專(zhuān)題34 圓錐曲線(xiàn)中的綜合問(wèn)題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線(xiàn)專(zhuān)項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專(zhuān)用）

第第頁(yè)專(zhuān)題34圓錐曲線(xiàn)中的綜合問(wèn)題一、單選題1．已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿(mǎn)足直線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對(duì)稱(chēng)性得，由橢圓定義得，，則.因?yàn)椋?，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故選：A

2．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，，由拋物線(xiàn)定義可知，由梯形中位線(xiàn)可知，

因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，故，的最小值為.故選：B3．已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)．直線(xiàn)、的斜率分別記為，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由題意，，拋物線(xiàn)方程為，設(shè)，直線(xiàn)方程為，由得，，，，，，，所以．故選：B．4．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)（在軸上方）.關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的值為（

）A． B． C． D．【解析】解：如圖所示：

設(shè)分別以O(shè)F，EF，OE為底，高為h，則，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，聯(lián)立，消去y得，由韋達(dá)定理得：，直線(xiàn)BD的方程為：，令得，，則，則，即為，則，即，即，解得，則，故選：D5．已知橢圓，斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸左側(cè)，且點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】如圖所示，作軸交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)方程為且，則，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，，由，可得，所以，可得，則橢圓的離心率為.故選：D.6．已知橢圓與雙曲線(xiàn)具有相同的左、右焦點(diǎn)，，點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，若記曲線(xiàn)，的離心率分別為，，滿(mǎn)足，且直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意可知：，解得，又因?yàn)椋傻?，由直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為可得，在中，由余弦定理可得，可得，整理得，解得或（舍去），且，所以，由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，且，則，所以，即.故選：A.

.7．已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，則一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．有一個(gè)角為的三角形 D．面積為定值的三角形【解析】設(shè)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立得：，，，，點(diǎn)，，，，所以，故B正確．當(dāng)直線(xiàn)無(wú)限接近平行于對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，顯然，不一定是等腰三角形，同時(shí)無(wú)限接近，故AC不正確；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，不為定值．故D錯(cuò)誤．故選：B．8．如圖所示，，是雙曲線(xiàn)：（，）的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，與雙曲線(xiàn)左支的交點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）

A． B．C． D．【解析】在中，由正弦定理得，①，在中，由正弦定理得，②，因?yàn)?，所以，所以①式與②式相比，得，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，由雙曲線(xiàn)的定義得，，因?yàn)椋?，所以，解得，在中，由勾股定理得，所以，得，所以，得，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故選：B二、多選題9．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，，是C上相異兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則的最小值為【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以F為的中點(diǎn)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，直線(xiàn)與軸垂直，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，解得或，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，正確；對(duì)于D，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，

由拋物線(xiàn)的定義得，則，當(dāng)點(diǎn)N、A、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，且最小值為.正確.故選：ACD.10．設(shè)為雙曲線(xiàn)：上一動(dòng)點(diǎn)，，為上、下焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)，則最小值為7B．若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)（與均不重合），則C．若點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)的上支，則最小值為D．過(guò)的直線(xiàn)交于、不同兩點(diǎn)，若，則有4條【解析】由雙曲線(xiàn)：，得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以最小值為，故A錯(cuò)誤；設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，所以，又因?yàn)?，所以，故B正確；，故C正確；由雙曲線(xiàn)：，可得通徑長(zhǎng)為，且實(shí)軸長(zhǎng)，所以這樣的直線(xiàn)有4條，故D正確.

故選：BCD11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上兩個(gè)位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且有．直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線(xiàn)于【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，則，由，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，，則，設(shè)直線(xiàn)，把代入，可得，令，則，同理，則，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，，由選項(xiàng)A知，，，，故D正確．故選：ACD．

12．已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，其中.直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的周長(zhǎng)為B．若的中點(diǎn)為，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若時(shí)，則的面積是【解析】由可知，；顯然直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，如下圖所示：

由橢圓定義可知的周長(zhǎng)為，所以A正確；設(shè)，中點(diǎn)；將直線(xiàn)和橢圓方程聯(lián)立，消去整理可得；由韋達(dá)定理可得，所以，代入直線(xiàn)方程解得，即；所以，可得，所以B錯(cuò)誤；根據(jù)B選項(xiàng)，由可得，可得，即點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上；又點(diǎn)在橢圓上，即可得圓與橢圓有交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，即，所以可得離心率，即C正確；若時(shí)，由選項(xiàng)B可知聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程可得；所以可得；所以易知的面積即可得的面積是，故D正確.故選：ACD三、填空題13．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，P是C右支上一點(diǎn)，線(xiàn)段與C的左支交于點(diǎn)M．若，且，則的離心率為．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是右支上一點(diǎn)，線(xiàn)段與的左支交于點(diǎn)，且，，所以為等邊三角形，所以由雙曲線(xiàn)定義得，又由，解得，則且，在中，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為．則的取值范圍為．【解析】因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以，解得，所以．設(shè)．由，求導(dǎo)得，則直線(xiàn)，直線(xiàn)．由解得所以，又在直線(xiàn)上，得．所以．故答案為：

15．已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，離心率為e，直線(xiàn)分別與C的左、右兩支交于點(diǎn)M，N.若的面積為，，則的最小值為【解析】連接，對(duì)稱(chēng)性知：四邊形為平行四邊形，故，由題意，，由面積公式得：，解得：，

由雙曲線(xiàn)定義知：，在中，，解得：，所以，解得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.16．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，與線(xiàn)段相交于點(diǎn)，且．若是線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的方程為．【解析】由可知，設(shè)，則，則，故，即①；又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，故②，且，即③，②聯(lián)立得，得或，由于，故，結(jié)合③，解得，故拋物線(xiàn)方程為四、解答題17．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線(xiàn)、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．【解析】（1）∵，∴，由離心率為得，從而，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

設(shè)，，則，可設(shè)直線(xiàn)PA的方程為，其中，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，同理可得，．因?yàn)?，．所以，所以是定?18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線(xiàn)和的中垂線(xiàn)相交于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求的面積的最小值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn)，由題意知，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)其方程為，所以，即，故拋物線(xiàn)方程為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)，，，且，所以直線(xiàn)的方程為．圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A內(nèi)切于△PRN，所以直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離為，即，則

①，因?yàn)?，所以化?jiǎn)①得，

②，圓內(nèi)切于△PRN，所以直線(xiàn)與圓相切，同理可得

③，由②③可知，為方程的兩根，所以，又，，，所以，故的面積為，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為)或.故當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為或時(shí)，的面積取最小值.

19．已知橢圓：．(1)直線(xiàn)：交橢圓于，兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)為橢圓的左頂點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，若，試問(wèn)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）

將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，即，得，即，故；（2）設(shè)直線(xiàn)：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，過(guò)定點(diǎn)，與已知不符，舍去；②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，過(guò)定點(diǎn)，，符合題意．20．已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程.【解析】（1）由題知，雙曲線(xiàn)的一條斬近線(xiàn)為，則，又，所以，所以雙曲線(xiàn)的方程為.（2）由（1）知，，，由題易知直線(xiàn)的斜率存在，當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為和，滿(mǎn)足，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，聯(lián)立，整理得，所以，即，所以，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，所以，解得或，滿(mǎn)足，所以直線(xiàn)的方程為或.綜上，直線(xiàn)的方程為，或.

21．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)過(guò)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，過(guò)的左頂點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，求證：.【解析】（1）的右焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為，，，的方程為：；（2）設(shè)方程為，聯(lián)立得：，，，設(shè)，則，，，，，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，在中，，，即.

22．已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點(diǎn)為、，過(guò)作不與軸重合的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)以為圓心4為半徑作圓，過(guò)作直線(xiàn)