2022-2023學(xué)年人教中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型分類(lèi)必刷題 08 切線(xiàn)的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型分類(lèi)(含詳解)

專(zhuān)題07切線(xiàn)的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型分類(lèi)-高分必刷題

專(zhuān)題簡(jiǎn)介：本份資料包含《切線(xiàn)的性質(zhì)與判定》這一節(jié)在沒(méi)涉及相似之前各名校?？嫉闹髁黝}型，具體包

含的題型有：切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、切線(xiàn)的判定這四類(lèi)題型；其中，重點(diǎn)是切線(xiàn)的判定這一大類(lèi)題型，

本資料把證明切線(xiàn)的判定方法歸納成四種類(lèi)型：第I類(lèi)：用等量代換證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°：第II

類(lèi)：用平行+垂直證半徑與直線(xiàn)的夾角等于9。。；第III類(lèi)：用全等證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90"；第IV

類(lèi)：沒(méi)標(biāo)出切點(diǎn)時(shí)，證圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑。本份資料所選題目均出自各名校初三試題，很適合培

訓(xùn)學(xué)校的老師給學(xué)生作切線(xiàn)的專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)使用，也適合于想在切線(xiàn)的性質(zhì)與判定上有系統(tǒng)提升的學(xué)生自主

刷題使用。

切線(xiàn)的性質(zhì)：告訴相切，立即連接圓心與切點(diǎn)，得到半徑與切線(xiàn)的夾角等于90。。

1.如圖，是。0的切線(xiàn)，點(diǎn)B為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)C,連接BC.若NA=26°,則

NC的度數(shù)為()

題圖)

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸在第一象限，。尸與x軸相切于點(diǎn)Q,與y軸交于M(0,2),

N(0,8)兩點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()

A.(5,3)B.(3,5)C.(5,4)D.(4,5)

3.(長(zhǎng)郡)如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,。為直角邊8c上一點(diǎn)，以。為圓心，0c為半徑的圓恰好與

斜邊AB相切于點(diǎn)。，與BC交于另一點(diǎn)E.

(1)求證：

(2)若BE=1,BD=3,求。。的半徑及圖中陰影部分的面積S.

B

C4.(師大)如圖，在RtZ\ABC中，NABC=90°,斜邊AC的垂直平分線(xiàn)

DE交BC于點(diǎn)、D,交AC于點(diǎn)E,連接BE,經(jīng)過(guò)C、D、E三點(diǎn)作。0,

(1)求證：是。。的直徑;

（2）若BE是。。的切線(xiàn)，求NAC8的度數(shù);

5.如圖，PA,P8分別切。。于點(diǎn)A,B,0P交。。于點(diǎn)C,連接A8,下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（)

Z1=Z2B.PA=PBC.ABLOPD.OP=20A

6.（長(zhǎng)郡）如圖，PA.PB切。。于點(diǎn)A、B,雨=10,CQ切OO于點(diǎn)￡交布、PB于C、。兩點(diǎn)，則4

（第6題圖）

7.如圖，四邊形A8CO是。0的外切四邊形，且A8=I0,CD=12,則四邊形ABC。的周長(zhǎng)為（）

A.44B.42C.46D.47

8.(青竹湖)如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,NB=90°,以48為直徑作。0,恰與另一腰8相切

于點(diǎn)E,連接。￡＞、0C,BE.

(1)求證：0D〃BE；

(2)若梯形A8C￡＞的面積是48,設(shè)0D=x,0C=y,且x+y=14,求8的長(zhǎng).

9.兩直角邊長(zhǎng)分別為6a"、的直角三角形外接圓半徑是cm.

10.已知，RtZ\4BC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,則三角形內(nèi)切圓的半徑為.

11.在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=6,ZUBC的內(nèi)切圓半徑為1,則△ABC的周長(zhǎng)為()

A.13B.14C.15D.16

12.(雅禮)已知三角形三邊分別為3、4、5,則該三角形內(nèi)心與外心之間的距離為.

13.(長(zhǎng)沙中考)如圖，在△ABC中，AO是邊8c上的中線(xiàn)，ZBAD=ACAD,CE//AD,CE交BA的延

長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,BC=8,AD=3.

(1)求CE的長(zhǎng);

(2)求證：aABC為等腰三角形.

(3)求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心。之間的距離.

AC為矩形對(duì)角線(xiàn),DGLAC

于點(diǎn)G,延長(zhǎng)OG交回于點(diǎn)E,已知AD=6,8=8。(1)求/IE的長(zhǎng);

(2)NACZ)的角平分線(xiàn)CF交AO于點(diǎn)F,求tan/ZXT的值;

(3)若。、。2分別是△AOG、/XOCG的內(nèi)心，求。1、O,兩點(diǎn)間的距離.

切線(xiàn)的判定：①有切點(diǎn)，用幾何方法：證半徑與直線(xiàn)的夾

角等于90°(含三小類(lèi));

②無(wú)切點(diǎn)，用代數(shù)方法：證圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑。

第I類(lèi)：用等量代換證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°

15.(長(zhǎng)郡)已知：如圖，在△ABC中，。是AB邊上一點(diǎn)，圓O過(guò)。、B、C三點(diǎn)，ZDOC-=2ZACD=

90°.

(1)求證：直線(xiàn)AC是圓。的切線(xiàn)；

(2)如果乙4cB=75°,圓。的半徑為2,求的長(zhǎng).

(青竹湖)已知如圖，以RtAABC的AC邊為直徑作。。交斜邊AB于點(diǎn)E,連接

EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，連接EF.(1)求證：￡尸是。。的切線(xiàn);

(2)若。。的半徑為3,ZEAC=60°,求的長(zhǎng).

。。為AABC的外接圓，。為。。與A3的交

點(diǎn)，E為線(xiàn)段OC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且ZEAC=ZABC.

(1)求證：直線(xiàn)AE是。。的切線(xiàn).

(2)若。為的中點(diǎn)，CD=6,AB=16.

①求0。的半徑；

②求AABC的內(nèi)心到點(diǎn)。的距離.

E

第II類(lèi)：用平行+垂直證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°

18.(青竹湖)如圖，ZVIBC內(nèi)接于CA^CB,C￡>〃AB且與04的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)ZX

(1)判斷CQ與。。的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;

(2)若NACB=120°,0A=2.求CD的長(zhǎng).DC

19.(南雅)如圖，點(diǎn)8、C、。都在。。上，過(guò)點(diǎn)C作AC〃BO交0B延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)A,連接CD,且NCDB

=/08。=30°,BD=6?m.

(1)求證：AC是。。的切線(xiàn).

(2)求。0的半徑長(zhǎng).

(3)求由弦C。、8。與弧8C所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留7T).

20.(北雅)如圖，在RtZxABC中，ZC=90°,/BAC的角平分線(xiàn)A。交BC邊

于。.以48上某一點(diǎn)。為圓心作。。，使OO經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)￡>.

(1)判斷直線(xiàn)BC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若4c=3,ZB=30°,①求的半徑；

②設(shè)與48邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求線(xiàn)段80、BE與劣弧OE所圍成的陰影部分的圖形面積.(結(jié)果

保留根號(hào)和n)

Bl\.如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的。。上，BO平分NABC交。。于點(diǎn)。,

過(guò)。作8c的垂線(xiàn)，垂足為￡

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求8。的長(zhǎng);

(3)請(qǐng)用線(xiàn)段AB、BE表示CE的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.

第III類(lèi)：用全等證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°

22.如圖，在ABCE中，點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn)，以AB為直徑的。。與CE相切于點(diǎn)。，AO〃OC,點(diǎn)尸為

OC與的交點(diǎn)，連接4F.

(1)求證：CB是。。的切線(xiàn)；

(2)若NECB=60°,AB=6,求圖中陰影部分的面積.

23.如圖，已知AB為。。的直徑，AD,8。是。0的弦，BC是。0的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B,OC//AD,BA,

的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.

(1)求證：OC是OO的切線(xiàn);

(2)若。0半徑為4,ZOCE=30°,求△OCE的面積.

(長(zhǎng)郡)如圖，A3是。O的直徑，點(diǎn)尸在。。上，且B4=P8,點(diǎn)M是

。。外一點(diǎn)，MB與。。相切于點(diǎn)B,連接OM,過(guò)點(diǎn)A作AC〃OM交。。于點(diǎn)C,連接8c交OM于

點(diǎn)D.

(1)求證：OO=L1C；

2

(2)求證：MC是OO的切線(xiàn)；

(3)若ML>=8,BC=12,連接尸C,求尸C的長(zhǎng).

第IV類(lèi)：用代數(shù)方法：證圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑

25.(長(zhǎng)郡)如圖，△ABC中，ZACB=90°,NBAC的平分線(xiàn)交8C于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半

徑作圓.

(1)求證：他是。。的切線(xiàn)；

(2)若/C4O=30。，OC=4,求陰影部分面積.

26.(青竹湖)如圖，已知PC平分NMPM點(diǎn)0是PC上任意一點(diǎn)，以

點(diǎn)0為圓心作圓交PC于A,B兩點(diǎn),與。。相切于點(diǎn)E.

(I)求證：PN與。。相切；

(2)如果/MPC=30。，PE=2y/3,求劣弧BE的長(zhǎng).

27.(廣益)如圖1,已知。。與aABC的邊8C、AC分別相切于點(diǎn)。、

E,80是N4BC的平分線(xiàn)，與。。相交于點(diǎn)G.

(1)求證：直線(xiàn)4B是的切線(xiàn);

(2)已知。。的半徑為2,如圖2,點(diǎn)F是A8與。。的切點(diǎn)，連接OF、FG、DG,若OF//DG.

①求證：四邊形OFGO是菱形;

②求陰影部分的面積.圖1圖2

專(zhuān)題07切線(xiàn)的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型分類(lèi)-高分必刷題

專(zhuān)題簡(jiǎn)介：本份資料包含《切線(xiàn)的性質(zhì)與判定》這一節(jié)在沒(méi)涉及相似之前各名校常考的主流題型，具體包

含的題型有：切線(xiàn)的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、切線(xiàn)的判定這四類(lèi)題型；其中，重點(diǎn)是切線(xiàn)的判定這一大類(lèi)題型，

本資料把證明切線(xiàn)的判定方法歸納成四種類(lèi)型：第I類(lèi)：用等量代換證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°：第II

類(lèi)：用平行+垂直證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90"；第III類(lèi)：用全等證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90"；第IV

類(lèi)：沒(méi)標(biāo)出切點(diǎn)時(shí)，證圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑。本份資料所選題目均出自各名校初三試題，很適合培

訓(xùn)學(xué)校的老師給學(xué)生作切線(xiàn)的專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)使用，也適合于想在切線(xiàn)的性質(zhì)與判定上有系統(tǒng)提升的學(xué)生自主

刷題使用。

切線(xiàn)的性質(zhì)：告訴相切，立即連接圓心與切點(diǎn)，得到半徑與切線(xiàn)的夾角等于90。。

1.如圖，AB是。0的切線(xiàn)，點(diǎn)8為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)C,連接BC.若NA=26°,則/

C的度數(shù)為（）

B.32°C.52°D.64°

【解答】解:連接08,TAB是。。的切線(xiàn)，..,.NA8O=9（T,；NA=26°,

.../4。8=90°-26°=64°,由圓周角定理得，NC=-1/AO8=32°,

2

故選：B.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，0P與x軸相切于點(diǎn)。，與y軸交于M（0,2）,N（0,

(5,3)B.(3,5)C.(5,4)D.(4,5)

軸相切于點(diǎn)Q，與y軸交于M（0,2）,N（0,

8)兩點(diǎn)，：.OM=2,NO=8,:.NM=6,'：PDLNM,：.DM^3：.OD^5,/.OQ1=OM'ON=2X^^]6,

OQ=4.：.PD^4,PQ=O￡>=3+2=5.即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,5).

故選：D.

3.（長(zhǎng)郡）如圖，Rt^ABC中，NC=90°,。為直角邊BC上一點(diǎn)，以。為圓心，0c為半徑的圓恰好與

斜邊AB相切于點(diǎn)。，與BC交于另一點(diǎn)E.

(1)求證：ZVIOC會(huì)△AOQ；

(2)若BE=1,BD=3,求。。的半徑及圖中陰影部分的面積S.

【解答】(1)證明：:AB切。。于O,：.OD±AB,：RtZ\ABC中，NC=

90°,

在RtZ\AOC和RtZ\A。。中，J0C=0D.*.RtAAOC^RtA71C?DCHL).

IAO=AO

(2)解：設(shè)半徑為r,在Rt/XODB中，a+3?=(r+1)2,解得，-=4；

由(1)有AC=AD,AB=AD+DB^AC+DB^AC+3,BC=BE+2r=1+8=9,

在直角三角形A8C中，根據(jù)勾股定理得：AC2+92=(AC+3)2,解得AC=12,

.?.S=Lc?8C-%”=工義12X9-AnX42=54-8Tt.

2222

4.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,斜邊AC的垂直平分線(xiàn)。E交BC于點(diǎn)￡),交AC于點(diǎn)E,連接

BE,經(jīng)過(guò)C、D、E三點(diǎn)作。0,

(1)求證：C。是。。的直徑；

(2)若BE是。0的切線(xiàn)，求NACB的度數(shù)；

(3)當(dāng)AB=2j§,BC=6時(shí)，求圖中陰影部分的面積.

【解答】(1)證明：..FC的垂直平分線(xiàn)是?！?，/(;9二鄉(xiāng)。。，...C。是

。0的直徑；

(2)解:連接OE,VOE=OC,:.NC=NOEC,：若8E是。。的切線(xiàn)，：.BE±OE,

ZBED+ZDEO=ZDEO+ZO￡C=90°,:.NBED=/OEC,是RtZ\A8C斜邊中線(xiàn)，:.BE=EC,

：.NEBC=NC=NOEC,在△BEC中，ZEBC+ZC+ZOEC+ZB￡O=180°,AZC=30°.(3)解：：

A8=2?,BC=6,，tanC=2Zl,ZC=30°,4C=2AB=4?,:.EC=2?,：cos/C=絲，

3CD

/.cos3002M:.CD=4,.?.OC=JLCO=2,?.*/C=/CEO=30°,/.ZCOE-120°,扇形OEC

CD,2

2

的面積為120T乂2=￡,作o凡LEG垂足是廣，?../C=3O°,.,.OF=_1OC=1,.,.△OCE的面積

36032

為」X2?X1=?,即陰影部分的面積為芻r-

23

切線(xiàn)長(zhǎng)定理:

5.如圖，PA,PB分別切00于點(diǎn)A,B,。尸交于點(diǎn)C,連接AB,下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（)

A.Nl=/2B.PA=PBC.ABLOPD.OP=2OA

【解答】解：由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得：Z1-Z2,PA=PB,從而AB_LOP.因此A.B.C都正確.

無(wú)法得出=可知：。是錯(cuò)誤的.綜上可知：只有。是錯(cuò)誤的.

故選：D.

6.（長(zhǎng)郡）如圖，PA.切00于點(diǎn)A、B,%=10,8切00于點(diǎn)E,交必、PB于C、D兩點(diǎn)，則4

PCC的周長(zhǎng)是（）

【解答】解：????1、P8切。。于點(diǎn)A、B,C。切。。于點(diǎn)E,...附=PB

1(),CA=CE,DE=DB,

二△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20.

故選：C.7.如圖，四邊形ABC。是00的外切四邊形，且AB=10,CZ）=12,則四邊形ABC。的周長(zhǎng)為

()

A.44B.42C.46D.47

【解答】解：...四邊形A6CQ是。。的外切四邊形，.?.AO+BC=AB+CO=22,

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AD+8C+A8+CD=44,

故選：A.

D

.(青竹湖)如圖，在梯形4BCO中，AD//BC,NB=90°,以48為直徑作。0,恰

與另一腰CD相切于點(diǎn)E，連接。。、OC、BE.

(1)求證：0D〃BE；

(2)若梯形A8CD的面積是48,設(shè)OD=x,OC=y,且x+y=14,求CD的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：如圖，連接?！?

0A=ClE.,.RtAOAD

0D=0D

絲RtZXOEQ(HL)

；.NAOD=NEOD=1/AOE,在。0中，ZABE^^ZAOE,：.ZAOD^ZABE,

22

OD//BE(同位角相等，兩直線(xiàn)平行).

(2)解：與(1)同理可證：RtACOE^RtACOB,:.NCOE=NCOB=L/BOE,,:NDOE+NCOE

2

=90°,是直角三角形，S^DEO—SADAO,SAOCE=S&COB,-'.s^ftiAHCD=2(.S^DOE+SACOE)

=2SACW=OUOD=48,即孫=48,又：x+y=14,，/+/=(x+y)2-2xy=142-2X48=100,

在Rt^COD中，C￡)={oc2+QD2={x2+y2=^/7^=I。，，CD=10.

內(nèi)切圓與外接圓半徑問(wèn)題

9.兩直角邊長(zhǎng)分別為6c〃?、8cm的直角三角形外接圓半徑是cm.

【解答】解：；直角邊長(zhǎng)分別為6cm和8a",.?.斜邊是10a”，.?.這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑為5?！?

故答案為：5.

10.已知，RtA^ABC中，ZC=90°,4c=6,AB=10,則三角形內(nèi)切圓的半徑為

【解答】解：???/C=90°,AC=6,AB=10,A-AC2=V102-62=8,

...△A8C的內(nèi)切圓半徑/=6+8-10=2.故答案是：2.

2

11.在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=6,△A8C的內(nèi)切圓半徑為1,則△4BC的周長(zhǎng)為（）

A.13B.14C.15D.16

【解答】解：根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑公式，得』（AC+BC-AB）=1,；.AC+BC=8.

則三角形的周長(zhǎng)=8+6=14.

故選：B.

12.（雅禮）已知三角形三邊分別為3、4、5,則該三角形內(nèi)心與外心之間的距離為.

【解答】解：,??三角形三邊分別為3、4、5,.?.三角形是直角三角形，如圖，設(shè)RtZ\ABC,/C=90°,

AC=3,BC=4,AB=5,如圖，設(shè)Rt/XABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則OD=OE=r,VZC=90°,；.CE=CD=r,

AE=AN=3-r,BD=BN=4-r,Z.4-r+3-r=5,解得r=l,，AN=2,在RtZ\OMN中，MN=AM-AN=-,

2

：.0M=旦,則該三角形內(nèi)心與外心之間的距離為好.

22

EX13.（長(zhǎng)沙中考）如圖，在△A8C中，AO是邊BC上的中線(xiàn)，ZBAD=ZCAD,CE//AD,

CE交84的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,BC=8,AO=3.

（1）求CE的長(zhǎng)；（2）求證：△ABC為等腰三角形.

（3）求aABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

【解答】（1）解：是邊8c上的中線(xiàn)，.,.BDuCD,

為△BCE的中位線(xiàn)，

.?.CE=24D=6；

（2）證明：'：CE//AD,:.NBAD=NE,ZCAD^ZACE,而NBAO=NCA。，/ACE=/E,

：.AE=AC,[IffAB=AE,：.AB=AC,為等腰三角形.

（3）如圖，連接8P、BQ、CQ,在RtZsABZ）中，AB-=J^2^2^5,設(shè)。尸的半徑為R,。。的半徑為r,

在中，（R-3）2+42=W,解得R=空，：.PD=PA-AD=2^.-3=-L,

666

*.*SMBQ+S/XBCQ+SMCQ=S/XABC,A?/-5+A*8+/-5=A*3?8,解得r=2,EPQD=—,

222233

PQ=PD+QD=l.+^-=^-.

632

答：△48C的外接圓圓心尸與內(nèi)切圓圓心。之間的距離為

14.(青竹湖)如圖，在矩形ABC。中，AC為矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)，￡)GJ_AC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)0G交他

于點(diǎn)E,已知AQ=6,8=8。

(1)求AE的長(zhǎng)；

(2)若。1、。2分別是△ADG、Z^DCG的內(nèi)心，求0「0?兩點(diǎn)間的距離.

Aaa。

【解答】(1);ZADG=ZACD/.tanZ.ADE=tanZACD=—二二AE=AF-tanZ.ADE=6?—=—

8442

「八人「1824么3224Q

(2)q=G+干”『二—6=6,rCG+GD-CD行+了一］,連接GQ,G02,VO,,

2_2―W牲―2_2-5

O,分別為△A￡?G、△DCG的內(nèi)心，AZOtGO2=90°,GO,=|^2,G<92=-V2,

002=JGO；+GO；=2V2.

切線(xiàn)的判定：①有切點(diǎn)，用幾何方法：證半徑與直線(xiàn)的夾角等

于90。（含三小類(lèi)）；

②無(wú)切點(diǎn)，用代數(shù)方法：證圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑。

第I類(lèi)：用等量代換證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°

15.（長(zhǎng)郡）己知：如圖，在△ABC中，。是AB邊上一點(diǎn)，圓。過(guò)。、B、C三點(diǎn)，ZDOC=2ZACD=

90°.

（1）求證：直線(xiàn)AC是圓。的切線(xiàn)；

（2）如果/ACB=75°,圓。的半徑為2,求8。的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：'：OD=OC,NOOC=90°,

：.ZODC=ZOCD=45°.'：ZDOC=2ZAC￡>=90°,

/.ZACD=45°.：.ZACD+ZOCD=ZOCA=90°.,點(diǎn)C在圓。上，，直線(xiàn)AC是圓。的切線(xiàn).(2)

解：方法1：'：OD=OC=2,ZDOC=90°,:.CD=2?.VZACB=75°,NACO=45°,

ZBCD=30Q,作OE_LBC于點(diǎn)E,則N￡>EC=90°,：.DE=DCsm30°=血.；/B=45°,

：.DB=2.

方法2：連接8。：/AC2=75°,ZACD=45°,AZBCD=30°,：.ZBOD^60Q；OD=OB=2

...△80力是等邊三角形；.8￡>=0。=2.

16.（青竹湖）己知如圖，以RtZ^ABC的AC邊為直徑作。0交斜邊4B于點(diǎn)E,連接EO并延長(zhǎng)交BC的

延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF.

（1）求證：EF是。。的切線(xiàn);

（2）若00的半徑為3,/E4C=60°,求AO的長(zhǎng).

【解答】證明：（1）如圖1,連接FO,TF為BC的中點(diǎn)，AO=

CO,：.OF//AB,

是。。的直徑，：.CE±AE,'：OF//AB,：.OFLCE,二。尸所在直線(xiàn)垂直平分CE,：.FC=FE,OE

=OC,；.NFEC=NFCE,ZOEC=ZOCE,VZACB=90°,即：NOCE+NFCE=9Q°,AZOEC+Z

FEC=90：即：NFEO=90°,為。。的切線(xiàn)；

(2)如圖2,：。0的半徑為3,，AO=CO=EO=3,；/EAC=60°,OA=OE,：.ZEOA^60°,

二/COO=/EtM=60°,;在RtZ\OC力中，ZCOD=60°,OC=3,：.CD^373.V^ERtAACD

中，ZACD=90°,CD=3>/3，AC=6,：.AD=35/7.

上圖1圖217.（周南）如圖，。0為△ABC的外接圓，。為0c與

A8的交點(diǎn)，E為線(xiàn)段OC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且NE4c=N4BC.

（1）求證：直線(xiàn)AE是。。的切線(xiàn).

（2）若。為A3的中點(diǎn)，C￡>=6,A3=16.①求。。的半徑；

②求AABC的內(nèi)心到點(diǎn)0的距離.

【解答】證明：（I）連接AO,并延長(zhǎng)AO交0O于點(diǎn)尸，連接CF

.AF是直徑，.-.ZACF=90°,

:.ZF+ZFAC=90°,?.,NF=ZABC,ZABC=ZEAC,;.NEAC=NF,

.-.ZEAC+ZFAC=90°,.\ZEAF=9Q°,且AO是半徑，二直線(xiàn)AE是G)O的切線(xiàn).

(2)①如圖，連接AO,為他的中點(diǎn)，8過(guò)圓心，:.ODA.AB,AD=BD=-AB=4^

2

7575

AO1=AD1+DO2,AO2=16+(AO-CD)2,..AO=3二O。的半徑為三

66

②如圖，作NC4B的平分線(xiàn)交8于點(diǎn)H,連接3”,過(guò)點(diǎn)”作HM_LAC,HN工BC,

-.-ODLAB,AD=BD:.AC=BC,且4)=3。..CD平分NACB,且4/平分NC4B,

..點(diǎn)H是A43c的內(nèi)心，且MW_LAC,HN1.BC，HD1.AB:.MH=NH=DH,

22

在RtAACD中，AC=VAD+CD=5=BC,-：S^.BC=1cH+S^BH+^&BCH,

-xSx3=-x5xMH+-x8xDH+-x5xNH,DH=-,-/OH=CO-CH=CO-(CD-DH)

22223

第II類(lèi)：用平行+垂直證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°

18.（青竹湖）如圖，AABC內(nèi)接于。0,CA^CB,CD//AB且與OA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D.

（1）判斷C。與。0的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;

(2)若/ACB=120°OA2.

【解答】解：（1）C￡>與OO相切.理由如下：如圖，連接OC,：CA=C5,；.AC=CB

AOCA.AB,'.'CD//AB,：.OC±CD,：0C是半徑，二8與。。相切.

（2）：C4=CB,ZACB=120°,/.ZABC=30°,：.ZDOC=f>Oa二/。=30°,

/.oc=AooOA^OC^2,；.OO=4,二。。=而衣^^=2相

19.（南雅）如圖，點(diǎn)8、C、。都在。0上，過(guò)點(diǎn)C作AC〃BO交。8延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)4,連接C。，且NCDB

=NOBD=30°,BD=6^m.

（1）求證：AC是。。的切線(xiàn).

（2）求。0的半徑長(zhǎng).

（3）求由弦C。、BO與弧8c所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留TT）.

【解答】（1）證明：連接CO.'：ZCDB=ZOBD=30a,，N8OC=60°,

NOHB=9G°.

■：AC//BD,ZACO=ZOHB=90°.；.AC為。0切線(xiàn).

解：(2)；/ACO=90°,AC//BD,/BEO=/ACO=90°"E=BE=/BD=3正.

在RtZXBE。中，sin/O=sin60°=理，返亞巨.：.OB=6.

OB2OB

即。。的半徑長(zhǎng)為6cm.

(3):NCDB=NOBD=30°,又,：NCED=NBEO,BE=ED,：.ACDE冬AOBE.

.60兀X62/2、

??$陰=5扇詆=;而一=6幾（6）

答：陰影部分的面枳為6nc“2.

20.（北雅）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,NBAC的角平分線(xiàn)AQ交BC邊于。.以A8上某一點(diǎn)。

為圓心作O。，使OO經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D.

(1)判斷直線(xiàn)BC與。0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)若AC=3,NB=30°.

①求。。的半徑;

②設(shè)。。與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求線(xiàn)段B。、8E與劣弧OE所圍成的陰影部分的圖形面積.(結(jié)果

保留根號(hào)和71)

【解答】解：(1)直線(xiàn)BC與。。相切;

連接。。，'：OA=OD,：.ZOAD=ZODA,

的角平分線(xiàn)交BC邊于。，ZCAD=ZOAD,：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,：.ZODB=ZC=90a,BPODLBC.又：直線(xiàn)CC過(guò)半徑0。的外端,

...直線(xiàn)8c與。。相切.

(2)設(shè)OA=OO=r,在中，ZB=30°,：.0B=2r,在RtZVICB中，ZB=30°,

：.AB=2AC=6,；.3r=6,解得r=2.

⑶在RtZXACS中，NB=30。,.../8。。=60。?，S扇形，冗.

00UO

?.?/8=30°,OD1.BC,：.OB^2OD,：.AB^3OD,：AB=24C=6,：.0D=2,8￡>=2?

S^BOD=—X。伊皿=2遙，所求圖形面積為sAB0D-S扇形ODE=2E4加

乙O

21.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。0上，80平分/A8C交。。于點(diǎn)力，過(guò)。作8C的垂線(xiàn)，垂足為

E.

(1)求證：QE與。0相切；

(2)若AB=5,BE=4,求的長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)用線(xiàn)段A&BE表示CE的長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.V一,

【解答】(1)證明：連接0C,：OD=OB,:.NODB=NOBD,平分NABC,：.NOBD=NCBD,

：.ZODB=ZCBD,：.0D//BE,'：BE1.DE,：.ODLDE,與。0相切；

(2)解：是。。的直徑，.,.NA￡)B=90°，,:BELDE,；.NADB=NBED=90°,平分NA8C,

:.NOBD=NCBD,：.AAHD^^DBE,A5=BD):.BD=2疾;

BDBEBD4

(3)解：結(jié)論CE=A8-8E,理由：過(guò)。作。，_LA8于H,；8。平分NA8C,DELBE,

：.DH=DE,在RtZXBEO與RtZXBHO中，1DE=DH,.?.為△BE。絲RtZ\B4￡>(aZJ,

BD=BD

：.BH=BE,'：ZDCE+ZBCD=ZA+ZBCD=\^0°,：.ZDCE=ZA,"：ZDHA=ZDEC=WO,

：./\ADH^/^CDE(A4S),:.AH=CE,,：AB=AH+BH,：.AB^BE+CE,：.CE=AB-BE.

第川類(lèi)：用全等證半徑與直線(xiàn)的夾角等于90°

22.如圖，在ABCE中，點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn)，以48為直徑的。。與CE相切于點(diǎn)。，AZ)〃OC,點(diǎn)F為

0C與。。的交點(diǎn)，連接4尺

(1)求證：CB是。。的切線(xiàn)；

(2)若/ECB=60°,AB=6,求圖中陰影部分的面積.

、___/【解答】(1)證明：連接0￡>,與AF相交于點(diǎn)G,；CE與。0相切于點(diǎn)

：.0D±CE,：.ZCDO=90Q,'：AD//0C,：.ZADO=ZDOC,ZDAO=ZBOC,"：OA=OD,：.AADO

'co=co

=NDA0,：.ZDOC=ZBOC,在△COO和△C8。中，，ZD0C=ZB0C-:.△CDgXCBO,：.ZCBO

0D=0B

=NCOO=90°,

是。。的切線(xiàn).

(2)VZECB=60o,CD,C8是。。的切線(xiàn)，：.ZOCB=ZOCD=30°,：NCOO=NCBO=90°,

：.ZDOC=ZBOC=6Q°,AZE0D=ZD0C=ZCOB=60°,AZDCO=ZBCO=Az￡CB=30°,

2

:.NDOC=NBOC=60°,：.ZDOA=60°,,：OA=OD,，△OA。是等邊三角形，：.AD=OD=OF,：

'/G0F=NADG

ZGOF=AADO,在△AQG和△FOG中，<NFGO=NAGD，；?△AOG也△尸。G,：.S^ADG=S^FOG,

AD=OF

2

60TC3

-：AB=6,二。。的半徑r=3,：.Sm=SOPf^*=2TT.

3602

—23.如圖，已知AB為。。的直徑，AD,8。是。0的弦，8c是。。的切線(xiàn),

切點(diǎn)為8,OC//AD,BA,CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.

(1)求證：DC是。。的切線(xiàn)；

(2)若OO半徑為4,NOCE=30°,求△OCE的面積.

----J，【解答】(1)證明：連接DO,如圖

,'.'AD//OC,：.ZDAO=ZCOB,Z

ADO=ZCOD,又；。4=04，

fOD=OB

AZDAO=ZADO,：.ZCOD=ZCOB.在△C。。和△C08中.NCOD=NCOB二△COg△COB(SAS),

oc=oc

：.ZCDO=ZCBO.：8C是。。的切線(xiàn)，：.ZCBO=90°,：.ZCDO=90°,：.OD±CE,又,點(diǎn)。在

O。上，；.C。是。0的切線(xiàn)；

(2)解：由(1)可知NOCB=NOCQ=30°,：.ZDCB=60°，又BCLBE,.,.Z￡=30°,在RtZXOCE

中，；tan/E=毀，:.DE=————=4?,同理。)O=4?,

DEtan300

???S/CE=L?OD?CE=AX4X8?=16y.

22

n.

24.(長(zhǎng)郡)如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)P在。。上，且辦=尸8,點(diǎn)M是

。。外一點(diǎn)，M8與。。相切于點(diǎn)B,連接。M，過(guò)點(diǎn)A作AC〃OM交。。于點(diǎn)C,連接8c交0M于

點(diǎn)D.

(1)求證：OD=LC；

2

(2)求證:MC是。。的切線(xiàn);

(3)若M￡>=8,BC=\2,連接PC,求PC的長(zhǎng).

-V【解答】解：(1)?.YC〃。憶.?.△■BOOSABAC,.?.皎=%=工...OZ)=X4C.

ACAB22

(2)連接OC,'：AC//OM,.".ZOAC=ZBOM,NACO=NCOM,'：OA=OC,：.ZOAC=ZACO

fOC=OB

:.NBOM=/COM,在.?.△OCM與△oaw中，，ZBOM=ZCOM-.?.△OCM咨△O5M；又?；MB是OO

0I=0M

的切線(xiàn)，；.NOCA/=NO8M=90°,...MC是。。的切線(xiàn)；

(3)是0。的直徑，AC//OM,.*./AC8=NAPB=90°,ODA.BC,：.CD=BD^6,"：ZOCD+Z

MCO=NCMD+/M