復(fù)變函數(shù)之美

復(fù)變之美摘要：首先回顧一下整體復(fù)變函數(shù)的框架，然后結(jié)合自己的認(rèn)識(shí)淺談一下復(fù)變之美。關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)之美簡(jiǎn)潔對(duì)稱技巧實(shí)用正文：經(jīng)過(guò)本學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)復(fù)變函數(shù)的基本思想和方法有了一定的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，自己水平有限，對(duì)相關(guān)知識(shí)并沒(méi)有完全掌握。下面就根據(jù)一些資料和掌握的知識(shí)，簡(jiǎn)要的描述我眼中復(fù)變函數(shù)之美。首先，簡(jiǎn)要地描述復(fù)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)，顧名思義，就是復(fù)數(shù)的函數(shù)，同實(shí)變函數(shù)一樣，都是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。這門課，連同大一學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)一樣，都是我們將來(lái)學(xué)習(xí)解決工程問(wèn)題的基礎(chǔ)工具。雖然現(xiàn)在，有很多知識(shí)，我們并不清楚它在實(shí)際問(wèn)題中有怎樣的應(yīng)用，可能是由于復(fù)變函數(shù)比較抽象，在實(shí)際的生活中找不到與之相對(duì)應(yīng)的模型，這也是其比較難學(xué)的原因之一吧。不過(guò)，談到復(fù)變之美，我想每一個(gè)學(xué)習(xí)復(fù)變的人都會(huì)有很深刻的理解。當(dāng)然，它也具有同實(shí)變函數(shù)一樣的嚴(yán)謹(jǐn)、縝密，除此之外，我覺(jué)得它更具有一種神秘感，一種貌似不存在的理論的美。復(fù)變函數(shù)以復(fù)數(shù)為中心進(jìn)行一系列討論和分析，而復(fù)數(shù)的獨(dú)特之處在于它的虛部，也就是虛數(shù)部分；之前對(duì)虛數(shù)域的認(rèn)識(shí)，完全在于一個(gè)虛字。而對(duì)于復(fù)變產(chǎn)生的意義，書中是這樣給出的：由于解代數(shù)方程的需要，人們引出了復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的出現(xiàn)，使得基本運(yùn)算中的開(kāi)方運(yùn)算不再存在無(wú)解情況，n此多項(xiàng)式也不再存在增根，這為人類在某些邏輯領(lǐng)域的運(yùn)算提供了幫助。復(fù)數(shù)的集合——復(fù)平面是一個(gè)二維平面，但卻并非我們所在的三維世界中的任何一個(gè)二維平面。可以說(shuō)復(fù)平面在現(xiàn)實(shí)世界中完全找不到具體的一一對(duì)應(yīng)，是一個(gè)純粹締造出來(lái)的二維平面，但是，復(fù)變的應(yīng)用卻十分普遍。它以其獨(dú)特的美感，震撼著我們。接下來(lái)，我想分幾個(gè)方面介紹復(fù)變之美：簡(jiǎn)潔之美：簡(jiǎn)潔性是數(shù)學(xué)美的特征之值，當(dāng)然復(fù)變函數(shù)也具有這種特征。這種簡(jiǎn)潔的理論表達(dá)形式最能給人以美的享受。一個(gè)如此復(fù)雜的理論體系居然可以用幾種簡(jiǎn)單的符號(hào)予以詮釋，這難道不是一種美嗎？如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)的定理，其理論結(jié)構(gòu)十分繁瑣和累贅，以致使人難以看下去，那么，即使這個(gè)理論能夠解決很多問(wèn)題，也難免使人厭煩，從而大為遜色。下面我就舉兩個(gè)例子吧：首先就說(shuō)一下復(fù)數(shù)的基本表示形式。大家見(jiàn)到復(fù)數(shù)的形式，一般有四種：代數(shù)形式、幾何形式、向量表示、三角形式、指數(shù)形式。本來(lái)復(fù)數(shù)是一個(gè)比較復(fù)雜的概念，需要引入虛部，在進(jìn)一步的對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行說(shuō)明。在描述一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)時(shí)整個(gè)過(guò)程不免會(huì)就會(huì)顯得繁瑣、啰嗦。于是，數(shù)學(xué)家就沿用實(shí)數(shù)的一些方法去描述復(fù)數(shù)，直接用四種不同的形式描述，即，a+ib（代數(shù)形式），op=（x，y），平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（x，y），Z（cosθ+isinθ），以及zeiθ。據(jù)此，復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)潔性是其基本特征之一。當(dāng)然，簡(jiǎn)潔性的表現(xiàn)可謂是俯拾皆是。再比如，由于復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中實(shí)變函數(shù)的一個(gè)拓展和延伸，在描述復(fù)變函數(shù)的一些性質(zhì)時(shí)，常常把其轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的實(shí)變函數(shù)問(wèn)題去解決。如復(fù)變函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)的概念及其判定。在復(fù)變函數(shù)中，對(duì)函數(shù)Z=U+iV，其連續(xù)的條件為：U（x，y）和V（x，y）在定義域D內(nèi)均連續(xù)。而可導(dǎo)的充要條件為：u(x,y)與v（x,y）在點(diǎn)（x,y）可微。這些都是用實(shí)變函數(shù)的性質(zhì)去描述復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)。它將復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)聯(lián)系在一起，使其成為一個(gè)整體，讓我們更簡(jiǎn)潔地、更好地理解學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)。還有一點(diǎn)體現(xiàn)就是，復(fù)變函數(shù)可以作為一個(gè)描述兩個(gè)變量的共同作用的效果。用他獨(dú)特的簡(jiǎn)約方式描述二維復(fù)平面的現(xiàn)象。復(fù)變函數(shù)是作為工程實(shí)踐中應(yīng)用廣泛的一門基礎(chǔ)科學(xué)，它的簡(jiǎn)潔性是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)的時(shí)候?qū)?jiǎn)潔性原則的肯定和追求。復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)明性使得它在應(yīng)用中獲得了很好的實(shí)用性，而且簡(jiǎn)明的表達(dá)使其便于記憶。當(dāng)然，數(shù)學(xué)在發(fā)展過(guò)程中累積下來(lái)的知識(shí)越來(lái)越多。人類需要把這些知識(shí)一代一代得傳下去，簡(jiǎn)潔和統(tǒng)一必然要成為數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要特征，所以我們也應(yīng)該重視復(fù)變函數(shù)的簡(jiǎn)潔和統(tǒng)一。對(duì)稱之美：對(duì)稱，無(wú)論是在藝術(shù)還是科學(xué)中，他都是一種美學(xué)思想。復(fù)變函數(shù)，或者說(shuō)數(shù)學(xué)也不例外。它是復(fù)變以至數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的重要美學(xué)因素。在復(fù)變函數(shù)中，這種對(duì)稱之美不僅表現(xiàn)在單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)上，也表現(xiàn)在各個(gè)知識(shí)面的對(duì)應(yīng)之中。首先對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算：（a+ib）*（c+id）=（c+id）*（a+ib）這和古代文學(xué)作品中的回文現(xiàn)象很相似，單個(gè)的知識(shí)點(diǎn)的對(duì)稱形式還有很多，如對(duì)于指數(shù)形式表達(dá)的復(fù)數(shù)zeiθ，其圖形是以θ=2π為周期的函數(shù)，在這里就不再贅述。對(duì)于，整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱，是數(shù)學(xué)的一大特色。就像在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的過(guò)程中，常常把高等數(shù)學(xué)的知識(shí)與復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。復(fù)變函數(shù)好比兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)。至于連續(xù)性和極限，只是相當(dāng)于二元的實(shí)變函數(shù)，較之一元函數(shù)條件苛刻的多。復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分定義與實(shí)變函數(shù)一致，但是前者多了一個(gè)要求，即對(duì)極限式要求是與△z→0的路徑和方式無(wú)關(guān)。復(fù)變函數(shù)在這里又有了新的概念，就是解析函數(shù)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)即u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)（x,y）處可微，且滿足柯西-黎曼方程：du/dx=dv/dy,du/dy=-dv/dx.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算也與實(shí)變函數(shù)大致相同，不過(guò)指數(shù)函數(shù)（e^z=expz=e^z(cosy+isiny)）和對(duì)數(shù)函數(shù)(Lnz=ln|z|+iArgz)，以及乘冪(a^b=e^bLna)和冪函數(shù)求解有些不同，要求注意角度的取值，不過(guò)性質(zhì)仍然相同。由于復(fù)變函數(shù)相當(dāng)于二元實(shí)變函數(shù)，則積分也是。復(fù)變函數(shù)的積分許多與高等數(shù)學(xué)中曲線積分相似的性質(zhì)，積分可化為第二類曲線積分，也可化為參數(shù)方程z=z(t),直接關(guān)于t的積分。這里柯西-古薩基本定理和復(fù)合閉路定理運(yùn)用要嫻熟，不定積分則運(yùn)用原函數(shù)（牛頓-萊布尼茲公式），柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式用于求解解析函數(shù)f(z)有很大的意義，其中高階導(dǎo)數(shù)表明具有任意階導(dǎo)數(shù)，這不同于可微實(shí)變函數(shù)。由此引出調(diào)和函數(shù)：二元實(shí)函數(shù)u（x，y）在區(qū)域D具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足拉普拉斯方程。求解此類函數(shù)：1.偏積分法2.不定積分法3.線積分法（與路徑無(wú)關(guān)）。這些計(jì)算當(dāng)然還要由實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)運(yùn)算，可以說(shuō)復(fù)變函數(shù)積分比實(shí)變函數(shù)要求嚴(yán)格一點(diǎn)，它是實(shí)變函數(shù)的延伸。技巧性：復(fù)變函數(shù)的技巧性就在有其解決問(wèn)題的靈活性。一系列復(fù)雜棘手的問(wèn)題，運(yùn)用不同的思路、解法求解，其難易程度是顯而易見(jiàn)的。而復(fù)變函數(shù)提供了很多種方式，但是這種技巧需要我們對(duì)知識(shí)方法相當(dāng)熟悉，只有這樣，遇到問(wèn)題時(shí)才能選擇合適的方法。在復(fù)變函數(shù)中，尤其是留數(shù)和積分變換，其靈活性最大。例如:留數(shù)定理為某些類型積分的計(jì)算，提供了極為有效的方法.應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分的方法稱為圍道積分方法.所謂圍道積分方法，概括起來(lái)說(shuō)，就是不求實(shí)變函數(shù)的積分化為復(fù)變函數(shù)沿圍線的積分，然后應(yīng)用留數(shù)定理，使沿圍線的積分計(jì)算，歸結(jié)為留數(shù)計(jì)算.要使用留數(shù)計(jì)算，需要兩個(gè)條件：一是被積函數(shù)與某個(gè)解析函數(shù)有關(guān)；其次，定積分可化為某個(gè)沿閉路的積分.現(xiàn)就幾個(gè)特殊類型舉例說(shuō)明.（1）形如的積分令，，是的有理函數(shù)；作為的函數(shù)，在上連續(xù).當(dāng)經(jīng)歷變程[]時(shí)，對(duì)應(yīng)的z正好沿單位圓的正向繞行一圈，在積分閉路上無(wú)奇點(diǎn)，則.（2）形如的積分令，[1]Q(z)比P(z)至少高兩次，[2]Q(z)在實(shí)軸上無(wú)零點(diǎn)，[3]R(z)在上半平面Imz>0內(nèi)的極點(diǎn)為，則有.（3）形如的積分R(x)是真分式，在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，則，其中.上述都是復(fù)變函數(shù)之技巧美的具體體現(xiàn)。實(shí)用性：復(fù)變函數(shù)的重要性就在于它的廣泛應(yīng)用，即使現(xiàn)在我們還沒(méi)有怎么接觸到它的應(yīng)用。從我們現(xiàn)有的視野來(lái)看，復(fù)數(shù)在電路的解題中，有著無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)。在電路中引入的向量法就是復(fù)變函數(shù)應(yīng)用的最明顯的體現(xiàn)。當(dāng)電路中的物理量是正弦量的時(shí)候，我們可以用電壓或電流的有效值和相位來(lái)表示相應(yīng)的量，從而略去了其正弦函數(shù)的表達(dá)形式，而電路中的電阻、電容和電感等元件均可用阻抗——一個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行表示。這種復(fù)數(shù)的應(yīng)用使我們免于復(fù)雜的函數(shù)計(jì)算，同時(shí)引入了矢量圖形解決電路問(wèn)題的方法，使解題手段得到了擴(kuò)充，解