所成的銳二面角的余弦值.

參考答案

1、答案C

通過題干條件得到面的法向量，BC//B1C1,求法向量和8c的夾角即可.

詳解

1+3-2下

-n-COS^BCA]=----『二一

由題知，A?為平面AB?1的一個法向量，又因為BC〃B[C],所以2x43

故答案為：C.

名師點評

求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面

角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線

面角即可。

2、答案B

利用向量共線定理即可得出.

詳解

—>—>—>——>—>

解：若b=(-4,6,-2),則b=-2(2,-3,1)=-2見所以a〃瓦

故選：B.

名師點評

本題考查空間向量共線的充要條件，熟練掌握向量共線定理是解題的關(guān)鍵.

3、答案D

4、答案A

通過a-(aX)=B,利用空間向量減法的運算法則，求得運算正確結(jié)果，從而得出正確選

項.

詳解

由于a-(a￡)=故'==(2,-4,2),所以選A.

名師點評

本小題主要考查空間向量的減法運算，考查空間向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

5、答案B

6、答案C

7、答案C

8、答案C

ab

解：???2*=2(1,-3,2)+(-2,1,1)=(0,-5,5).

ab----

??.|2"+；=Jo+52x2=5我

故選：C.

利用向量的坐標(biāo)運算及其模的計算公式即可得出.

本題考查了向量的坐標(biāo)運算及其模的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、答案C

施用

d=---------

分析：求出曲，點A到平面a的距離：冏，由此能求出結(jié)果.

詳解：???A(l,0,2),B(0,-l,4),ACa,BF,

???AB為平面a的一條斜線,且@=(-1,-1,2)

IAh-R|(-1)-1+(-1)-2+2-211

d=---------=----------/=-------=-

二點A到平面a的距離：網(wǎng)廳+22+2?

故選C.

名師點評：點到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，如圖，設(shè)AB為平面a的一條

儂用

a=---------

斜線段，n為平面a的法向量，則A到平面a的距離同.

10、答案A

設(shè)出C點的坐標(biāo)，代入AC-CB,利用兩個向量相等的概念，求得C點的坐標(biāo).

詳解

x-4=2-x/x=3

)y-l=-5-y)y=-2

設(shè)C(x,y,z),故金=(x-4,y-l,z-3),CB=(2-x,-5-y,l-z),根據(jù)ACCB得|z-3=1-z,解得［z=2,

故C(3,-2,2),所以選A.

名師點評

本小題主要考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查兩個向量相等的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

11、答案A

12、答案D

以D點為坐標(biāo)原點，以DA、DC、。。所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C,(0,2,1)

：.BQ=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),〃且為平面BBDD的一個法向量.

二cos〈BG,AC)=一尸=BC,與平面BB.D.D所成角的正弦值為"

行花55

考查目的：直線與平面所成的角

13、答案及2

(I)當(dāng)點M與點C重合時，可以得到點P與點%重合，從而可得AP的長度；

(II)利用線面垂直得到等量關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)求解最值.

詳解

以D為坐標(biāo)原點，。4。＜：刀。1所在直線分別為X型軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AP=

M(O,l,m),P(x,y,l),[jliJ(x-l,y,l),BD廣BM=(-1,0,m).

fAP-BM=0(1-x+m=0

因為API?平面MBD],所以[APBD]=0|2-x-y=0

(I)當(dāng)點M與點C重合時，m=0,x=y=l,此時AP的長度為企;

AP|=J(x-1)2+y2+1=J2y2-2y+22—

(II)

名師點評

本題主要考查空間中的垂直關(guān)系及動線段的長度問題.動點引發(fā)的長度變化，要尋求其

中不變的關(guān)系式，綜合運用其他知識求解.

14、答案返

10

建立坐標(biāo)系如圖，

則41,0。)，￡(0,2,1),B(1,2,0),Ci(0,2,2).

—>—>

_BCi-AE_^30

%=(-1,0,2),AE=(—1,2,1),cos<BC涵

Vff-10'

1gli聞

所以異面直線BG與AE所成角的余弦值為.

15、答案4

連結(jié)AC,交BD于0,以0為原點，()A為x軸，0B為y軸，0P為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，利用向量法能求出實數(shù)X.

詳解

解：連結(jié)AC,交BD于0,以0為原點，0A為x軸，0B為y軸，0P為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=AB=2,則A(也,0,0),D(0,-板,0),P(0,0,而)，M(2,0,2),B

(0,企，0),

BD=(0,-2亞，0),設(shè)N(0,b,0),則BN=(0,tr也，0),

今今二辰2a

?；BD=￡BN,_2&"(b-R),，b入，

出人-2—今也向-2-也+

；.N(0,入，0),MN=(2,\,2),AD=(-亞，-也，0),

VMN±AD,...MN-AD=I入0,

解得實數(shù)X=4.

故答案為：4.

名師點評

本題考查實數(shù)值的求法，考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是中檔題.

16、答案5

由題可知：M=(2,-1,2),5=(—4,2,m)，且2,B,有2x(-4)+(-l)x2+2m=0,即m=5.

17、答案(1)連接石，F(xiàn)、。分別知唧、AL的中點

OU］，又AG平面與EOF

CfEDF平面B,EDF，二4c?〃平面

⑵取AC中點a,過。|作_L與￡＞于H

；AG〃平面用EOF

1

=-

VcRFDF=VQBFDF~^nBFDF0,H=—X—B,D-EF-O.H6

Cjb.L)rC/|-O|t,L/r3LJD|tZUr1321

叵

~5~

試題分析：（1）過。作OEL8C于E，求得。瓦。后的值，得到點。的坐標(biāo)，進(jìn)而求

得麗的坐標(biāo)；

（2）分別求得向量而，及的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

詳解：(1)過。作。于E,

1

C1=

則DE=CD-sin30°=—,OE=OB-80cos60。=1--2-

22

所以。的坐標(biāo)為D(0,--,—)>

22

又因為c（o,i,o）,所以詼=（0,_3,也）.

（2）依題設(shè)有A點坐標(biāo)為A（3-,o）,所以亞=（_3,一1,3），而=（0,2,0）,

2222

則而與就的夾角的余弦值為cos（而,BC）=瑞贏=一半.

X

名師點評

本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，以及空間向量的夾角公式的應(yīng)用，其中解答中正

確書寫點的坐標(biāo)，熟練應(yīng)用向量的夾角公式是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.

19、答案

(I)???D、E分別為AB、AC中點，

;.DE〃BC.?「DEa平面PBC,BCu平面PBC,

.?.DE〃平面PBC...........2分

(II)連結(jié)PD,vPA=PB,PD±AB.DE〃BC,BC±AB,

DE±AB.又,：PDRDE=D,AB_L平面PDE.「PEu平面PDE,

/.AB±PE............6分

(III)?.?平面PAB_L平面ABC,平面PABf］平面ABC=AB,PDJ_AB,

PD_L平面ABC..............7分

如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系

>

y

0),P(0,0,5,E(0,-.0),

2

.?.麗=(1,0,-6),PE=(0,-上).設(shè)平面PBE的法向量/=(x,y,z),

x-叢z=0,

-3「令Z=6得a=(32,6).平面PAB,?.?平面PAB的法向量為

-y-yJ3z=0,

%=(0,1,0).設(shè)二面角的A—PB—E大小為由圖知，cosO=cos〈"[,n2)=^.=-

所以。=60。，即二面角的A—PB—E的大小為60。.12分

20、答案:：求出|AB|,利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

詳解

*.*A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),

2222

二AB|=J(x-1)+(3-2x)+(3x-3)=^14X-32x+19(

.?.當(dāng)AB|取最小值時，x的值等于7.

8鹿

當(dāng)x=7時，|AB1有最小值17,

名師點評

本題考查空間距離的計算，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

21、答案(1)解法一：建立坐標(biāo)系如圖

(第19題圖)

平面BjBCC?的一個法向量為點=(0,1,0)

因為￡(2,1,2)C(0,2,0)，:.反=(-2,1-2),

可知直線EC的一個方向向量為.?.2=(-2,1,-2).

設(shè)直線EC與平面片8CG成角為。，2與彳所成角為°,則

%?d

sinO=|cosd

麗I3

故EC與平面B?BCC咸角大小為arcs嗎

解法二：Egl平面B|BCC1,即用。為EC在平面B|BCC1內(nèi)的射影,

故ZECB,為直線EC與平面B,BCC｝所成角，

EB

在RtAEBC中，EB1=1,片。=20■，故tan/ECg}1也

B.C-2V2彳

故EC與平面B|BCC?成角大小為arctan—

1'4

（2）解法一：建立坐標(biāo)系如圖.平面ABCD的一個法向量為*=（0,0,1）

設(shè)平面A"的一個法向量為后=（x,y,z）,因為而=（一2,1,0）,瓶=（0,1,2）

一2x+y=0

所以4令x=l,則y=2,z=—l=>%=(1,2,-1)

y+2z=0

-1V6

cos。=

雨71+4+16

由圖知二面角￡一A/一8為銳二面角，故其大小為arccos逅.

6

解法二：過￡作平面ABC的垂線，垂足為E',NEGE'即為所求

E'&AB,過E'作AE的垂線設(shè)垂足為G,AAObsAAGE

rz'rAn