圖形的中點(diǎn)問題

2023中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5圖形的中點(diǎn)問題一.知識要點(diǎn)：線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個特殊點(diǎn)，與中點(diǎn)有關(guān)的問題很多，添加適當(dāng)?shù)妮o助線、恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)是處理中點(diǎn)問題的關(guān)鍵。涉及中點(diǎn)問題的幾何問題，一般常用以下定理或方法：(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;(2)三角形中位線定理；(3)等腰三角形三線合一的性質(zhì)；(4)倍長中線，構(gòu)造全等三角形〔或平行四邊形〕；(5)平行四邊形的性質(zhì)與判定.二.例題精選1、假設(shè)一點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)或等腰三形底邊的中點(diǎn)，那么常過中點(diǎn)作中線，應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半〞性質(zhì)或“等腰三角形三線合一〞的性質(zhì)。例1.如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE,M是AC的中點(diǎn)，求證：△DEM是等腰直角三角形.提示：連結(jié)BM,證明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,那么∠DME=,得ΔMDM為等腰直角三角形2、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常應(yīng)用“三角形的中位線定理〞,假設(shè)有一點(diǎn)是三角形一邊的中點(diǎn)或梯形一腰的中點(diǎn)，那么常過中點(diǎn)作中位線。

例2.如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線分別交MN的延長線于E、F．求證：∠DEN＝∠F．提示：連結(jié)AC，作AC中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG。那么MG=NG，MG∥BC，NG∥AD?！唷螹GN＝∠F,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM.

∴∠DEN＝∠F．3、假設(shè)有三角形的中線或過中點(diǎn)的線段，那么通常加倍延長中線或過中點(diǎn)的線段，以構(gòu)造兩個三角形全等。例3.：如圖2，AD為△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF提示：延長AD至G，使DG=AD，連結(jié)BG，那么ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF4、遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時，常聯(lián)想或構(gòu)造“X字型〞全等三角形.例4.如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別是2和3，且點(diǎn)B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連結(jié)MF，那么MF的長為．提示：延長AD、FM交于點(diǎn)H，那么AH=EF=3，DH=1=DF，∴FH=MF=5、有關(guān)面積的問題中遇到中點(diǎn)，常用“等底等高的兩個三角形面積相等〞的性質(zhì)。例5.如下圖，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G，那么=______________提示：連接BG，∵

E是線段AB的中點(diǎn)，∴

S△AEG=S△BEG=x，S△BGF=S△GCF=y，設(shè)AB=2a，BC=2b，=2a×2b=4ab，根據(jù)題意，得：2y+x=×BC×BE=ab，2x+y=×BA×BF=ab，∴

2x+y=2y+x，即x=y=，

∴

S四邊形AGCD=4ab-4x=

∴

等于，三.能力訓(xùn)練1.AD是△ABC的角平分線，AB＝10，AC＝6，CN⊥AD于N，且M是BC的中點(diǎn).那么MN的長為_________.2.順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)得四邊形MNPQ，給出以下6個命題：①假設(shè)所得四邊形MNPQ為矩形，那么原四邊形ABCD為菱形；②假設(shè)所得四邊形MNPQ為菱形，那么原四邊形ABCD為矩形；③假設(shè)所得四邊形MNPQ為矩形，那么AC⊥BD；④假設(shè)所得四邊形MNPQ為菱形，那么AC=BD；⑤假設(shè)所得四邊形MNPQ為矩形，那么∠BAD=90°；⑥假設(shè)所得四邊形MNPQ為菱形，那么AB=AD．以上命題中，正確的選項(xiàng)是()A．①②

B．③④

C．③④⑤⑥

D．①②③④.3.如圖，在△ABC中，DC=4，BC邊上的中線AD=2，AB+AC=3+，那么S△ABC等于()A．B．C．D．4.如圖，在□ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn),∠AEF=54°，那么∠B=.第3題5.ABC中，AB=7,AC=3,那么中線AD的取值范圍是______________6.如圖，ΔABC中，AB=5，AC=3，BC上的中線AD=2，求BC的長.7.如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G為垂足．求證：(1)G是CE的中點(diǎn)；(2)∠B=2∠BCE．8.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點(diǎn)．請判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程。9.如圖,在ΔABC中,

∠ABC=2∠C,AD⊥BC于D,E是AC中點(diǎn),ED的延長線與AB的延長線交于點(diǎn)F,求證:BF=BD10.如圖,

ΔABC中，角平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直,并且BE=4，AD=6,求AB的長四.思維拓展如圖，四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD交于F，且F是BD的中點(diǎn)，O是AC，BD的交點(diǎn)，AF=2EF，△AOD的面積是3cm2，求四邊形ABCD的面積．12.在圖1，圖2中，ABC和DEC都是等腰直角三角形。∠ACB=∠DCE=900，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1，點(diǎn)D,E分別在AC,BC的延長線上，求證：FGH是等腰直角三角形.(2)將圖1中的DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖2，F(xiàn)GH還是等腰直角三角形嗎？假設(shè)是,給出證明;假設(shè)不是請說明理由.13.如圖1.在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N,那么∠BME=∠CNE(提示：參見例2).問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF,分別交DC、AB于M、N，判斷OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論。問題二：如圖3，在ABC中，AC>AB,D點(diǎn)在AC上，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G,假設(shè)∠EFC=,連接GD,判斷AGD的形狀并證明.14.如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止，連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG?！?〕設(shè)AE=時，△EGF的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍；〔2〕P是MG的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動路線的長。15.如圖1，在等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，.〔1〕求點(diǎn)到的距離；〔2〕點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).①當(dāng)點(diǎn)在線段上時〔如圖2〕，的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不變，求出的周長；假設(shè)改變，請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時〔如圖3〕，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？假設(shè)存在，請求出所有滿足要求的的值；假設(shè)不存在，請說明理由.答案：1.22.B3.D4.72°

5.2<AD<56.延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE，∴AE=2AD=2×2=4.在ΔACD和ΔEBD中，

∵

AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，

∴

ΔACD≌ΔEBD.

∴

AC=BE，

∴BE=AC=3.

在ΔABE中，∵AE2+BE2=42+32=25=AB2，∴∠E=90°.

∴

BD===.∴

BC=2BD=27.(1)連接DE，那么在Rt△ABD中，DE是斜邊上的中線，

∴DE=BE=DC∵DG⊥EC∴G是CE的中點(diǎn)(2〕∵DE=BE

∴∠B=∠EDB,∠EDB=∠ECD+∠CED=2∠ECD∴∠B=2∠BCE8.延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G．∵E是AD中點(diǎn)，∴AE=ED，∵AB∥CD，∴∠CDE=∠GAE，∠DCE=∠AGE，∴△CED≌△GEA，∴CE=GE，AG=DC，∴GB=BC=3，∴EB⊥EC．9.

∵E是AC中點(diǎn),AD⊥BC∴DE=EC∴∠C=∠EDC=∠BDF∵∠ABC=2∠C=2∠BDF,

∴∠BDF=∠BFD,

∴BF=BD10.作DH//BE，交AC于點(diǎn)H，∴DH=1/2BE=2，∵BE平分∠ABC，AD⊥BE∴AF=FD=3∵BE//DH∴FE=1/2DH=1∴BF=3,AB=11.四邊形AFCD是平行四邊形，所以四邊形AFCD的面積是12cm2。三角形FCD的面積是6cm2?！逨是BD的中點(diǎn)，∴△FBC的面積=△DFC的面積=6cm2?！逧為BC中點(diǎn)，∴△BEF的面積=△BCF面積的一半=3cm2。又∵AF=2EF，∴△BFA的面積=△BEF的2倍=6cm2?！嗨倪呅蜛BCD面積=24cm212.〔1〕FH∥AD且FH＝AD/2，F(xiàn)G∥BE且FG＝BE/2

∴FG⊥FH且FG＝FH

∴△FGH是等腰直角三角形〔2〕連接AD、BE

易證得△ACD≌△BCE，∴AD⊥BE且AD＝BE，可知FH∥AD且FH＝AD/2，F(xiàn)G∥BE且FG＝BE/2

∴FG⊥FH且FG＝FH

∴△FGH是等腰直角三角形13.問題一：OM=ON問題二:△AGD是直角三角形．證明：如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，

∵F是AD的中點(diǎn)，∴HF∥AB，HF=AB/2，∴∠1=∠3．

同理，HE∥CD，HE=CD/2，

∴∠2=∠EFC．

∵AB=CD

∴HF=HE，∴∠1=∠2．

∵∠EFC=60°，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，

∴△AGF是等邊三角形．

∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．14、1