數(shù)學(xué)建模初等模型

數(shù)學(xué)建模

〔MathematicalModeling)

1.第二章初等模型

xx理學(xué)院2.線性代數(shù)模型初等模型第二章極限、最值、積分問題的初等模型經(jīng)濟(jì)問題中的初等模型重點(diǎn):各種簡單的初等模型難點(diǎn):簡單初等模型的建立和求解生活中的問題

黑龍江科技學(xué)院

數(shù)學(xué)建模

理學(xué)院建模舉例3.2.1

生活中的問題2.1.1

椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。

xx理學(xué)院4.模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性用

(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是

的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f(

)B,D兩腳與地面距離之和~g(

)兩個距離xBADCOD′C′B′A′

椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對稱性

xx理學(xué)院5.用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(

),g(

)是連續(xù)函數(shù)對任意

,f(

),g(

)至少一個為0數(shù)學(xué)問題：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地

xx理學(xué)院6.模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),那么h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()確實定

xx理學(xué)院7.2.1.2分蛋糕問題妹妹過生日，媽媽做了一塊邊界形狀任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指著蛋糕上的一點(diǎn)對哥哥說，你能過這一點(diǎn)切一刀，使得切下的兩塊蛋糕面積相等，就把其中的一塊送給你。哥哥利用高等數(shù)學(xué)知識解決了這個問題，你知道他用的是什么方法嗎？問題歸結(jié)為如下一道證明題：已知平面上一條沒有交叉點(diǎn)的封閉曲線，P是曲線所圍圖形上任一點(diǎn)，求證：一定存在一條過P的直線，將這圖形的面積二等分。

xx理學(xué)院8.只證明了直線的存在性，你能找到它么？P?PS1S2l若S1≠S2不妨設(shè)S1＞S2(此時l與x軸正向的夾角記為)以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將l按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，面積S1，S2就連續(xù)依賴于角的變化，記為令：而在上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理得證。

xx理學(xué)院9.2.1.3出租車收費(fèi)問題某城市出租汽車收費(fèi)情況如下：起價10元〔4km以內(nèi)〕，行程缺乏15km，大于等于4km局部，每公里車費(fèi)1.6元；行程大于等于15km局部，每公里車費(fèi)2.4元。計程器每0.5km記一次價。

例如，當(dāng)行駛路程x（km）滿足12≤x<12.5時，按12.5km計價；當(dāng)12.5≤x<13時，按13km計價；例如，等候時間t(min)滿足2.5≤t<5時，按2.5min計價收費(fèi)0.8元；當(dāng)5≤t<25

，按5min計價理學(xué)院

xx10.請答復(fù)以下問題假設(shè)行程都是整數(shù)公里，停車時間都是2.5min的整數(shù)倍，請建立車費(fèi)與行程的數(shù)學(xué)模型。假設(shè)行駛12km，停車等候5min,應(yīng)付多少車費(fèi)？假設(shè)行駛23.7km,停車等候7min，應(yīng)付多少車費(fèi)？解（1）設(shè)車費(fèi)為y元，其中行程車費(fèi)為y1元，停車費(fèi)為y2元，行程為xkm，x∈z+,停車時間為tmin，t∈z+,則理學(xué)院

xx11.

數(shù)學(xué)模型為

計算起來很簡單。

理學(xué)院

xx12.我學(xué)過高等數(shù)學(xué)，我可以做得更好，呵呵

2.1.4螞蟻逃跑問題一塊長方形的金屬板，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔1，1〕，〔5，1〕，〔1，3〕，〔5，3〕，在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個火焰，它使金屬板受熱，假設(shè)板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比，在〔3，2〕處有一只螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼的地點(diǎn)？解：板上任一點(diǎn)〔x,y〕處的溫度為理學(xué)院

xx13.2.2極限問題中的初等模型2.3最值問題中的初等模型2.4積分問題中的初等模型

xx理學(xué)院14.細(xì)菌繁殖問題

求：開始時細(xì)菌個數(shù)可能是多少？假設(shè)繼續(xù)以現(xiàn)在的速度增長下去，假定細(xì)菌無死亡，60天后細(xì)菌的個數(shù)大概是多少？某種細(xì)菌繁殖的速度在培養(yǎng)基充足等條件滿足時，與當(dāng)時已有的數(shù)量成正比，即，V=KA0(K>0為比例常數(shù))。1.建立細(xì)菌繁殖的數(shù)學(xué)模型。2.假設(shè)一種細(xì)菌的個數(shù)按指數(shù)方式增長，下表是收集到的近似數(shù)據(jù)。天數(shù)細(xì)菌個數(shù)5936102190

由于細(xì)菌的繁殖時連續(xù)變化的，在很短的時間內(nèi)數(shù)量變化得很小，繁殖速度可近似看做不變。

xx理學(xué)院15.解:建立數(shù)學(xué)模型將時間間隔t分成n等分，在第一段時間內(nèi)，細(xì)菌繁殖的數(shù)量為，在第一段時間末細(xì)菌的數(shù)量為，同樣，第二段時間末細(xì)菌的數(shù)量為；以此類推，最后一段時間末細(xì)菌的數(shù)量為，經(jīng)過時間t后，細(xì)菌的總數(shù)是設(shè)細(xì)菌的總數(shù)為y,那么所求的數(shù)學(xué)模型為：

xx理學(xué)院16.海報設(shè)計問題現(xiàn)在要求設(shè)計一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為128平方分米，上下空白個2分米，兩邊空白個1分米，如何確定海報尺寸可使四周空白面積為最??？最小令此式對x的導(dǎo)數(shù)為0，解得：x=16,此時y=8,可使空白面積最小。其中這個問題可用求一元函數(shù)最值的方法解決x21y

思考：若海報改為左右兩欄，橫向粘貼，印刷面積為180平方分米，要求四周留下空白寬2分米，留1分米寬豎直中縫。如何設(shè)計它的尺寸使總空白面積最小?

xx理學(xué)院17.

對某工廠的上午班工人的工作效率的研究表明，一個中等水平的工人早上8：00開始工作，在t小時之后，生產(chǎn)出

Q(t)=-t3+9t2+12t

個晶體管收音機(jī)。問：在早上幾點(diǎn)鐘這個工人的工作效率最高？工人上班效率問題工作效率最高，即生產(chǎn)率最大，此題中，工人在t時刻的生產(chǎn)率為產(chǎn)量Q關(guān)于時間t的變化率：Q’(t)，則問題轉(zhuǎn)化為求Q’(t)的最大值解：工人的生產(chǎn)率為比較R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3時，即上午11：00，工人的工作效率最高。

xx理學(xué)院18.

一個小鄉(xiāng)村里的唯一商店有兩種牌子的凍果汁，當(dāng)?shù)嘏谱舆M(jìn)價每聽30美分，外地牌子的進(jìn)價每聽40美分。店主估計，如果當(dāng)?shù)嘏谱拥拿柯犢ux美分，外地牌子賣y美分，則每天可賣出70-5x+4y聽當(dāng)?shù)嘏谱拥墓?0+6x-7y聽外地牌子的果汁。問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？最大利潤問題想一想高等數(shù)學(xué)中二元函數(shù)求最值的方法解：每天的總收益為二元函數(shù)：令，，則有駐點(diǎn)x=53,y=55判斷可知（53，55）為最大值點(diǎn)。

xx理學(xué)院19.一零售商收到一船共10000公斤大米，這批大米以常量每月2000公斤運(yùn)走，要用5個月時間，如果貯存費(fèi)是每月每公斤0.01元，5個月之后這位零售商需支付貯存費(fèi)多少元？商品的貯存費(fèi)問題將區(qū)間0≤t≤5分為n個等距的小區(qū)間，任取第j個小區(qū)間【tj,tj+1】，區(qū)間長度為tj+1-tj=△t，在這個小區(qū)間中，

每公斤貯存費(fèi)用=0.01△t

第j個小區(qū)間的貯存費(fèi)=0.01Q(tj)△t

總的貯存費(fèi)=由定積分定義：

總貯存費(fèi)=解：令Q(t)表示t個月后貯存大米的公斤數(shù)，那么Q(t)=10000-2000t

xx理學(xué)院20.某公路管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個星期內(nèi)平均車連行駛速度，數(shù)據(jù)統(tǒng)計表明：一個普通工作日的下午1：00至6：00之間，次口在t時刻的平均車輛行駛速度為：

S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，試計算下午1：00至6：00內(nèi)的平均車輛行駛速度？車輛平均行駛速度問題解：平均車輛行駛速度為此題是求函數(shù)s(t)在區(qū)間【1，6】內(nèi)的平均值一般地，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值，等于函數(shù)在此區(qū)間上的定積分除以區(qū)間長度。

xx理學(xué)院21.

設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量為q,產(chǎn)品價格為p,固定成本c0，可變成本為c1.2.5

經(jīng)濟(jì)問題中的初等模型（1）總成本函數(shù)：（2）供給函數(shù)：（3）需求函數(shù)：（4）價格函數(shù)：

xx理學(xué)院22.（5）收益函數(shù)：（6）利潤函數(shù)：（7）邊際成本函數(shù)：（8）邊際收益函數(shù)：（9）邊際利潤函數(shù)：

xx理學(xué)院23.例1某品牌收音機(jī)每臺售價90元，本錢為60元，廠家為鼓勵銷售商大量采購，決定但凡訂購量超過100臺以上的，每多訂購一臺，售價就降低1分〔例如某商行訂購300臺，訂購量比100臺多200臺，于是每臺就降價0.01×200=2元，商行可按每臺88元的價格購進(jìn)300臺〕。但最低價格為75元/臺?！?〕建立訂購量x與每臺的實際售價p的數(shù)學(xué)模型?！?〕建立利潤L與訂購量x的數(shù)學(xué)模型?！?〕當(dāng)一商行訂購了1000臺時，廠家可獲利潤多少？據(jù)此不難將售價與訂購量歸納為如下的數(shù)學(xué)模型：

當(dāng)x≤100時，每臺售價90元；當(dāng)訂購量超過1600臺時，每臺售價75元；當(dāng)訂購量在100到1600臺之間時，每臺售價為90-(x-100)×0.01每臺利潤是實際售價p與成本60元之差，所以

L=(p-60)x

xx理學(xué)院24.例2一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去，當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)。〔1〕建立總收入R與租金x之間的數(shù)學(xué)模型。〔2〕當(dāng)房租定為多少時可獲得最大收入？解：（1）建立數(shù)學(xué)模型：

（2）求R的最大值。得x=350(元/月)

總收入R等于租出的公寓數(shù)50-((x-180)/10)乘以每套公寓的純利潤x-20

xx理學(xué)院25.例3某不動產(chǎn)商行能以5%的年利率借得貸款，然后它又把此款貸給顧客。假設(shè)他能貸出的款額與他貸出的利率的平方成反比〔利率太高無人借貸〕。(1)建立年利率x與利潤p間的數(shù)學(xué)模型。(2)當(dāng)以多大的年利率貸出時，能使商行獲得利潤最大？解

(1)

貸出的款額為k/x2,k>0為常數(shù)，商行可獲得利潤：(2)下面求當(dāng)x取何值時，p最大。得x=0.1,即貸出年利率為10%時，商行獲得利潤最大。

xx理學(xué)院26.§2.6

線性代數(shù)模型所謂狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題討論的是在一定的條件下，系統(tǒng)由一狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)移到另一狀態(tài)是否可能，如果可以轉(zhuǎn)移的話，應(yīng)如何具體實現(xiàn)？

例1

人、狗、雞、米過河問題這是一個人所共知而又十分簡單的智力游戲。某人要帶狗、雞、米過河，但小船除需要人劃外，最多只能載一物過河，而當(dāng)人不在場時，狗要咬雞、雞要吃米，問此人應(yīng)如何過河。在本問題中，可采取如下方法：一物在此岸時相應(yīng)分量為1，而在此岸時那么取為0，例如〔1,0,1,0〕表示人和雞在此岸，而狗和米那么在對岸。

xx理學(xué)院27.〔i〕可取狀態(tài)：根據(jù)題意，并非所有狀態(tài)都是允許的，例如〔0,1,1,0〕就是一個不可取的狀態(tài)。此題中可取狀態(tài)〔即系統(tǒng)允許的狀態(tài)〕可以用窮舉法列出來，它們是：〔ii〕可取運(yùn)算：狀態(tài)轉(zhuǎn)移需經(jīng)狀態(tài)運(yùn)算來實現(xiàn)。在實際問題中，擺一次渡即可改變現(xiàn)有狀態(tài)。為此也引入一個四維向量〔轉(zhuǎn)移向量〕，用它來反映擺渡情況。例如〔1，1，0，0〕表示人帶狗擺渡過河。根據(jù)題意，允許使用的轉(zhuǎn)移向量只能有〔1，0，0，0，〕、〔1，1，0，0〕、〔1，0，1，0〕、〔1，0，0，1〕四個。人在此岸人在對岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)

總共有十個可取狀態(tài)，對一般情況，應(yīng)找出狀態(tài)為可取的充要條件。

xx理學(xué)院28.規(guī)定一個狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之間的運(yùn)算。規(guī)定狀態(tài)向量與轉(zhuǎn)移向量之和為一新的狀態(tài)向量，其運(yùn)算為對應(yīng)分量相加，且規(guī)定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。

在具體轉(zhuǎn)移時，只考慮由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。問題化為：由初始狀態(tài)〔1，1，1，1〕出發(fā)，經(jīng)奇數(shù)次上述運(yùn)算轉(zhuǎn)化為〔0，0，0，0〕的轉(zhuǎn)移過程。我們可以如下進(jìn)行分析：〔第一次渡河〕

xx理學(xué)院29.〔第二次渡河〕以下可繼續(xù)進(jìn)行下去，直至轉(zhuǎn)移目的實現(xiàn)。上述分析實際上采用的是窮舉法，對于規(guī)模較大的問題是不宜采用的。

xx理學(xué)院30.例2

夫妻過河問題這是一個古老的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)問題。有三對夫妻要過河，船最多可載兩人，約束條件是根據(jù)阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不場的情況下與其他男子在一起，問此時這三對夫妻能否過河？這一問題的狀態(tài)和運(yùn)算與前一問題有所不同，根據(jù)題意，狀態(tài)應(yīng)能反映出兩岸的男女人數(shù)，過河也同樣要反映出性別

故可如下定義：（i）可取狀態(tài)：用H和W分別表示此岸的男子和女子數(shù)，狀態(tài)可用矢量（H，W）表示，其中0≤H、W≤3。可取狀態(tài)為（0,i），(i,i)，(3,i)，0≤i≤3。(i,i)為可取狀態(tài)，這是因為總可以適當(dāng)安排而使他們是i對夫妻。（ii）可取運(yùn)算：過河方式可以是一對夫妻、兩個男人或兩個女人，當(dāng)然也可以是一人過河。轉(zhuǎn)移向量可取成((－1)im,(－1)in)，其中m、n可取0、1、2，但必須滿足1≤m+n≤2。當(dāng)j為奇數(shù)時表示過河。當(dāng)j為偶數(shù)時表示由對岸回來，運(yùn)算規(guī)則同普通向量的加法。

xx理學(xué)院31.問題歸結(jié)為由狀態(tài)(3,3)經(jīng)奇數(shù)次可取運(yùn)算，即由可取狀態(tài)到可取狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)化為(0,0)的轉(zhuǎn)移問題。和上題一樣，我們既可以用計算機(jī)求解，也可以分析求解，此外，此題還可用作圖方法來求解。在H~W平面坐標(biāo)中，以“·〞表示可取狀態(tài)，從A(3,3)經(jīng)奇數(shù)次轉(zhuǎn)移到達(dá)O(0,0)。奇數(shù)次轉(zhuǎn)移時向左或下移動1-2格而落在一個可取狀態(tài)上，偶數(shù)次轉(zhuǎn)移時向右或上移動1-2格而落在一個可取狀態(tài)上。為了區(qū)分起見,用紅箭線表示奇數(shù)次轉(zhuǎn)移，用藍(lán)箭線表示第偶數(shù)次轉(zhuǎn)移,以下圖給出了一種可實現(xiàn)的方案,故A(3,3)O(0,0)HW這三對夫妻是可以過河的。假設(shè)按這樣的方案過河,共需經(jīng)過十一次擺渡。不難看出,在上述規(guī)那么下,4對夫妻就無法過河了,讀者可以自行證明之.類似可以討論船每次可載三人的情況,其結(jié)果是5對夫妻是可以過河的,而六對以上時就無法過河了。

xx理學(xué)院32.常染色體遺傳模型

下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如表所示。

在常染色體遺傳中，后代從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因時，基因?qū)σ卜Q為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制的，（A、a為表示兩類基因的符號）那么就有三種基因?qū)?，記為AA，Aa，aa。

1000aa010Aa0001AA后代基因型aa－aaAa－aaAa－AaAA－aaAA－AaAA－AA父體——母體的基因型雙親隨機(jī)結(jié)合的較一般模型相比照較復(fù)雜，這些我們僅研究一個較簡單的特例。

xx理學(xué)院33.例4.8

農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型為AA,Aa和aa。農(nóng)場計劃采用AA型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？〔a〕假設(shè)：令n=0,1,2,…?！瞚〕設(shè)an,bn和cn分別表示第n代植物中，基因型為AA,Aa和aa的植物占植物總數(shù)的百分比。令x(n)為第n代植物的基因型分布：當(dāng)n=0時表示植物基因型的初始分布〔即培育開始時的分布〕例3

農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型為AA,Aa和aa。農(nóng)場計劃采用AA型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況如何？

xx理學(xué)院34.〔b〕建模根據(jù)假設(shè)(ii)，先考慮第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型與AA型結(jié)合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型與AA型結(jié)合，后代是AA型的可能性為1/2，而第n－1代的aa型與AA型結(jié)合，后代不可能是AA型。因此當(dāng)n=1,2…時即類似可推出cn=0

顯然有（ii）第n代的分布與第n－1代的分布之間的關(guān)系是通過表確定的。(2)(3)(4)

xx理學(xué)院(1)35.將〔2〕、〔3〕、〔4〕式相加，得根據(jù)假設(shè)(I)，可遞推得出：對于(2)式.(3)式和(4)式，我們采用矩陣形式簡記為其中〔注：這里M為轉(zhuǎn)移矩陣的位置〕(5)

xx理學(xué)院36.由〔5〕式遞推，得(6)（6）式給出第n代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。為了計算出Mn，我們將M對角化，即求出可逆矩陣P和對角庫D，使

M=PDP-1因而有

Mn=PDnP-1,n=1,2,…其中這里，，是矩陣M的三個特征值。對于(5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：

=1，=1/2，=0

xx理學(xué)院37.因此所以

通過計算，P-1=P，因此有

xx理學(xué)院38.即

xx理學(xué)院39.所以有當(dāng)時，，所以從（7）式得到即在極限的情況下，培育的植物都是AA型。假設(shè)在上述問題中，不選用基因AA型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率如表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后代基因型aa－aaAa－AaAA－AA父體——母體的基因型

xx理學(xué)院〔7〕40.并且，其中M的特征值為通過計算，可以解出與、相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特征向量e1和e2，及與相對應(yīng)的特征內(nèi)量e3：因此

xx理學(xué)院41.解得：當(dāng)

時，，所以因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因AA和aa。

xx理學(xué)院42.2.7建模舉例〔人員疏散問題〕

考慮學(xué)校的一座教學(xué)樓，其中一樓有一排四間相同的教室，學(xué)生們可以沿教室外的走廊一直走到盡頭的出口。試建立數(shù)學(xué)模型來分析人員疏散所用的時間。想一想疏散撤離所用的時間依賴于哪些因素？DL3L4L2L1n4