數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題專(zhuān)題提優(yōu)復(fù)習(xí)蘇科版七年級(jí)上冊(cè)

數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中考地位：數(shù)軸動(dòng)態(tài)問(wèn)題屬于七年級(jí)上冊(cè)必考的壓軸題型，是初中數(shù)學(xué)中最早體現(xiàn)分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的典型范例，培養(yǎng)學(xué)生分析與綜合能力。解題時(shí)，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動(dòng)點(diǎn)的出發(fā)位置，移動(dòng)方向和速度，用含t的式子表示動(dòng)點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動(dòng)點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗(yàn)解是否符合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍）。內(nèi)容介紹：本專(zhuān)題分為6個(gè)知識(shí)模塊和一份課后鞏固練習(xí)，其中每個(gè)知識(shí)模塊有一道例題和13個(gè)變式題，并且每道題目之后都標(biāo)有星級(jí)難度，從1星到最高5星，在使用過(guò)程中，要靈活變通。教學(xué)過(guò)程中，要循序漸進(jìn)，設(shè)問(wèn)引思，可以與學(xué)生一起探索討論，讓學(xué)生親自動(dòng)手練習(xí)，最后再歸納總結(jié)。數(shù)軸有關(guān)的壓軸大題復(fù)習(xí)教學(xué)的注意點(diǎn)（1）吃透概念、精致運(yùn)算，練好“基本功”；（2）摸清“套路”，求同存異，提高“解題術(shù)”；（3）高觀點(diǎn)助力，拓展“思維力”?！局R(shí)儲(chǔ)備】設(shè)數(shù)軸上兩點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)B所表示的數(shù)分別為a和b1.A、B兩點(diǎn)間的距離：能確定左右位置：右－左無(wú)法確定左右位置：2.A、B的中點(diǎn)：；3.運(yùn)動(dòng)三要素:起點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)方向，運(yùn)動(dòng)距離終點(diǎn)表示的數(shù)＝起點(diǎn)表示的數(shù)±運(yùn)動(dòng)距離（向右用+，向左用）4.數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要步驟：（1）畫(huà)圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；（2）寫(xiě)點(diǎn)——寫(xiě)出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示，向左運(yùn)動(dòng)用“”表示；（3）表示距離——右—左，若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；（4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型1：規(guī)律問(wèn)題例題★在數(shù)軸上，表示的點(diǎn)開(kāi)始移動(dòng)，第1次先從點(diǎn)向左移動(dòng)1個(gè)單位至點(diǎn)，第2次從向右移動(dòng)2個(gè)單位至點(diǎn)；第3次從點(diǎn)向左移動(dòng)3個(gè)單位至點(diǎn)，第4次從點(diǎn)向右移動(dòng)4個(gè)單位至點(diǎn)；按此規(guī)律移動(dòng)，則點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是變式1★★

等邊在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0和﹣1，若△ABC繞著頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1；則翻轉(zhuǎn)100次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（

）A．99 B．100 C．101 D．103變式2★★★一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)步后退步的程序運(yùn)動(dòng)，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退步，并且每步的距離為個(gè)單位長(zhǎng)，表示第秒時(shí)機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)，給出下列結(jié)論（1）；（2）；（3）；（4）；（5）其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)變式3★★★★在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為1，點(diǎn)表示的數(shù)為3．對(duì)于數(shù)軸上的圖形，給出如下定義；為圖形上任意一點(diǎn)，為線段上任意一點(diǎn)，如果線段的長(zhǎng)度有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形關(guān)于線段的極小距離，記作（，線段）；如果線段的長(zhǎng)度有最大值，那么稱(chēng)這個(gè)最大值為圖形關(guān)于線段的極大距離，記作（，線段），例如：點(diǎn)表示的數(shù)為4，則（點(diǎn)，線段），（點(diǎn)，線段）．已知點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)．(1)（點(diǎn)，線段）___________，（點(diǎn)，線段）___________；(2)若點(diǎn)在點(diǎn)左邊2個(gè)單位處，且已知（線段，線段）.求點(diǎn)所表示的數(shù)．(3)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從表示數(shù)的點(diǎn)出發(fā)，第1秒以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，第2秒以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，第3秒以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，第4秒以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，，按此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間后（線段，線段），請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果_____________．題型2折疊例題★★如圖①，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且．①②備用圖(1)填空：，；(2)如圖②所示，現(xiàn)將該數(shù)軸沿著點(diǎn)C折疊，使得點(diǎn)A、點(diǎn)B能重合．已知點(diǎn)D也為該數(shù)軸上的一點(diǎn)，沿著點(diǎn)C進(jìn)行同樣的折疊后，與數(shù)軸上的點(diǎn)E重合．若點(diǎn)E與點(diǎn)A之間相距10個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)D所表示的數(shù)為；(3)在（2）的條件下，有一機(jī)器貓從點(diǎn)D沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)一電子鼠從對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電子鼠遇到機(jī)器貓立刻返回到點(diǎn)E再向右運(yùn)動(dòng)，遇到機(jī)器貓?jiān)俜祷亍O(shè)機(jī)器貓每秒運(yùn)動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，電子鼠每秒運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)機(jī)器貓與電子鼠同時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處停止運(yùn)動(dòng)，求電子鼠運(yùn)動(dòng)的路程．變式1★★平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變化．(1)平移運(yùn)動(dòng)：①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向正方向移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)？用算式表示以上過(guò)程及結(jié)果是A．

B．

C．

D．②一機(jī)器人從原點(diǎn)0開(kāi)始，第1次向左跳1個(gè)單位，緊接著第2次向右跳2個(gè)單位，第3次向左跳3個(gè)單位，第4次向右跳4個(gè)單位，……，依此規(guī)律跳，當(dāng)它跳2021次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是______．(2)翻折變換：①若折疊紙條，表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，那么表示2021的點(diǎn)與表示______的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在B的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A點(diǎn)表示______，B點(diǎn)表示______．③若數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為a，b，折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____．(用含有a，b的式子表示)變式2★★操作與探究對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)，在數(shù)軸上，對(duì)線段上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段，其中點(diǎn)A，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，．(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)表示的數(shù)是2，點(diǎn)表示的數(shù)是______；(3)已知線段上的點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)表示的數(shù)是______(4)保持前兩問(wèn)的條件不變，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為折點(diǎn)，將數(shù)軸向左對(duì)折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在數(shù)軸上的處，若，求點(diǎn)表示的數(shù)．變式3★★★數(shù)軸上給定兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A表示的數(shù)為1，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，若數(shù)軸上有兩點(diǎn)M、N，線段的中點(diǎn)在線段上（線段的中點(diǎn)可以與A或B點(diǎn)重合），則稱(chēng)M點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于線段對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E表示的數(shù)分別為3、6、7，則點(diǎn)_____與點(diǎn)O關(guān)于線段AB對(duì)稱(chēng)；(2)數(shù)軸上，點(diǎn)F表示的數(shù)為x，G為線段上一點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)G關(guān)于線段對(duì)稱(chēng)，則x的最小值為_(kāi)_____，最大值為_(kāi)_____；(3)動(dòng)點(diǎn)P從9開(kāi)始以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，向數(shù)軸正方向移動(dòng)時(shí)，同時(shí)，線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，向數(shù)軸正方向移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從5開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，向數(shù)軸負(fù)方向移動(dòng)；當(dāng)P、Q相遇時(shí)，分別以原速立即返回起點(diǎn)，回到起點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，則t滿(mǎn)足______時(shí)，P與Q始終關(guān)于線段對(duì)稱(chēng)．題型3新定義例題★★【閱讀理解】點(diǎn)A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，如果點(diǎn)C在A、B之間且到A的距離是點(diǎn)C到B的距離3倍，那么我們就稱(chēng)點(diǎn)C是的奇點(diǎn)．例如，如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1．表示0的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是3，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的奇點(diǎn)；又如，表示的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是3，那么點(diǎn)D就不是的奇點(diǎn)，但點(diǎn)D是的奇點(diǎn)．【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為，點(diǎn)N所表示的數(shù)為5．(1)數(shù)所表示的點(diǎn)是的奇點(diǎn)；數(shù)所表示的點(diǎn)是的奇點(diǎn)；(2)如圖3，A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為，點(diǎn)B所表示的數(shù)為30．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止．P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上的什么位置時(shí)，P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)？變式1★★★對(duì)于數(shù)軸上的A、B、C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿(mǎn)足3倍的數(shù)量關(guān)系，則稱(chēng)該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“好點(diǎn)”．例如，數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是1，4，5，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A、C的“好點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)A表示數(shù)，點(diǎn)B表示的數(shù)，下列各數(shù)：所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，其中是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”的是___________；(2)點(diǎn)A表示數(shù)，點(diǎn)B表示的數(shù)20，點(diǎn)P為數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：①若點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)；②數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)為35，點(diǎn)Q表示的數(shù)為100，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，以5單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)P的速度變?yōu)橹暗?倍，反向沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)Q重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)P、A、B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“好點(diǎn)”，直接寫(xiě)出此時(shí)t的值為_(kāi)__________．變式2★★★對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點(diǎn)，如果M，P兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱(chēng)這個(gè)最小值為點(diǎn)M，線段AB的“近距”，記作d1（點(diǎn)M，線段AB）；如果M，P兩點(diǎn)間的距離有最大值，那么稱(chēng)這個(gè)最大值為點(diǎn)M，線段AB的“遠(yuǎn)距”，記作d2（點(diǎn)M，線段AB），特別的，若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則M，P兩點(diǎn)間距離為0，已知點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3．如圖，若點(diǎn)C表示的數(shù)為5，則d1（點(diǎn)C，線段AB）＝2，d2（點(diǎn)C，線段AB）＝7．(1)若點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣3，則d1（點(diǎn)D，線段AB）＝，d2（點(diǎn)D，線段AB）＝；(2)若點(diǎn)E表示數(shù)為x，點(diǎn)F表示數(shù)為x+1．d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍．求x的值．題型4：n等分點(diǎn)例題★★★如圖，數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度為1，A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是互為相反數(shù)；(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是(2)數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P先向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)5個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)M，若點(diǎn)M表示的數(shù)是1，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是(3)【背景知識(shí)】數(shù)軸上，點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別記為a、b，當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，且到A、B的距離相等，即PA=PB,則點(diǎn)P表示的數(shù)可記為.若點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和0.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng).當(dāng)三點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不妨設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，(t＞0)①點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)A表示的數(shù)為；點(diǎn)B表示的數(shù)為.（用含t的式子表示）②當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)P三點(diǎn)之間恰好有一個(gè)點(diǎn)到其他兩個(gè)點(diǎn)的距離相等？變式1★★★點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，則、兩點(diǎn)之間的表示為距離，利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離為a=________；數(shù)軸上表示和兩點(diǎn)之間的距離為a=________；(2)若的最小值為，則________；(3)已知數(shù)軸上三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，，點(diǎn)為數(shù)軸上任意點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為．如果點(diǎn)以每分鐘個(gè)單位的速度從點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)分鐘后，不包括時(shí)點(diǎn)到的距離為點(diǎn)到的距離的倍，請(qǐng)求出值．變式2★★★★如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點(diǎn)B表示的數(shù)為7，AB=12.(1)直接寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù).(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng).①經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)？②在P、Q兩點(diǎn)相遇之前，點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OQ上，且QN=OQ.問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒，在P、M、N三個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)為以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)(把一條線段分成1:2的兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的三等分點(diǎn).)？題型5定值問(wèn)題例題★★如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，B是數(shù)軸上在A右側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為16．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)在點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后第幾秒時(shí)，P到A、B兩點(diǎn)的距離之和為20，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，試判斷：的值是否會(huì)隨著t的變化而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1★★★數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：①若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離；②如果線段上有一點(diǎn)，把線段分割成相等的兩條線段，那么這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的中點(diǎn)．若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖1，已知數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、C，．點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是40．(1)點(diǎn)B表示的數(shù)是______．(2)若，求點(diǎn)C表示的數(shù)是______．(3)如圖2，在（2）的條件下，O表示原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、T分別從C、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、T、R的速度分別為5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t秒后，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_____．(4)在（2）（3）的條件下，請(qǐng)問(wèn)的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出相應(yīng)的數(shù)值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式2★★★已知：如圖數(shù)軸上有三點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B間距20個(gè)單位長(zhǎng)度且點(diǎn)A、B表示的有理數(shù)互為相反數(shù)，，數(shù)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位秒的速度向右沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)點(diǎn)A表示的有理數(shù)是______，點(diǎn)C表示的有理數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是______用含的式子表示．(2)當(dāng)______秒時(shí)，兩點(diǎn)之間相距8個(gè)單位長(zhǎng)度？(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C與點(diǎn)P同時(shí)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以個(gè)單位秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以3個(gè)單位秒和4個(gè)單位秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)，使得為一個(gè)定值，若存在，請(qǐng)求出值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式3★★★★【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．【問(wèn)題情境】如圖1，已知數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、C，，，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是30．【綜合運(yùn)用】(1)點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)C表示的數(shù)是______．(2)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從C、A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)A向左運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度是點(diǎn)R的速度的4倍，點(diǎn)Q的速度是點(diǎn)R的速度3倍少5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．經(jīng)過(guò)5秒，點(diǎn)P、Q之間的距離與點(diǎn)Q、R之間的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)Q的速度；(3)如圖3，O表示原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、T分別從C、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、T、R的速度分別為5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出相應(yīng)的數(shù)值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型6往返問(wèn)題例題★★思考下列問(wèn)題并在橫線上填上答案．(1)已知數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3，，兩點(diǎn)的距離為，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)所表示的數(shù)是______；(2)在紙上畫(huà)了一條數(shù)軸后，折疊紙面，使數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，若數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離是8（在的左側(cè)），且、兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述折疊后重合，則點(diǎn)表示的數(shù)是______，點(diǎn)表示的數(shù)是______；(3)數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)7，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)在點(diǎn)A與點(diǎn)之間，點(diǎn)A以每秒個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位的速度先向右運(yùn)動(dòng)碰到點(diǎn)A后立即返回向左運(yùn)動(dòng)，碰到點(diǎn)后又立即返回向右運(yùn)動(dòng)，碰到點(diǎn)A后又立即返回向左運(yùn)動(dòng)…，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三個(gè)點(diǎn)聚于一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這一點(diǎn)表示的數(shù)是多少？點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，移動(dòng)了多少單位？變式1★★★已知數(shù)軸上有三點(diǎn)，，分別表示有理數(shù)，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為．（1）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)分別到點(diǎn)和點(diǎn)的距離：______，______．（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立即以同樣的速度返回，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止．當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，求點(diǎn)，間的距離．變式2★★★數(shù)軸上點(diǎn)A表示－12，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示24，如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離，那么我們稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)C在折線數(shù)軸上的和諧距離為36個(gè)單位長(zhǎng)度．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，過(guò)點(diǎn)B后繼續(xù)以原來(lái)的速度向正方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，過(guò)點(diǎn)O后繼續(xù)以原來(lái)的速度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)秒時(shí)，求M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離；（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，立即以原速返回，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N立即停止運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻t使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課后鞏固(8道題，題目要求根據(jù)上課內(nèi)容進(jìn)行精選)1如圖所示，將圓的周長(zhǎng)分為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3，先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)將與圓周上的數(shù)字重合．2.平移和翻折是初中數(shù)學(xué)兩種重要的圖形變換．(1)平移運(yùn)動(dòng)①把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向負(fù)方向移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向正方向移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)？用算式表示以上過(guò)程及結(jié)果是______．A．

B．

C．

D．②一機(jī)器人從原點(diǎn)O開(kāi)始，第1次向左跳1個(gè)單位，緊接著第2次向右跳2個(gè)單位，第3次向左跳3個(gè)單位，第4次向右跳4個(gè)單位，…，依此規(guī)律跳，當(dāng)它跳2023次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是______．(2)翻折變換①若折疊紙條，表示的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)重合，則表示2023的點(diǎn)與表示______的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2023（A在B的左側(cè)，且折痕與①折痕相同），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A點(diǎn)表示的數(shù)是______，B點(diǎn)表示的數(shù)是______；③一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是、8，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在點(diǎn)B的右邊，并且，求點(diǎn)C表示的數(shù)．3.在同一直線上的三點(diǎn)、、，若滿(mǎn)足點(diǎn)到另兩個(gè)點(diǎn)、的距離之比是，則稱(chēng)點(diǎn)是其余兩點(diǎn)的亮點(diǎn)（或暗點(diǎn)）．具體地，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，則稱(chēng)點(diǎn)是的亮點(diǎn)；若則稱(chēng)點(diǎn)是的亮點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，稱(chēng)點(diǎn)是的暗點(diǎn)．例如，如圖，數(shù)軸上點(diǎn)、、、分別表示數(shù)、、、．則點(diǎn)是的亮點(diǎn)，又是的暗點(diǎn)，點(diǎn)是的亮點(diǎn)，又是的暗點(diǎn)．(1)如圖，、為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為．的亮點(diǎn)表示的數(shù)是______，的亮點(diǎn)表示的數(shù)是______．的暗點(diǎn)表示的數(shù)是______，的暗點(diǎn)表示的數(shù)是______．(2)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為．一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①求當(dāng)為何值時(shí)，是的暗點(diǎn)；②求當(dāng)為何值時(shí)，，和三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的亮點(diǎn)．4.定義：若A、B、C為數(shù)軸上三個(gè)不同的點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離和點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的2倍的和為10，我們就稱(chēng)點(diǎn)C是的美好點(diǎn)．例如：點(diǎn)M、N、P表示的數(shù)分別為、2、0，則點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是6，到點(diǎn)N的距離是2，那么點(diǎn)P是的美好點(diǎn)，而點(diǎn)P就不是的美好點(diǎn)．(1)若點(diǎn)M、N、P表示的數(shù)分別為3、6、7，則是[，]的美好點(diǎn)．（空格內(nèi)分別填入M、N、P）(2)若點(diǎn)M、P表示的數(shù)分別為、，且P是的美好點(diǎn)，則點(diǎn)N為．(3)如圖，數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)分別表示的數(shù)為、12、2，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)A點(diǎn)后立即以相同的速度返回往B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并持續(xù)在A，B兩點(diǎn)間往返運(yùn)動(dòng)．在Q點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向右勻速運(yùn)動(dòng)，直到當(dāng)點(diǎn)P達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C恰好為的美好點(diǎn)？5.點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖所示.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再?gòu)狞c(diǎn)B以同樣的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題.（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)t=6時(shí)，AP=個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）直接寫(xiě)出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中AP的長(zhǎng)度(用含t的代數(shù)式表示)；（3）當(dāng)AP=6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求t的值；（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AB的3等分點(diǎn)時(shí)，t的值為.6.如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A，C表示的數(shù)分別為，，我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離用表示兩點(diǎn)的大寫(xiě)字母一起標(biāo)記，比如：點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離記作．(1)點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離；(2)已知點(diǎn)B為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，直接寫(xiě)出點(diǎn)B表示的數(shù)；(3)動(dòng)點(diǎn)D從數(shù)1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．同時(shí)點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向右在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．代數(shù)式的值不隨時(shí)間t的變化而改變，請(qǐng)求出m的值．7.【知識(shí)準(zhǔn)備】若數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，為中點(diǎn)，則我們有中點(diǎn)公式：對(duì)應(yīng)的數(shù)為．(1)在一條數(shù)軸上，為原點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，，且有．則的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)__________．(2)【問(wèn)題探究】在（1）的條件下，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，為何值時(shí)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為10．(3)【拓展延伸】若數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，為靠近的三等分點(diǎn)，則我們有三等分點(diǎn)公式：對(duì)應(yīng)的數(shù)為．若數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，為靠近的四等分點(diǎn)，則我們有四等分點(diǎn)公式：M對(duì)應(yīng)的數(shù)為．填空：若數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)，為靠近的5等分點(diǎn)，則我們有5等分點(diǎn)公式：對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)__________．在（2）的條件下，若是最靠近的五等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，則是否存在，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出的范圍．8．（2022·全國(guó)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)C表示數(shù)C，且點(diǎn)A、B表示的數(shù)a、b滿(mǎn)足：a+32(1)當(dāng)AC的長(zhǎng)度為6個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，則a=，b=，．(2)在（1）條件下，點(diǎn)P、Q分別是AB、AC的中點(diǎn)，求PQ的長(zhǎng)度是多少？(3)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B停留3秒鐘后加快速度（仍保持勻速運(yùn)動(dòng)）返回到點(diǎn)A；點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即以相同速度返回到點(diǎn)O后停止；結(jié)果點(diǎn)M到點(diǎn)A比點(diǎn)N到點(diǎn)O晚1秒鐘，設(shè)點(diǎn)M從出發(fā)到運(yùn)動(dòng)結(jié)束的整個(gè)過(guò)程時(shí)間記為t秒，求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)MN=1時(shí)t的值．?dāng)?shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題答案題型1：規(guī)律問(wèn)題例題解：第次移動(dòng)個(gè)單位，第次左移個(gè)單位，每左移右移各一次后，點(diǎn)右移個(gè)單位，所以表示的數(shù)是．故答案為：．變式1如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵，∴翻轉(zhuǎn)100次后點(diǎn)B在數(shù)軸上，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是．故選：B．變式2依題意得：機(jī)器人每5秒完成一個(gè)前進(jìn)和后退，即前5秒對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，2，3，2，1；根據(jù)此規(guī)律即可推導(dǎo)判斷：（1）和（2），顯然正確；（3）中，76÷5=15……1，故x76=15+1=16，77÷5=15……2，故x77=15+2=17，16＜17，故錯(cuò)誤；（4）中，103÷5=20……3，故x103=20+3=23，104÷5=20……4，故x104=20+2=22，23＞22，故錯(cuò)誤；（5）中，2018÷5=403……3，故x2018=403+3=406，2019÷5=403……4，故錯(cuò)誤．故選：B．變式3（1）解：點(diǎn)到線段的最小距離為：，（點(diǎn)，線段），點(diǎn)到線段的最大距離為：，（點(diǎn)，線段），故答案為：1，3；（2）解：設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)在點(diǎn)左邊2個(gè)單位處，點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)線段在線段左側(cè)時(shí)，（線段，線段），解得：，當(dāng)線段在線段右側(cè)時(shí)，（線段，線段），解得：，綜上所述：點(diǎn)所表示的數(shù)為或5；（3）解：設(shè)時(shí)，（線段，線段），根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為0，點(diǎn)表示的數(shù)為，此時(shí)（線段，線段），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為2，點(diǎn)表示的數(shù)為0，此時(shí)（線段，線段），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為4，點(diǎn)表示的數(shù)為，此時(shí)（線段，線段），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為6，點(diǎn)表示的數(shù)為2，此時(shí)（線段，線段），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為8，點(diǎn)表示的數(shù)為，此時(shí)（線段，線段），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為10，點(diǎn)表示的數(shù)為4，此時(shí)（線段，線段），此后，點(diǎn)表示的數(shù)大于10，（線段，線段）總大于6，當(dāng)或或時(shí)，存在（線段，線段），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，此時(shí)（線段，線段），解得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，此時(shí)（線段，線段），解得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，此時(shí)（線段，線段）或，解得：或，綜上所述：兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)或或或時(shí)，（線段，線段），故答案為：或或或．題型2：折疊問(wèn)題例題（1）解：∵，又，∴，∴，故答案為：，20；（2）∵該數(shù)軸沿著點(diǎn)C折疊，使得點(diǎn)A、點(diǎn)B能重合，∴點(diǎn)表示的數(shù)為：，∵點(diǎn)E與點(diǎn)A之間相距10個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)表示的數(shù)為：或，∴點(diǎn)表示的數(shù)為：或；故答案為：10或30；（3）①當(dāng)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為時(shí)，則：，由題意，得：機(jī)器貓到達(dá)點(diǎn)所用的時(shí)間為：秒，在這10秒內(nèi)，電子鼠一直在運(yùn)動(dòng)，∴電子鼠運(yùn)動(dòng)的路程為：個(gè)單位長(zhǎng)度；②當(dāng)當(dāng)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為時(shí)，則：，由題意，得：機(jī)器貓到達(dá)點(diǎn)所用的時(shí)間為：秒，在這20秒內(nèi)，電子鼠一直在運(yùn)動(dòng)，∴電子鼠運(yùn)動(dòng)的路程為：個(gè)單位長(zhǎng)度；綜上：電子鼠運(yùn)動(dòng)的路程為60或30．變式1（1）①由題意得：，故答案為：D，②由題意得：，故答案為：；（2）①∵，∴對(duì)稱(chēng)中心為1，∴，∴，∴表示2021的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，故答案為：；②∵對(duì)稱(chēng)中心為1，，∴點(diǎn)A所表示的數(shù)為：，點(diǎn)B所表示的數(shù)為：，故答案為：，1012；③∵數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)的數(shù)分別為a，b，∴折疊中間點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：．變式2（1）解：根據(jù)題意，若點(diǎn)A表示的數(shù)是，則點(diǎn)表示的數(shù)為．故答案為：；（2）設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是b，由題意可得，解得．故答案為：5；（3）設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)是m，則，解得．故答案為：；（4）根據(jù)題意，以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向左對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在數(shù)軸上的處，則點(diǎn)C為線段中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為k，點(diǎn)C表示的數(shù)為c，可分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如下圖，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如下圖，∵，∴，∴；綜上所述，點(diǎn)C表示的數(shù)為或．變式3（1）點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)時(shí)，，另一點(diǎn)與B的距離也是3，B點(diǎn)表示數(shù)為3，另一點(diǎn)表示數(shù)為6，故為D．（2）分析題目得：當(dāng)G位于點(diǎn)A，關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱(chēng)時(shí)有最大值，，B點(diǎn)表示數(shù)為3，另一點(diǎn)表示數(shù)為7．當(dāng)G位于點(diǎn)B，關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)時(shí)有最大值，，A點(diǎn)表示數(shù)為1，另一點(diǎn)表示數(shù)為5．故x的最小值為5，最大值為7．（3）根據(jù)題意得：相遇時(shí)間為（s），相遇于表示數(shù)為2.2處，則回到原點(diǎn)的時(shí)間也是2.8s，總共消耗時(shí)間為5.6s，設(shè)消耗的時(shí)間為t，當(dāng)，則的中點(diǎn)為A點(diǎn)的表示數(shù)為，B點(diǎn)的表示數(shù)為，，解得，．當(dāng)時(shí)，則的中點(diǎn)為，A點(diǎn)的表示數(shù)為，B點(diǎn)的表示數(shù)為，，解得，．當(dāng)時(shí)，不是線段要去掉，故答案為．題型3：新定義問(wèn)題例題（1）解：設(shè)所求數(shù)為x，當(dāng)數(shù)x是的奇點(diǎn)時(shí)，則，解得；當(dāng)當(dāng)數(shù)x是的奇點(diǎn)時(shí)，則，解得．∴數(shù)3所表示的點(diǎn)是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；數(shù)所表示的點(diǎn)是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；故答案為：3；；（2）解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，分兩種情況：①P為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．由題意，得，解得；②P為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．由題意，得，解得；綜上可知，P點(diǎn)為數(shù)或10時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)A和點(diǎn)B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)．變式1（1）解：∵，,且，∴不是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”；∵，,且，∴是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”；∵，,且，∴不是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”；∵，,且，∴是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”；故答案為：和；（2）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，其中，∴，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)即時(shí)，，∵點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“好點(diǎn)”，∴或，∴或；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)即時(shí)，，∴，∴，綜上可得，點(diǎn)P表示的數(shù)為或或；②由題可知，，，，∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)13秒到達(dá)N點(diǎn)；要使點(diǎn)P、A、B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“好點(diǎn)”，則或或，當(dāng)時(shí)，，，∴或或，∴或或（不合題意，舍去）；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)N點(diǎn)后，往數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，∴或或，∴（舍去）或或（舍去）；綜上可得：t的值為13或4或17.5．變式2（1）解：∵點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣3，∴d1（點(diǎn)D，線段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，d2（點(diǎn)D，線段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故答案為：1，6；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，d2（點(diǎn)F，線段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，d1（點(diǎn)E，線段AB）＝AE＝﹣2﹣x，∵d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍，∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），∴x＝﹣4，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)，d2（點(diǎn)F，線段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，d1（點(diǎn)E，線段AB）＝EB＝x﹣3，∵d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍，∴3+x＝3（x﹣3），∴x＝6，綜上所述：x的值為﹣4或6．題型4：n等分點(diǎn)例題（1）設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為x，則點(diǎn)A表示的數(shù)為x，由題意得：x(x)=4，解得：x=2，所以x=2，所以點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，故答案為2，2；（2）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y，由題意得：y2+5=1，解得：y=2，故答案為2；（3）①由題意得運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到了表示數(shù)t的點(diǎn)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了表示數(shù)2+2t的點(diǎn)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了表示數(shù)2+0.5t的點(diǎn)，故答案為t，2+2t，2+0.5t；②當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P到A、B的距離相等，此時(shí)不符合題意；t>0時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B到點(diǎn)A、P的距離相等，2+2t=t，t=2；當(dāng)點(diǎn)A位于P、B中間時(shí)，此時(shí)有：，解得：t=2.4；當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等，有2+2t=2+0.5t，解得：t=，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A到點(diǎn)P、B的距離相等，有t=2+0.5t，解得：t=4，當(dāng)點(diǎn)B位于P、A中間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B到點(diǎn)A、P的距離相等，有2+0.5t=，解得：t=3，綜上，當(dāng)t為2.4或3或2或4或時(shí)，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)P三點(diǎn)之間恰好有一個(gè)點(diǎn)到其他兩個(gè)點(diǎn)的距離相等.變式1（1）解：，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離為；數(shù)軸上表示和兩點(diǎn)之間的距離為，故答案為：，；（2）的最小值為，表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)的距離為，，，或；故答案為：或；（3）根據(jù)題意，表示的數(shù)為，點(diǎn)到的距離為點(diǎn)到的距離的倍，，或，解得或，的值為或．變式2(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是5；(2)①由題意得：OP=3t5，OQ=，∵點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)，∴OP=OQ,∴,,經(jīng)過(guò)秒，點(diǎn)P是線段OQ的中點(diǎn)；②由①知,∵點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)，∴OM=MP=OP=,∵QN=OQ,∴QN==,∴MN=OQOMQN=,分兩種情況：i：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，得或,∴或，得或當(dāng)P在O左側(cè)時(shí)，得t=ii：如圖2，當(dāng)點(diǎn)N是線段MP的三等分點(diǎn)時(shí)，得或,∴或，得或，綜上，經(jīng)過(guò)秒或秒或秒或h或秒時(shí)，在P、M、N三個(gè)點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)為以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn).題型5定值問(wèn)題例題（1）解：點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）解：∵，∴點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，即，解得：，∴點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后第秒時(shí)，P到A、B兩點(diǎn)的距離之和為20；（3）不會(huì)，理由為：∵，，∴，∴的值不會(huì)隨著t的變化而變化．變式1（1）解：．故點(diǎn)B表示的數(shù)是；故答案為：；（2）解：設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)是c，∴，，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：；故答案為：；（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則t秒后，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為；點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的數(shù)為；點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為；點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為；點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為；故答案為：；；；；；（4）解：由（3）得，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為；點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的數(shù)為；則；點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為；點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為；則；∴，∴的值不會(huì)發(fā)生變化，值是30．變式2（1）解：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為，則點(diǎn)A表示的數(shù)為，∵點(diǎn)A和點(diǎn)B間距個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，解得：，∴點(diǎn)A表示的有理數(shù)是，∵，∴點(diǎn)C表示的有理數(shù)是，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右沿?cái)?shù)軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是，故答案為：，，；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，，∵兩點(diǎn)之間相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，解得：，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，，∵兩點(diǎn)之間相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，解得：，∴當(dāng)或秒時(shí)，兩點(diǎn)之間相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，故答案為：或；（3）解：存在常數(shù)，使得為一個(gè)定值，理由如下：由題意可知，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為，則，，，，∵要使得為一個(gè)定值，∴，解得：，∴，∴，這個(gè)定值為．變式3（1）解：∵，，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是30，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)C表示的數(shù)是；（2）設(shè)的速度為每秒個(gè)單位，則對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴或，，，或，解得：（不合題意，故舍去）或，動(dòng)點(diǎn)的速度是個(gè)單位長(zhǎng)度秒；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴，，的值不會(huì)發(fā)生變化，是20．題型6往返問(wèn)題例題（1），故答案為：，；（2）解：點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的時(shí)間為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為點(diǎn)，距離為答：點(diǎn)，距離為變式1【詳解】（1）解：點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)表示的數(shù)為：，，兩點(diǎn)的距離為，表示的數(shù)為：或；或，故答案為：或或或；（2）折疊紙面，使數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，折痕對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離是（E在的左側(cè)），且，兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)上述折疊后重合，點(diǎn)表示的數(shù)是：，點(diǎn)表示的數(shù)是：，故答案為：，3；（3）當(dāng)三個(gè)點(diǎn)聚于一個(gè)點(diǎn)時(shí)，則、相遇，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：（秒，此時(shí)，這一點(diǎn)表示的數(shù)是：，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，移動(dòng)了：個(gè)單位．變式2【詳解】解：（1）當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距個(gè)長(zhǎng)度單位，即點(diǎn)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距個(gè)長(zhǎng)度單位，即點(diǎn)在點(diǎn)的位置上，在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是12，則、和諧距離是：個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）如圖示：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，用的時(shí)間是：秒，當(dāng)點(diǎn)在折線數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，則在上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒，在上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒，則，∴，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且沒(méi)有相遇時(shí)，依題意得：，解得：，∴總用時(shí)是：秒；當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且相遇后又離開(kāi)時(shí)，依題意得：，解得：，∴總用時(shí)是：秒；綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）存在，理由如下：根據(jù)題意可知，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)，并沒(méi)返回時(shí)，使用的時(shí)間是秒，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)，使用的時(shí)間是秒，可得，點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時(shí)，繼續(xù)返回運(yùn)動(dòng)了2秒，①當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：解得：，不合題意，舍去；∵點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時(shí)，使用的時(shí)間是秒，先于點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，②當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：解得：；③當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：解得：；④∵點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時(shí)，使用的時(shí)間是秒，先于點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)法找到任一點(diǎn)，使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故不存在這樣的時(shí)間；⑤當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)沒(méi)有返回時(shí)，依題意得：解得：，不合題意，舍去；⑥當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)返回時(shí)，依題意得：解得：；綜上所述，使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等的時(shí)間是：或或；課后鞏固(8道題，題目要求根據(jù)上課內(nèi)容進(jìn)行精選)1.解：由題意可得，，∵由數(shù)軸可得：數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)圓周上的，∴數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)圓周上的，∴將與圓周上的數(shù)字1重合，故答案為：1．2.（1）解：①根據(jù)移動(dòng)過(guò)程可得：，故選：D．②如果向左為“”，向右為“”，機(jī)器人跳動(dòng)過(guò)程可以用算式表示為：，當(dāng)機(jī)器人跳次時(shí)，落在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是；故答案為：；（2）解：①表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，折痕處的點(diǎn)表示的數(shù)為，設(shè)表示2023的點(diǎn)與表示x的點(diǎn)重合，則，解得：，表示的點(diǎn)與表示；故答案為：；②數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離為，、兩點(diǎn)到折痕1處的距離都是，點(diǎn)表示數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：，；③根據(jù)題意可知點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)、表示的數(shù)分別是、，點(diǎn)為折點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)：．3.（1）解：設(shè)的亮點(diǎn)表示的數(shù)是，根據(jù)定義得：，解得：；設(shè)的亮點(diǎn)表示的數(shù)是，根據(jù)定義得：，解得：；設(shè)的暗點(diǎn)表示的數(shù)是，根據(jù)定義得：，解得：；設(shè)