專題02 相似三角形（難點）解析

專題02相似三角形（難點）一、單選題1．下列說法不正確的是（）A．將一個矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形相似B．若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2C．若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝cmD．若兩個相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個相似多邊形的周長比是4：3【答案】A【分析】直接利用成比例線段以及相似多邊形的性質(zhì)、黃金分割的性質(zhì)分別判斷得出答案．【解析】解：A、將一個矩形風(fēng)景畫的四周鑲上寬度相等的金邊后得到的新矩形與原矩形不一定相似，原說法錯誤，故此選項符合題意；B、若線段a=5cm，b=2cm，則a：b=5：2，正確，故此選項不符合題意；C、若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則cm，正確，故此選項不符合題意；D、若兩個相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個相似多邊形的周長比是4：3，正確，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，成比例線段，黃金分割，掌握它們的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．下列說法正確的是（

）A．兩個直角三角形相似B．兩條邊對應(yīng)成比例，一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似C．有一個角為40°的兩個等腰三角形相似D．有一個角為100°的兩個等腰三角形相似【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可得解．【解析】解：A、∵兩個直角三角形只有一組角相等，∴兩個直角三角形不一定相似，故選項A不合題意；B、∵兩條邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，∴兩條邊對應(yīng)成比例，一組對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似，故選項B不合題意；C、∵底角為40°的等腰三角形和頂角為40°的等腰三角形不相似，∴有一個角為40°的兩個等腰三角形不一定相似，故選項C不合題意；D、∵有一個角為100°的兩個等腰三角形相似，∴選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．點是線段的黃金分割點，且，下列命題：，中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【解析】∵點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞PB，∴根據(jù)線段黃金分割的定義得：AP2＝PB?AB，AP：AB＝PB：AP，∴只有②④正確．故選B．【點睛】本題主要考查了理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．本題同時考查了乘積形式和比例形式的轉(zhuǎn)化，難度適中．4．下列關(guān)于向量的說法中，不正確的個數(shù)是（

）①；②若，則；③若、是實數(shù)，則；④如果非零向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使得；⑤如果非零向量，則與所在的直線平行；⑥如果與分別是與的單位向量，則A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，一一判斷即可．【解析】①，該選項正確；②若，向量既有大小，也有方向，故不確定，該選項錯誤；③若、是實數(shù)，則，該選項正確；④如果非零向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使得，該選項正確；⑤如果非零向量，可得、方向相同，則與所在的直線平行，該選項正確；⑥如果與不平行，則與也不平行，該選項錯誤．綜上，②⑥不正確，共2個．故選：A．【點睛】本題考查了平面向量的概念與運算，考查學(xué)生靈活運用知識的能力和推理論證能力．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)．5．如圖，在中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．【解析】，，故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用這個性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系．6．如圖，在中，D在AC邊上，AD:DC=1:2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，若BE=1，則EC=（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過點D作交BC于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，，，再根據(jù)O是BD的中點，可得BE=EF，進而解答即可．【解析】解：過點D作交BC于F，如圖，∵，∴，∵O是BD的中點，∴BO=OD，∴BE=EF，∵，∴，∴CF=2EF，∴BE:EC=BE:3BE=1:3，∵BE=1，∴EC=3，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．過分點作平行線構(gòu)建平行線分線段成比例定理的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩(wěn)固，將A，間加一條安全繩（線段），分別交，于點E，F(xiàn)，量得．則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，同理得到，計算即可．【解析】解：，，，，同理可得：，，，故選C．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．點D和點E分別是BC邊和AB邊上兩點，連接DE．將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，點B恰好落在AC的中點處，設(shè)DE與BB交于點F，則EF＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根據(jù)勾股定理得到BB′，由折疊的性質(zhì)得到BFBB′，DE⊥BB′，根據(jù)相似三角形即可得到結(jié)論．【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，過B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′HAB′，∵AB′AC，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BFBB′，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF，故答案為：．故選：C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)HF交DE于點M．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點H作交DE于點Q，HG交DE于點N，【解析】解：如圖所示，過點H作交DE于點Q，HG交DE于點N，設(shè)利用得到三角形相似，對應(yīng)線段成比例，求出從而得到即可得出結(jié)果．∵正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，設(shè)即即即故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形相似，得出對應(yīng)線段成比例，由線段平行，得出三角形相似是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D為BC邊的中點，點E是CA延長線上一點，把ACDE沿DE翻折，點C落在處，與AB交于點F，連接．當(dāng)時，BC’的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接CC′，過點C′作C′H⊥EC于H．設(shè)AB交DE于N，過點N作NT⊥EF于T，過點D作DM⊥EC于M．證明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解決問題．【解析】解：如圖，連接CC′，過點C′作C′H⊥EC于H．設(shè)AB交DE于N，過點N作NT⊥EF于T，過點D作DM⊥EC于M．∵∠FAE=∠CAB=90°，，∴EF：AF：AE=5：4：3，∵C′H∥AF，∴△EAF∽△EHC′，∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，設(shè)EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，則CH=2k，由翻折可知，∠AEN=∠TEN，∵NA⊥EA，NT⊥ET，∴∠NAE=∠NTE，∵NE=NE，∴△NEA≌△NET（AAS），∴AN=NT，EA=ET，設(shè)AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，則AE=ET=3m，TF=2m，在Rt△FNT中，F(xiàn)N2=NT2+FT2，∴（4mx）2=x2+（2m）2，解得：，∵AC=AB=，∠CAB=90°，∴BC=AC=，∴CD=BD=，∵DM⊥CM，∠DCM=45°，∴CM=DM=，∵AN∥DM，∴，∴，∴EM=，∴EC=，∴，∴CH=，C′H=，∴CC′=，∵DC=DC′=DB，∴∠CC′B=90°，∴BC′=，故選：D．【點睛】本題考查翻折變換，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．二、填空題11．已知，且a+b+c≠0，則=_____．【答案】【分析】設(shè)比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入比例式進行計算即可得解．【解析】解：設(shè)=k（k≠0），則a=2k，b=3k，c=5k，所以，==．故答案為．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”，用k表示出a、b、c進行計算更加簡單．12．點C是線段AB的黃金分割點（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．【答案】【分析】分別設(shè)出AC、BC、AB的長，再利用黃金分割點性質(zhì)構(gòu)造方程求解即可．【解析】解：設(shè)AC=x，由已知BC=x-2，AB=2x-2∵點C是線段AB的黃金分割點∴即整理，得解得，（舍去）故答案為：【點睛】本題考查了黃金分割的性質(zhì)和一元二次方程的a應(yīng)用，解答關(guān)鍵是根據(jù)黃金分割定義構(gòu)造方程．13．如圖，在△ABC中，AD為邊BC上的中線，DE∥AB，已知，，那么用，表示＝_____．【答案】2+【分析】根據(jù)題意利用三角形法則可知：，求出，即可解決問題．【解析】解：∵AD是中線，∴BD＝DC，∵DE∥AB，∴AE＝EC，∴AB∥DE，AB＝2DE，∴＝2，∵＝＝，，∴＝2+，故答案為：2+．【點睛】本題考查平面向量，三角形法則，平行線等分線段定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.14．如圖，的中線、交于點，點在邊上，，那么的值是__________.【答案】【分析】根據(jù)三角形的重心和平行線分線段成比例解答即可．【解析】∵△ABC的中線AD、CE交于點G，∴G是△ABC的重心，∴，∵GF∥BC，∴，∵DC=BC，∴，故答案為：.【點睛】此題考查三角形重心問題以及平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心得出比例關(guān)系．15．如圖，在ABC中，點D是邊BC的中點，直線DF交邊AC于點F，交AB的延長線于點E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值為______．（用含a、b的式子表示）【答案】a:(b-a)【分析】做輔助線構(gòu)造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可．【解析】解：如圖：過點B作BG∥AC交EF于點G∴∠1=∠C∵點D是邊BC的中點∴BD=CD在△BDG和△CDF中∴△BDG≌△CDF∴BG=CF又∵BG∥AC∴△BGE∽△AFE∴=即BE:AE=a:(b-a)故答案為：a:(b-a)．【點睛】本題主要考查了做輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形即相似的性質(zhì)求線段的比；解題關(guān)鍵是做出正確輔助線，熟練掌握全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)．16．如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長線交于點G，與邊AB交于點F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．【答案】##【分析】先說明三角形CDE為等腰直角三角形，并求得其斜邊CE的長，然后再說明三角形CEG為等腰三角形，最后根據(jù)△EFA∽△BGF得出比例式，結(jié)合DFAF=2BF得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)BG=BC+CG進行計算即可.【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與AD交于E；∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，∴CD=DE=，∵直角三角形CDE，∴CE=，又∵∠AEC的角平分線EG與AB交于點F，∴∠AEG=∠CEG∵AD//BC∴∠G=∠AEG∴∠CEG=∠G∴CG=CE=6，∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，∴△AEF∽△BGF∴設(shè)BG=x，AE=2x，則BC=AD=+2x.∵CG=BC+BG∴6=+2x+x，解得x=.故答案為：.【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)，證得三角形CEG為等腰三角形成為解答本題的關(guān)鍵.17．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的最美分割線．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割線．若△ACD為等腰三角形，則∠ACB的度數(shù)為________．【答案】100°或115°【分析】根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當(dāng)AD＝CD時，②如當(dāng)AD＝AC，③當(dāng)AC＝CD，然后結(jié)合最美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)．【解析】解：①當(dāng)AD＝AC時，如圖1，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝65°＋50°＝115°．②當(dāng)AD＝CD時，如圖2，∠ACD＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋50°＝100°．③當(dāng)AC＝CD時，如圖3，∠ADC＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ADC＝∠BCD（不合題意）．綜上所述，∠ACB＝100°或115°．故答案為：100°或115°【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解最美分割線的定義是解決本題的關(guān)鍵．18．如圖，梯形中，，點E在邊上，把繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點E的對應(yīng)點是點F，點C的對應(yīng)點是點M，如果，那么的值是_______．【答案】【分析】過點D作DG⊥BC于點G，過點E作EH⊥BC于點H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，設(shè)EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行線分線段成比例可求DE：CE的值．【解析】解：如圖，過點D作DG⊥BC于點G，過點E作EH⊥BC于點H，∵旋轉(zhuǎn)，∴BF＝BE，∠EBF＝90°∴∠BEF＝45°，∵EF∥BC∴∠BEF＝∠EBC＝45°∵EH⊥BC∴∠EBC＝∠BEH＝45°，∴BH＝EH，∵tanC=，∴設(shè)EH＝4a，HC＝3a，∴BH＝4a，∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC∴四邊形ABGD是平行四邊形∴AB＝DG＝7a，∵EH∥DG∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．三、解答題19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：（1）的值；（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式進行計算即可得解．（2）根據(jù)比例設(shè)x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式進行計算即可得到k的值，進而得出x，y，z的值．【解析】解：（1）設(shè)x＝2k，y＝3k，z＝4k，則＝＝；（2）設(shè)x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵x+y+z＝18，∴2k+3k+4k＝18，解得k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y、z可以使運算更加簡便．20．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點H在邊BC上，且AH＝HC，交AC于點G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．(1)求證：AH⊥BC；(2)求AG的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出AH的長，得出AH2+DH2＝AD2，證明△AHD是直角三角形即可；（2）利用勾股定理求出AC的長，設(shè)AG為x，則可用x表示CG的長，利用平行線分線段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的長．(1)證明：∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝BD＝7，∵DH+HC＝DC＝7，∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．∵AH＝HC，∴AH＝CH＝4，∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，∴AH2+DH2＝AD2，∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，∴AH⊥BC；(2)設(shè)AG＝x，由勾股定理得AC＝＝4，∴，∵HG∥AD，∴＝＝，即＝，解得x＝，∴AG的長為．【點睛】本題考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理，熟練運用勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵．21．如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG=AF?AB．【答案】（1）6；（2）證明見解析．【分析】（1）由平行可得，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；（2）由平行可知，可得出結(jié)論．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴，又，AE=3，∴，解得AC=9，∴EC=AC-AE=9-3=6；（2）∵DE∥BC，EF∥CG，∴，∴AD?AG=AF?AB．22．如圖，已知：△ABC和△ADE都是等邊三角形，其中點D在邊BC上，點F是AB邊上一點，且BF＝CD．(1)求證：DECF；(2)聯(lián)結(jié)DF，設(shè)AD、CF的交點為M，如果＝FM?FC，求證：DFAC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠BDE＝∠CAD，進而得出∠BDE＝∠BCF，即可證明DECF；（2）先證明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可證明DFAC．（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（SAS），∴∠CAD＝∠BCF，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝∠ACB＝60°，∵∠ADE＋∠BDE＝∠ACB＋∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，∴∠BDE＝∠BCF，∴DECF；（2）如圖2，∵DF2＝FM?FC，∴，∵∠DFM＝∠CFD，∴△DFM∽△CFD，∴∠FDM＝∠FCD，∵∠CAD＝∠BCF，∴∠FDM＝∠CAD，∴DFAC．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判斷，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．23．如圖，點D、E分別在△ABC的邊BC及其延長線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．【答案】(1)見解析(2)AC的值為1或2【分析】（1）通過證明，可得，可得結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)可求，，由勾股定理可求解．(1)解：證明：，，即，設(shè)，由，，，又，，，即，．(2)解：作于點，設(shè)，，，又，，，又，，由勾股定理得，，又，，，，，的值為1或2．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．24．如圖，在正方形中，點在延長線上，點為上一點，聯(lián)結(jié)交于點，，延長線交延長線于點．(1)證明：四邊形是等腰梯形；(2)若點是的黃金分割點，且，證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得四邊形是平行四邊形，進一步可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，且，即可得證；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)易得∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及黃金分割比可得，進一步即可得證．（1）證明：在正方形中，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，且，四邊形是等腰梯形；（2）證明：在正方形中，，，，，∽，：：，是的黃金分割點，且，∶∶，，，∶∶，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，點、點分別在、上，點是上的一點，聯(lián)結(jié)并延長交于點，且．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明和相似，即可證明．（2）先證明∽，再證明∽，得到，即可證明．（1）證明：，，∽，∴．（2）證明：，，∽，，，又∵，，，，∽，，，．【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比例式，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見A角相等”的形式．26．將一個矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，連接BD．(1)如圖1，當(dāng)α＝90°時，點C′恰好在DB延長線上．求證：點B是線段DC′的黃金分割點；(2)如圖2，連接AC′，過點D′作D′MAC′交BD于點M，射線DB分別交AD′，AC′于點P，N．求證：MN2＝PN?DN．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖1，設(shè)AB=1，BC=x，則，，，然后證明，得到，即解得或（舍去），則，即可得到點B是線段的黃金分割點；（2）如圖2所示，連接，連接AM，先證明，然后證明，得到，則；推出，得到，即可證明，得到，即可推出，得到NA=NM，證明△ANP∽△DNA，得到，則，．（1）解：如圖1，設(shè)AB=1，BC=x，∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形，∴點A、B、三點共線，∴，，∴，∵點恰好在DB延長線上，∴，又∵，∴，∴，即，∴，解得或（舍去），∴，∴點B是線段的黃金分割點；（2）解：如圖2所示，連接，連接AM，∵,∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在△ADM和中，，∴，∴，∵，，∴，∴NA=NM，∵∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，∴△ANP∽△DNA，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割點，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．27．如圖，在梯形中，，，，點、分別在線段、上，．的延長線交邊于點，交于點、其延長線交的延長線于點．（1）求證：；（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)與相似時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．【分析】（1）由AD∥BC知，，結(jié)合DB=DC=15，DE=DF=5知，從而得，據(jù)此可得答案；（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根據(jù)得，即DN＝，再根據(jù)知NQ＝，由三角形的面積公式可得答案；（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH兩種情況分別求解可得．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴，．∵DB=DC=15，DE=DF=5，∴，∴，∴BG=CH．（2）過點D作DP⊥BC，過點N作NQ⊥AD，垂足分別為點P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．∵，∴BG=CH=2x，∴BH=18+2x．∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴DN＝．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，∴，∴NQ＝．∴y＝AD?NQ＝x?(0＜x≤9)．（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）當(dāng)∠ADN=∠FGH時，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC=∠FGH，∴BD∥FG，∴，∴，∴BG=6，∴AD=3．（ii）當(dāng)∠ADN=∠GFH時，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND=∠FGH，∴△ADN∽△FCG．∴，∴x?(18?2x