（全國卷II）高考數(shù)學（第三模擬）調研卷 理（含解析）-人教版高三全冊數(shù)學試題

一、選擇題：共12題1．已知全集U={1,2,3,4,5},?UA={1,2},則集合A的真子集的個數(shù)為A.8 B.7 C.6 D.32．若復數(shù)z滿足(1+i)z=2i(i是虛數(shù)單位),則在復平面內,復數(shù)z對應的點的坐標為A.(1,1) B.(1,2) C.(1,-1) D.(-1,1)3．命題“存在φ0∈R,使得函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象關于點(,0)對稱”的否定是A.存在φ0∈R,使得函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象都不關于點(,0)對稱B.對任意的φ∈R,函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象都不關于點(,0)對稱C.對任意的φ∈R,函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象都關于點(,0)對稱D.存在φ0∈R,使得函數(shù)f(x)=tan(πx+φ0)的圖象關于點(,0)不對稱4．已知平面向量a,b滿足b=(-,1),b·(a-b)=-3,a為單位向量,則向量b在向量a方向上的投影為A.4 B.1 C.-4 D.-105．已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上的點到直線l的距離的最小值為A. B. C.1 D.36．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足S2=3,S3-S1=6,則a6=A.16 B.32 C.35 D.467．已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側視圖完全相同,則該幾何體的體積是A.π B.3π C.2π D.8．已知x,y滿足約束條件,若目標函數(shù)z=ax+y的最大值為2a+6,最小值為2a-2,則實數(shù)a的取值范圍是A.[-1,1]

B.(0,1]

C.[-1,0)

D.[-1,0)∪(0,1]9．已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分圖象如圖所示,A、B兩點之間的距離為10,且f(2)=0,若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度后所得函數(shù)圖象關于y軸對稱,則t的最小值為A.1 B.2 C.3 D.410．如圖所示,在邊長為2的正方形ABCD中,圓心為B,半徑為1的圓與AB、BC分別交于E、F,則陰影部分繞直線BC旋轉一周形成幾何體的體積等于A.π B.6π C. D.4π11．已知數(shù)列{an}滿足(3-an+1)(3+an)=9,且a1=3,則數(shù)列{}的前6項和S6=A.6 B.7 C.8 D.912．已知函數(shù)f(x)=|lnx|-ax(x>0,0<a<1)的兩個零點是x1,x2,則A.0<x1x2<1 B.x1x2=1 C.1<x1x2<e D.x1x2>e二、填空題：共4題13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結果是,則整數(shù)N=.

14．設m∈N且0≤m<5,若192016+m能被5整除,則m=.

15．已知定義在(0,+∞)上的單調函數(shù)f(x),對任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log3x]=4,則函數(shù)f(x)的圖象在x=處的切線的斜率為.

16．已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F的直線l與拋物線交于A,B兩點,且|AF|=4|FB|,O為坐標原點,若△AOB的面積S△AOB=,則p=.

三、解答題：共8題17．已知在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2sin2B-2sin2A=sin2C,tan(A+B)=.(1)求sinC的值;(2)若△ABC的面積為3,求b的值.18．為了解某校高三甲、乙兩個小組每天的平均運動時間,經(jīng)過長期統(tǒng)計,抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,得到甲、乙兩組每天的平均運動時間(單位:min)的莖葉圖如圖所示.(1)假設甲、乙兩個小組這10天的平均運動時間分別為t1,t2,方差分別為,.(i)比較t1,t2的大小;(ii)比較,的大小(只需寫出結果);(2)設X表示未來3天內甲組同學每天的平均運動時間超過30min的天數(shù),以莖葉圖中平均運動時間超過30min的頻率作為概率,求X的分布列和數(shù)學期望.19．如圖,在平行四邊形ABCD中,BC=2AB,∠ABC=60°,四邊形BEFD是矩形,且BE=BA,平面BEFD⊥平面ABCD.(1)求證:AE⊥CF;(2)求二面角A-EF-C的平面角的余弦值.20．在平面直角坐標系xOy中,已知點A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓E:+y2=1上的非坐標軸上的點,且4kOA·kOB+1=0(kOA,kOB分別為直線OA,OB的斜率).(1)證明:+,+均為定值;(2)判斷△OAB的面積是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由.21．已知函數(shù)f(x)=x2+mx+lnx.(1)若函數(shù)f(x)不存在單調遞減區(qū)間,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),且m≤-,求f(x1)-f(x2)的最小值.22．如圖,E為圓O的直徑AB上一點,OC⊥AB交圓O于點C,延長CE交圓O于點D,圓O在點D處的切線交AB的延長線于點F.(1)證明:EF2=FA·FB;(2)若AD=2BD,BF=2,求圓O的直徑.23．在平面直角坐標系xOy中,已知圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,并取相同的長度單位建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ-)=m(m∈R).(1)求直線l的直角坐標方程與圓C的普通方程;(2)若圓C上到直線l的距離為1的點有3個,求m的值.24．已知函數(shù)f(x)=|x|+|x-a|的最小值為3.(1)求實數(shù)a的值;(2)若a>0,求不等式f(x)≤5的解集.參考答案1.B【解析】本題考查集合的補運算、真子集的概念.求解時先求出集合A,再計數(shù)即可.注意試題所求的是真子集的個數(shù).由全集U={1,2,3,4,5},?UA={1,2}知,A={3,4,5},所以集合A的子集有8個,真子集有7個.

2.A【解析】本題考查復數(shù)的除法運算及其幾何意義,屬于基礎題.求解時先求出復數(shù)z的代數(shù)形式,再找復數(shù)z在復平面內對應的點.解法一由(1+i)z=2i得,z==i(1-i)=1+i,故在復平面內,復數(shù)z對應的點的坐標為(1,1),選A.解法二設z=a+bi(a,b∈R),由(1+i)z=2i得,a-b+(a+b)i=2i,所以a-b=0,且a+b=2,解得a=b=1,所以z=1+i,故在復平面內,復數(shù)z對應的點的坐標為(1,1),選A.

3.B【解析】本題考查特稱命題的否定,屬于基礎題.所給命題是特稱命題,因此其否定一方面要把“特稱”改“全稱”,另一方面要否定結論,故其否定應該為“對任意的φ∈R,函數(shù)f(x)=tan(πx+φ)的圖象都不關于點(,0)對稱”.

4.B【解析】本題考查向量的數(shù)量積以及投影的求法,屬于基礎題.解題時,根據(jù)坐標求出向量b的模及向量a,b的數(shù)量積,然后求投影.因為b=(-,1),b·(a-b)=-3,所以|b|=2,a·b=1.又a為單位向量,則向量b在向量a方向上的投影為=1.

5.A【解析】由題意知,圓C上的點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去圓的半徑,即-.

6.B【解析】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式等知識,意在考查考生的基本運算能力.熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解決此類問題的關鍵.設等比數(shù)列{an}的公比為q,由S2=3,S3-S1=6,得a1+a2=3,a2+a3=6,則q==2,代入a1+a1q=3得a1=1,所以an=2n-1,a6=25=32.

7.D【解析】本題考查幾何體的三視圖與直觀圖、柱體的體積公式等.由三視圖可知,該幾何體是一個半徑分別為2和的同心圓柱,即大圓柱內挖掉了小圓柱.兩個圓柱的高均為1,所以該幾何體的體積為4π×1-()2π×1=,選D.

8.A【解析】本題考查線性規(guī)劃的相關知識.求解時先根據(jù)約束條件畫出可行域,再根據(jù)題意列出不等式組進行求解.畫出可行域如圖中陰影部分所示,易知A(2,6),B(2,-2),C(-2,2),由于z=ax+y的最大值為2a+6,最小值為2a-2,故,從而-1≤a≤1,故選A.

9.B【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質以及三角函數(shù)圖象的平移變換等.首先利用函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式中各個參數(shù)的取值,然后根據(jù)平移后函數(shù)的性質確定平移的單位長度.由圖可設A(x1,3),B(x2,-3),所以|AB|==10,解得|x1-x2|=8,所以T=2|x1-x2|=16,故=16,解得ω=.所以f(x)=3sin(x+φ),由f(2)=0得3sin(+φ)=0,又-≤φ≤,所以φ=-.故f(x)=3sin(x-),將f(x)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式為g(x)=f(x-t)=3sin[(x-t)-]=3sin[x-(t+)].由題意得,函數(shù)g(x)的圖象關于y軸對稱,所以t+=kπ+(k∈Z),解得t=8k+2(k∈Z),故正數(shù)t的最小值為2,選B.

10.B【解析】本題考查旋轉體的體積的求解等,考查考生的空間想象能力和基本的運算能力.由旋轉體的定義可知,陰影部分繞直線BC旋轉一周形成的幾何體為圓柱中挖掉一個半球和一個圓錐.該圓柱的底面半徑R=BA=2,母線長l=AD=2,故該圓柱的體積V1=π×22×2=8π,半球的半徑為1,其體積V2=π×13=,圓錐的底面半徑為2,高為1,其體積V3=π×22×1=,所以陰影部分繞直線BC旋轉一周形成幾何體的體積V=V1-V2-V3=6π.

11.B【解析】本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和,考查考生的運算求解能力,屬于中檔題.解題時,通過(3-an+1)(3+an)=9可知數(shù)列{}為等差數(shù)列,計算即得結論.因為(3-an+1)(3+an)=9-3an+1+3an-an+1an=9,所以3an+1-3an=-an+1an,兩邊同時除以3an+1an得-=-,即+.又a1=3,所以數(shù)列{}是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以Sn=n+·,故S6==7.

12.A【解析】本題考查基本初等函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)零點的概念等,考查考生的數(shù)形結合思想.求解時將函數(shù)零點問題轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題進行求解.因為f(x)=|lnx|-ax=0?|lnx|=ax,作出函數(shù)y=|lnx|,y=ax的圖象如圖所示,不妨設x1<x2,則0<x1<1<x2,從而lnx1<0,lnx2>0,因此|lnx1|==-lnx1,|lnx2|==lnx2.故lnx1x2=lnx1+lnx2=-<0,所以0<x1x2<1.

13.15【解析】本題考查算法等基礎知識,重點考查程序框圖的閱讀與應用.本題的算法事實上刻畫的是裂項相消法求和.通解當k=1時,S=,當k=2時,S=++-,當k=3時,S=++-,當k=4時,S=++-,……當k=14時,S=++-,當k=15時,S=++-,此時輸出S,由題意知框圖中N=15.優(yōu)解由程序框圖可知,輸出的S=++…+=1-,令1-,解得N=15.

14.4【解析】本題考查二項式定理在解決數(shù)學問題中的應用.求解問題的關鍵是通過建立19與5的數(shù)量關系以及運用二項式定理將該關系式展開.由題意得192016+m=(-1+20)2016+m=×200×(-1)2016+×20×(-1)2015+×202×(-1)2014+…+×202016×(-1)0+m=5M+1+m,其中M∈N*,又5M+1+m能被5整除,0≤m<5,故m=4.

15.1【解析】本題考查函數(shù)解析式的求解、導數(shù)的幾何意義,考查考生分析問題、解決問題的能力.由題意,設f(x)-log3x=m>0,則f(x)=log3x+m,由f[f(x)-log3x]=4可得f(m)=log3m+m=4,即m=34-m,解得m=3,所以f(x)=log3x+3,f'(x)=,從而f'()=1,即所求切線的斜率為1.

16.1【解析】本題考查了拋物線的方程和性質、直線與拋物線的位置關系等.解題的思路是先利用|AF|=4|FB|得到直線l的斜率,從而得到AB的長以及點O到直線AB的距離,再通過面積建立關于p的方程,即可求解.拋物線y2=2px的焦點F(,0),準線x=-.如圖,過A,B作準線的垂線AA',BB',垂足分別為A',B'.過點B作BH⊥AA',交AA'于H,則|BB'|=|HA'|.設|FB|=t,則|AF|=4t,∴|AH|=|AA'|-|A'H|=4t-t=3t.又|AB|=5t,∴在Rt△ABH中,cos∠A'AB=,∴tan∠A'AB=.則可得直線AB的方程為y=(x-),由得8x2-17px+2p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=+p=.又點O到直線AB的距離為d=|OF|sin∠A'AB=.∴S△AOB=,又S△AOB=,故p2=1,又p>0,∴p=1.

17.(1)在△ABC中,0<A<π,0<B<π,由tan(A+B)==tan(B+),得A=. 從而由2sin2B-2sin2A=sin2C得2sin2B-1=sin2C,即cos2B+sin2C=0.將B=-C代入上式,化簡得tanC=2,從而sinC=. (2)由(1)知,cosC=.所以sinB=sin(A+C)=sin(+C)=. 由正弦定理知c=b,又bcsinA=3,所以b·b·=3,故b=3.【解析】本題主要考查兩角和的三角公式、誘導公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)之間的關系、正弦定理等基礎知識,考查考生對基礎知識的掌握程度和運算求解能力.【備注】在新課標全國卷Ⅱ中,解答題第一題往往是數(shù)列或三角,而三角的考查一般與三角形有關,重點考查三角形中的三角恒等變換,三角函數(shù)的基礎知識在解三角形中的應用,正、余弦定理等.復習時要重點把握三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質、解三角形三大主流題型.

18.(1)(i)由已知得,t1=(2×10+5×20+3×30+5+2+2+6+3+2+1+5+1+2)=23.9,t2=(3×10+2×20+3×30+5+8+3+5+5+2+5+0+1+3)=19.7,所以t1>t2. (ii)由莖葉圖可知,甲組的數(shù)據(jù)較集中,乙組的數(shù)據(jù)較離散,所以. (2)由莖葉圖可知,樣本中甲組同學每天的平均運動時間超過30min的人數(shù)為3,所以頻率為=0.3.由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3,X~B(3,0.3),所以P(X=0)=×0.30×0.73=0.343,P(X=1)=×0.31×0.72=0.441,P(X=2)=×0.32×0.71=0.189,P(X=3)=×0.33×0.70=0.027, 所以X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.【解析】本題考查平均數(shù)和方差的大小比較,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題.(1)(i)由莖葉圖分別求出t1,t2的值,進而比較大小;(ii)由莖葉圖得到甲組的數(shù)據(jù)較集中,乙組的數(shù)據(jù)較離散,由此能比較,的大小.(2)由題意得X的所有可能取值,分別求出相應的概率,進而得分布列和數(shù)學期望.【備注】新課標全國卷Ⅱ中,概率與統(tǒng)計解答題往往將統(tǒng)計與概率結合在一起考查,大都與頻率分布直方圖、莖葉圖和離散型隨機變量的分布列有關,復習時應熟練掌握統(tǒng)計的基礎知識和基本思想,熟悉統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理方法,準確理解各種分布圖表的意義,掌握常見概率模型的計算,牢記數(shù)學期望和方差的計算公式.

19.(1)解法一連接AC,分別取EC,EF,BD的中點為G,M,N,連接GM,GN,MN,則GM∥FC,GN∥AE,如圖1.由題意,易證BE⊥AB,不妨設AB=1,則GM=GN=,MN=BE=1,由勾股定理的逆定理知GM⊥GN. 故AE⊥CF. 解法二不妨設AB=1,則·=(+)·(+)=·+·=-1+1=0.因此AE⊥CF. 解法三如圖2,將原幾何體補成直四棱柱,則依題意,其側面ABEG為正方形,對角線AE,BG顯然垂直,故AE⊥CF. 解法四連接AC,根據(jù)題意易證AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如圖3,建立空間直角坐標系,不妨設AB=1,則A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,0,1),從而·=(1,0,1)·(-1,0,1)=0,故AE⊥CF. (2)連接AC,根據(jù)題意易證AB⊥AC,BE⊥平面ABCD,如圖3,建立空間直角坐標系,不妨設AB=1,則A(0,0,0),E(1,0,1),C(0,,0),F(-1,,1),所以=(1,0,1),=(-1,,1),=(1,-,1),=(-1,0,1),設平面AEF的法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,且n1·=0,得,取x1=,則y1=2,z1=-,得平面AEF的一個法向量為n1=(,2,-),同理可求得平面CEF的一個法向量為n2=(,2,). 記二面角A-EF-C的平面角為α,由圖可知,α為銳角,則cosα=.【解析】本題考查線線垂直的證明、二面角余弦值的求解,考查考生的空間想象能力和運算求解能力.【備注】立體幾何解答題主要圍繞線面位置關系的證明以及空間角的計算展開,在線面位置關系中,垂直關系是核心,也是新課標高考命題的熱點,空間角主要考查二面角,可利用傳統(tǒng)法和向量法求解.

20.(1)依題意,x1,x2,y1,y2均不為0,則由4kOA·kOB+1=0,得+1=0,化簡得y2=-,因為點A,B在橢圓上,所以+4=4①,+4=4②, 把y2=-代入②,整理得(+4)=16.結合①得=4,同理可得=4,從而+=4+=4,為定值,++=1,為定值. (2)S△OAB=|OA|·|OB|sin∠AOB=··=··==|x1y2-x2y1|. 由(1)知=4,=4,易知y2=-,y1=或y2=,y1=-,S△OAB=|x1y2-x2y1|=|+2|==1,因此△OAB的面積為定值1.【解析】本題主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系等.(1)可通過已知條件“4kOA·kOB+1=0”以及橢圓上點的坐標關系確定x1,y1,x2,y2之間的數(shù)量關系,進而進行定值的證明;(2)先求出三角形面積的表達式,通過合理變形,再結合點在橢圓上進行求解.

21.(1)依題意,x>0,且f'(x)=x+m+. 記g(x)=x2+mx+1,①若Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2,則g(x)≥0恒成立,f'(x)≥0恒成立,符合題意;②若Δ=m2-4>0,即m>2或m<-2,當m>2時,x2+mx+1=0有兩個不等的負根,符合題意,當m<-2時,x2+mx+1=0有兩個不等的正根,則在兩根之間函數(shù)f(x)單調遞減,不符合題意.綜上可得m≥-2. (2)由題意得x1,x2為g(x)=x2+mx+1的兩個零點,由(1)得x1+x2=-m,x1x2=1,則f(x1)-f(x2)=+mx1+lnx1-(+mx2+lnx2)=(-)+m(x1-x2)+lnx1-lnx2=(-)-(x1+x2)(x1-x2)+lnx1-lnx2=ln-(-)=ln-·=ln-(-). 記=t,由x1<x2且m≤-知0<t<1,且f(x1)-f(x2)=lnt-(t-),記φ(t)=lnt-(t-),則φ'(t)=<0,故φ(t)在(0,1)上單調遞減. 由m≤-知(x1+x2)2≥,從而+≥,即≥,故t+≥,結合0<t<1,解得0<t≤,從而φ(t)的最小值為φ()=-ln2,即f(x1)-f(x2)的最小值為-ln2.【解析】本題考查函數(shù)的單調性、極值,導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用.第(1)問對m分情況討論來求解;第(2)問可先對f(x1)-f(x2)進行變形,再將問題轉化為單變量函數(shù)問題來解決.【備注】利用導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性,進而求解函數(shù)的極值與最值及含參問題的討論一直是近幾年高考的重點,尤其是含參數(shù)的函數(shù)的單調性是近幾年命題的熱點.導數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合問題多涉及恒成立與含參問題的求解,主要方法是利用導數(shù)將原問題轉化為函數(shù)的單調性和最值問題.

22.(1)由題意得,OC=OD,所以∠OCE=∠ODE,又OC⊥AB,FD是圓O的切線,所以∠COE=∠ODF=90°,故∠OEC=∠EDF,又∠OEC=∠FED,所以∠FED=∠FDE,所以FD=FE. 由切割線定理得,FD2=FA·FB,故EF2=FA·FB. (2)由于FD是切線,所以∠FDB=∠A,又∠DFB=∠AFD,所以△FBD∽△FDA.