第一章電子,空穴和能帶概念

.第一章電子、空穴和能帶概念第一章電子、空穴和能帶概念1§1.1量子力學(xué)基本概念3一、經(jīng)典物理的缺陷以及量子力學(xué)的引入41.黑體輻射問題42.光電效應(yīng)63.普朗克假設(shè)、愛因斯坦的波粒二象性74.德布羅衣假說13二、薛定顎方程15三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋23§1.2利用薛定顎方程求解氫原子24§1.3能帶模型27一、晶格27.二、能代理論281．單電子近似282．布勞赫定律（Bloch）...............................................................................................................................................................................................................................293．共有化運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)自由電子.........................................................................................................................................................................................................................294.布里淵區(qū)與能帶...........................................................................................................................................................................................................................................315、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶.................................................................................................................................................................................................................33§1.4半導(dǎo)體中電子的運(yùn)動(dòng)有效重量35一、半導(dǎo)體中E(k)與k的關(guān)系35二、晶體中電子的平均速度加速度371．晶體中電子運(yùn)動(dòng)的平均速度.....................................................................................................................................................................................................................372．半導(dǎo)體中電子運(yùn)動(dòng)的加速度.....................................................................................................................................................................................................................383．有效質(zhì)量的物理意義..................................................................................................................................................................................................................................394.空穴的有效質(zhì)量...........................................................................................................................................................................................................................................40習(xí)題43.§1.1量子力學(xué)基本概念經(jīng)典物理的兩個(gè)獨(dú)立理論體系：波動(dòng)學(xué)說、粒子學(xué)說。當(dāng)時(shí)絕大多數(shù)的現(xiàn)象可以用經(jīng)典理論物理學(xué)解釋：感謝閱讀應(yīng)用Newton方程成功討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體的運(yùn)動(dòng)，將這個(gè)理論用到分子運(yùn)動(dòng)上，在氣體分子運(yùn)動(dòng)論上也獲得有益的結(jié)果。精品文檔放心下載1897年J.J.湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子，這個(gè)發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個(gè)Newton粒子。感謝閱讀光的波動(dòng)本性已在1803年由楊的衍射試驗(yàn)證實(shí)I4I2(d),I2光的強(qiáng)度0cossin0E0Maxwell在1864年所發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系將光的波動(dòng)性置于更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。感謝閱讀.一、經(jīng)典物理的缺陷以及量子力學(xué)的引入到上世紀(jì)初，在解釋某些試驗(yàn)結(jié)果上還遺留一些困難：主要是關(guān)于發(fā)展一個(gè)合適的原子模型以及稍后發(fā)現(xiàn)的X射線和放射性等。感謝閱讀也有一些困難屬于那些應(yīng)該得到解釋而實(shí)際上未能解釋的現(xiàn)象：諸如黑體輻射的譜分布，固體的低溫比熱等。謝謝閱讀雖然光的波動(dòng)性有大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)和光的電磁理論支持，但上世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的黑體輻射、光電效應(yīng)等現(xiàn)象卻揭示把光僅看作波的局限性。精品文檔放心下載1.黑體輻射問題我們知道，所有物體都發(fā)射出熱輻射，這種輻射是一定波長范圍內(nèi)的電磁波。對(duì)于外來的輻射，物體有反射或吸收的作用。感謝閱讀如果一個(gè)物體能全部吸收投射在它上面的輻射而無反射，這種物體就稱為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。黑體輻射問題研究的是輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài)時(shí)能量按波長/頻率的分布。一個(gè)空腔就可謝謝閱讀.以看成黑體，當(dāng)空腔與內(nèi)部的輻射處于平衡時(shí)，腔壁單位面積所發(fā)射的能量和它所吸收的輻射能量相感謝閱讀等。實(shí)驗(yàn)得出的平衡時(shí)輻射能量密度按波長分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì)溫度有關(guān)，而與精品文檔放心下載空腔的形狀及組成的物質(zhì)無關(guān)。許多人用經(jīng)典物理理論來說明這種能量分布都未獲得成功：感謝閱讀維恩（Wien）：由經(jīng)典熱力學(xué)理論出發(fā)進(jìn)行討論，并加上一些特殊假設(shè)得出的分布公式——維恩公式。這個(gè)公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果還符合，在長波部分顯著不同；精品文檔放心下載瑞利－金斯曲線，根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)得出的黑體輻射能量公式分布。他們的結(jié)果在長波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合，而在短波部分完全不同。精品文檔放心下載.瑞利—金斯線能量密度普朗克線維恩線波長（厘米×104）2.光電效應(yīng)當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，有電子從金屬中逸出，這種電子稱為光電子。實(shí)驗(yàn)證明，只有當(dāng)光的謝謝閱讀頻率大于一定值時(shí)，才有光電子發(fā)射出來；如果光的頻率低于這個(gè)值，則不論光的強(qiáng)度多大，照射時(shí)精品文檔放心下載間多長，都沒有光電子產(chǎn)生，光電子能量只與光的頻率有關(guān)。精品文檔放心下載光電效應(yīng)以及黑體輻射實(shí)驗(yàn)的這些規(guī)律、現(xiàn)象是經(jīng)典物理理論無法解釋的。因?yàn)榘凑展獾碾姶啪肺臋n放心下載.理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度，而與光的頻率無關(guān)。3.普朗克假設(shè)、愛因斯坦的波粒二象性黑體輻射問題是Planck普朗克在1900年引進(jìn)量子概念后才得到解決。普朗克依據(jù)如下假設(shè)解感謝閱讀釋黑體輻射譜的：黑體以h為單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為的電磁輻射，而不是象經(jīng)典理論所精品文檔放心下載要求的那樣可以連續(xù)地吸收和發(fā)射輻射能量。能量單位h稱為能量子h(普朗克常數(shù))。h＝6.62559謝謝閱讀×10－34焦耳.秒。基于這個(gè)假定，普朗克得到與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合很好的黑體輻射公式：謝謝閱讀d8h31deh/kT1c3普朗克的理論開始突破經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域內(nèi)的束縛，打開了認(rèn)識(shí)光的微粒性的途徑。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度，而與光的頻率無關(guān)。但是，光電試驗(yàn)證明：精品文檔放心下載只有當(dāng)光的頻率大于一定值時(shí)，才有光電子發(fā)射出來；如果光的頻率低于這個(gè)值，則不論光的強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長，都沒有光電子產(chǎn)生；精品文檔放心下載光電子能量只與光的頻率有關(guān)，而與光的強(qiáng)度無關(guān)，光的頻率越高，光電子的能量就越大。精品文檔放心下載.光的強(qiáng)度只影響光電子數(shù)目，按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度，而與光的頻率無關(guān)。精品文檔放心下載愛因斯坦認(rèn)為電磁輻射不僅在被發(fā)射和吸收時(shí)以能量h的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式以光精品文檔放心下載速在空間運(yùn)動(dòng)，也就是說光照射到金屬表面時(shí)，能量為h的光子被電子吸收。電子把這能量的一部精品文檔放心下載分用來克服金屬表面對(duì)它的束縛力，另一部分就是電子離開金屬表面后的動(dòng)能。感謝閱讀如果電子所吸收的光子能量小于金屬的逸出功，則電子不能脫出金屬表面，因而沒有光電子產(chǎn)精品文檔放心下載生。光的頻率決定光子的能量，光的強(qiáng)度只決定光子的數(shù)目，光子多，產(chǎn)生的光電子就多。這樣，經(jīng)謝謝閱讀典理論不能解釋的光電效應(yīng)就得到了解釋?？灯疹D效應(yīng)(Comptoneffect)1923年，美國物理學(xué)家康普頓在研究x射線通過實(shí)物物質(zhì)發(fā)生散射的實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的精品文檔放心下載現(xiàn)象，即散射光中除了有原波長l0的x光外，還產(chǎn)生了波長l>l0的x光，其波長的增量隨散射角的不同而變化。這種現(xiàn)象稱為康普頓效應(yīng)(Comptoneffect)。精品文檔放心下載用經(jīng)典電磁理論來解釋康普頓效應(yīng)遇到了困難?？灯疹D借助于愛因斯坦的光子理論，從光子與精品文檔放心下載.電子碰撞的角度對(duì)此實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行了圓滿地解釋?？灯疹D效應(yīng)第一次從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了愛因斯坦提出的關(guān)于光子具有動(dòng)量的假設(shè)。光子在介質(zhì)中和感謝閱讀物質(zhì)微粒相互作用時(shí)，可能使得光向任何方向傳播，這種現(xiàn)象叫光的散射。他認(rèn)為：謝謝閱讀康普頓假設(shè)光子和電子、質(zhì)子這樣的實(shí)物粒子一樣，不僅具有能量，也具有動(dòng)量，碰撞過程中能量守恒，動(dòng)量也守恒。光子和電子碰撞時(shí)，光子的一些能量轉(zhuǎn)移給了電子。精品文檔放心下載按照這個(gè)思想列出方程后求出了散射前后的波長差，結(jié)果跟實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)完全符合，這樣就證實(shí)了他的假設(shè)。這種現(xiàn)象叫康普頓效應(yīng)。精品文檔放心下載康普頓效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步證實(shí)光具有粒子性。實(shí)驗(yàn)證明，高頻X射線被電子散射后，波長隨謝謝閱讀散射角增加而增大。而按照經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電磁波被散射后波長不應(yīng)改變。謝謝閱讀.碰撞前：光子動(dòng)量＝h/c,電子動(dòng)量＝0光子能量＝h,電子動(dòng)能＝0碰撞后：謝謝閱讀光子動(dòng)量＝h/c,電子動(dòng)量為 v1v2/c2光子能量＝h，電子動(dòng)能為＝ c2 c21v2/c2h/ch/c

由于碰撞前后動(dòng)能守恒：＝＋2111v2/c2動(dòng)量守恒x方向：＝cos＋vcosh/ch/c1v2/c2y方向：0hsin/c-vsin1v2/c2最后得到：－＝2hsin2c2 21

2c2

4chsin22精品文檔放心下載.舊量子論所謂的舊量子論發(fā)端于普朗克關(guān)于黑體輻射的工作，以后由愛因斯坦和德拜加以發(fā)展。然而，只有到1911年，盧瑟福發(fā)現(xiàn)原子是由小的、重的、帶正電的核以及圍繞著它的一些電子構(gòu)成之后，這個(gè)理論才能定量描述原子。舊量子論（波爾－索末非量子化定則的兩個(gè)假設(shè)）：感謝閱讀一個(gè)原子體系能夠存在于一些特定的穩(wěn)定的或量子化的狀態(tài)，每一個(gè)狀態(tài)同體系的一個(gè)確定能量相對(duì)應(yīng)；謝謝閱讀從一個(gè)定態(tài)向另一個(gè)定態(tài)的躍遷，伴隨著能量的獲得或損失，其值等于兩個(gè)態(tài)之間的能量差；感謝閱讀輻射量子的頻率等于它的能量除于普朗克常數(shù)。舊量子論使得人們獲得了對(duì)氫原子結(jié)構(gòu)的解釋，但在若干不同的方面，它遇到了困難：它不適感謝閱讀用于非周期系統(tǒng)；對(duì)譜線強(qiáng)度只能給出定性的不完整的處理；對(duì)光的色散也不能給出滿意的說明等等。謝謝閱讀衍射試驗(yàn)可以說明舊量子論的困難：.光源S照明一個(gè)光闌A，A上割有兩個(gè)狹縫，衍射花樣出現(xiàn)在光敏屏B上，在衍射峰處光子的數(shù)目最多。這樣，當(dāng)輻射從光源經(jīng)狹縫到屏的過程中行為象波。而當(dāng)它從B碰出電子時(shí)，行為象粒子。A B用物質(zhì)代替輻射也可以作出類似試驗(yàn)。電子被晶體散射所形成的衍射花樣，可以從威爾遜云室感謝閱讀中電子徑中看出。所以，物質(zhì)的波動(dòng)性和粒子性可以出現(xiàn)在同一試驗(yàn)中。謝謝閱讀起初我們或許可以假定衍射花樣是通過兩條狹縫的不同光子之間的干涉引起的，若這樣就完全可以用粒子圖像解釋觀測(cè)結(jié)果。然而，可以證明這并不是一個(gè)滿意的解釋。當(dāng)我們減弱光強(qiáng)直到每次只有一個(gè)光子在光源和光屏之間通過，仍然可以得到相同的衍射圖案。因此，我們只能得到這樣的結(jié)論，衍射是單個(gè)光子的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并不涉及到光子之間的相互作用。謝謝閱讀由粒子圖像觀點(diǎn)來看，我們就可以問：一束由獨(dú)立的光子構(gòu)成的流束（可以假定其中每個(gè)光子只能通過一條狹縫）怎么會(huì)產(chǎn)生僅當(dāng)兩條狹縫都開著時(shí)才會(huì)出現(xiàn)的衍射花樣？或者這樣問：若當(dāng)一條狹縫關(guān)閉時(shí)，光子會(huì)到達(dá)屏上某一位置，然而當(dāng)這條狹縫敞開時(shí)，它怎么會(huì)阻止不通過這條狹縫的精品文檔放心下載.光子到達(dá)屏上的上述位置？在這個(gè)問題上隱含這樣一條假定：光子的確是穿過這兩條狹縫中的特定一條，從經(jīng)典理論或舊量子論的觀點(diǎn)來看，這個(gè)假定是自然的：因?yàn)檫@些理論認(rèn)為，光子或其它粒子在每一瞬時(shí)都具有確精品文檔放心下載定的可測(cè)定的位置。然而，量子力學(xué)卻放棄這個(gè)假定，它主張只有當(dāng)實(shí)驗(yàn)中包含位置測(cè)量時(shí)，光子的感謝閱讀位置才有意義。此外，實(shí)驗(yàn)的這一部分將會(huì)影響其余部分，不能把它們分開考慮。因此，從新量子觀感謝閱讀來看，上一段所提出的問題本身就沒有意義，因?yàn)樗俣ü庾油ㄟ^兩條狹縫中特定的一條（從而使得感謝閱讀另一條狹縫關(guān)閉），而在試驗(yàn)中并沒有用來確定光子實(shí)際上是穿過哪一條狹縫的設(shè)備。感謝閱讀4.德布羅衣假說在光有波粒二象性的啟示下，德布羅衣1924年提出了微觀粒子也具有波粒二象性的假說。他把粒子和波通過粒子的能量E、動(dòng)量P與波的頻率f、波長之間的關(guān)系聯(lián)系起來：感謝閱讀EhhPnk.上式稱為德布羅衣公式，或德布羅衣關(guān)系。自由粒子的能量和動(dòng)量都是常量，所以，由德布羅衣關(guān)系感謝閱讀可知，與自由粒子聯(lián)系的波，它的頻率、傳輸方向都不變，因而其為平面波。德布羅衣假設(shè)在1927精品文檔放心下載年為戴維森—蓋么的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。測(cè)不準(zhǔn)原理：xpJxtEz為了用更專門的物理語言來闡明測(cè)不準(zhǔn)原理，玻爾在1928年引進(jìn)并協(xié)原理。這個(gè)原理說，對(duì)原子現(xiàn)象的描述不可能象經(jīng)典力學(xué)所要求得那種完全性；在構(gòu)成一個(gè)完全經(jīng)典描述中相互并協(xié)的各個(gè)量，實(shí)際上卻是相互排斥的，而為了描述現(xiàn)象的各個(gè)方面，這些互相并協(xié)的量又都是必不可少的。不應(yīng)當(dāng)把這一點(diǎn)看成是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)技術(shù)或精度的欠缺。更恰當(dāng)?shù)卣f，這是一條自然規(guī)律：每當(dāng)企圖精確的感謝閱讀測(cè)量一對(duì)正則變量中的一個(gè)，另一個(gè)就會(huì)發(fā)生變化，這個(gè)變化值在不干擾到原來目的的情況下是不能感謝閱讀被嚴(yán)格地計(jì)算出來。舊量子論與量子論的區(qū)別：.舊量子論：認(rèn)為微觀粒子有著固定的軌道，可以用確定的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行描述（在這一點(diǎn)上，實(shí)際上把微觀粒子看作為經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，然后，利用經(jīng)典力學(xué)分析微觀粒子），粒子在不同能級(jí)間躍遷通過吸收或釋放電磁輻射量子實(shí)現(xiàn)；謝謝閱讀量子論：微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子服從測(cè)不準(zhǔn)原理。精品文檔放心下載二、薛定顎方程薛定顎方程的導(dǎo)出由德布羅衣關(guān)系rhrrEhh；Pnhk及測(cè)不準(zhǔn)原理應(yīng)當(dāng)可以預(yù)料到，代表著位置完全不能確定、已知精確動(dòng)量P和能量E、沿著正X方向行進(jìn)的粒子的波函數(shù)(x,t)，將有下列形式之一：感謝閱讀.cos(

kx

t),

sin(

kx

t),exp[

i(kx

t)],

exp[-

i(kx

t)]這也是從戴維森及蓋哥實(shí)驗(yàn)推知的。由前已知與確定能量、動(dòng)量粒子相對(duì)應(yīng)的波具有平面波特性，因謝謝閱讀而可以寫成：(x,t)Acos[2(x(rnft)]ft)]Acos[2Acos[krt]寫成復(fù)指數(shù)形式(x,t)Aexpj[krt]，進(jìn)一步利用德布羅衣關(guān)系可得：(x,t)Aexp[j(prEt)/]進(jìn)一步推導(dǎo).jEjhEhttA(jpi(pxpypz)]jpx)exp[hxxphixyzph222exp[(pxpypz)]Axhxx2h2xyzh2p2p22；2yzy2h2z2h2P2利用自由粒子能量和動(dòng)量關(guān)系式：E2m，可得：精品文檔放心下載22it2m此即自由粒子的薛定顎方程。同時(shí)，由上面推導(dǎo)過程可推出：謝謝閱讀.Eit(P(P)i)(i)Ei,Pit這兩個(gè)算苻依次分別稱為能量算苻、動(dòng)量算苻?，F(xiàn)在利用這兩個(gè)算苻來建立在外場(chǎng)中粒子波函數(shù)所滿足的微分方程。設(shè)粒子在外場(chǎng)的勢(shì)能U(r)，謝謝閱讀這樣，粒子的能量就可以利用漢彌頓算苻表示為：P2E2mU(r)上式兩邊同乘以波函數(shù)后P2E2mU(r)代入能量、動(dòng)量算苻后，上式變?yōu)椋?22it2mU(r)這個(gè)方程稱為薛定顎波動(dòng)方程，它描寫勢(shì)場(chǎng)U(r)中粒子波函數(shù)隨時(shí)間的變化。謝謝閱讀多粒子系統(tǒng)的薛定顎方程對(duì)于n個(gè)粒子所組成的多粒子體系。以r1，r2，…，rn表示這個(gè)n粒子的坐標(biāo)，那么描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)是r1，r2，…，rn的函數(shù)，整個(gè)多粒子體系的能量由哈密頓算苻可得謝謝閱讀nP2EiU(r,r,,r)i12m11ni式中mi為第i個(gè)粒子的質(zhì)量，Pi為第i個(gè)粒子的動(dòng)量，而U(r1，r2，…，rn)則是整個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能，它包括體系在外場(chǎng)中的能量和粒子間相互作用能量。在做謝謝閱讀Ei,Pitii變換后，可以得出多粒子體系的薛定顎方程:.in222mti1ii11n定態(tài)薛定顎波動(dòng)方程一般勢(shì)函數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)。如果假定勢(shì)能與時(shí)間無關(guān)，那么可以利用分離變量求解上式謝謝閱讀(r,t)(r)f(t)謝謝閱讀將上式代入薛定顎方程，22it2mU(r)兩邊同除以上式idf1[2U(r)]fdt2m令上式兩邊等于H，上式可變?yōu)橄铝袃墒?idfdt Hf 2m2U(r)H精品文檔放心下載由第一式得到：f(t)cexp(iHt)將上式代入(r,t)(r)f(t)，可得(r,t)c(r)exp(iHt)（1）比較上式和德布羅衣波函數(shù)形式(r,t)Aexpj[krt]顯然，H/應(yīng)為，而由德布羅衣關(guān)系可知：E，由此可以得到H——E。因而，體系處于（1）式所描寫的狀態(tài)時(shí)，能量具有確定值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)。而形如精品文檔放心下載.E2m2的方程稱為定態(tài)薛定顎方程。由于{222m2U(r)}E，因而將2U(r)稱為能量算苻，又稱2m為哈密頓算苻。當(dāng)U＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)的是自由空間中粒子的薛定顎方程，如果m為電子質(zhì)量，則可以通過求解精品文檔放心下載22E2m此方程的一維解為 (x)Aei2kx（1）.三、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋有人認(rèn)為波是由它所描寫的粒子組成的。這種看法是不正確地的。我們知道，衍射現(xiàn)象是由波的干涉而產(chǎn)生的，如果真是由它所描寫的粒感謝閱讀子所組成，則粒子流的衍射現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)是由于組成波的這些粒子相互作用而形成的。但事實(shí)證明，在粒謝謝閱讀子流衍射試驗(yàn)中，照片上所顯示出來的衍射圖樣和入設(shè)粒子流強(qiáng)度無關(guān)，也就是說和單位體積內(nèi)的粒謝謝閱讀子數(shù)無關(guān)。如果減小入射粒子流強(qiáng)度，同時(shí)延長實(shí)驗(yàn)時(shí)間，使投射到照片上粒子總數(shù)保持不變，則得謝謝閱讀到的衍射圖樣將完全相同。即使是把粒子流強(qiáng)度減小到使得粒子一個(gè)一個(gè)地被衍射，只要經(jīng)過足夠長感謝閱讀的時(shí)間，所得衍射圖樣也還是一樣。這說明每個(gè)粒子被衍射的現(xiàn)象和其它粒子無關(guān)，衍射圖樣不是由感謝閱讀粒子間相互作用產(chǎn)生的。玻恩（Born）解釋為了說明波恩的解釋，我們?nèi)匀豢疾焐厦媪Ｗ友苌湓囼?yàn)。如果入射電子流強(qiáng)度很大，即單位時(shí)間感謝閱讀內(nèi)有很多電子被晶體反射，則照片上很快就出現(xiàn)衍射圖樣。如果入射電子流很小，電子一個(gè)一個(gè)地從感謝閱讀晶體表面上反射，這時(shí)照片上就出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)地點(diǎn)子，顯示出電子地微粒性。隨著時(shí)間的延長，點(diǎn)子謝謝閱讀.數(shù)目逐漸增多，它們?cè)谡掌系姆植季托纬闪搜苌鋱D樣，顯示出電子的波動(dòng)性。由此可見，實(shí)驗(yàn)所顯精品文檔放心下載示的電子的波動(dòng)性是許多電子在同一實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)謝謝閱讀結(jié)果。波函數(shù)正是為描寫粒子的這種行為而引進(jìn)的。玻恩就是在這個(gè)基礎(chǔ)上，提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，即：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。按照這種解釋，描寫粒子的波乃是幾率波。謝謝閱讀§1.2利用薛定顎方程求解氫原子氫原子中電子是位于質(zhì)子和電子的庫侖力所形成的勢(shì)場(chǎng)中，因此定態(tài)薛定顎方程中的勢(shì)函數(shù)感謝閱讀q2U(r)r40因而，依據(jù)多粒子體系的薛定顎方程，氫原子系統(tǒng)的薛定顎方程可以寫為ih(x,y,z;x,y,z;t)2h2rh2h2]q222m224rt111222i12mi12m2i120其中i=1，2分別表示質(zhì)子和電子。如果以（x，y，z）表示電子相對(duì)于原子核的坐標(biāo)，以(X，Y，謝謝閱讀.表示體系質(zhì)心的坐標(biāo)：Mmmxx-x12MXmxmx,12mm(約合質(zhì)量)1122yy-y,u12MYmymy12mm1122zz-z12zmz12MZm1122則XxmxxXxxM1XX1112m22m22x2M12X22M1XxX21XxmxxXxxM2XX2222m22m22x2M22X22M2XxX22.2222同樣可以得到2y,2y,2z,2z的變換式。將這些式子代入薛定顎方程可得相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐1212標(biāo)表示的薛定顎方程ih[h2(222h2(222)q2]t2MX2Z2)z24rY22ux2y20進(jìn)一步設(shè)Ψ(x,y,z)(X,Y,Z)f(t)利用分離變量法求解。求解的詳細(xì)過程見《量子力學(xué)教謝謝閱讀程》，周世勛編，p71－77。最后，求得氫原子的能級(jí)感謝閱讀Enue4,n1,2,3,...s這里，e e ，u為電子質(zhì)量。s 40從上述求解氫原子的過程可以看到，微觀粒子處在一個(gè)個(gè)分離的、而不是連續(xù)的能級(jí)中。微觀粒謝謝閱讀子只有獲得一定的能量后，才能從一個(gè)能級(jí)躍遷到另一個(gè)能級(jí)。當(dāng)然，這其中伴隨著能量的吸收和發(fā)精品文檔放心下載射。.§1.3能帶模型一、晶格常見的晶體往往是凸多面體，圍成這個(gè)凸多面體的面是光滑的，稱為單晶。單晶外形上最顯著的特征是晶面有規(guī)則的配置，晶態(tài)物質(zhì)在適當(dāng)?shù)臈l件下都能自發(fā)地發(fā)展為單晶。感謝閱讀布喇菲的空間點(diǎn)陣學(xué)說：晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以概括為是一些有相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地作周期性的無限分布。這些點(diǎn)子的總體稱為點(diǎn)陣。此定義中的點(diǎn)子代表了結(jié)構(gòu)周期中相同位置，又稱為結(jié)點(diǎn)。這些節(jié)點(diǎn)可以是原子本身，也可以是基元（分子結(jié)構(gòu)）中心。精品文檔放心下載晶格：通過點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以做許多平行的直線族和平行的晶面族。這樣，點(diǎn)陣就成為一些網(wǎng)絡(luò)，成為晶格，晶格呈周期性排布。基元中只有一個(gè)原子的晶格稱為布拉菲格子，基元中有兩個(gè)/或兩個(gè)以上原子的晶格稱為復(fù)式格子。感謝閱讀為了深入了解固體的電特性，必須對(duì)固體中電子狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律加以了解。這里，固體能帶論是目前研究固體中的電子狀態(tài)并說明其特性的主要理論。感謝閱讀.二、能代理論1．單電子近似在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，決定粒子狀態(tài)變化為薛定顎方程。因此，理論上只要能寫出相互作用著的原子核和電子系統(tǒng)的多粒子體系的薛定顎方程，就能知道系統(tǒng)的狀態(tài)，但往往由于系統(tǒng)函數(shù)的復(fù)雜性，使得原始的薛定顎方程無法求解，為此能帶理論采用單電子近似模型來分析固體物理中的電子狀態(tài)。謝謝閱讀單電子近似認(rèn)為：晶體中某個(gè)電子是在周期性排列且固定不動(dòng)的原子核勢(shì)場(chǎng)以及其它大量電子平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的。這個(gè)勢(shì)場(chǎng)的周期與晶格周期相同。例如對(duì)于一維晶格，表示晶格中位置x處的勢(shì)能為感謝閱讀V(x)=V(x+sa)(2)其中s為整數(shù)，a為晶格常數(shù)。晶格中電子運(yùn)動(dòng)遵循的薛定顎方程為謝謝閱讀2d2(x)(x)(3)2mdx2.如能解出這個(gè)方程，便能得到電子的波函數(shù)及能量。但是找出實(shí)際晶體的V(x)很困難，因而只能采取一些近似方法來求解。精品文檔放心下載2．布勞赫定律（Bloch）布勞赫曾經(jīng)證明，滿足（2）的波函數(shù)一定具有如下形式：謝謝閱讀(x)u(x)ei2kxkk（4）式中k為波氏，u(x)是一個(gè)與晶格同周期的周期函數(shù)，即感謝閱讀u(x)=u(x+na)這一結(jié)論稱為布勞赫定律。3．共有化運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)自由電子Boch定律與自由空間電子波函數(shù)相比較(x)Aei2kx（自由空間波函數(shù)）精品文檔放心下載.可以看出，晶體中的電子在周期勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)與自由電子的波函數(shù)相類似，都代表一個(gè)波長謝謝閱讀1/k在K方向上傳播的平面波，不過這個(gè)波的振幅u(k)隨著x作周期性變化，其變化周期與晶格周期相同。其次，根據(jù)波函數(shù)的物理意義，在空間某點(diǎn)找到電子的幾率與波函數(shù)在該點(diǎn)的強(qiáng)度成正比謝謝閱讀||2*uu*）。由于u(x)為周期函數(shù)，所以在晶格中各點(diǎn)找到該電子的幾率也具有周期性，這反映了電子不再局限于某一個(gè)原子上，而是可以從晶體中某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到晶體中其它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，因而感謝閱讀電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為電子在晶體中的共有化運(yùn)動(dòng)；組成晶體的原子的外層電子共有化運(yùn)動(dòng)較強(qiáng)，其行為與自由電子相類似，稱為準(zhǔn)自由電子。精品文檔放心下載.布里淵區(qū)與能帶求解(3)可得到如圖所示的E(k)和k的關(guān)系曲線，圖中橫坐標(biāo)表示波矢k，虛線表示自由電子的E(k)和k的拋物線關(guān)系，實(shí)線表示周期性勢(shì)場(chǎng)中，電子的E(k)和k的關(guān)系曲線。精品文檔放心下載E-3/(2a)-1/a-1/(2a)01/(2a)1/a3/(2a)k可以看到，當(dāng)n(n0,1,2,3,...,)k2a時(shí)，能量出現(xiàn)不連續(xù)，形成一系列的允帶和禁帶。.結(jié)論：允帶出現(xiàn)在以下幾個(gè)區(qū)（稱為布里淵區(qū)）中：第一布里淵區(qū)：－1/2a<k<1/2a；第二布里淵區(qū)：－1/a<k<－1/2a，1/2a<k<1/2a，謝謝閱讀第三布里淵區(qū)：－3/2a<k<－1/a，1/a<k<3/2a，精品文檔放心下載其中，a為晶格常數(shù)。禁帶出現(xiàn)在k=n/2a處，即出現(xiàn)在布里淵區(qū)的邊界上謝謝閱讀能量分布呈現(xiàn)周期性：E(k)=E(k+n/a)，所以在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，只需考慮－1/2a<k<1/2a謝謝閱讀的區(qū)域就足夠了，只要考慮第一布里淵區(qū)即可。根據(jù)周期邊界條件，可以得出波矢k只能取分離的值，對(duì)邊長為L的立方晶體，波矢k的三個(gè)分量kx，ky，kz分別為精品文檔放心下載knx,kny,knz(n,n,n0,1,2,K)xLyLxLxyz因而可以證明，每個(gè)布里淵區(qū)中有Nnnn個(gè)k狀態(tài)，每一個(gè)k個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)有一個(gè)能量狀x y z.態(tài)（能級(jí)），于是每一個(gè)能帶中有N個(gè)能級(jí)，根據(jù)Pauli不相容原理，每個(gè)能級(jí)可以容納自旋相反的感謝閱讀兩個(gè)電子，所以每個(gè)能帶可以容納2N個(gè)電子。注意：由于晶體的具體尺寸遠(yuǎn)大于晶格常數(shù)，波氏k可以取很多個(gè)值。因而，在允帶中存在很謝謝閱讀多分離能級(jí)，只是由于它們相互間間距很小，所以在上圖中以連續(xù)曲線畫出而沒有用分離的能級(jí)畫。謝謝閱讀5、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體的能帶固體按其導(dǎo)電性分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體。固體能夠?qū)щ?，是固體中的電子在外場(chǎng)作用下作定向運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。由于電場(chǎng)力對(duì)電子的加速作用，使電子的運(yùn)動(dòng)速度和能量都發(fā)生了變化。換言之，即電子與外電場(chǎng)發(fā)生能量交換。從能帶論來看，電子能量的變化，就是從一個(gè)能級(jí)躍遷到另一個(gè)能級(jí)上。精品文檔放心下載對(duì)于滿帶，其中的能級(jí)已為電子所占滿，在一定外電場(chǎng)的作用下，滿帶中的電子無法獲得足夠的能量躍遷到另一個(gè)能帶上，只能在原能帶內(nèi)活動(dòng)，由于原能帶內(nèi)已無空余能帶被其占領(lǐng)，因而滿帶內(nèi)的電子能量無法改變，即滿帶內(nèi)的電子并不形成電流，對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)。精品文檔放心下載對(duì)于未滿帶，在外電場(chǎng)的作用下，其中的電子只要獲得就可以躍遷到同一個(gè)能帶的另一個(gè)能精品文檔放心下載.級(jí)上，能量得以改變，并形成電流，對(duì)電流有貢獻(xiàn)。金屬能帶，由于組成金屬的原子中的價(jià)電子占據(jù)的能帶是部分占滿的，因而金屬極易導(dǎo)電。精品文檔放心下載絕緣體和半導(dǎo)體的能帶相近似，所圖所示，即下面是已被價(jià)電子占滿的滿能，中間為禁帶，上面為空帶。因此在絕對(duì)溫度下、在外電場(chǎng)作用下并不導(dǎo)電。當(dāng)外界條件發(fā)生變化，例如溫度升高、或有光照時(shí)，滿帶中的電子就有部分被激發(fā)到上面的空帶中，使上面能帶底部有少量電子，這部分電子位于未滿的能帶中，因而在外電場(chǎng)的作用下，這些電子將參與導(dǎo)電；同時(shí)，下面原來填滿的能帶由于其中有部分電子被激發(fā)到上面，也將出現(xiàn)空電子態(tài)，因而其中的電子在外電場(chǎng)的作用下，也將參與導(dǎo)電。滿帶電子的這種導(dǎo)電作用等效于把這些空的量子狀態(tài)看成帶正電荷的準(zhǔn)粒子的導(dǎo)電作用，常稱這些空的量子態(tài)為空穴。精品文檔放心下載所以在半導(dǎo)體中，導(dǎo)帶中的電子和價(jià)帶中的空穴均參與導(dǎo)電，這是與金屬導(dǎo)電的最大區(qū)別。感謝閱讀絕緣體的禁帶寬度很大，半導(dǎo)體的絕緣寬度很小。價(jià)鍵上的電子激發(fā)成準(zhǔn)自由電子的過程，稱為本征激發(fā)。感謝閱讀.§1.4 半導(dǎo)體中電子的運(yùn)動(dòng)有效重量一、半導(dǎo)體中E(k)與k的關(guān)系對(duì)于半導(dǎo)體來說，起作用的常常是接近于能帶底或能帶頂?shù)碾娮?，因此，只要掌握其能帶底或能感謝閱讀帶頂電子底E(k)與k的關(guān)系就足夠了。仍以一維情況為例，設(shè)能帶底位于k＝0，能帶底附近的k值必然很小。用泰勒級(jí)數(shù)將E(k)在精品文檔放心下載k=0附近展開，取前兩項(xiàng)：E(k)E(0)dEk1d2E...k2dkk02dk2k0因?yàn)?，k=0時(shí)，能量取極小值，所以(dE/dk)k00，因而E(k)E(0)1d2Ek2dk22k0.E(0)為導(dǎo)帶底能量，對(duì)于給定半導(dǎo)體，(d2E/dk2)應(yīng)該是定值，令k01d2E12*hdk2k0mn將上式帶入能量表達(dá)式，得E(k)E(0)h2k2p22m*2m*nn此式與自由空間電子的能量表達(dá)式相類似，只是將慣性質(zhì)量mn變成了此處的mn*，常稱mn*為能帶底謝謝閱讀電子的有效質(zhì)量。同時(shí)，由于E(k)>E(0)，所以，導(dǎo)帶底的有效質(zhì)量是正值。同樣道理，可以知道金屬晶體中，有效質(zhì)量也為正值。感謝閱讀同樣，設(shè)能帶定位于E(k)=0,依據(jù)同樣的推倒，可求出位于價(jià)帶頂?shù)挠行з|(zhì)量，他們具有相同的表達(dá)式，只是此時(shí)由于電子在價(jià)帶頂處取極大值，因而E(k)<E(0)，所以此時(shí)的有效質(zhì)量取負(fù)值。感謝閱讀.二、晶體中電子的平均速度加速度1．晶體中電子運(yùn)動(dòng)的平均速度根據(jù)量子力學(xué)概念，電子的運(yùn)動(dòng)速度可以看作為波包的運(yùn)動(dòng)，波包的群速就是電子運(yùn)動(dòng)的平均速度。設(shè)波包有許多頻率f相差不多的波組成，則波包中心的運(yùn)動(dòng)速度謝謝閱讀vdf1dEdk hdk代入Ehf，即可得vdf1dEhkdkhdkm*n**注意：上式與經(jīng)典物理里速度與動(dòng)量的關(guān)系相類似，只是將慣性質(zhì)量換成有效質(zhì)量。由于有效質(zhì)量有正有負(fù)，因而，電子運(yùn)動(dòng)的平均速度有正有負(fù)。精品文檔放心下載.2．半導(dǎo)體中電子運(yùn)動(dòng)的加速度當(dāng)有強(qiáng)度為|E|的外電場(chǎng)時(shí)，電子受到f=-q|E|的力，dt時(shí)間內(nèi)，電子位移了一段ds，外力對(duì)電子作用的等于電子能量的變化，謝謝閱讀dE=fds=fvdt將電子平均速度表達(dá)式代入，dEdEf dt即fhdkdpdtdt上式說明，在外力f的作用下，電子的波矢k不斷變換，其變化率與外力成正比。因?yàn)殡娮拥乃俣扰ck有關(guān)，既然k狀態(tài)不斷變化，則電子的速度必然不斷變化，其加速度感謝閱讀dv1ddE1d2Edkfd2Eahdk2dthdtdkdth2dk2.帶入有效質(zhì)量表達(dá)式，可得fam*n