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專題4.4比較線段的長短(知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解)【知識(shí)點(diǎn)一】線段的基本事實(shí)線段的基本事實(shí):兩點(diǎn)之間的連線中,線段最短;簡單說成:兩點(diǎn)之間線段最短;特別提醒:具有最短性、唯一性、存在性;兩點(diǎn)之間的距離:兩點(diǎn)之間的線段長度,叫做這兩點(diǎn)的距離;特別提醒:兩點(diǎn)之間距離是一個(gè)具體的數(shù)量,而線段本身是圖形,因此不能把A、B兩點(diǎn)的距離說成線段AB?!局R(shí)點(diǎn)二】線段的比較及長短比較1、線段的長短比較(1)度量法:利用刻度尺分別測量出兩條線段的長度,然后根據(jù)測量結(jié)果進(jìn)行比較。(2)疊合法:把兩條線段中的一條線段移到另一條線段上使它們有一個(gè)端點(diǎn)重合,然后根據(jù)另一個(gè)端點(diǎn)的位置進(jìn)行比較。特別提醒:度量法和疊合法是從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面進(jìn)行比較的,從“度”的方面比較,一般用度量的方面比較,從“形”的方面比較一般用疊合法。2.尺規(guī)作圖:在數(shù)學(xué)中,我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖,這就是尺規(guī)作圖?!局R(shí)點(diǎn)三】線段的中點(diǎn):把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn),叫做線段的中點(diǎn).如圖一、如果點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則有AM=BM=AB.圖1圖22.三等分線段:把一條線段分成三條相等的線段的點(diǎn)叫做線段的三等分點(diǎn)如圖2,點(diǎn)M、N是線段AB的三等分點(diǎn),則有AM=MN=NB==AB特別提醒:線段中點(diǎn)的表示方法:線段中點(diǎn)一定在線段上,表示點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)有三種方法:AM=BM;(2)AB=2AM=2BM;(3)AM=BM=AB.【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)一】利用線段(直線)的基本事實(shí)解決問題;【考點(diǎn)二】線段的長度比較方法比較線段的長短;【考點(diǎn)三】利用線段中點(diǎn)求線段長;【考點(diǎn)四】求線段的和與差;【考點(diǎn)五】線段上的動(dòng)點(diǎn)問題?!究键c(diǎn)一】利用線段(直線)的基本事實(shí)解決問題【例1】(21·22下·淄博·期中)直線m表示一條公路,公路兩旁分別有兩個(gè)村莊A和B,要在公路上建一個(gè)臨時(shí)車站P,使它到兩個(gè)村莊距離之和最小,車站P應(yīng)建在什么位置?在圖中畫出車站的位置,并說明這樣的理由.【分析】連接AB,則AB與直線m的交點(diǎn)就是車站P的位置.解:如圖,連接AB,則AB與直線m的交點(diǎn)就是車站P的位置,理由:兩點(diǎn)之間線段最短.【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短的實(shí)際應(yīng)用,掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解答本題的關(guān)鍵.【變式1】(22·23上·邢臺(tái)·期中)生活中,有下列兩個(gè)現(xiàn)象,對(duì)于這兩個(gè)現(xiàn)象的解釋,正確的是()A.均用兩點(diǎn)之間線段最短來解釋B.均用經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線來解釋C.現(xiàn)象1用兩點(diǎn)之間線段最短來解釋,現(xiàn)象2用經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線來解釋D.現(xiàn)象1用經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線來解釋,現(xiàn)象2用兩點(diǎn)之間線段最短來解釋【答案】D【分析】直接利用線段的性質(zhì)以及直線的性質(zhì)分別分析得出答案.解:現(xiàn)象1:木板上彈墨線,可用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋;現(xiàn)象2:把彎曲的河道改直,可以縮短航程可用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋,故選:D.【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線,兩點(diǎn)之間線段最短,熟練運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【變式2】(18·19上·南京·期末)下列三個(gè)現(xiàn)象:①用兩個(gè)釘子就可以把一根木條固定在墻上;②從A地到B地架設(shè)電線,只要盡可能沿著線段AB架設(shè),就能節(jié)省材料;③植樹時(shí),只要定出兩棵樹的位置,就能使同一行樹在一條直線上.其中可用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解釋的現(xiàn)象有(填序號(hào)).【答案】②【分析】直接利用線段的性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案.解:①用兩個(gè)釘子就可以把一根木條固定在墻上,可用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋;②從A地到B地架設(shè)電線,只要盡可能沿著線段AB架設(shè),就能節(jié)省材料,可用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋;③植樹時(shí),只要定出兩棵樹的位置,就能使同一行樹在一條直線上,可用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋;其中可用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解釋的現(xiàn)象有②.故答案為:②.【點(diǎn)撥】此題考查了線段的性質(zhì)和直線的性質(zhì),正確應(yīng)用線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【考點(diǎn)二】線段的長度比較方法比較線段的長短【例2】(17·18·常州·期末)如圖,已知CA⊥BA(1)畫圖:①延長BA到D,使AD=BA,連接CD;②過點(diǎn)A畫AE∥BC,AE與CD相交于點(diǎn)E;③過點(diǎn)B畫BF⊥CD,交DC的延長線于點(diǎn)F.思考:圖中有______條線段,它們的長度表示點(diǎn)到直線的距離;(2)度量:①你度量的哪些量?______;②通過度量你發(fā)現(xiàn):______.(寫一條發(fā)現(xiàn)即可)【答案】(1)詳見分析;(2)7,線段BC、線段CD,BC=CD.【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形即可,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可解決問題;(2)開放題目,答案不唯一.可以測量線段,也可以測量角.解:(1)線段AD、AE、BF如圖所示;圖中有7條線段,它們的長度表示點(diǎn)到直線的距離,(線段BA,DA,CA,BF,CF,EF,DF)(2)①度量線段BC、線段CD.(開放題目,答案不唯一)②發(fā)現(xiàn):BC=CD.(開放題,根據(jù)①回答即可)故答案為:7,線段BC、線段CD,BC=CD.【點(diǎn)撥】本題考查作圖復(fù)雜作圖、點(diǎn)到直線的距離、平行線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.【變式1】(23·24上·全國·課時(shí)練習(xí))如圖,已知三角形,下列比較線段和長短的方法中,可行的有(
)①用直尺度量出和的長度;②用圓規(guī)將線段疊放到線段上,觀察點(diǎn)的位置;③沿點(diǎn)A折疊,使和重合,觀察點(diǎn)的位置.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】D【分析】①用直尺度量出和的長度,比較長度;②用圓規(guī)將線段疊放到線段上,若點(diǎn)B在線段上,;若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,;若點(diǎn)B在的延長線上,;③沿點(diǎn)A折疊,使和重合,若點(diǎn)B在線段上,;若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,;若點(diǎn)B在的延長線上,.解:比較線段和長短的方法有:①用直尺度量出和的長度,比較長度;②用圓規(guī)將線段疊放到線段上,觀察點(diǎn)的位置,若點(diǎn)B在線段上,;若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,;若點(diǎn)B在的延長線上,;③沿點(diǎn)A折疊,使和重合,觀察點(diǎn)的位置,若點(diǎn)B在線段上,;若點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,;若點(diǎn)B在的延長線上,.共3個(gè)方法.故選:D.【點(diǎn)撥】本題主要考查了比較三角形兩邊長短的方法,熟練掌握度量法,疊合法,是解決問題的關(guān)鍵,其中疊合法包括疊放法,折疊法.【變式2】(21·22上·全國·課前預(yù)習(xí))比較線段的長短的方法和使用場景:方法一:目測法:直接觀察,適用于有的對(duì)比對(duì)象.若對(duì)比數(shù)值接近,使用該方法得到結(jié)果不準(zhǔn)確.方法二:度量法:用刻度尺測量對(duì)比對(duì)象,測量結(jié)果可能是值,得到結(jié)果不準(zhǔn)確方法三:疊合對(duì)比法:另對(duì)比對(duì)象的一個(gè)端點(diǎn)重合,觀察另一個(gè)端點(diǎn)的關(guān)系,得到結(jié)果準(zhǔn)確.【答案】明顯差異預(yù)計(jì)位置【考點(diǎn)三】利用線段中點(diǎn)求線段長【例3】(22·23上·菏澤·期中)已知點(diǎn)D為線段的中點(diǎn),點(diǎn)C在線段上.(1)如圖1,若,求線段的長;(2)如圖2,若,點(diǎn)E為中點(diǎn),,求線段的長.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用線段的和差關(guān)系可以先求出的長,再利用中點(diǎn)的定義求出,即可求出的長;(2)根據(jù)線段中點(diǎn)的定義結(jié)合已知求出,進(jìn)而可得和的長,然后根據(jù)求出即可解決問題.(1)解:∵,∴,∵點(diǎn)D為線段的中點(diǎn),∴,∴;(2)解:∵點(diǎn)E為中點(diǎn),∴,∵點(diǎn)D為線段的中點(diǎn),∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴.【點(diǎn)撥】本題主要考查線段的和差計(jì)算,熟練掌握中點(diǎn)的定義和線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式1】(20·21上·中衛(wèi)·期末)已知線段AB=10cm,點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn),BC=4cm,若M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),則線段MN的長度是(
)A.7cm B.3cm C.7cm或3cm D.5cm【答案】D【分析】先根據(jù)題意畫出圖形,再利用線段的中點(diǎn)定義求解即可.解:根據(jù)題意畫圖如下:∵,M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),∴;∵,M是AC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),∴.故選:D.【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算,根據(jù)題意畫出正確的圖形是解此題的關(guān)鍵.【變式2】(18·19上·全國·專題練習(xí))如圖,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)M、N、P分別是線段AC,BC,AB的中點(diǎn).AC=3cm,CP=1cm,線段PN=cm.【答案】【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求得線段的長度,即可求解.解:∵AP=AC+CP,CP=1cm,∴AP=3+1=4cm,∵P為AB的中點(diǎn),∴AB=2AP=8cm,∵CB=AB﹣AC,AC=3cm,∴CB=5cm,∵N為CB的中點(diǎn),∴,∴故答案為:.【點(diǎn)撥】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算,掌握線段的中點(diǎn)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)四】求線段的和與差【例4】(18·19上·泰州·期末)已知:點(diǎn)C,D是直線AB上的兩動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè),點(diǎn)M,N分別是線段AC、BD的中點(diǎn).(1)如圖,點(diǎn)C、D在線段AB上.①若AC=10,CD=4,DB=6,求線段MN的長;②若AB=20,CD=4,求線段MN的長;(2)點(diǎn)C、D在直線AB上,AB=m,CD=n,且m>n,請(qǐng)直接寫出線段MN的長(用含有m,n的代數(shù)式表示).【答案】(1)①12;②12;(2).【分析】(1)①根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CM和DN的長,利用線段的和可得>n結(jié)論;②根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CM+DN的長,利用線段的和可得結(jié)論;(2)由(1)②得出結(jié)果.解:(1)①∵點(diǎn)M,N分別是線段AC、BD的中點(diǎn),∴CM=AC,DN=BD,∵AC=10,BD=6,∴CM=5,DN=3,∴MN=CM+CD+DN=5+4+3=12;②∵AB=20,CD=4,∴AC+BD=204=16∵點(diǎn)M,N分別是線段AC、BD的中點(diǎn),∴CM=AC,DN=BD,∴CM+DN==8,∴MN=CM+DN+CD=8+4=12;(2)由(1)②得,MN=.【點(diǎn)撥】本題考查了比較線段的長短.利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵,在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法,有利于解題的簡潔性.同時(shí),靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn).【變式1】(18·19上·廣安·期末)如圖,C,D,E是線段AB上的三個(gè)點(diǎn),下面關(guān)于線段CE的表示:①CE=CD+DE;②CE=AB-AC-EB;③CE=CD+BD-EB;④CE=AE+BC-AB.其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)圖示可以找到線段間的和差關(guān)系.解:由圖可知:①CE=CD+DE,正確;②CE=AB-AC-EB,正確;③CE=CD+BD-EB,正確;④CE=AE+BC-AB,正確.故選D.【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的距離.連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離.【變式2】(18·19下·哈爾濱·期末)已知點(diǎn)B、C為線段AD上的兩點(diǎn),AB=BC=CD,點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段AD的三等分點(diǎn),若BE=14,則線段EF=【答案】2或10.【分析】設(shè)AB=x,則BC=2x,CD=3x,CE=DE=CD=x,由BE=14可求出x的值,由點(diǎn)F為線段AD的三等分點(diǎn),可得出AF=2x或DF=2x,分AF=2x、DF=2x兩種情況找出EF的長度,此題得解.解:設(shè)AB=x,則BC=2x,CD=3x,CE=DE=CD=x,∵BE=BC+CE=2x+x=14,∴x=4.∵點(diǎn)F為線段AD的三等分點(diǎn),∴AF=AD=2x或DF=AD=2x.當(dāng)AF=2x時(shí),如圖1所示,EF=AB+BC+CEAF=x=10;當(dāng)DF=2x時(shí),如圖2所示,EF=DFDE==2.綜上,線段EF的長為2或10.故答案為2或10【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的距離,分AF=2x、DF=2x兩種情況找出EF的長度是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)五】線段上的動(dòng)點(diǎn)問題【例5】(21·22上·廊坊·期末)如圖,P是線段上一點(diǎn),,C,D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P,B同時(shí)出發(fā)沿射線向左運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)C,D的速度分別是,.①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C,D運(yùn)動(dòng)了2s,且點(diǎn)D仍在線段上時(shí),_________cm;②若點(diǎn)C到達(dá)中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)D也剛好到達(dá)的中點(diǎn),則_________;(2)若動(dòng)點(diǎn)C,D的速度分別是,,點(diǎn)C,D在運(yùn)動(dòng)時(shí),總有,求的長【答案】(1)①12;②;(2)【分析】(1)①先分別求出,再根據(jù)即可得;②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則,再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得,由此即可得;(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則,從而可得,再根據(jù)可得,從而可得,由此即可得.(1)解:①依題意得:,,點(diǎn)仍在線段上,∴,故答案為:;②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則,∵當(dāng)點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)也剛好到達(dá)的中點(diǎn),∴,∴,故答案為:.(2)解:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則,∴,∵,∴,∵,∴,∴.【點(diǎn)撥】本題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和與差、線段的中點(diǎn),熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式1】(19·20上·臺(tái)州·期末)如圖,C為射線AB上一點(diǎn),AB=30,AC比BC的多5,P,Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,M為BP的中點(diǎn),N為QM的中點(diǎn),以下結(jié)論:①BC=2AC;②AB=4NQ;③當(dāng)PB=BQ時(shí),t=12,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】根據(jù)AC比BC的多5可分別求出AC與BC的長度,然后分別求出當(dāng)P與Q重合時(shí),此時(shí)t=30s,當(dāng)P到達(dá)B時(shí),此時(shí)t=15s,最后分情況討論點(diǎn)P與Q的位置.解:設(shè)BC=x,∴AC=x+5∵AC+BC=AB∴x+x+5=30,解得:x=20,∴BC=20,AC=10,∴BC=2AC,故①成立,∵AP=2t,BQ=t,當(dāng)0≤t≤15時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上,∴BP=AB﹣AP=30﹣2t,∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴MB=BP=15﹣t∵QM=MB+BQ,∴QM=15,∵N為QM的中點(diǎn),∴NQ=QM=,∴AB=4NQ,當(dāng)15<t≤30時(shí),此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外,且點(diǎn)P在Q的左側(cè),∴AP=2t,BQ=t,∴BP=AP﹣AB=2t﹣30,∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM=BP=t﹣15∵QM=BQ﹣BM=15
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