第11講 二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問題專題探究(原卷版)

第11講二次函數(shù)中矩形、正方形的存在性問題專題探究【知識總結】方法策略：抓矩形兩大性質(zhì)【內(nèi)角=90°＋對角線相等→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問題】正方形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形存在性問題【類題訓練】1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點A的坐標，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）點E為直線l下方拋物線上一點，當△ADE的面積的最大值為時，求拋物線的函數(shù)表達式；（3）設點P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．2．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點為D（1，4），與x軸交于A和B兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點A，B、C的坐標；（2）如圖1，點P是直線BC上方的拋物線上的動點，當△BCP面積最大時，求點P的橫坐標；（3）如圖2，若點M是坐標軸上一點，點N為平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點，使以B、D、M、N為頂點的四邊形是以BD為對角線的矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點P為拋物線上的動點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D為直線y＝x上的動點，當點P在第四象限時，求四邊形PBDC面積的最大值及此時點P的坐標；（3）已知點E為x軸上一動點，點Q為平面內(nèi)任意一點，是否存在以點P，C，E，Q為頂點的四邊形是以PC為對角線的正方形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．?4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，過點B作直線BD∥AC交拋物線于點D．（1）求點D的坐標；（2）點P是直線AC上方的拋物線上一點，連接DP，交AC于點E，連接BE，BP，求△BPE面積的最大值及此時點P的坐標；（3）將拋物線沿射線CA方向平移單位得到新的拋物線y'，點M是新拋物線y'對稱軸上一點，點N為平面直角坐標系內(nèi)一點，直接寫出所有以A，C，M，N為頂點的四邊形為矩形的點N的坐標，并寫出其中一個點N的坐標的求解過程．5．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（3，0）和點B（﹣1，0），與y軸交于點C，點D在拋物線上運動（不與點A，B，C重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當點D在第一象限拋物線上運動時，過點D作DF⊥x軸，垂足為點F，直線DF與直線AC交于點E，若DE＝EA，求點D的坐標；（3）如圖2，直線BD交直線AC于點H，點G在坐標平面內(nèi)，在拋物線上是否存在點D，使以點A，D，H，G為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，拋物線的對稱軸與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，3），C為該拋物線圖象上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，當點C在第一象限，且∠BAC＝90°，求tan∠ABC的值；（3）點D在拋物線上（點D在點C的左側，不與點B重合），點P在坐標平面內(nèi)，問是否存在正方形ACPD？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，二次函數(shù)y＝﹣+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點D的坐標；（2）若該拋物線與x軸的另一個交點為C，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，求P點坐標為多少時，△BCP的面積最大，并求出這個最大面積．（3）在直線CD上有點E，作EF⊥x軸于點F，當以O、B、E、F為頂點的四邊形是矩形時，直接寫出E點坐標．8．若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），其對稱軸為直線x＝1，與x軸的另一個交點為C，與y軸交于點B．（1）點C的坐標為；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）點M在線段AB上，過點M作MN⊥x軸于點N．①若MN：NC＝2：5，求點M的坐標；②以MN為對角線作正方形MPNQ（點P在MN右側），當點P在對稱軸上時，直接寫出點M的坐標．9．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0）．（1）求拋物線的表達式；（2）若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設△PBC的面積為S，求S的最大值及此時點P的坐標；（3）已知M是拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)是否存在點N，使以B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．10．平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若兩垂線與坐標軸圍成矩形的周長數(shù)值是面積數(shù)值的2倍，則稱這個點為“二倍點”．例如，點P（，3）是“二倍點”．（1）在點A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍點”的有；（2）若點E為雙曲線y＝﹣（x＞0）上任意一點．①請說明隨著點E在圖象上運動，為什么函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大？②若將點E向右平移一個單位，再向下平移一個單位得到點F．求證：點F為“二倍點”．（3）已知“二倍點”M在拋物線y＝x2（x＞0）的圖象上，“二倍點”N在一次函數(shù)y＝x（x＞0）的圖象上，點G在x軸上，坐標平面內(nèi)有一點H，若以點M，N，G，H為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點H的坐標．11．已知，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC．（1）如圖1，請判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，D為線段AB上一動點，作DP∥AC交拋物線于點P，過P作PE⊥x軸，垂足為E，交BC于點F，過F作FG⊥PE，交DP于G，連接CG，OG，求陰影部分面積S的最大值和D點