11.18投影和直觀圖（沈麗紅）

1.1.3投影和直觀圖

一.中心投影和平行投影1.投影的概念

在不透明物體后面的屏幕上留下影子的現(xiàn)象叫做投影．其中，光線叫做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面．

投射線可自一點(diǎn)發(fā)出，也可是一束與投影面成一定角度的平行線，這樣就使投影法分為中心投影和平行投影

2.中心投影

光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，叫做中心投影．其投影線交于一點(diǎn)(投影中心)．特點(diǎn)：在中心投影中，如果改變物體與投射中心或投影面之間的距離、位置，則其投影的大小也隨之改變．

中心投影后的圖形與原圖形相比，雖然改變很多，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致，最象原來的物體．所以在繪畫時，經(jīng)常使用這種方法，但在立體幾何中很少用中心投影原理來畫圖．3.平行投影

如果將投影中心移到無窮遠(yuǎn)處，則所有的投影線都相互平行，這種投影線為平行線時的投影稱為平行投影．斜投影：投射線傾斜于投影面正投影：投射線垂直于投影面特點(diǎn)：在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個平面圖形的形狀和大小是完全相同的.

正投影能正確的表達(dá)物體的真實(shí)形狀和大小，作圖比較方便，在作圖中應(yīng)用最廣泛．斜投影在實(shí)際中用的比較少，其特點(diǎn)是直觀性強(qiáng)，但作圖比較麻煩，也不能反映物體的真實(shí)形狀，在作圖中只是作為一種輔助圖樣．S投影方向投影方向三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果

物體上某一點(diǎn)與其投影面上的投影點(diǎn)的連線是平行的，則為平行投影，如果聚于一點(diǎn)，則為中心投影．1．已知△ABC，選定的投影面與△ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得的三角形與△ABC(

)

A．全等 B．相似C．不相似 D．以上都不對B2．一條直線在平面上的平行投影是(

)A．直線 B．點(diǎn)

C．線段 D．直線或點(diǎn)D知識識記

中心投影與平行投影的應(yīng)用回顧：前面我們學(xué)習(xí)了哪些幾何體？問題：這些幾何體都是直觀圖，你知道它們是怎樣畫出來的嗎？探究1:水平放置的平面圖形的直觀圖畫法問題：閱讀教材16頁的例1，回答下列問題：（1）原圖中與直觀圖的坐標(biāo)系有何區(qū)別？（2）原圖中與x軸平行或重合的線段在直觀圖中是否依然和平行或重合？（3）原圖中與y軸平行或重合的線段的長度在直觀圖中是否改變？與y軸平行或重合的線段，長度減半ABODCEFMN二、直觀圖的畫法——斜二測畫法平行性和重合性不改變與x軸平行或重合的線段，長度不變斜二測畫法用斜二測畫法畫邊長為2cm的正三角形的直觀圖練習(xí)：A'B'C'關(guān)于水平放置的圓的直觀圖的畫法，常用正等測畫法．在實(shí)際畫水平放置的圓的直觀圖時，通常使用橢圓模版．說明：小結(jié)：平面圖形的斜二測畫法（1）建兩個坐標(biāo)系，注意斜坐標(biāo)系夾角為450或1350；（3）水平線段等長，豎直線段減半；（2）與坐標(biāo)軸平行或重合的線段保持平行或重合；簡言之：“橫不變，豎折半，平行性和重合性不改變。（4）整理.步驟：問題：如何畫出長,寬,高分別是4cm,3cm,2cm的長方體的直觀圖？探究2:空間幾何體的直觀圖畫法（1）畫軸：畫x軸、y軸、z軸，三軸交于一點(diǎn)O，使，。xzyO（2）畫底面：以O(shè)為中心，在x軸上取線段MN，使MN=4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ=(3/2)cm。分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面。OMNxyzPQABCD（3）畫側(cè)棱：過A,B,C,D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA'，BB'，CC'，DD'。OMNxyzPQABCDA’B’C’D’（4）成圖：順次連接A'，B'，C'，D'，并去掉輔助線和坐標(biāo)系，將被遮擋的部分改為虛線，即得到長方體的直觀圖。OMNxyzPQABCDA’B’C’D’ABCDA’C’D’（4）成圖：順次連接A'，B'，C'，D'，并去掉輔助線和坐標(biāo)系，將被遮擋的部分改為虛線，即得到長方體的直觀圖。小結(jié)：畫空間幾何體直觀圖的步驟：（1）畫軸：畫x軸、y軸、z軸，使∠xoy=450，∠xoz=900，把xoy所在平面視為水平面，xoz平面和yoz平面都是豎直面；（3）畫側(cè)棱：過下底面多變的頂點(diǎn)分別作z軸的平行線段，長度與幾何體中的相應(yīng)線段長度一樣；（2）畫底面：在xoy平面上用斜二測畫法作出幾何體的下底面；（4）成圖：連接側(cè)棱的上端點(diǎn)，去掉輔助線和坐標(biāo)系，并把遮擋的部分改為虛線。簡言之：先軸，后底，再側(cè)棱，橫豎不變，縱折半，平行、重合不改變。練習(xí):1.畫出棱長為2cm的正方體的直觀圖。ABDCA'B'D'C'y'x'O'A'C'（1）已知某圖形的直觀圖如圖,B'A'=B'C'=2,請畫出原圖，并計(jì)算原圖的面積。B'2.直觀圖中的計(jì)算問題（2）如圖，一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖是一個等腰梯形，它的底角為45°，兩腰和上底邊長均為1，求這個平面圖形的面積.ABCDABCD發(fā)現(xiàn)：斜二測畫法中，原圖形面積S與其直觀圖S’的關(guān)系：課堂小結(jié)投影中心投影（投射線交于一點(diǎn)