高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試練習(xí)題 幾何證明選講 文科

幾何證明選講1．如圖，在正△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA，AD，BE相交于點P，求證：(1)P，D，C，E四點共圓；(2)AP⊥CP.2．(2012·新課標(biāo)全國卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.3．(2013·全國卷Ⅰ)如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．4．(2013·石家莊質(zhì)量檢測)如圖，AB是⊙O的直徑，BE為⊙O的切線，點C為⊙O上不同于A，B的一點，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與⊙O交于D，與BE交于E，連接BD，CD.(1)求證：BD平分∠CBE；(2)求證：AH·BH＝AE·HC.5．(2013·洛陽市統(tǒng)一考試)如圖，已知PE切⊙O于點E，割線PBA交⊙O于A，B兩點，∠APE的平分線和AE，BE分別交于點C，D.求證：(1)CE＝DE；(2)eq\f(CA,CE)＝eq\f(PE,PB).6．(2013·東北三校模擬考試)如圖，圓O的半徑OC垂直于直徑AB，弦CD交半徑OA于E，過D的切線與BA的延長線交于M.(1)求證：MD＝ME；(2)設(shè)圓O的半徑為1，MD＝eq\r(3)，求MA及CE的長．7．(2013·遼寧卷)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.8．(2013·石家莊市模擬考試)如圖，過圓O外一點P作該圓的兩條割線PAB和PCD，分別交圓O于點A，B，C，D，弦AD和BC交于點Q，割線PEF經(jīng)過點Q交圓O于點E，F(xiàn)，點M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.(1)求證：PA·PB＝PM·PQ；(2)求證：∠BMD＝∠BOD.9．(2013·全國卷Ⅱ)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．10．(2013·豫東、豫北十校聯(lián)考)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連結(jié)CD.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點P，求證：P點平分線段DE.詳解答案：1．證明：(1)在正△ABC中，由BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA，可得△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，∴∠ADC＋∠BEC＝180°，∴P，D，C，E四點共圓．(2)如圖，連結(jié)DE，在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED＝90°，由P，D，C，E四點共圓知，∠DPC＝∠DEC，∴AP⊥CP.2．證明：(1)因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.因為CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因為FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，由(1)知CD＝BC，故△BCD∽△GBD.3.解析：(1)證明：如圖，連接DE，交BC于點G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因為DB⊥BE，所以DE為圓的直徑，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC邊的中垂線，所以BG＝eq\f(\r(3),2).設(shè)DE的中點為O，連接BO，則∠BOG＝60°，從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于eq\f(\r(3),2).4．證明：(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB.又∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，所以∠DBE＝∠DBC，即BD平分∠CBE.(2)由(1)可知BE＝BH，所以AH·BH＝AH·BE，因為∠DAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ABE，所以△AHC∽△AEB，所以eq\f(AH,AE)＝eq\f(HC,BE)，即AH·BE＝AE·HC，即AH·BH＝AE·HC.5．證明：(1)∵PE切⊙O于點E，∴∠A＝∠BEP.∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.又∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，∴∠ECD＝∠EDC，∴EC＝ED.(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∴∠PDB＝∠PCE.又∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴eq\f(PE,PB)＝eq\f(PC,PD).同理△PDE∽△PCA，∴eq\f(PC,PD)＝eq\f(CA,DE).∴eq\f(PE,PB)＝eq\f(CA,DE).又DE＝CE，∴eq\f(CA,CE)＝eq\f(PE,PB).6．解析：(1)證明：連接OD，∵∠CEO＋∠ECO＝90°，∠MDE＋∠EDO＝90°，又∠EDO＝∠ECO，∴∠CEO＝∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)∵M(jìn)D2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA＝1.∵在Rt△MDO中，MO＝2，MD＝eq\r(3)，∴∠MOD＝60°，∴∠COD＝150°，∴∠ECO＝15°，CE＝eq\f(OC,cos∠ECO)＝eq\f(1,cos15°)＝eq\r(6)－eq\r(2).7．證明：(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2)；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π,2).從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.8.證明：(1)∵∠BAD＝∠BMF，∴A，Q，M，B四點共圓，∴PA·PB＝PM·PQ.(2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD，∴∠PCQ＝∠PMD，則∠DCB＝∠FMD，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.9．解析：(1)證明：因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A.由題設(shè)知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連接CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE.由DB＝BE，有CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而CE2＝DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為eq\f(1,2).10．證明：(1)連結(jié)OD，∵OC∥AD，∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠1＝∠2.∵OC＝OC，OB＝OD，∴△DOC≌△BOC，∴∠ODC＝∠OBC.∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，∴BC⊥OB，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD.又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．(2)證法一：過點A作⊙O的切線AF，交CD的延長線于點F，則FA⊥AB.∵DE⊥AB，由(1)知CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB，∴eq\f(FD,FC)＝eq\f(AE,AB).在△FAC中，∵DP∥FA，∴eq\f(DP,FA)＝eq\f(DC,FC).∵FA，F(xiàn)D是⊙O的切線，∴FA＝FD，∴eq\f(DP,FD)＝eq\f(DC,FC)，∴eq\f(DP,DC)＝eq\f(AE,AB).在△ABC中，∵EP∥BC，∴eq\f(EP,CB)＝eq\f(AE,AB).∵CD，CB是⊙O的切線，∴CB＝CD，∴eq\f(EP,CD)＝eq\f(AE,AB).∴eq\f(DP,DC)＝eq\f(EP,CD)，∴DP＝EP.∴點P平分線段DE.證法二：輔助線同上．由(1)及已知條件知BC，CD，AF為⊙O的切線，B，