浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題

2023學年第一學期寧波三鋒教研聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】設,由于，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B2.學校開運動會，設是參加100米跑的同學}，是參加200米跑的同學}，是參加400米跑的同學}．學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽．請你用集合的運算說明這項規(guī)定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的含義求解即可.【詳解】學校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比賽，故沒有同學參加三項比賽，即.故選：D3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解即可．【詳解】命題：，的否定為：，.故選：B.4.下面給出4個冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對應的是（）A.①，②，③，④B.①，②，③，④C.①，②，③，④D①，②，③，④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖像特征，對照四個選項一一驗證，即可得到答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且定義域為R，該函數(shù)圖像應與①對應；函數(shù)，且該函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關于y軸對稱，該函數(shù)圖像應與②對應；的定義域、值域都是，該函數(shù)圖像應與③對應；，其圖像應與④對應．故選：A．5.若，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式性質求解即可【詳解】,，，，，又可得，所以，所以的取值范圍是故選：A6.下列大小關系錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，所以，A正確；對于B，因為，所以，B正確；對于C，因為在上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為在上單調(diào)遞增，，所以，故D正確.故選：C.7.已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式即可求解.【詳解】因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當即時，在上單調(diào)遞減，函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，則，解得.故選：A.8.已知函數(shù)，且，那么等于（）A.－18 B.－26 C.－10 D.10【答案】B【解析】【分析】構造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質計算．【詳解】設，則，∴是奇函數(shù)，又，所以，，故選：B．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.下列命題中，是真命題的有（）A.，是同一函數(shù)B.，C.某些平行四邊形是菱形D.【答案】BC【解析】【分析】A選項，根據(jù)相同函數(shù)的定義可判斷；B選項，根據(jù)全稱命題的真假性可判斷；C選項，由特稱命題的真假性可判斷；D選項，根據(jù)根式和分數(shù)指數(shù)冪互化可判斷.【詳解】對于A，的定義域為，而函數(shù)的定義域為R，所以與不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，，，，故B正確；對于C，兩鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.10.設，則下列不等關系正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意，對每一選項結合作差法比較大小即可求解.【詳解】對于A，因為，所以，，故A正確；對于B，因為，所以，，故B錯誤；對于C，因為，所以，，故C正確；對于D，因為，所以，，故D正確.故選：ACD.11.在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質，基本不等式等求出函數(shù)的最小值然后判斷．【詳解】選項A，，，A錯；選項B，，∴，且，B正確；選項C，，當且僅當時等號成立，C正確；選項D，時，，時，，且，D正確．故選：BCD．12.已知函數(shù)滿足對任意的，都有，，若函數(shù)的圖象關于點對稱，且對任意的，，，都有，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于直線對稱 B.是偶函數(shù)C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平移結合已知可推得的圖象關于點對稱，是奇函數(shù).進而根據(jù)奇函數(shù)的性質，結合已知即可判斷A項，以及求出函數(shù)周期，進而判斷C項；根據(jù)已知結合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出函數(shù)在上的單調(diào)性，結合函數(shù)的周期性以及對稱性，即可判斷D項.【詳解】對于A、B項，由已知函數(shù)的圖象關于點對稱，可得，的圖象關于點對稱.又定義域為R，所以是奇函數(shù)，故B項錯誤.由是奇函數(shù)，可得.又由已知可得，，所以有，所以的圖象關于直線對稱，故A項正確；對于C項，由可得，，所以有，所以的周期為4，所以.又是奇函數(shù)，所以.由代入可得，，所以，，故C項正確；對于D項，由的周期為4，可得.又的圖象關于直線對稱，所以，，，所以，.由對任意的，，，都有，可得，.所以，，都有，所以，在上單調(diào)遞增.所以，，即有，故D項錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分，16題第一空2分，第二空3分）13.是定義在上的奇函數(shù)，則實數(shù)______【答案】5【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解．【詳解】由題意定義域關于原點對稱，∴，，故答案為：5.14.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域為，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：15.不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】由分式不等式的解法求解即可.【詳解】由可得：，即，所以，解得：或.故答案為：.16.已知實數(shù)x，y，且．當x，y均為正數(shù)時，則的最小值為______；當x，y均為整數(shù)時，的最小值為______【答案】①.##②.－9【解析】【分析】由基本不等式可得，解不等式即可；由可得因為x，y均為整數(shù)，所以，為整數(shù)，分類討論，即可得出答案.【詳解】因為x，y均為正數(shù)時，，則，當且僅當時取等，即，解得：或，因為x，y均為正數(shù)，所以，所以的最小值為；由可得因為x，y均為整數(shù)，所以，為整數(shù)，則，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，，，解得：，所以，故的最小值為.故答案為：；.非選擇題部分四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，且函數(shù)圖象如圖所示．（1）求在R上的解析式；（2）求的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）結合函數(shù)圖像求得時的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性即可求得時的解析式，即得答案；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質求得的值，結合函數(shù)解析式即可求得答案.【小問1詳解】由圖象可知當時的函數(shù)圖象過點，故，即此時函數(shù)解析式為；又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故當時，，則，故在R上的解析式；【小問2詳解】因為，則．18.已知集合，集合．（1）若集合B的真子集有且只有1個，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由判別式為0可得；（2）由得，然后對分類討論可得；【小問1詳解】集合B元素個數(shù)為1．，即，解得：；【小問2詳解】∵，∴對集合B討論：當時，即時，，滿足條件；當時，即，此時，滿足條件；當時，要滿足條件，必有，由根與系數(shù)的關系有：，此方程組無解，不滿足條件舍去綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是19.已知函數(shù)．（1）若，，不等式對一切實數(shù)x都成立，求a的取值范圍；（2）若的解集為，求關于x的不等式的解集．【答案】19.20.【解析】分析】（1）由題意一元二次不等式恒成立等價于，解不等式組即可.（2）由題意的解集為等價于，從而不等式等價于，解一元二次不等式即可.【小問1詳解】由題意對一切實數(shù)x都成立恒成立，，解不等式組得，所以a的取值范圍為.【小問2詳解】由于即的解集為，所以，即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集為．20.杭州第19屆亞運會（The19thAsianGames）又稱“杭州2022年第19屆亞運會”，是亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.本次亞運會共有45個國家（地區(qū)）12500余名運動員參加，賽事分6個賽區(qū)40多個場館進行.某市在建造運動會主體育場時需建造隔熱層，并要求隔熱層的使用年限為15年．已知每厘米隔熱層的建造成本是4萬元，設每年的能源消耗費用為萬元，隔熱層的厚度為x厘米，兩者滿足關系式：（，k為常數(shù)）．當隔熱層的厚度為5厘米時，等于2萬元．已知15年的總維修費用為20萬元，記為15年的總費用．（總費用=隔熱層的建造成本費用+使用15年的能源消耗費用+15年的總維修費用）．（1）求常數(shù)k；（2）請問當隔熱層的厚度為多少厘米時，15年的總費用最小，并求出最小值．【答案】（1）（2）時，取最小值，最小值為70萬元．【解析】分析】（1）當時，，代入求出常數(shù)；（2）列出總費用關于的函數(shù)表達式，使用基本不等式求最小值.【小問1詳解】依題意，當時，，∴，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴，當且僅當，即時，取最小值，最小值為70萬元．21.設函數(shù)（且，），是定義域為的奇函數(shù)．（1）求的值，判斷當時，函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義法證明；（2）若，函數(shù)，求的值域．【答案】（1），在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，可求得的值，即可得函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)的值，可以求得，即可得的解析式，利用換元法，將函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質，即可求得值域.【小問1詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，則，所以，所以，當時，在上單調(diào)遞增，，x2∈R由于，,則，，得，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，得，，令，由（1）知為增函數(shù)，，，設，值域為．22.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)增區(qū)間；此時若對任意，，當時，都有，求m的最大值；（2）當時，記函數(shù)，在上的最大值為，求的最小值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）時求出增區(qū)間