第7章銳角三角函數(shù)綜合提優(yōu)專(zhuān)題復(fù)習(xí)講義蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

銳角三角函數(shù)綜合提優(yōu)專(zhuān)題復(fù)習(xí)【夯實(shí)基礎(chǔ)】銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊.銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┱兄惦S著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。┨厥饨堑娜呛瘮?shù)值的計(jì)算三角函數(shù)有關(guān)公式tanA=sinAcosAsin2A+cossin(90°α)=cosα,cos(90°α)=sinα,拓展：利用等腰三角形頂角構(gòu)造半角三角函數(shù)：構(gòu)造二倍角三角函數(shù)：tana＝eq\f(a,b)taneq\f(a,2)＝eq\f(a,b＋\r(,a2＋b2))本專(zhuān)題一共3種綜合壓軸題型，分別是三角函數(shù)與函數(shù)綜合，三角函數(shù)與各類(lèi)模型綜合，三角函數(shù)與圓綜合,適合基礎(chǔ)好的學(xué)生使用。其中三角函數(shù)與各類(lèi)模型綜合，各類(lèi)模型包括：手拉手模型，主從聯(lián)動(dòng)模型，等積模型，面積之比轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之比模型，費(fèi)馬點(diǎn)模型，角平分線(xiàn)全等模型，K型相似模型，隱圓模型三角函數(shù)與函數(shù)綜合1．（21·22上·蘇州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)D為該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．(1)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)將該拋物線(xiàn)向下平移單位長(zhǎng)度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線(xiàn)．若新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在內(nèi)，求m的取值范圍；(3)若點(diǎn)P、點(diǎn)為該拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，連接，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．（22·23上·蘇州·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，已知A的坐標(biāo)為，B在y軸正半軸上，且，將線(xiàn)段繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，交y軸于點(diǎn)C．(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)D是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求點(diǎn)D坐標(biāo)．3．（21·22下·蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點(diǎn)P，使得，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出m的取值范圍．4．（22·23下·蘇州·期末）如圖由平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)一點(diǎn)向坐標(biāo)軸分別作平行線(xiàn)得到矩形，在矩形邊上取一點(diǎn)，作經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)交邊于點(diǎn)，連接、．(1)______；(2)求證：；(3)若將點(diǎn)關(guān)于作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且點(diǎn)正好落在軸上，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，求的面積（請(qǐng)用只含字母的代數(shù)式表示）．5．（22·23下·蘇州·一模）如圖1，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B、C．(1)填空：；直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式為：．(2)已知直線(xiàn)平行于y軸，交拋物線(xiàn)及x軸于點(diǎn)P、G．當(dāng)時(shí)（如圖2），直線(xiàn)與線(xiàn)段分別相交于E、F兩點(diǎn)，試證明線(xiàn)段總能組成等腰三角形．(3)在（2）的條件下，如果此等腰三角形的頂角是的2倍，請(qǐng)求出此時(shí)t的值．三角函數(shù)與圓綜合1．（22·23·蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022上·蘇州·期末）如圖，以面積為20cm2的Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O，∠ACB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，若，則AC＋BC＝．3．（21·22·寧波·階段練習(xí)）如圖，已知內(nèi)接于，是該圓的直徑，是上的點(diǎn)，線(xiàn)段與交于點(diǎn)，若，，，．(1)試用含的代數(shù)式表示；(2)若，求的值；(3)若，求．4．（22·23上·蘇州·階段練習(xí)）如圖，已知，為內(nèi)的一條射線(xiàn)，A是射線(xiàn)上一點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿水平向左運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿豎直向上運(yùn)動(dòng)，且始終保持．連接，交于點(diǎn)B．經(jīng)過(guò)O、P、Q三點(diǎn)作圓，交射線(xiàn)于點(diǎn)C，連接．設(shè)（其中）．(1)如圖1，若，且，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若為的角平分線(xiàn)．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否為定值，若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示．5．（22·23下·蘇州·二模）如圖，是的兩條直徑，，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，連接，，分別交于點(diǎn)F，G，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)設(shè)，的面積為，的面積為，且，求的值．6．（22·23下·蘇州·一模）如圖，點(diǎn)在的邊上，與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求的值．7．（22·23下·烏魯木齊·一模）如圖，已知O是邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、為半徑的與邊相切于點(diǎn)D，且，連接，交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．(1)求證：是切線(xiàn)；(2)求證：；(3)若，F(xiàn)是中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．8．（22·23下·蘇州·階段練習(xí)）如圖，銳角內(nèi)接于，射線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心并交于點(diǎn)，連結(jié)，，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，平分．(1)求證：．(2)若，求的余弦值．(3)若，的半徑為，求的長(zhǎng)．9．（21·22下·蘇州·一模）定義：有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對(duì)角的一半的四邊形叫做半對(duì)角四邊形．(1)如圖1，在半對(duì)角四邊形ABCD中，，則________°﹔(2)如圖2，銳角內(nèi)接于，若邊AB上存在一點(diǎn)D，使得，在OA上取點(diǎn)E，使得，連接DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，．求證：四邊形BCFD是半對(duì)角四邊形；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G，．①連接OC，若將扇形OBC圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)________；②求的面積．三角函數(shù)與各類(lèi)模型綜合1．（21·22下·蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，點(diǎn)E、F分別是AB，AD邊上的中點(diǎn)，則sin∠ECF＝（

）A． B． C． D．2．（21·22下·蘇州·三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．3．（2020·蘇州·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=5cm，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝15°，AD=3cm，連接BD，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，連接DE，交AC于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)為（

）cm．A． B．4﹣ C．5﹣ D．6﹣4．（22·23·蘇州·二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，分別交，于點(diǎn)M，N．設(shè)和的面積分別為和，若，則的值為．5．（22·23下·蘇州·二模）如圖，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線(xiàn)段，且，則的最小值為．6．（22·23下·宿遷·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，線(xiàn)段繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊上的點(diǎn)，且，當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)最小時(shí)，．7．（21·22下·蘇州·一模）如圖，將繞斜邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，已知，，則．8．（22·23·武漢·中考真題）問(wèn)題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的大??；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問(wèn)題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．9．（22·23下·蘇州·一模）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊，連接.(1)【嘗試初探】如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與相交于點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形始終保持全等，請(qǐng)你找出這對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由.(2)【深入探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)ED，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，隨著D點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值.(3)【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，、相交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng).10．（22·23下·蘇州·一模）如圖①，在四邊形中，，，，，．點(diǎn)P在上，連接、、．(1)求的長(zhǎng)；(2)探索：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得平分、平分同時(shí)成立？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)如圖②，與相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作，與相交于點(diǎn)F．設(shè)、的面積分別為．若，求的長(zhǎng)．11．（21·22下·蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點(diǎn)D，//，交BC于點(diǎn)E．①若，，求BC的長(zhǎng)；②試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個(gè)外角，，CD平分，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，//，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．12．（22·23上·蘇州·期中）如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3．(1)若AD＝1，AB＝m，在AB邊上存在唯一的P點(diǎn)使得∠DPC＝90°．①求m的值；②PC的垂直平分線(xiàn)交CD于Q點(diǎn)，求DQ的長(zhǎng)；(2)延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的長(zhǎng)．13．（21·22·蘇州·一模）【理解概念】定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)直角三角形”，求的長(zhǎng)；【解決問(wèn)題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準(zhǔn)直角三角形”，求的面積．14．（21·22下·蘇州·期中）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)E，已知，．設(shè)的長(zhǎng)為x．(1)___________；當(dāng)時(shí)，求的值；(2)試探究：是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．15．（22·23上·蘇州·期中）（1）如圖1，在中，，平分，交于點(diǎn)D，，交于點(diǎn)E．①若，，求的長(zhǎng)；②試探究是否為定值．如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖2，和是的2個(gè)外角，，平分，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．記的面積為，的面積為，的面積為S3．若，求的值．16．（21·22下·蘇州·二模）【性質(zhì)探究】如圖，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)．作于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．(1)的形狀是______．若，求的長(zhǎng)．（用含的代數(shù)式表示）(2)【遷移應(yīng)用】記的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的值．(3)【拓展延伸】若交射線(xiàn)于點(diǎn)，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結(jié)，當(dāng)?shù)拿娣e為矩形面積的時(shí)，求的值．17．（21·22下·蘇州·一模）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點(diǎn)P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．(1)求ED的長(zhǎng)．(2)將木條BC繞點(diǎn)B在平行于紙面的平面內(nèi)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到（如圖2），點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與MN的交點(diǎn)為D’，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在MN上的光點(diǎn)為．若，求的長(zhǎng)．18．（2022上·蘇州·期末）如圖，在矩形OABC中，頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），∠EAF＝90°，且∠EAF的一邊與線(xiàn)段OC交于點(diǎn)E，∠EAF的另一邊與線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，連接EF，作AG⊥EF，垂足為G（m，n），連接OG．(1)當(dāng)點(diǎn)E由點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為；(2)求n與m的函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明點(diǎn)B在直線(xiàn)OG上；(3)當(dāng)△AOE與△GOE的面積之差為時(shí)，求線(xiàn)段OE的長(zhǎng)度．19．（21·22下·蘇州·模擬預(yù)測(cè)）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點(diǎn)任意放在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），使兩邊分別交線(xiàn)段、于點(diǎn)、．(1)若，，，則_________；(2)求證：．(3)【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)在邊上移動(dòng)，保持三角板與邊、的兩個(gè)交點(diǎn)、都存在，連接，如圖②所示，問(wèn)：點(diǎn)是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)【探索】如圖③，在等腰中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處（其中），使兩條邊分別交邊、于點(diǎn)、（點(diǎn)、均不與的頂點(diǎn)重合），連接．設(shè)，則與的周長(zhǎng)之比為_(kāi)________（用含的表達(dá)式表示）．20．（21·22·無(wú)錫·一模）【學(xué)習(xí)概念】有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱(chēng)為對(duì)余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為對(duì)余線(xiàn)．【理解運(yùn)用】(1)如圖1，對(duì)余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2=CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對(duì)余四邊形，證明你的結(jié)論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標(biāo)中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，點(diǎn)E在對(duì)余線(xiàn)BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC．設(shè)=u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)?jiān)谙路綑M線(xiàn)上直接寫(xiě)出u與t的函數(shù)表達(dá)，并注明t的取值范圍____________________________．參考答案1．（1）解：將點(diǎn)，代入可得，解得即頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解方程可得，或則將該拋物線(xiàn)向下平移單位長(zhǎng)度，再向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線(xiàn)則新拋物線(xiàn)解析式為：則設(shè)直線(xiàn)的解析式為：則，解得，即同理可得：直線(xiàn)的解析式為：將代入直線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)的解析式可得：，由題意可得：，解得；（3）點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則解得，或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，取點(diǎn)，則，則，連接，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)解析式為，則，解得即聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)可得：，解得或（舍去）即同理可取，連接，交拋物線(xiàn)與點(diǎn)，可求得解析式為：聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)，可求得或（舍去）即當(dāng)時(shí)，，作，則，由勾股定理可得：設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得，作，則，設(shè)則，∴，即∴，可求得解析式為：聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)可得：，解得或（舍去）即綜上，符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或2.（1）解：如圖：過(guò)點(diǎn)B作，∵A的坐標(biāo)為，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，在中，由勾股定理得：，解得：，∵，∴，設(shè)，則，∴，即，，解得：，∴．設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入得，，解得：，、∴直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，整理得：，兩邊同時(shí)平方：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：或．3．（1）當(dāng)時(shí)，．解方程，得，．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且，∴，．當(dāng)時(shí)，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如圖1，連接AE．∵，∴，．∴，，．∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)Q總在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．4.（1）解：∵且四邊形為矩形，，，；（2）解：由圖知：，，代入，得，，，，；，，，，∵，∴，∴，；（3）解：如圖：連接、，則于對(duì)稱(chēng)，垂直平分，，，；；，，∴，，，，；∵，∴，，又中，，，解得：，代入，解得，∴．5（1）解：∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：；∴拋物線(xiàn)解析式為：，令，得：，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為；∵點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的解析式為：,∴，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為：，即直線(xiàn)l的解析式為．故答案為，．（2）解：設(shè)直線(xiàn)的解析式為,∴，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為：；∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴．，∴，∴當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段總能組成等腰三角形．（3）解：∵，C∴∴如圖：線(xiàn)段組成等腰三角形,與（2）中的相等，H為邊上的高由（2）可得：，∴∵等腰三角形的頂角是的2倍∴∴，∴,即，解得：．三角函數(shù)與圓1．解：如圖，過(guò)作于，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A2.解：如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，都是的直徑，，，，在中，，，平分，且，，，，，如圖，作，交于點(diǎn)，，在中，，，設(shè)，則，，，解得或（不符題意，舍去），則，故答案為：．3．（1）解：如圖1，連接，，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（3）解：如圖2，在線(xiàn)段上取一點(diǎn)G，使得，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．4.（1）解：過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)D，∵，∴，設(shè)，∵，∴，即：，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．（2）過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，∵為的角平分線(xiàn)，∴，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，解得：，∴．設(shè)，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∴．5.（1）解：由題意知，，∵，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）證明：由題意知，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）解：由題意知，，，由（2）知，∴，∴，∴，∵，，，∴，即，解得，∵，∴，∴，∴的值為．6.（1）解：如圖：連接交于，∵點(diǎn)在的邊上，即是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴是的垂直平分線(xiàn)，，∴，∴，∵與相切于點(diǎn)∴∴∴是的切線(xiàn)．（2）解：∵，，∴,設(shè)的半徑為，，則∵∴,即，解得：∴的半徑長(zhǎng)為3．（3）解：如圖：設(shè)交于，連接，過(guò)M作∵∴∴∵,∴∴∴，即，解得：,∴∵∴∵是的直徑∴，即∵∴∴∴∴．7.（1）證明：如圖，連接，∵與圓O相切與點(diǎn)D，∴，即，∵，，∴，∴，即，∴是圓O的切線(xiàn)；（2）證明：，．，．又，，，；（3）解：∵，∴，設(shè)，則．∵，∴，解得：（舍去負(fù)值），∴，．∵，∴，設(shè)，則，，∴，∴，解得：，∴，即半徑為．∵F是中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，解得：，∴．8.（1）解：∵在半對(duì)角四邊形ABCD中，，∴∠D=2∠B，∠A=2∠C，∵∠A+∠B+∠C+D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，故答案為：120°；（2）證明：∵在△BDE和△BOE中，∴△BDE≌△BOE（SSS）∴∠BDE=∠BOE，又∠ACB=∠BOA，∴∠ACB=∠BDE，連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，設(shè)∠OAC=∠OCA=x，∵=∠EAF+∠AFE，∴∠AFE=2x，則∠DFC=180°2x，∵∠AOC=180°2x=2∠ABC∴∠DFC=2∠ABC，即∠ABC=∠DFC，∴四邊形BCFD是半對(duì)角四邊形；（3）解：①BO=BD=r，∵DH⊥OB，OH=2，∴在Rt△BHD中，DH=6，BH=r2，∴r2=62+（r2）2，解得：r=10，∴弧BC的長(zhǎng)為=，則該圓錐的底面半徑為，故答案為：；②∵四邊形BCFD是半對(duì)角四邊形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°120°=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，過(guò)O作OM⊥BC于M，則BC=2BM=2OB·cos30°=OB=BD，∵BD=OB=10∴BH=102=8，又DH⊥OB，∠OBC=30°，∴HG=BH·tan30°=，∠BGD=60°，∴∠BGD=∠BAC=60°，又∠GBD=∠ABC，∴BDG∽△BCA，∴=，∴=3=3××（6+）×8=．三角函數(shù)與幾何綜合1.如圖，連接AC，EF，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CF于點(diǎn)N，∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（HL），∴，，又∵，∴，∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴，∵在△BEC和△DFC中，，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴，設(shè)，，∵，，∴，∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得，，∴，∴，解得，則，∵，∴，∴，故選：D．2.解：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，如圖，∵DC平分，于點(diǎn)D，∴，在和中，，∴，∴BD=ED=1，∵，∴AE=BE=2，∵AC=7∴CE=ACAE=5，∴，∴．故選：B．3.∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，∴AD=AE=3，∠DAE=90°，∠AED=45°，∠FAE=15°，DE=∴∠AFG=∠AED+∠FAE=60°，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DE，垂足為G，∴AG=DG=GE=，∴AF=÷sin60°=，∴CF=ACAF=5﹣，故選C．4.解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，四邊形為正方形，，，，，，，，，，，，，，，，∴，設(shè)，，則，，，，，，，，整理得：，解得：，（舍去），．故答案為：．5.解：在上取一點(diǎn)，使得，連接，如圖所示：，，四邊形是平行四邊形，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，如圖所示：，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：．6.連接，∵正方形的邊長(zhǎng)為8，正方形，∴，，，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心，以為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)M、F、D三點(diǎn)一線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)M作，∵，正方形的邊長(zhǎng)為8，∴，，∴，，∴．故答案為：．7.解：如圖，連接，，作于，于．由題意：，，，，，共圓，，，，，，∵，，，，，，∵△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△FEH，∴AE=CB，F(xiàn)E=AB=，∴，∴∠BAC=∠ACE，∴，∴于，于．∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，∴四邊形是矩形，，∵OE=,，故答案為．8．（1）延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．（3）解：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點(diǎn)O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∴．．9.（1）如圖1，，理由如下：∵與都是等邊三角形，∴，∴，即，∴；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，∴，∵，∴，，由（1）得，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，

∴，∴；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵與都是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，∴，，∴，

∵，∴，即，解得，∵點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∴，∴，∴，即∵，∴．10.（1）解：如圖1，過(guò)D作于M，則四邊形是矩形，∴，（矩形性質(zhì)），∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的長(zhǎng)為4；（2）解：不存在，理由如下：如圖2，過(guò)P作交于G，交于H，∴，∴，（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），（兩直線(xiàn)平行，同位角相等），∵平分，∴（角平分線(xiàn)的性質(zhì)），∴，∴（等角對(duì)等邊），在中，，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，若平分，則，即，∵，與矛盾，∴不存在這樣的點(diǎn)P，使得平分、平分同時(shí)成立；（3）解：令中邊上的高為，中邊上的高為，∵，∴，，∴，設(shè)，則，∴PE=kCE，h1=kh2，∴，，∵，即，整理得，則，解得，（舍去），∴，如圖3，過(guò)E作交于Q，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．11.（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設(shè)，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過(guò)點(diǎn)D作于H．∵，∴．∴．12．（1）①如圖1中，∵在邊上存在唯一的點(diǎn)使得，∴以為直徑的與相切于點(diǎn)，連接．∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴∵，，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴②由①可知，∴的垂直平分線(xiàn)與的交點(diǎn)與重合，∴；（2）如圖2中，延長(zhǎng)到，使得，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，，則，在中，，∴，∴，∴．13．（1）①當(dāng)時(shí)，則，∴（不合題意舍去），當(dāng)，則，∵，∴，∴，綜上所述：，故答案為：15；②當(dāng)時(shí)，則，∴，當(dāng)，則，∵，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：10或25；（2）當(dāng)時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，設(shè)，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，又∵，∴，由（2）可知：，設(shè)，則，∴，∴，∴，當(dāng)，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的面積為48或24．14．（1）解：作于交于．四邊形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案為4，．（2）結(jié)論：的值為定值．理由：由，可得．，，，，；（3）連接交于．，所以只能，，，，，垂直平分線(xiàn)段，在中，，，，，．綜上所述，的值為．15.解：（1）①∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∴CD＝BD＝3，∵DE∥AC，∴∠ACD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DCB＝∠B，∴CE＝DE＝2，∴△CED∽△CDB，∴＝，∴＝，∴BC＝；②﹣是定值．∵DE∥AC，∴＝，同①可得，CE＝DE，∴＝，∴﹣＝﹣＝＝1，∴﹣是定值，定值為1；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CB于點(diǎn)M，DN⊥CF于點(diǎn)N．∵CD平分∠BCE，∴DM＝DN，∵∠ECB＝2∠CBD，∠ECD＝∠BCD，∴DB＝DC，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC＝∠ECD，∴EC＝ED，∴＝，∵＝＝＝＝，∴＝＝又∵S1?（S2﹣S3）＝S22，∴＝，設(shè)AC＝16k，則AE＝25k，∴CE＝DE＝9k，∵BC∥DE，∴＝，∴＝，∴BC＝k，∵∠DCB＝∠ECD＝∠DBC＝∠EDC，∴△CDB∽△CED，∴＝，∴CD2＝CB?CE＝（k）2，∴CD＝k，∵DM⊥CB，DC＝DB，∴CM＝BM＝k，∴cos∠CBD＝＝＝．16．（1）解：∵AE平分，∴∠CAE=∠BAE，∵，∴∠AHG=∠AHF=90°，∵AH=AH，∴△AHG≌△AHF(ASA),∴AG=AF，∴△AGF是等腰三角形；過(guò)點(diǎn)O作OM∥AB，交DF于M，∴△DOM∽△DBF，∴，∵OM∥AB，∴∠OMG=∠AFG，∴∠OMG=∠OGM，∴OM=OG=a，∴BF=2OM=2a；故答案為：等腰三角形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵，又∵BF=2OM=2OG，,∴，令CD=3x，AC=5x，則AD=4x，∴；（3）設(shè)OG=a，AG=k，①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段AB上時(shí)，點(diǎn)G在線(xiàn)段OA上，∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2(k+a)，AD2=[2(k+a)]2(k+2a)2，∴AD2=3k2+4ka，由∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，得△ABE∽△DAF，∴，∴，

∴，根據(jù)題意得，，∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=2a，∴，∴；②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)G在線(xiàn)段OC上，∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k2a，AC=2(ka)，∴AD2=[2(ka)]2(k2a)2，∴AD2=3k24ka，由∠BAE=∠ADF，∠ABE=∠FAD，得△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，根據(jù)題意得，，∴AD2=10ka，即10ka=3k24ka，∴k=，∴a，∴tan∠BAE=，綜上可知，tan∠BAE的值為或．17．（1）解：如圖1，由題意可得，，，∴，∴．∵，，，∴，∴；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．又，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，在中，，，，由勾股定理可得，，∴，在中，，∴，∴．∵，∴，解得，∴，∴．18．（1）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，在矩形OABC中，B的坐標(biāo)為（8，4），∴CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=90°，∵∠EAF=90°，∴∠OAE+∠EAB=∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF，∵∠EOA=∠FBA=90°，∴△COA∽△FBA，∴即，解得，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為2，故答案為：2；（2）解：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥y軸于H，GJ⊥x軸于J，連結(jié)OB，∵四邊形ABCO為矩形，∴CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=∠ABC=∠COA=90°，∴∠FBA=180°∠ABC=90°，∵∠EAF=90°，∴∠OAE+∠EAB=∠EAB+∠BAF=90°，∴∠OAE=∠BAF，∵∠ABF=∠AOE=90°，∴△BAF∽△OAE，∴，∵AG⊥EF，∴∠EGA=90°，∴tan∠FEA=，∵GH⊥y軸，GJ⊥x軸，x軸⊥y軸，∴四邊形OJGH為矩形，∴∠HGJ=90°∴∠HE+∠EGJ=∠EGJ+∠JGA=90°，∴∠HE=∠JGA，∵∠GHE=∠GJA=90°，∴△HGJ∽△EGA，∴即，∴即，設(shè)OG解析式為y=kx，點(diǎn)G（m，n），∴，∵，∴，∴OG解析式為，∴當(dāng)x=8時(shí)，，∴點(diǎn)B在直線(xiàn)OG上；（3）解：作GH⊥y軸于H，設(shè)OE=s，點(diǎn)G（m，），∴HG=m，EH=，EC=，由（2）知△BAF∽△OAE，∴，∴，∵BC⊥y軸，GH⊥y軸GH⊥y軸，∴GH∥CF，∴∠EHG=∠ECF，∠EGH=∠EFC，∴△EHG∽△ECF，∴即，整理得，∵，,△AOE與△GOE的面積之差為，∴，∴，把①代入②得，整理得，解得或，∴線(xiàn)段OE的長(zhǎng)度為1或3．．（1）證明：四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，平分，，，；（2）解：由題意可得，是的直徑，，，又，垂直平分線(xiàn)段，，，，又平分，，，，，即的余弦值為；（3）解：由題意可得，是的直徑，，，又的半徑為，，，，由（1）可知，，，，，，，，的長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．(1)6(2)見(jiàn)詳解(3)存在，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，使得平分且平分，此時(shí)(4)與之比為【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，AB=BC=8，∠B=∠C=60°，根據(jù)AE=6，，可求BE=ABAE=2，CD=BCBD=6，可證△BDE與△DCF為等邊三角形即可；（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，∠B=∠C=60°，證明∠BED=∠CDF即可；（3）存在，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，使得平分且平分，此時(shí)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得出，然后證明即可；（4）；如圖③，連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，先證，再證，，，然后證明，得出，將三角形周長(zhǎng)用等線(xiàn)段轉(zhuǎn)化得出，即可．【詳解】（1）解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=8，∠B=∠