專題06 橢圓中的定點、定值、定直線問題(解析版)2024年新高考數(shù)學之圓錐曲線專項重難點突破練（新高考專用）

第第頁專題06橢圓中的定點、定值、定直線問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知橢圓，直線與橢圓交于兩點，分別為橢圓的左?右兩個焦點，直線與橢圓交于另一個點，則直線與的斜率乘積為（

）A． B． C． D．【解析】直線過原點，可設(shè)，則，；，，，.故選：B.2．已知橢圓C：的上、下頂點分別為A，B，點在橢圓C上，若點滿足，，則（

）A． B． C． D．【解析】由題可知，．因為，，故直線QA：，直線QB：，聯(lián)立兩式，解得又，所以，所以．故選：B3．已知是橢圓上滿足的兩個動點為坐標原點），則等于（

）A．45 B．9 C． D．【解析】令，，則，，由，故，則，而，，則，，所以，故，.故選：B4．過橢圓的右焦點F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點，則的值為（）A． B． C．1 D．【解析】由橢圓，得橢圓的右焦點為F（1，0），當直線AB的斜率不存在時，AB：x=1，則CD：y=0．此時|AB|=3，|CD|=4，則=；當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB：y=k（x﹣1）（k≠0），則CD：y=﹣（x﹣1）．又設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立方程組，消去y并化簡得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，∴|AB|===，由題知，直線CD的斜率為﹣，同理可得|CD|=．∴=為定值．故選D．5．已知為坐標原點，、分別是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于、的動點，直線、分別與軸交于點、.則（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)動點，，由橢圓方程可得，，則，，所以直線的方程為，直線的方程為，由此可得，，所以.因為動點在橢圓上，所以，所以，則.故選：B.6．雙曲線和橢圓的右焦點分別為，，，分別為上第一象限內(nèi)不同于的點，若，，則四條直線的斜率之和為（

）A．1 B．0 C． D．不確定值【解析】設(shè)為原點，則，，而，得，所以、、三點共線.因為，所以，且，得，所以，即.設(shè)，，分別代入雙曲線和，則，即，所以，，因為、、三點共線，所以，即.故選：B.7．已知橢圓為橢圓的右頂點，直線交于兩點，且，則恒過除點以外的定點（

）A． B． C． D．【解析】橢圓為橢圓的右頂點，所以，由題意知：若直線的斜率存在，設(shè)直線為，則，聯(lián)立可得，設(shè)，則，，因為，即，則，即，，即，因此，即，所以直線過定點，不符合題意，舍去；，所以直線過定點，符合題意；當直線的斜率不存在時，直線為，此時設(shè)，，符合題意，故直線恒過除點以外的定點，故選：A.8．設(shè)P為橢圓C：（）上的動點，，分別為橢圓C的左、右焦點，為的內(nèi)心，則直線與直線的斜率積（

）A．非定值，但存在最大值且為 B．是定值且為C．非定值，且不存在定值 D．是定值且為【解析】如圖所示，連接并延長交軸于，由三角形內(nèi)角平分線定理可知：，所以，因此可得：.設(shè)，因此有：，可得：，由可得：，的坐標為：，，，由橢圓的定義可知：，再由三角形內(nèi)角平分線定理可知：，由，因此有：.故選：D二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．點分別為橢圓的左、右焦點且．點P為橢圓上任意一點，的面積的最大值是1，點M的坐標為，過點且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點，則下列結(jié)論成立的是（

）A．橢圓的離心率B．的值與k相關(guān)C．的值為常數(shù)D．的值為常數(shù)-1【解析】由已知得，解得，則離心率，A正確；又橢圓方程為，設(shè)過點且斜率為k的直線L的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：，設(shè)，則，，，C正確.故選：AC.10．如圖，已知橢圓：的左、右焦點分別為，，是上異于頂點的一動點，圓（圓心為）與的三邊，，分別切于點A，B，C，延長交x軸于點D，作交于點，則（

）.A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值【解析】對于A，設(shè)，，，由余弦定理可知：即，解得由于在上運動，所以的值也在隨之變化，從而不是定值，則A錯誤；對于B，根據(jù)橢圓的定義，，是定值，B正確；對于C，根據(jù)切線長定理和橢圓的定義，得，且，則，所以為定值，C正確；對于D，連接,則，由，解得，由，得為定值，則D正確.故選：BCD11．已知橢圓和，點在上，且直線與交于、兩點，若點在上，使得，則下列結(jié)論正確的為（

）A．、的離心率相等 B．C．直線、的斜率之積為定值 D．四邊形的面積為【解析】設(shè)點、，橢圓、的離心率分別為、.對于A選項，，，A對；對于B選項，聯(lián)立可得，所以，，由題意可知，則，因為，則點在橢圓上，所以，，B錯；對于C選項，由B選項可知，橢圓的方程為，，則，，由已知可得，兩式作差可得，C對；對于D選項，顯然四邊形為平行四邊形，其面積記為，的面積記為，因為，所以，直線與軸必有交點，不妨設(shè)為，且，，故，由韋達定理可得，且，所以，，D對.故選：ACD.12．已知橢圓，點為右焦點，直線與橢圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，則（

）A．周長為定值 B．直線與的斜率乘積為定值C．線段的長度存在最小值 D．該橢圓離心率為【解析】該橢圓中，則，所以離心率為，故D正確；設(shè)，，，則在、斜率都存在的前提下有，，于是為定值，故B正確；由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立，消得，則，所以，則當時，，所以線段的長度存在最小值，故C正確.當時，直線與橢圓交于點和，不妨取點為，得直線方程為，求得交點為，則，，，此時的周長為，當時，聯(lián)立，解得，不妨取，則垂直于軸，此時，，，此時的周長為，顯然周長不為定值，故A錯誤；故選：BCD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知點為上一動點．過點作橢圓的兩條切線，切點分別，當點運動時，直線過定點，該定點的坐標是．【解析】設(shè)點的坐標是，則切點弦的方程為，化簡得，令，可得，故直線過定點．14．已知點分別為曲線的左、右焦點，點P為曲線C與曲線正在第一象限的交點，直線l為曲線C在點P處的切線，若點M為的內(nèi)心，直線與直線l交于點N，則，點N的橫坐標為．【解析】由題意可得曲線C，曲線E有相同的焦點，且，在中，內(nèi)切圓圓心M，設(shè)各邊的切點分別為A，D，Q（A為雙曲線的右頂點，如圖），所以，可得，聯(lián)立消去y可得，設(shè)，且，所以直線l的方程為①，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則由等面積可得，即，所以②，由，可得直線的斜率為，直線的方程為③．聯(lián)立①②③，化簡可得，得．15．已知橢圓C：，A，B分別為其左，右頂點，對于橢圓上任意一點P（不包括左、右頂點），直線AP，BP分別交直線l：于點M，N，則以線段MN為直徑的圓所過定點的坐標為．【解析】依題意，如下圖所示：設(shè)，則且，而，，即，，∴，．∴（定值），而不為定值．設(shè)圓上一點，則，∴，取，此時或13，故以線段MN為直徑的圓過定點，．16．已知橢圓離心率，過橢圓中心的直線交橢圓于兩點(在第一象限)，過作軸垂線交橢圓于點，過作直線垂直交橢圓于點，連接交于點，則．【解析】．設(shè)，則，設(shè)，兩式相減并化簡得，即，由，可得，則，，即，解得，，,四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，左?右焦點分別為為原點，且，過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，交軸于點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為的中點，在軸上是否存在定點，對于任意的都有？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得，又，.橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，令得，即，聯(lián)立，得，所以，則，，若在x軸上存在定點，對于任意的都有，則，即，解得，所以存在定點.18．已知橢圓的左、右焦點分別為，，A，B分別是C的右、上頂點，且，D是C上一點，周長的最大值為8.(1)求C的方程；(2)C的弦過，直線，分別交直線于M，N兩點，P是線段的中點，證明：以為直徑的圓過定點.【解析】（1）依題意，，周長，當且僅當三點共線時等號成立，故，

所以，所以的方程；（2）設(shè)，直線，代入，整理得，，，易知，令，得，同得，從而中點，以為直徑的圓為，由對稱性可知，定點必在軸上，令得，，，所以，即，因為，所以，即，解得，所以圓過定點.

19．已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.【解析】（1）依題可得，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，因為直線過點且斜率不為，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，其判別式，所以，.兩式相除得，即．因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，．從而．（3）由（1）知，設(shè)，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上.20．已知橢圓經(jīng)過點，兩個焦點為和.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線過點且與橢圓相交于、兩點，，點與關(guān)于軸對稱，點與關(guān)于軸對稱，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.（i）求證：為定值，并求出這個定值；（ii）若，求直線的方程.【解析】（1）因為橢圓焦點在軸上，故設(shè)橢圓的標準方程為.則，解得，∴橢圓的標準方程為：.（2）法一：（i）顯然直線與軸不重合，設(shè)，，由,得，，設(shè)，，則，，且，，，∴，∴為定值.法二：設(shè)，，則，，且，則.（ⅱ）由（?。┑糜傻茫夯?4（舍），故滿足，∴.

21．已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．【解析】（1）由題意可知，因為，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因為，，，四點共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達定理，得，．代入（*）化簡得，即．又，代入上式，得，化簡得．所以點總在一條定直線上．

22．已知雙曲線與橢圓的焦點重合，且與的離心率之